大学物理教程第三章

习题3
3-1．原长为 的弹簧，上端固定，下端挂一质量为 的物体，当物体静止时，弹簧长为 ．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）
解：振动方程： ，在本题中， ，所以 ；
∴ 。
取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m，
当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。
所以： 即： 。

3-2．有一单摆，摆长 ，小球质量 ， 时，小球正好经过 处，并以角速度 向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g取9.8）
解：振动方程： 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。
（1）角频率： ，
频率： ，
周期： ；
（2）振动方程可表示为： ，∴
根据初始条件， 时： ，
可解得： ，
所以得到振动方程： 。

3-3．一质点沿 轴作简谐振动，振幅为 ，周期为 。当 时，位移为 ，且向 轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2） 时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于 ，且向 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。
解：（1）由题已知 A=0.12m，T=2 s ，∴
又∵t=0时， ， ，由旋转矢量图，可知：
故振动方程为： ；
（2）将t=0.5 s代入得：
，
，
，
方向指向坐标原点，即沿x轴负向；
（3）由题知，某时刻质点位于 ，
且向 轴负方向运动，如图示，质点从 位置回到
平衡位置 处需要走 ，建立比例式： ，
有： 。
3-4．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 处，且向左运动时，另一个质点2在 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。
解：由旋转矢量图可知：
当质点1在 处，且向左运动时，
相位为 ，
而质点2在 处，且向右运动，
相位为 。
所以它们的相位差为 。


3-5．当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？
解：由 ， ，有： ，
，
（1）当 时，由 ，
有： ， ，
∴ ， ；
（2）当 时，有：
∴ ， 。

3-6．两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)
（1）求合振动的振幅。
（2）求合振动的振动表达式。
解：通过旋转矢量图做最为简单。
由图可知，两个振动同频率，且
初相： ， 初相： ，
表明两者处于反相状态，
（反相 ， ）
∵ ，∴合成振动的振幅： ；
合成振动的相位： ；
合成振动的方程： 。

3-7．两个同方向，同频率的简

谐振动，其合振动的振幅为 ，与第一个振动的位相差为 。若第一个振动的振幅为 。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？
解：如图，可利用余弦定理：
由图知 =0.01 m
∴A２=0.1 m ，
再利用正弦定理： ，有：
，∴ 。
说明A１与A２间夹角为π/2，即两振动的位相差为π/2 。


3-8. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：
（1） ；（2） ；
（3） 。试判别质点运动的轨迹。
解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。
对于 ， 的叠加，可推得：

（1）将 ， 代入有： ，
则方程化为： ，轨迹为一般的椭圆；
（2）将 ， 代入有：
则方程化为： ，即 ，轨迹为一直线；
（3）将 ， 代入有：
则方程化为： ，轨迹为圆心在原点，半径为4m的圆。

3-9．沿一平面简谐波的波线上，有相距 的两质点 与 ， 点振动相位比 点落后 ，已知振动周期为 ，求波长和波速。
解：根据题意，对于A、B两点， ，
而相位和波长之间满足关系： ，
代入数据，可得：波长 =24m。又∵T=2s，所以波速 。

3-10．已知一平面波沿 轴正向传播，距坐标原点 为 处 点的振动式为 ，波速为 ，求：
（1）平面波的波动式；
（2）若波沿 轴负向传播，波动式又如何?
解：（1）设平面波的波动式为 ，则 点的振动式为：
，与题设 点的振动式 比较，
有： ，∴平面波的波动式为： ；
（2）若波沿 轴负向传播，同理，设平面波的波动式为： ，则 点的振动式为：
，与题设 点的振动式 比较，
有： ，∴平面波的波动式为： 。

3-11．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知 点的振动规律为 ，试写出：
（1）该平面简谐波的表达式；
（2） 点的振动表达式（ 点位于 点右方 处）。
解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以 点为原点平面简谐波的表达式为：
，则 点的振动式：
题设 点的振动式 比较，有： ，
∴该平面简谐波的表达式为：
（2）B点的振动表达式可直接将坐标 ，代入波动方程：


3-12．已知一沿 正方向传播的平面余弦波， 时的波形如图所示，且周期 为 。
（1）写出 点的振动表达式；
（2）写出该波的波动表达式；
（3）写出 点的振动表达式；
（4）写出 点离 点的距离。
解：由图可知： ， ，而 ，则： ，
， ，∴波动方程为：
点的振动方程可写成：
由图形可知： 时： ，有：
考虑到此时 ，∴ ， （舍去）
那么：（1） 点的振动表达式： ；
（2）波动方程为： ；
（3）设 点的振动表达式为：
由图形可知： 时： ，有：
考虑到此时 ，∴ （或 ）
∴A点的振动表

达式： ，或 ；
（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：
，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有：
，所以： 。

3-13．一平面简谐波以速度 沿 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：
（1）原点的振动表达式；
（2）波动表达式；
（3）同一时刻相距 的两点之间的位相差。
解：这是一个振动 图像！
由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为： 。
（1）当 时， ，考虑到： ，有： ，
当 时， ，考虑到： ，有： ， ，
∴原点的振动表达式： ；
（2）沿 轴负方向传播，设波动表达式：
而 ，∴ ；
（3）位相差： 。

3-14．一正弦形式空气波沿直径为 的圆柱形管行进，波的平均强度为 ，频率为 ，波速为 。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？
解：（1）已知波的平均强度为： ，由 有：

