信号的频谱

注意：这不必要条件。有一些并非绝对可积的信号也有FT 。 (9) FT 及IFT 在赫兹域的定义：

?∞

∞

-π-=

dt

e t

f f F ft j 2)()(；?∞

∞-π=df

e f F t f ft j 2)()(

(10) 比较FS 和FT ：

FS FT

分析对象 周期信号 非周期信号

频率定义域 离散频率，谐波频率处 连续频率，整个频率轴 函数值意义 频率分量的数值 频率分量的密度值

2.3 功率密度谱

一个确定性的能量信号可以通过能量密度谱E(ω)来描述信号能量在频域

的分布特性。同理,对一个确定性功率信号可以利用功率密度谱来描述信号功率在频率域分布情况,功率密度谱反映了单位频带信号功率的大小,是频率的函数以p(ω)表示。

设x(t)是一个功率信号,其平均功率定义为:

由于功率信号不满足傅立叶变所要求的总能量为有限(平方可积)的充要条件,因此为了求得傅立叶变换与功率密度谱的关系式,采取求极限的办法先将x(t)截(t),即

短,形成x

T

(ω)存在,其总能量按能量信号的所以只要T为有限值,则相应的傅立叶变换x

T

帕斯瓦尔公式,有:

由于

故得平均功率为

(ω)∣2/2T趋于一个极限上式中,因x(t)是功率信号故极限存在,当T→∞,∣X

T

值。

令

由式(4.22)右端所示的平均功率可写成为:

可见,平均功率是由被积函数p(ω)在频率(-∞, ∞)区间覆盖的面积所确定。故称p(ω)为功率密度谱,简称功率谱。这样就把功率信号在频域的分析与傅立叶变换联系起来。如果x(t)表示随机信号X(t)的任一样本函数,则意味着随机信号在频域的特征可以通过傅立叶变换来表征。同时从式(4.22)还表明随机信号的平均功率也可以通过计算均方值的时间平均（时间均方值）来求得。功率密度谱虽然描述了随机信号的功率在各个不同频率上的分布,但因为它仅与幅度频谱有关,没有相位信息,所以从已知功率谱还难以完整地恢复原来的功率信号。

功率有限信号的功率谱函数和相关函数是一对傅里叶变换，即维纳辛钦定理。

2.4 能量谱密度

能量谱：对于能量信号，在时域中计算的信号总能量,等于在频域中计算的信号总能量。即:

能量频谱（也叫能量谱，能量密度谱）)(w e 定义为单位频率的信号能量，在频带

df 内信号为df w e )(，因而信号在整个频率区间()+∞∞-,的总能量为

?

?+∞

∞

-+∞

∞

-=

=dw w e df w e E )(21)(π

对于能量谱，有 2

)()(jw F w e =。 2.5 负频率

经过傅里叶双边变换后，频率的取值分为正值和负值，对于复制来说只是数

学上的定义，没有真正的物理意义。

三 随机信号的频谱

随机信号：取之不确定、且不能实现确定预知的信号。这种信号在任何时间的取值自然也是不能用一个数学公式准确计算出来。然而，在一个长时间内观察，这种信号有一定的统计规律，可以找到它的统计特性。通常把这种信号看成一个随机过程。

随机信号是一类持续时间无限长,具有无限大能量的功率信号,虽然它不满足傅立叶变换的条件但由于它的任一样本函数功率有限,所以功率谱就成为在频域描述随机信号统计规律的重要特征参量。

四 幅频特性和相频特性

对于周期信号，求得其傅里叶系数之后得到一个复系数n F ，对其求模即为此周期信号幅度关于频率的函数，它反映了此信号的幅频特性。对其求相位即得到此信号相位关于频率的函数它反映了此信号的相频特性。

对于非周期信号，求其傅里叶变换得到)(jw F ，它可以写成

)()()(w j e jw F jw F ?=的形式，其中)(jw F 和)(w ψ分别是频谱函数的模和相位，分别代表此信号的幅频特性和相频特性。

将w A n ~和w n ~)(ψ的关系分别画在以w 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n ≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ωw F n ~和w n ~)(ψ的关系，称为双边谱。若n F 为实数，也可

直接画n F 。

五 频域分析方法

频域分析方法用于求解系统的零状态响应和全响应。

)()()(jw F jw H jw Y

当)(jw F 是冲激函数对应的频谱函数时对应)(jw Y 是系统响应；当)(jw F 是其它函数对应的频谱时对应)(jw Y 为零状态响应。

利用频域分析方法求得系统的零状态响应后，使用傅里叶反变换或拉普拉斯反变换就可以得到系统的零状态输出。

相比之下频域变换恰当的使用了复指数函数的性质，给系统分析带来了方便。

参考文献：

[1] 吴大正 信号与线性系统分析 高等教育出版社 2005:115-177 [2] 奥本海默 信号与系统 西安交通大学出版社 1998

习题一绘制典型信号及其频谱图 电子工程学院 202班一、单边指数信号 单边指数信号的理论表达式为 对提供的MATLAB程序作了一些说明性的补充，MATLAB程序为

figure(3); plot(w,20*log10(abs(F)));xlabel('\omega');ylabel('|F(\omega)| in dB');title(' 幅频特性/dB'); figure(4); plot(w,angle(F)*57.29577951);xlabel('\omega');ylabel('\phi(\omega)/（°） ');title('相频特性'); 调整，将a分别等于1、5、10等值，观察时域波形和频域波形。由于波形 较多，现不失代表性地将a=1和a=5时的各个波形图列表如下进行对比，其 他a值的情况类似可推知。 a15 时 域 图 像

