11-4平面曲线积分与积分路径无关的条件

第十一章曲线积分与曲面积分经典例题

第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??

曲线论 曲线的切线和法平面

§2.3 曲线的切线和法面 给出曲线上一点P ，点Q 是P 的临近一点（如图1），把割线PQ 绕 P 点旋转，使Q 点沿曲线趋于P 点，若割线PQ 趋近于一定的位置，则 我们把这个割线PQ 的极限位置称为曲线在P 点的切线. 定点P 称为切点. 直观上看，切线是通过切点的所有直线当中最贴近曲线的直线。 设曲线的参数方程是()r r t = ，切点P 对应参数0t ，Q 点对应参数0t t +?（如图 2），则有00()()PQ r t t r t =+?- 。 在割线PQ 上作向量PR ，使得00()() r t t r t P R t +?-= ? 。 当Q P →（即0t ?→）时，若 ()r t 在0 t 可微，则由向量函数的微 商可得向量PR 的极限 0000()()()lim t r t t r t r t t ?→+?-'=? 。 根据曲线的切线定义，得到 PR 的极限是切线上的一向量 ()r t ' ，它称为曲线上一点的切向 量。 由于我们已经规定只研究曲线的正常点，即()0r t '≠ ，所以曲线上一点的切向量是存在的。而这个切向量就是切线上的一个非零向量。由以上的推导过程可以看出，这个切向量的正向和曲线的参数t 的增 O

量方向是一致的。 现在我们导出曲线上一点的切线方程。 我们仍设曲线上一个切点P 所对应的参数为0t ，P 点的向径是 0()r t ，{,,}X Y Z ρ= 是切线上任一点的向径 （如图3），因为00()()r t r t ρ'- ，则得P 点的切线方程为00()()r t r t ρλ'-= ，其中λ为切线上的参数。 下面再导出用坐标表示的切线方程。设 0000(){(),(),()}r t x t y t z t = ， 0000(){(),(),()}r t x t y t z t ''''= ， 则由上述切线方程消去λ得到 000000()()()() () () X x t Y y t Z z t x t y t z t ---= = '''， 这是坐标表示的切线方程。 例1 求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt = 在3 t π = 处的切线方程。 解：易得 (){cos ,sin ,}r t a t a t bt = ， (){sin ,cos ,}r t a t a t b '=- ， 3 t π = 时，有 (){,}3223a b r π π= ， (){,,}322 a r b π '=- ， 所以切线的方程为 ( )()33 r r π π ρλ'-= ， 即

曲线积分及其及路径无关问题

曲线积分与路径无关问题 1. 第一型曲线积分 (1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为 ),(y x ρ求弧AB 的质量m 。 ?=L ds y x f m ),(, (2)若BA L AB L ==21,，则?1 ),(L ds y x f =?2 ),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分 与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。 (3)对弧长的曲线积分的计算 设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为???==) () (t y t x ψ? ， )(βα≤≤t ,其中)(t ?、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψ?， 则曲线积分?L ds y x f ),(存在，且 ? L ds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψ?ψ?β α +?? )(βα< 特别,当1),(=y x f 时, ? L ds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。 当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则 ? L ds y x f ),(=[]dx x g x g x f d a )(1)(,2'+??； 把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程? ??==)(x g y x x ，)(b x a ≤≤， ? L ds y x f ),(=[]dy y h y y h f d c )(1),(2'+?? )(d y c ≤≤ 2. 第二型曲线积分 (1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线 L 运动到点B ，求力场的力所作的功W 。

数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)

第二十一章 重积分 3格林公式、曲线积分与路线的无关性 一、格林公式 概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L. 定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式： ?????? ? ???-??D d y P x Q σ=?+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向. 证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d. 这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE 的方程, ∴?? ??D d x Q σ=????)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=?d c dy y y Q )),((2ψ-?d c dy y y Q )),((1ψ =?? CBE dy y x Q ),(-?? CAE dy y x Q ),(=?? CBE dy y x Q ),(+?? EAC dy y x Q ),(=?L dy y x Q ),(. 同理可证：-?? ??D d y P σ=?L dx y x P ),(. 即有?????? ? ???-??D d y P x Q σ=?+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)， 则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，

