最新函数表达式(例题+练习题)
函数表达式
【教学目标】
1. 让学生充分掌握求函数解析式的方法
2. 学生能够独立解题
【重点难点】求函数表达式的方法
【教学内容】求函数解析式的常用方法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且3
4)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则
b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([
∴???=+=342b ab a ∴?
?????=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或
1．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ?=,且212)()1(x
x g x g x ?=-++, 求)(x f 与)(x g .
变式训练．设二次函数)(x f 满足)
2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.
二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
例2 已知22
1)1(x
x x
x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x
x
x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
1
)(2-=∴x x f )1(≥x x
x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x 1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.
变式训练．若x
x x f -=1)1(,求)(x f .
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2
x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点
则?????=+'-=+'32
22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M
'''在)(x g y =上 x
x y '+'='∴2 把???-='--='y
y x x 64代入得：
)
4()4(62--+--=-x x y 整理得6
72---=x x y ∴67)(2---=x x x g
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f
解 x x f x f =-)1(2)( ①
显然,0≠x 将x 换成x
1，得： x
x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：
x x x f 323)(--=
1．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式
x x
f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式.
变式训练．若x x
x f x f +=-+1)1()(,求)(x f .
例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=
+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式
解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，
)
()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴ 又1
1)()(-=+x x g x f ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-
=-+-x x g x f 即1
1)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得
11)(2-=x x f ， x
x x g -=21)( 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)
12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 解对于任意实数x 、y ，等式)
12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立， 不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2
+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过
迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有
a
b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f 解 +
∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，， ∴不妨令1,==
b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，
又1
)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ① 分别令①式中的1,21
x n =- 得： (2)(1)2,
(3)(2)3,
()(1),f f f f f n f n n -=-=--
=
将上述各式相加得：n
f n f ++=-32)1()(， 2
)1(321)(+=+++=∴n n n n f +∈+=∴N x x x x f ,2
121)(2 【过手练习】
1. 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+
，则()f x = 。
2. 已知()f x 是二次函数，且2
(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
【拓展训练】
1. 求下列函数的定义域： ⑴221533x x y x --=+- （2）021(21)4111
y x x x =+-+-+-
2. 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2
的定义域为 ；函数f x ()-2的定义域为 。
3. 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(2
1)f x -的定义域是 ；函数
1(2)f x
+的定义域为 。 4. 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F xf x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
5. 求下列函数的值域：
⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311
x y x -=
+
⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ 262
x y x -=+ ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ 245y x x =-++
⑽ 2
445y x x =--++ ⑾12y x x =--
6. 已知函数222()1
x a x b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
7. 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
8. 设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， 3()(1)
f x x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x = ；()f x 在R 上的解析式为 。