幅频特性 幅频特性/d B 相频特性

分析： 由上表中a=1和a=5的单边指数信号的波形图和频谱图的对比可以发现，当a值增大时，信号的时域波形减小得很快，而其幅频特性的尖峰变宽，相频特性的曲线趋向平缓。 二、矩形脉冲信号 矩形脉冲信号的理论表达式为 MATLAB程序为：

clear all; E=1;%矩形脉冲幅度 width=2;%对应了时域表达式中的tao t=-4:0.01:4; w=-5:0.01:5; f=E*rectpuls(t,width); %MATLAB中的矩形脉冲函数，width即是tao，t为时间 F=E*width*sinc(w.*width/2); figure(1); plot(t,f);xlabel('t');ylabel('f(t)');title('信号时域图像'); figure(2); plot(w,abs(F));xlabel('\omega');ylabel('|F(\omega)|');title('幅频特性'); figure(3); plot(w,20*log10(abs(F)));xlabel('\omega');ylabel('|F(\omega)| in dB');title(' 幅频特性/dB'); figure(4); plot(w,angle(F));xlabel('\omega');ylabel('\phi(\omega)');title('相频特性'); 调整，将分别等于1、4等值，观察时域波形和频域波形。由于波形较多，现不失代表性地将a=1和a=4时的各个波形图列表如下进行对比，其他值的情况类似可推知。 14

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计 课程名称：课程设计2 设计题目：对正弦信号的抽样频谱分析院系：电子与信息工程学院 班级：0805203 设计者：褚天琦 学号：1080520314 指导教师：郑薇 设计时间：2011-10-15 哈尔滨工业大学

一、题目要求： 给定采样频率fs，两个正弦信号相加，两信号幅度不同、频率不同。要求给定正弦信号频率的选择与采样频率成整数关系和非整数关系两种情况，信号持续时间选择多种情况分别进行频谱分析。 二、题目原理与分析： 本题目要对正弦信号进行抽样，并使用fft对采样信号进行频谱分析。因此首先对连续正弦信号进行离散处理。实际操作中通过对连续信号间隔相同的抽样周期取值来达到离散化的目的。根据抽样定理，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。设抽样周期为TS(抽样角频率为ωS)，则 可见抽样后的频谱是原信号频谱的周期性重复，当信号带宽小于奈奎斯特频率的二分之一时不会产生频谱混叠现象。 因此，我们对采样频率的选择采取fs>2fo,fs=2fo,fs<2fo三种情况进行分析。对信号采样后，使用fft函数对其进行频谱分析。为了使频谱图像更加清楚，更能准确反映实际情况并接近理想情况，我们采用512点fft。取512点fft不仅可以加快计算速度，而且可以使频谱图更加精确。若取的点数较少，则会造成频谱较大的失真。 三、实验程序： 本实验采用matlab编写程序，实验中取原信号为 ft=sin(2πfXt)+2sin(10πfXt)，取频率f=1kHz，实验程序如下： f=1000;fs=20000;Um=1; N=512;T=1/fs; t=0:1/fs:0.01; ft=Um*sin(2*pi*f*t)+2*Um*sin(10*pi*f*t); subplot(3,1,1); plot(t,ft);grid on; axis([0 0.01 1.1*min(ft) 1.1*max(ft)]); xlabel('t'),ylabel('ft'); title('抽样信号的连续形式'); subplot(3,1,2); stem(t,ft);grid on; axis([0 0.01 1.1*min(ft) 1.1*max(ft)]); xlabel('t'),ylabel('ft');

实验九 典型信号的频谱分析 一. 实验目的 1. 在理论学习的基础上，通过本实验熟悉典型信号的频谱特征，并能够从信号频谱中读取 所需的信息。 2. 了解信号频谱分析的基本原理和方法，掌握用频谱分析提取测量信号特征的方法。 二. 实验原理 信号频谱分析是采用傅里叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。 图1、时域分析与频域分析的关系 信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。时域信号x(t)的傅氏变换为： dt e t x f X ft j ?+∞ ∞--=π2)()( (1) 式中X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f 为频率。 工程上习惯将计算结果用图形方式表示， 以频率f 为横坐标，X(f)的实部)(f a 和虚部 )(f b 为纵坐标画图，称为时频－虚频谱图； 以频率f 为横坐标，X(f)的幅值)(f A 和相位 )(f ?为纵坐标画图，则称为幅值－相位谱； 以f 为横坐标，A(f) 2为纵坐标画图，则称为 功率谱，如图所示。 频谱是构成信号的各频率分量的集合，它 完整地表示了信号的频率结构，即信号由哪些 谐波组成，各谐波分量的幅值大小及初始相 位，揭示了信号的频率信息。 图2、信号的频谱表示方法

三. 实验内容 1. 白噪声信号幅值谱特性 2. 正弦波信号幅值谱特性 3. 方波信号幅值谱特性 4. 三角波信号幅值谱特性 5. 正弦波信号＋白噪声信号幅值谱特性 四. 实验仪器和设备 1. 计算机1台 2. DRVI快速可重组虚拟仪器平台1套 3. 打印机1台 五. 实验步骤 1.运行DRVI主程序，点击DRVI快捷工具条上的"联机注册"图标，选择其中的“DRVI 采集仪主卡检测”或“网络在线注册”进行软件注册。 2.在DRVI软件平台的地址信息栏中输入WEB版实验指导书的地址，在实验目录中选择 “典型信号频谱分析”，建立实验环境。 图5 典型信号的频谱分析实验环境 下面是该实验的装配图和信号流图，图中的线上的数字为连接软件芯片的软件总线数据线号，6017、6018为两个被驱动的信号发生器的名字。 图6 典型信号的频谱分析实验装配图