曲线积分和路径的无关性

§ 22.2曲线积分和路径的无关性 引言 第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关， 而且也与所沿的积分路径有关。对同一 个起点和同一个重点， 沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。 在什么样的 条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和重点有关呢？下面我们在平面 中情形来讨论这个问题。 定理1：若函数P x,y ，Q x, y 在区域D 上有连续的偏导数， D 是单连通区域，则 F 列命题等价： ⑴对D 内任意一条闭曲线C ，有 P x,y dx Q x, y dy 0。 C ⑵对D 内任意一条闭曲线I ，曲线积分 P x, y dx Q x, y dy I 与路径无关（只依赖曲线的端点）。 ⑶存在可微函数 U x, y ，使得D 内成立dU Pdx Qdy ； P Q ⑷ 在D 内处处成立。 y x 定义1：当曲线积分和路径无关时， 即满足上面的诸条件时， 如令点A x o ,y o 固定而点 B x, y 为区域内任意一点，那么 x,y U x, y Pdx Qdy x o ,y o 在D 内连续并且单值。这个函数 U x,y 称为Pdx Qdy 的原函数。 原函数的求法: （1）U x,y x P x, y dx x y Q x 0, y dy C ； y o 或 x y （2）U x, y P x,y ° dx Q x, y dy C 。 y o 例1 :求原函数u

(1) x2 2xy y2 dx x2 2xy y2 dy； 2 2 (2) 2xcosy y sinx dx 2ycosx x siny dy。 定义2：只绕奇点M —周的闭路上的积分值叫做区域D的循环常数，记为。于是，对D内任一闭路C C Pdx Qdy n , 这里n为沿逆时针方向绕M的圈数。 例2：证明；xd x 今关于奇点的循环常数是0,0，从而积分与路径无关。 x y

空间曲线的切线与法平面

第六节偏导数的几何应用 二、曲面的切平面与法线 一、空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的方程) 1()() ()( t z t y t x o z y x (1)式中的三个函数均可导. 一、空间曲线的切线与法平面 M . ),,(0000t t t z z y y x x M 对应于; ),,,(0000t t z y x M 对应于设 M 第六节偏导数的几何应用

考察割线趋近于极限位置——切线的过程z z z y y y x x x 0 00t t t 上式分母同除以, t o z y x M M 割线的方程为 M M ,0 00z z z y y y x x x

, 0,时即当 t M M 曲线在M 处的切线方程 000 000()()() x -x y -y z -z ==.φt ψt ωt 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 000()()() T =φt ,ψt ,ωt 法平面：过M 点且与切线垂直的平面. ()()()()()() 0000000 φt x -x ψt y -y ωt z -z

例1 求曲线: t u udu e x 0cos ，t y sin 2 t cos ,t e z 31 在0 t 处的切线和法平面方程. 解当0 t 时，, 2,1,0 z y x ,cos t e x t ,sin cos 2t t y , 33t e z , 1)0( x ,2)0( y , 3)0( z 切线方程, 3 2 2110 z y x 法平面方程, 0)2(3)1(2 z y x . 0832 z y x 即

空间曲线的切线与空间曲面的切平面

第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面 一、空间曲线的切线与法平面 设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：?? ? ??===)()()(t z z t y y t x x ，),(βα∈t ． 设),(,10βα∈t t ，)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点，B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线，当A B →时，若AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A 的切线． 如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为 ) ()() ()()()()()()(010010010t z t z t z z t y t y t y y t x t x t x x --=--=-- 也可以写为 010********)()() ()()()()()()(t t t z t z t z z t t t y t y t y y t t t x t x t x x ---=---=--- 当A B →时，0t t →，割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x '''，此即为切线的方向向量，所以切线方程为 ) () ()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-． 过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点 )(),(),((000t z t y t x A 的法平面，法平面方程为 ))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t z y y t y x x t x 如果空间的曲线C 由方程为 )(),(x z z x y y == 且)(),(0' 0'x z x y 存在，则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是 ) () ()()(100000x z x z z x y x y y x x '-= '-=- 法平面方程为