；
（2）由 ，∴
。

3-15．一弹性波在媒质中传播的速度 ，振幅 ，频率 。若该媒质的密度为 ，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积 的总能量。
解：（1）由： ，有：
；
（2）1分钟为60秒，通过面积 的总能量为：
。

3-16．设 与 为两个相干波源，相距 波长， 比 的位相超前 。若两波在在 、 连线方向上的强度相同且不随距离变化，问 、 连线上在 外侧各点的合成波的强度如何？又在 外侧各点的强度如何？
解：（1）如图， 、 连线上在 外侧，
∵ ，
∴两波反相，合成波强度为0；

（2）如图， 、 连线上在 外侧，
∵ ，
∴两波同相，合成波的振幅为 ，
合成波的强度为： 。

3-17．图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。 为声源， 为声音探测器，如耳或话筒。路径 的长度可以变化，但路径 是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度在 的第一位置时为极小值100单位，而渐增至 距第一位置为 的第二位置时，有极大值 单位。求：
（1）声源发出的声波频率；
（2）抵达探测器的两波的振幅之比。
解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距： ，
相邻波节与波腹的间距： ，可得： 。
（1）声音的速度在空气中约为340m/s，所以：
（2）∵ ， ， ，依题意有：

，那么 。

3-18．蝙蝠在洞穴中飞来飞去，是利用超声脉冲来导航的。假定蝙蝠发出的超声频率为39000Hz。当它以空气中声速的 的运动速率朝着墙壁飞扑过程中，试问它自己听到的从墙壁反射回来的脉冲频率是多少？
解：根据多普勒效应，





3-19．一声源的频率为1080Hz，相对于地以30m/s的速度向右运动，在其右方有一反射面相对于地

以65m/s的速率向左运动，设空气中的声速为331m/s，求：
（1）声源在空气中发出声音的波长；
（2）每秒钟到达反射面的波数；
（3）反射波的波速；
（4）反射波的波长。
解：（1）在声源前方静止接收器接收到的频率
声音的波长
（2）每秒钟到达反射面的波数（等于反射波的频率）为
（3）波速只取决于媒质的性质，因此反射波的波速仍为
（4）反射波的波长为
3-20．试计算：一波源振动的频率为 ，以速度 向墙壁接近（如图所示），观察者在 点听得拍音的频率为 ，求波源移动的速度 ，设声速为 。
解：根据观察者不动，波源运动，即： ， ，
观察者认为接受到的波数变了： ，
其中 ， ， ，分别代入，可得： 。


思考题
3-1．试说明下列运动是不是简谐振动：
（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；
（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。
答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：
① 描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；
② 系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；
③ 在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。
或者说，若一个系统的运动微分方程能用 描述时，其所作的运动就是谐振动。
那么，（1）拍皮球时球的运动不是谐振动。第一、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二、球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力。要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一、描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二、系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三、在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方程能用 描述时，其所作的运动就是谐振动。


（2）小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动。显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为 。题中所述， ，故 ，所以回复力为 。（式中负号表示回复力的方向始终与角位移的方向相反）即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的。若以小球为对象，则小球在以O′为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有
mR ，令 ，则有： 。

3-2．简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的

速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小?
答： 简谐振动的速度： ；
加速度： ；
要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。
加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。
只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。

3-3．分析下列表述是否正确，为什么?
（1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动；
（2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。
答：（1）的表述是正确的，原因参考7-1；
（2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。

3-4．用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。
方法1：使其从平衡位置压缩 ，由静止开始释放。
方法2：使其从平衡位置压缩2 ，由静止开始释放。
若两次振动的周期和总能量分别用 和 表示，则它们满足下面那个关系？
（A） （B）
（C） （D）
答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择（B）。

3-5．一质点沿x轴作简谐振动，周期为T，振幅为A，质点从 运动到 处所需要的最短时间为多少？
答：质点从 运动到 处所需要的最短相位变化为 ，所以运动的时间为： 。

3-6．一弹簧振子，沿 轴作振幅为 的简谐振动，在平衡位置 处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为 ，问振子处于 处时；其势能的瞬时值为多少？
答：由题意，在平衡位置 处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为 ，所以该振子的总能量为 ，当振子处于 处时；其势能的瞬时值为：
。

3-7.图（a）表示沿 轴正向传播的平面简谐波在 时刻的波形图，则图（b）表示的是：
（A）质点 的振动曲线； （B）质点 的振动曲线；
（C）质点 的振动曲线； （D）质点 的振动曲线。

答：图（b）在t=0时刻的相位为 ，所以对应的是质点n的振动曲线，选择B。

3-8．从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。.
答：（1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，两者之和为恒量。
（2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的

。

3-9. 当两列波干涉时，是否会有能量损失？
答：否。当两列波干涉时，波的能量只是进行了重新分布，并不会有损失。


3-10. 一卫星发射恒定频率的无线电波。地面上的探测器测到了这些无线电波，并使它们与某一标准频率形成拍，然后将拍频输入扬声器，人们就“听”到了卫星的信号。试描述当卫星趋近地面探测器、通过探测器上空以及离开探测器时声音的变化情况。
答：由于多普勒效应，当卫星趋近地面探测器、通过探测器上空以及离开探测器时，地面上探测器测到的来自卫星的无线电波频率将大于、等于和小于其发射频率（??），它们与标准频率(??)形成拍的拍频将随着增大（若??>??）或减小（若?????），扬声器发出的拍音也随之变短或变长。