实验报告 实验三：用FFT 对信号作频谱分析 一、 实验目的与要求 学习用FFT 对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差及其原因，以便正确应用FFT 。 二、 实验原理 用FFT 对信号作频分析是学习数字信号处理的重要内容，经常需要进行分析的信号是模拟信号的时域离散信号。对信号进行谱分析的重要问题是频谱分辨率D 和分析误差。频谱分辨率直接和FFT 的变换区间N 有关，因为FFT 能够实现的频率分辨率是2π/N ，因此要求2π/N 小于等于D 。可以根据此式选择FFT 的变换区间N 。误差主要来自于用FFT 作频谱分析时，得到的是离散谱，而信号（周期信号除外）是连续谱，只有当N 较大时，离散谱的包络才能逼近连续谱，因此N 要适当选择大一些。 三、 实验步骤及内容（含结果分析） （1）对以下序列进行FFT 分析： x 1(n)=R 4(n) x 2(n)= x 3(n)= 选择FFT 的变换区间N 为8和16两种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析与比较。 【实验结果如下】： n+1 0≤n ≤3 8-n 4≤n ≤7 0 其它n 4-n 0≤n ≤3 n-3 4≤n ≤7 0 其它 n

实验结果图形与理论分析相符。（2）对以下周期序列进行谱分析： x4(n)=cos[(π/4)*n]

x5(n)= cos[(π/4)*n]+ cos[(π/8)*n] 选择FFT的变换区间N为8和16两种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析与比较。 【实验结果如下】： （3）对模拟周期信号进行频谱分析： x6(n)= cos(8πt)+ cos(16πt)+ cos(20πt) 选择采样频率Fs=64Hz，FFT的变换区间N为16、32、64三种情况进行频谱分析，分别打印出幅频特性曲线，并进行讨论、分析与比较。 【实验结果如下】：

第23卷第3期湖南理工学院学报(自然科学版)Vol.23 No.3 2010年9月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Sep. 2010信号的频谱分析及MATLAB实现 张登奇, 杨慧银 (湖南理工学院信息与通信工程学院, 湖南岳阳 414006) 摘 要: DFT是在时域和频域上都已离散的傅里叶变换, 适于数值计算且有快速算法, 是利用计算机实现信号频谱分析的常用数学工具. 文章介绍了利用DFT分析信号频谱的基本流程, 重点阐述了频谱分析过程中误差形成的原因及减小分析误差的主要措施, 实例列举了MATLAB环境下频谱分析的实现程序. 通过与理论分析的对比, 解释了利用DFT分析信号频谱时存在的频谱混叠、频谱泄漏及栅栏效应, 并提出了相应的改进方法. 关键词: MA TLAB; 频谱分析; 离散傅里叶变换; 频谱混叠; 频谱泄漏; 栅栏效应 中图分类号: TN911.6 文献标识码: A 文章编号: 1672-5298(2010)03-0029-05 Analysis of Signal Spectrum and Realization Based on MATLAB ZHANG Deng-qi, YANG Hui-yin (College of Information and Communication Engineering, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China) Abstract:DFT is a Fourier Transform which is discrete both in time-domain and frequency-domain, it fits numerical calculation and has fast algorithm, so it is a common mathematical tool which can realize signal spectrum analysis with computer. This paper introduces the basic process of signal spectrum analysis with DFT, emphasizes the causes of error producing in spectrum analysis process and the main ways to decrease the analysis error, and lists the programs of spectrum analysis based on MATLAB. Through the comparison with the theory analysis, the problems of spectrum aliasing, spectrum leakage and picket fence effect are explained when using DFT to analyze signal spectrum, and the corresponding solution is presented. Key words:MATLAB; spectrum analysis; DFT; spectrum aliasing; spectrum leakage; picket fence effect 引言 信号的频谱分析就是利用傅里叶分析的方法, 求出与时域描述相对应的频域描述, 从中找出信号频谱的变化规律, 以达到特征提取的目的[1]. 不同信号的傅里叶分析理论与方法, 在有关专业书中都有介绍, 但实际的待分析信号一般没有解析式, 直接利用公式进行傅里叶分析非常困难. DFT是一种时域和频域均离散化的傅里叶变换, 适合数值计算且有快速算法, 是分析信号的有力工具. 本文以连续时间信号为例, 介绍利用DFT分析信号频谱的基本流程, 重点阐述频谱分析过程中可能存在的误差, 实例列出MATLAB 环境下频谱分析的实现程序. 1 分析流程 实际信号一般没有解析表达式, 不能直接利用傅里叶分析公式计算频谱, 虽然可以采用数值积分方法进行频谱分析, 但因数据量大、速度慢而无应用价值. DFT在时域和频域均实现了离散化, 适合数值计算且有快速算法, 是利用计算机分析信号频谱的首选工具. 由于DFT要求信号时域离散且数量有限, 如果是时域连续信号则必须先进行时域采样, 即使是离散信号, 如果序列很长或采样点数太多, 计算机存储和DFT计算都很困难, 通常采用加窗方法截取部分数据进行DFT运算. 对于有限长序列, 因其频谱是连续的, DFT只能描述其有限个频点数据, 故存在所谓栅栏效应. 总之, 用DFT分析实际信号的频谱, 其结果必然是近似的. 即使是对所有离散信号进行DFT变换, 也只能用有限个频谱数据近似表示连续频 收稿日期: 2010-06-09 作者简介: 张登奇(1968? ), 男, 湖南临湘人, 硕士, 湖南理工学院信息与通信工程学院副教授. 主要研究方向: 信号与信息处理