空间曲线的切线与法平面

§14.4 空间曲线的切线与法平面 本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。 参数方程的情形 设空间曲线l 的参数方程为 ()()()x x t y y t z z t =??=??=? ()a t b ≤≤ 其中t 的参数。又设,,x y z '''都在[,]a b 连续，并且对每一[,],(),(),()t a b x t y t z t '''∈不全为0，这样的曲线称为光滑曲线。通过曲线上任一点()0000,,M x y z 的切线定义为割线的极限位置，由此就可写出曲线l 在任一点0000(,,)M x y z 的切线方程为： 000000()()() X x Y y Z z x t y t z t ---=='''。 法平面：过点0M 可以作无穷多条切线与切线垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线l 在点0M 处的法平面，其方程为： 000000()()()()()()0x t X x y t Y y z t Z z '''-+-+-=。 例1：求螺旋线l ：cos ,sin ,x a t y a t z ct ===，（其中,,a b c 为常数）在点（a ，0，0）的切线方程和法平面方程。 如果曲线方程由下式表示： ()y y x =， ()z z x =。 则过点0M 的切线方程为 000001()() X x Y y Z z y x z x ---==''， 过点0M 的法平面方程为 00000()()()()()0X x y x Y y z x Z z ''-+-+-=。

空间曲线l 是用两个曲面的交线表示： ???==0 ),,(0),,(z y x G z y x F 。 又设F ，G 关于,,x y z 有连续的偏导数， (,) (,)()(,) (,) D F G D z x y x D F G D y z '=； (,)(,)()(,)(,)D F G D x y z x D F G D y z '= 例2：求两柱面的交线 ?????=+=+11 222 2z x y x 在点0M 的切线方程和法平面方程。

曲线积分和路径的无关性

§22.2 曲线积分和路径的无关性 一 引言 第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关，而且也与所沿的积分路径有关。对同一个起点和同一个重点，沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。在什么样的条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和重点有关呢？下面我们在平面中情形来讨论这个问题。 定理1：若函数(),P x y ，(),Q x y 在区域D 上有连续的偏导数，D 是单连通区域，则下列命题等价： ⑴ 对D 内任意一条闭曲线C ，有 ()(),,0C P x y dx Q x y dy +=?。 ⑵ 对D 内任意一条闭曲线l ，曲线积分 ()(),,l P x y dx Q x y dy +? 与路径无关（只依赖曲线的端点）。 ⑶存在可微函数(),U x y ，使得D 内成立dU Pdx Qdy =+； ⑷P Q y x ??=??在D 内处处成立。 定义1：当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件时，如令点()00,A x y 固定而点(),B x y 为区域内任意一点，那么 ()()() 00,,,x y x y U x y Pdx Qdy =+? 在D 内连续并且单值。这个函数(),U x y 称为Pdx Qdy +的原函数。 原函数的求法： （1）()()()000,,,x y x y U x y P x y dx Q x y dy C = ++??； 或 （2）()()()000,,,x y x y U x y P x y dx Q x y dy C = ++??。 例1：求原函数u

（1）()()222222x xy y dx x xy y dy +-+--; （2）()()222cos sin 2cos sin x y y x dx y x x y dy -+-。 定义2：只绕奇点M 一周的闭路上的积分值叫做区域D 的循环常数，记为ω。于是，对D 内任一闭路C C Pdx Qdy n ω+=? ， 这里n 为沿逆时针方向绕M 的圈数。 例2：证明 ?++22y x ydy xdx 关于奇点的循环常数是()0,0，从而积分与路径无关。