实验三信号的频谱分析 方波信号的分解与合成实验 一、任务与目的 1. 了解方波的傅立叶级数展开和频谱特性。 2. 掌握方波信号在时域上进行分解与合成的方法。 3. 掌握方波谐波分量的幅值和相位对信号合成的影响。 二、原理（条件） PC机一台，TD－SAS系列教学实验系统一套。 1. 信号的傅立叶级数展开与频谱分析 信号的时域特性和频域特性是对信号的两种不同的描述方式。对于一个时域的周期信号f(t)，只要满足狄利克莱条件，就可以将其展开成傅立叶级数： 如果将式中同频率项合并，可以写成如下形式： 从式中可以看出，信号f(t)是由直流分量和许多余弦（或正弦）分量组成。其中第一项A0/2是常数项，它是周期信号中所包含的直流分量；式中第二项A1cos(Ωt+φ1)称为基波，它的角频率与原周期信号相同，A1是基波振幅，φ1是基波初相角；式中第三项A2cos(Ωt+φ2)称为二次谐波，它的频率是基波的二倍，A2是基波振幅，φ2是基波初相角。依此类推，还有三次、四次等高次谐波分量。 2. 方波信号的频谱 将方波信号展开成傅立叶级数为： n=1，3，5… 此公式说明，方波信号中只含有一、三、五等奇次谐波分量，并且其各奇次谐波分量的幅值逐渐减小，初相角为零。图3-1-1为一个周期方波信号的组成情况，由图可见，当它包含的分量越多时，波形越接近于原来的方波信号，还可以看出频率较低的谐波分量振幅较大，它们组成方波的主体，而频率较高的谐波分量振幅较小，它们主要影响波形的细节。

（a）基波（b）基波＋三次谐波 （c）基波＋三次谐波＋五次谐波 （d）基波＋三次谐波＋五次谐波＋七次谐波 （e）基波＋三次谐波＋五次谐波＋七次谐波＋九次谐波 图3-1-1方波的合成 3. 方波信号的分解 方波信号的分解的基本工作原理是采用多个带通滤波器，把它们的中心频率分别调到被测信号的各个频率分量上，当被测信号同时加到多路滤波器上，中心频率与信号所包含的某次谐波分量频率一致的滤波器便有输出。在被测信号发生的实际时间内可以同时测得信号所包含的各频率分量。本实验便是采用此方法，实验中共有5路滤波器，分别对应方波的一、三、五、七、九次分量。 4. 信号的合成 本实验将分解出的1路基波分量和4路谐波分量通过一个加法器，合成为原输入的方波信号，信号合成电路图如图3-1-2所示。 图3-1-2 三、内容与步骤 本实验在方波信号的分解与合成单元完成。 1. 使信号发生器输出频率为100Hz、幅值为4V的方波信号，接入IN端。 2. 用示波器同时测量IN和OUT1端，调节该通路所对应的幅值调节电位器，使该通路输出方波的基波分量，基波分量的幅值为方波信号幅值的4/π倍，频率于方波相同并且没有相位差.（注意：出厂时波形调节电位器已调到最佳位置，其波形基本不失真，基本没有相位差。若实验中发现存在波形失真或有相位差的现象，请适当调节波形调节电位器，使波形恢复正常。） 3. 用同样的方法分别在OUT3、OUT5、OUT7、OUT9端得到方波的三、五、七、九此谐波分量（注意其他谐波分量各参数应当满足式3-1-1所示）。 4. 完成信号的分解后，先后将OUT1与IN1、OUT3与IN2、OUT5与IN3、OUT7与IN4、OUT9与IN5连接起来，即进行谐波叠加（信号合成），分别测量（1）基波与三次谐波；（2）基波、三次谐波与五次谐波；（3）基波、三次谐波、五次谐波与七次谐波；（4）基波、三次谐波、五次谐波、七次谐波与九次谐波合成后的波形。并分别保

实验3.2 典型信号频谱分析 一、 实验目的 1. 在理论学习的基础上，通过本实验熟悉典型信号的波形和频谱特征，并 能够从信号频谱中读取所需的信息。 2. 了解信号频谱分析的基本方法及仪器设备。 二、 实验原理 1. 典型信号及其频谱分析的作用 正弦波、方波、三角波和白噪声信号是实际工程测试中常见的典型信号，这些信号时域、频域之间的关系很明确，并且都具有一定的特性，通过对这些典型信号的频谱进行分析，对掌握信号的特性，熟悉信号的分析方法大有益处，并且这些典型信号也可以作为实际工程信号分析时的参照资料。本次实验利用DRVI 快速可重组虚拟仪器平台可以很方便的对上述典型信号作频谱分析。 2. 频谱分析的方法及设备 信号的频谱可分为幅值谱、相位谱、功率谱、对数谱等等。对信号作频谱分析的设备主要是频谱分析仪，它把信号按数学关系作为频率的函数显示出来，其工作方式有模拟式和数字式二种。模拟式频谱分析仪以模拟滤波器为基础，从信号中选出各个频率成分的量值；数字式频谱分析仪以数字滤波器或快速傅立叶变换为基础，实现信号的时—频关系转换分析。 傅立叶变换是信号频谱分析中常用的一个工具，它把一些复杂的信号分解为无穷多个相互之间具有一定关系的正弦信号之和，并通过对各个正弦信号的研究来了解复杂信号的频率成分和幅值。 信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。时域信号x(t)的傅氏变换为： 式中X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f 为频率。 3. 周期信号的频谱分析 周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件： dt e t x f X ft j ?+∞ ∞--=π2)()(

信号的频谱分析及MATLAB 实现（实例） 摘自：张登奇,杨慧银.信号的频谱分析及MATLAB 实现[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2010,(03) 摘 要：DFT 是在时域和频域上都已离散的傅里叶变换，适于数值计算且有快速算法，是利用计算机实现信号频谱分析的常用数学工具。文章介绍了利用DFT 分析信号频谱的基本流程，重点阐述了频谱分析过程中误差形成的原因及减小分析误差的主要措施，实例列举了MATLAB 环境下频谱分析的实现程序。通过与理论分析的对比，解释了利用DFT 分析信号频谱时存在的频谱混叠、频谱泄漏及栅栏效应，并提出了相应的改进方法。 关键词：MATLAB ；频谱分析；离散傅里叶变换；频谱混叠；频谱泄漏；栅栏效应 3 分析实例 对信号进行频谱分析时，由于信号不同，傅里叶分析的频率单位也可能不同，频率轴有不同的定标方式。为了便于对不同信号的傅里叶分析进行对比，这里统一采用无纲量的归一化频率单位，即模拟频率对采样频率归一化；模拟角频率对采样角频率归一化；数字频率对2π归一化；DFT 的k 值对总点数归一化。同时，为了便于与理论值进行对比，理解误差的形成和大小，这里以确定信号的幅度谱分析为例进行分析说明。假设信号为：)()(t u e t x t -=，分析过程：首先利用CTFT 公式计算其模拟频谱的理论值；然后对其进行等间隔理想采样，得到)(n x 序列，利用DTFT 公式计算采样序列的数字连续频谱理论值，通过与模拟频谱的理论值对比，理解混叠误差形成的原因及减小误差的措施；接下来是对)(n x 序列进行加窗处理，得到有限长加窗序列)(n xw ，再次利用DTFT 公式计算加窗后序列)(n xw 的数字连续频谱，并与加窗前)(n x 的数字连续频谱进行对比，理解截断误差形成的原因及减小误差的措施；最后是对加窗序列进行DFT 运算，得到加窗后序列)(n xw 的DFT 值，它是对)(n xw 数字连续频谱进行等间隔采样的采样值，通过对比，理解栅栏效应及DFT 点数对栅栏效应的影响。利用MATLAB 实现上述分析过程的程序如下： clc;close all;clear; %CTFT 程序，以x(t)=exp(-t) t>=0 为例 %利用数值运算计算并绘制连续信号波形 L=4, %定义信号波形显示时间长度 fs=4,T=1/fs; %定义采样频率和采样周期 t_num=linspace(0,L,100);%取若干时点,点数决定作图精度 xt_num=exp(-1*t_num);%计算信号在各时点的数值 subplot(3,2,1);plot(t_num,xt_num),%绘信号波形 xlabel('时间(秒)'),ylabel('x(t)'),%加标签 grid,title('(a) 信号时域波形'),%加网格和标题 %利用符号运算和数值运算计算连续信号幅度谱的理论值 syms t W %定义时间和角频率符号对象 xt=exp(-1*t)*heaviside(t),%连续信号解析式 XW=fourier(xt,t,W),%用完整调用格式计算其傅氏变换 %在0两边取若干归一化频点，点数决定作图精度 w1=[linspace(-0.5,0,50),linspace(0,1.5,150)];

数字信号处理课程设计报告书 2011年7 月 1日 课题名称 应用MATLAB 对信号进行频谱分析 姓 名 张炜玮 学 号 20086377 院、系、部 电气系 专 业 电子信息工程 指导教师 刘鑫淼 ※※※※※※※※※ ※※ ※※ ※※ ※※ ※※※※※ ※※ 2008级数字信号处理课程设计

应用MATLAB对信号进行频谱分析 20086377 张炜玮 一、设计目的 用MATLAB语言进行编程，绘出所求波形，并且运用FFT求对连续信号进行分析。 二、设计要求 1、用Matlab产生正弦波，矩形波，并显示各自的时域波形图； 2、进行FFT变换，显示各自频谱图，其中采样率、频率、数据长度自选，要求注明； 3、绘制三种信号的均方根图谱； 4、用IFFT回复信号，并显示恢复的正弦信号时域波形图。 三、系统原理 用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行频谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N 有关，因为FFT能够实现频率分辨率是2π/N。 x(n)是一个长度为M的有限长序列，则x(n)的N点离散傅立叶变换为： X(k)=DFT[x(n)]= kn N W N n n x ∑ - = 1 ) ( ,k=0,1,...,N-1 N j e N Wπ2- = 逆变换：x(n) =IDFT[X(k)]= kn N W k X N n N - ∑ - = 1 ) ( 1 ,k=0,1,...,N-1 但FFT是一种比DFT更加快速的一种算法，提高了DFT的运算速率,为数字信号处理技术应用于各种信号处理创造了条件，大大提高了数字信号处理技术的发展。本实验就是采用FFT，IFFT对信号进行谱分析。 四、程序设计 fs=input('please input the fs:');%设定采样频率 N=input('please input the N:');%设定数据长度 t=0:0.001:1; f=100;%设定正弦信号频率 %生成正弦信号 x=sin(2*pi*f*t);

典型函数的频谱（矩形窗函数, 汉宁窗函数，直线，阶跃函数，δ函数，方波，三角波等），如图13~18所示。 050100150200250 0.511.52矩形窗函数的时域波形图 050 100150 100 200 300 矩形窗函数频域波形图 频率 幅值 图13 50 100 150 200 250 300 00.20.40.60.81δ函数的时域波形图 050 100150 0.511.5 2δ函数的频域波形图 频率 幅值 图 14

00.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 00.5 1 方波的时域波形图 050 100150 50 100 150 方波的频域波形图 频率 幅值 图 15 50 100 150 200 250 300 00.20.40.60.81汉宁窗函数的时域波形图 050 100150 50 100 150 汉宁窗函数频域波形图 频率 幅值 图 16

050100150200250300 0.511.52阶跃函数的时域波形图 050 100150 100 200 300 阶跃函数的频域波形图 频率 幅值 图 17 00.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2 -1 -0.500.51三角波的时域波形图 050 100150 204060 80三角波的频域波形图 频率 幅值 图18 此部分MA TLAB 代码如下： t=0:0.001:0.2; N=256; FS=300; w=boxcar(N); %产生信号 figure; plot(w);title('矩形窗函数的时域波形图'); axis([0,260,0,2]);grid on;

习题一 绘制典型信号及其频谱图 电子工程学院202班 单边指数信号的理论表达式为 figure(4); 调整，将a 分别等于1、5、10等值，观察时域波形和频域波形。由于波形 较多，现不失代表性地将a=1和a=5时的各个波形图列表如下进行对比， 其 他a 值的情况类似可推知。 单边指数信号 信号 名称 单边 时间函数f t 频谱函数F ■ 指数 脉冲 Ee% t a 对提供的MATLAB 程序作了一些说明性的补充， MATLAB 程序为 %单边指数信号 clc; close all ; clear all ; E=1; a=1; %调整a 的值，观察不同a 的值对信号波形和频谱的影响 t=0:0.01:4; w=-30:0.01:30; f=E*exp(-a*t); F=1./(a+j*w); figure(1); plot(t,f);xlabel( 't' );ylabel( 'f(t)' );title( '信号时域图像’); figure(2); plot(w,abs(F));xlabel( '\omega' 特性'); figure (3); plot(w,20*log10(abs(F)));xlabel( );ylabel( '|F(\omega)|' ); ti tle( '幅频 '\omega' );ylabel( '|F(\omega)| in dB' );title( 幅频特性/dB'); plot(w,a ngle(F)*57.29577951);xlabel( )/ (°)' );title( '相频特性’); '\omega' );ylabel( '\phi(\omega

实验报告 一、实验名称 噪声中正弦信号的经典法频谱分析 二、实验目的 通过对噪声中正弦信号的经典法频谱分析，来理解和掌握经典谱估计的知识，以及学会应用经典谱估计的方法。 三、基本原理 1．周期图法：又称直接法。把随机信号)(n x 的N 点观察数据)(n x N 视为一能量有限信号，直接取)(n x N 的傅里叶变换，得)(jw N e X ，然后再取其幅值的平方，并除以N ，作为对)(n x 真 实的功率谱)(jw e P 的估计，以)(?jw PER e P 表示用周期图法估计出的功率谱，则2)(1)(?w X N w P n PER =。 2．自相关法：又称为间接法功BT 法。先由)(n x N 估计出自相关函数)(?m r ，然后对)(?m r 求傅里叶变换得到)(n x N 的功率谱，记之为)(?w P BT ，并以此作为对)(w P 的估计，即1,)(?)(?-≤=--=∑N M e m r w P jwm M M m BT 。 3．Bartlett 法：对L 个具有相同的均值μ和方差2σ的独立随机变量1X ，2X ，…，L X ，新随机变量L X X X X L /)(21+++= 的均值也是μ，但方差是L /2σ，减小了L 倍。由此得 到改善)(?w P PER 方差特性的一个有效方法。它将采样数据)(n x N 分成L 段，每段的长度都是M ，即N=LM ，第i 段数据加矩形窗后，变为L i e n x M w x M n jwn i N I PER ≤≤=∑-=-1,)(1)(?2 10 。把)(?w P PER 对应相加，再取平均，得到平均周期图2 1110 )(1)(?1)(∑∑∑==-=-==L i L i M n jwn i N i PER PER e n x ML w P L w P 。 4．Welch 法：它是对Bartlett 法的改进。改进之一是，在对)(n x N 分段时，可允许每一段的数据有部分的交叠。改进之二是，每一段的数据窗口可以不是矩形窗口，例如使用汉宁窗或汉明窗，记之为)(2n d 。这样可以改善由于矩形窗边瓣较大所产生的谱失真。然后按Bartlett

典型非周期信号的频谱分析 任何一个信号都可以用余弦信号叠加而成，cos(w)=0.5(e^-jw+e^jw)，可以知道，频谱必须是关于虚周对称，根据频谱还原信号的时候，可以只看正半实轴，幅值加倍即可。 1，窗信号 t 解答：频谱为：(j )Sa()2 F A ωτ ωτ=?，式中：Sa(x)=sinx/x 是采样函数，其幅值频谱图如右 上图所示： 窗口信号的尺度伸缩情况： 2，滞后窗信号 t 0ω τ A 2) 2(2ωF τ π τπ-0 ω τ A ) (ωF τ π 2τπ 2- )2(t f t A 4τ4 τ- )(21t f t τ-τ0 )(t f t 2τ 2τ-0 ω τA 2 1 )2 1(21ωF τ π 4τ π 4- ω ω F (j ω)

解析：根据滞后定理：j 1(j )(j )e T F F ωωω-=j Sa()e 2 T A ωωτ τ-=?，其幅值频谱图右上图所 示。显然和窗口信号的是一样的，但是相位频谱图存在滞后 3，Sa 信号 根据对称性，可以直接得到Sa 信号的频谱，为窗形频谱 4.三角信号 解答：根据频域卷积性质：2 (j )4Sa ()F ωω= ，频谱如如右图所示。 4，冲击信号 解答：()()1j t F j t e dt ωωδ∞ --∞ = =? ，也就是说，δ(t )中包含了所有的频率分量， 而各频率 分量的频谱密度都相等。显然， 信号δ(t )实际上是无法实现的。 5，直流信号 解答:这个直接积分是积不出来的，需要用逆变换 t 2 2 t

()1f t =---->2()πδω 6，单边指数信号 解答： ()()j t F j f t e dt ωω∞ --∞ =? t j t e e dt αω∞-- =?? ()0()j t e j αωαω∞ -+=-+1j αω = +arctan j e ωα -= 因此频谱为： 7，符号信号 分析：双边指数信号0α→当时： ()()f t Sgn t →，因为双边指数信号的频谱为22 2()F j j ωωαω-=+因此得到符号信号的频谱为2 (0)0(0) j ωωω-??→≠??=? ) (ω?ω 2 π-2 π() F j ωω o 1 α

实验一典型信号频谱分析 一.实验要求 1.在理论学习的基础上，通过本实验熟悉典型信号的波形和频谱特征，并能够从信号频谱中读取所需的信息。 2.了解信号频谱分析的基本方法及仪器设备。 二.实验原理提示 1.典型信号及其频谱分析的作用 正弦波、方波、三角波和白噪声信号是实际工程测试中常见的典型信号，这些信号时域、频域之间的关系很明确，并且都具有一定的特性，通过对这些典型信号的频谱进行分析，对掌握信号的特性，熟悉信号的分析方法大有益处，并且这些典型信号也可以作为实际工程信号分析时的参照资料。本实验利用labVIEW虚拟仪器平台可以很方便的对上述典型信号作频谱分析。 2.频谱分析的方法及设备 信号的频谱可分为幅值谱、相位谱、功率谱、对数谱等等。对信号作频谱分析的设备主要是频谱分析仪，它把信号按数学关系作为频率的函数显示出来，其工作方式有模拟式和数字式二种。模拟式频谱分析仪以模拟滤波器为基础，从信号中选出各个频率成分的量值；数字式频谱分析仪以数字滤波器或快速傅立叶变换为基础，实现信号的时-频关系转换分析傅立叶变换是信号频谱分析中常用的一个工具，它把一些复杂的信号分解为无穷多个相互之间具有一定关系的正弦信号之和，并通过对各个正弦信号的研究来了解复杂信号的频率成分和幅值。 信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。时域信号x(t)的傅氏变换为： 式中X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f为频率。用傅立叶变换将信号变换到频率域，其数学表达式为： 式中Cn画出信号的幅值谱曲线，从信号幅值谱判断信号特征。 本实验利用labVIEW平台上搭建的频谱分析仪来对信号进行频谱分析。由虚拟信号发生器产生一个典型波形的电压信号，用频谱分析仪对该信号进行频谱分析，得到频谱特性数据。分析结果用图形在计算机上显示出来，也可以通过打印机打印出来。

课程设计任务书 （指导教师填写） 课程设计名称微机应用技术课程设计学生姓名专业班级设计题目心电信号的频谱分析-FFT分析 一、课程设计目的 1．了解心电信号的特点； 2．熟悉MATLAB程序设计方法； 3．理解频谱分析的作用和相关概念； 二、设计内容、技术条件和要求 1．采样点数N=1000，采样频率f=360HZ 和100HZ； 2．利用Matlab软件对心电信号进行时域分析（包括均值，方差，标准差，峰峰值，极大值和极小值）和频域分析（FFT），其中涉及的参数根据需要自主选择； 三、时间进度安排 第1周：查阅资料； 第2周：实现设计内容 第3周：整理资料，撰写课程设计任务书 四、主要参考文献 参考《模拟电子技术》、《Matlab信号处理与应用》和《医学仪器》教材

指导教师签字：年月日

目录 摘要······································错误!未定义书签。引言······································错误!未定义书签。 一、心电信号的特点·····················错误!未定义书签。 二、MATLAB软件介绍·················错误!未定义书签。 三、心电信号的分析方法 (6) 3.1时域分析 (6) 3.2频域分析 (6) 3.3 FFT分析 (7) 四、心电信号的Matlab实现 (9) 4.1 Matlab编程实现 (9) 4.2 Matlab时域分析结果 (10) 4.3 Matlab频域分析结果...................错误!未定义书签。心得体会. (12) 参考文献 (13)

检查波形的频率成分能够揭示出在普通的示波器图形中难以察觉的重要信息。例如，在标准的波形图上（图1）可能看不出波形的失真或对称性方面的问题。但是只要看一下波形的频率成分（图2）那些问题就很明显了。 在过去，观察波形的 频率成分需要有频谱分 析仪，还要掌握仪器的使 用技能。现在，对于深入 的频率分析依然需要这 样。但是，很多基本的频 率分析可以用泰克公司 TDS3000这样的数字荧光示波器（DPO）来做。 为了能够观察波形的频率成分，泰克TDS3000系列具有模块化的FFT（傅立叶变换）能力。FFT实际上显示的是波形的频率成分。这本应用笔记将介绍TDS3000系列FFT频率图的基本知识，频率图的含义和使用方法。 波形的基本构成 要了解FFT频率图，就要首先了解波形及其基本构成。波形又区分为周期性波形和非周期性波形。为了简单起见，我们先从周期性波形开始。 周期性波形基础。周期性波形是按照一定的时间间隔或周期多次

重复出现的波形。正弦波、方波和三角波都是常见的周期性波形。 按照傅立叶的理论，所有的周期性波形都是由一组特定的正弦波组成的。其中的基本正弦波也叫基波，其频率与该波形的频率相同。例如，1千赫兹方波的基本正弦波的频率也是1千赫兹。同样，1千赫兹三角波的基本正弦波的频率也是1千赫兹。从本质上说，基波是波形中最重要的频率成分，它决定了波形的频率或重复周期。 在所有的非正弦周期性波形中，与基本成分同时存在的还有谐波。谐波是频率为基波频率整倍数的正弦波。例如，1千赫兹方波的三次谐波是3千赫兹的正弦波，而五次谐波为5千赫兹的正弦波，依此类推直至无限。 除了具有特定的频 率之外，周期性波形的基 波和谐波还具有特定的 振幅和相位关系。通过这 些关系将基波和谐波叠 加在一起，就形成了特定 的波形。这一点在图3中 有进一步的说明，图中显 示了一个方波的前五个频率成分相加在一起。 注意图3中合成的波形并不是一个准确的方波。这是由于所加入的谐波还不够多。若再加入更高次的谐波，所得波形的过渡会更陡峭波角更直，波顶和波底则更平坦。

典型周期信号的频谱 时间函数 ))((+∞<<-∞t t f 频谱函数)(ωj F t j e 0ω )(20ωωπδ- )cos(0t ω )]()([00ωωδωωδπ-++ )sin(0t ω )] ()([00ωωδωωδπ--+j ∑+∞ -∞ =-= n T nT t t )()(δδ +∞ -∞ =Ω-Ωn n )(ωδ T π 2= Ω 一般周期信号)21)(∑+∞-∞ =Ω=n t jn n e A t f 式中， ?+-Ω-=22 )(2T T t jn n dt e t f T A ∑+∞ -∞ =Ω-n n n A )(ωδπ T π 2=Ω 典型周期信号的频谱 时间函数)(t f 频谱函数)(ωj F )(t δ 1 单位直流信号1 )(2ωπδ )(t u ω ωπδj 1)(+ )sgn(t ωj 2 )(t u e at -)(为大于零的实数a a j +ω1 )(t u te at -)(为大于零的实数a 2 )(1 a j +ω )(t G τ )2 ( ωτ τSa

)(0t Sa ω )(0 20 ωωπ ωG )()sin(0t u t ω 2 2 0000)]()([2ω ωωωωδωωδπ -+ +--j )()cos(0t u t ω 2 200 00)]()([2 ω ωωωωδωωδπ -+ -++j t j e 0ω )(20ωωπδ- )(t tu 2 '1 )(ωωπδ- j )()sin(0t u t e at ω- )0(>a 2 2 00 )(ωωω++a j )()cos(0t u t e at ω- )0(>a 20 2 00)(ωωω+++a j a j | |t a e -双边指数信号 )0(>a 2 22a a +ω t 1 )sgn(ωπj - ||t 2 2 ω-

X ( f ) = + x (t )e j 2 ft dt 实验九 典型信号的频谱分析 一. 二. 实验目的 1. 在理论学习的基础上，通过本实验熟悉典型信号的频谱特征，并能够从信号频谱中读取 所需的信息。 2. 了解信号频谱分析的基本原理和方法，掌握用频谱分析提取测量信号特征的方法。 实验原理 信号频谱分析是采用傅里叶变换将时域信号 x(t)变换为频域信号 X(f)，从而帮助人们从另一 个角度来了解信号的特征。 图 1、时域分析与频域分析的关系 信号频谱 X(f)代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰 富的信息。时域信号 x(t)的傅氏变换为： + 式中 X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f 为频率。 工程上习惯将计算结果用图形方式表示， 以频率f 为横坐标，X(f)的实部 a ( f ) 和虚部 b ( f ) 为纵坐标画图，称为时频－虚频谱图； 以频率f 为横坐标，X(f)的幅值 A ( f ) 和相位 ∏ ( f ) 为纵坐标画图，则称为幅值－相位谱； 以f 为横坐标，A(f) 2为纵坐标画图，则称为功 率谱，如图所示。 频谱是构成信号的各频率分量的集合，它 完整地表示了信号的频率结构，即信号由哪些 (1) 谐波组成，各谐波分量的幅值大小及初始相 位，揭示了信号的频率信息。 图 2、信号的频谱表示方法

三. 四. 实验内容 1. 白噪声信号幅值谱特性 2. 正弦波信号幅值谱特性 3. 方波信号幅值谱特性 4. 三角波信号幅值谱特性 5. 正弦波信号＋白噪声信号幅值谱特性 实验仪器和设备 1. 计算机 2. DRVI 快速可重组虚拟仪器平台 3. 打印机 1 台 1 套 1 台 五. 实验步骤 1. 运行 DRVI 主程序，点击 DRVI 快捷工具条上的"联机注册"图标，选择其中的“DRVI 采集仪主卡检测”或“网络在线注册”进行软件注册。 2. 在DRVI 软件平台的地址信息栏中输入WEB 版实验指导书的地址，在实验目录中选择“典 型信号频谱分析”，建立实验环境。 图 5 典型信号的频谱分析实验环境 下面是该实验的装配图和信号流图，图中的线上的数字为连接软件芯片的软件总线数据线 号，6017、6018 为两个被驱动的信号发生器的名字。 图 6 典型信号的频谱分析实验装配图