一对三极值点偏移

一对三授课教案

校区： 西门口 学员姓名： 年级： 所授科目：

上课时间： 2018 年 1 月 17 日 时 分至 时 分 共 分钟 【教学目标】极值点偏移

【教学重难点】

授课内容：

第一：极值点偏移初探

一、极值点偏移的含义

众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有02

12

x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则

2

2

1x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<

，则称为极值点左偏；若22

1x x m +>，则称为极值点右偏 如函数x e x x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点2

2

1x x +的左边，我们称之为极值点左偏.

二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；

2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；

3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2

2

10x x x +=，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2

2

10x x x +=，求证：0)('0>x f .

三、问题初现，形神合聚

★函数x

ae x x x f ++-=12)(2

有两极值点21,x x ，且21x x <. 证明：421>+x x .

所以)2()2(x h x h -<+，

所以)4()]2(2[)]2(2[)()(22221x h x h x h x h x h -=--<-+==， 因为21，即421>+x x 。

★已知函数x x f ln )(=的图象1C 与函数)0(2

1)(2

≠+=

a bx ax x g 的图象2C 交于Q P ,，

过PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点N M ,，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.

极值点偏移问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的. 其实，此类问题处理的手段有很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！

第二：极值点处理方法

一、极值点偏移的判定定理

对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且

b x x a <<<21，

（1）若)2()(201x x f x f -<，则02

1)(2

x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；

（2）若)2()(201x x f x f ->，则02

1)(2

x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.

证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以

02

1)(2

x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）证明略.

左快右慢（极值点左偏22

1x x m +<

?） 左慢右快（极值点右偏2

21x x m +>?）

左快右慢（极值点左偏221x x m +<

?） 左慢右快（极值点右偏2

2

1x x m +>?） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述：

（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；

（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=； （3）确定函数)(x F 的单调性；

（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型

答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+. （1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；

假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增 （2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；

注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.

（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；

假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：

0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.

（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；

接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故

)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在

),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.

（5）若要证明0)2(

'21<+x x f ，还需进一步讨论221

x x +与0x 的大小，得出2

2

1x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.

此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故

02

12

x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2

(

'2

1<+x x f . 【说明】

（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；

（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或0)2

('2

1<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题 三、对点详析，利器显锋芒 ★已知函数)()(R x xe x f x

∈=-.

(1)求函数)(x f 的单调区间和极值；

(2)若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：221>+x x .

∵

12>x ，∴122<-x ，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，∴212x x ->，∴221>+x x .

★函数34

34)(x x x f -=与直线)3

1

(->=a a y 交于),(1a x A 、),(2a x B 两点. 证明：221<+x x .

★

已知函数2

()ln f x x x

=

+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x . 【解析】由函数2

()ln f x x x

=+单调性可知：若)()(21x f x f =，则必有212x x <<。

所以241>-x ，而)4ln(42ln 2)4()(11

1111x x x x x f x f -+--+=--， 令)4ln(ln 42

2)(x x x

x x h -++--=

，则 0)

4()

2(8)4()

4()4(2)4(2411)4(22)('2

22

22222222<---

=--+-+---=

-++---=x x x x x x x x x x x x x x x x h

所以函数)(x h 在)2,0(为减函数，所以0)2()(=>h x h ，

所以0)4()(11>--x f x f 即)4()(11x f x f ->，所以)4()(22x f x f ->，所以421>+x x . ★已知函数()()()2

21x f x x e a x =-+-有两个零点.设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.

四、

招式演练

★已知函数()2

2

x a g x e x =+

，其中, 2.71828a R e ∈=为自然对数的底数，()f x 是()g x 的导函数.

（Ⅰ）求()f x 的极值；

（Ⅱ）若1a =-，证明：当12x x ≠，且()()12f x f x =时， 120x x +<.

【答案】(1) 当0a ≥时， ()f x 无极值; 当0a <时, ()f x 有极小值()()

()ln ln f a a a a -=-+-;(2)详见解析. 【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （Ⅱ）求出函数f （x ）的导数，设函数F （x ）=f （x ）﹣f （﹣x ），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可． 试题解析：

（Ⅰ）()()x

f x

g x e ax ==+'的定义域为(),-∞+∞， ()x

f x e a '=+

当0a ≥时， ()0f x '>在(),x ∈-∞+∞时成立，()f x ∴ 在(),-∞+∞上单调递增， ()f x 无极值.

当0a <时， ()0x

f x e a ='+=解得()ln x a =-，由()0f x '< 得()ln x a <-；由()0f x '> 得()ln x a >-，

所以()f x 在()(),ln a -∞-上单调递减，在()()

ln ,a -+∞上单调递增，故()f x 有极小值

()()()ln ln f a a a a -=-+-.

（Ⅱ）当1a =-时， ()x

f x e x =-的定义域为(),-∞+∞， ()1x

f x e '=-，

由()10x

f x e ='-=，解得0x =.当x 变化时， ()f x '， ()f x 变化情况如下表：

x

(),0-∞

()0,+∞

()f x ' -

+

()f x

单调递减

极小值 单调递增

∵12x x ≠，且()()12f x f x =，则120x x <<（不妨设12x x <）

★已知函数()2

ln f x x ax =-，其中a R ∈

（1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 有极大值为1

2

-，且方程()f x m =的两根为12,x x ，且12x x <，证明： 124x x a +>. 【答案】（1）1

02a e

<<

;（2）见解析.

（1）

当0a ≤时， ()0f x '>函数()f x 在()0,+∞上单调递增，不可能有两个零点 （2）当0a >时， ()10,2f x x a

='=

x

10,2a ??

? ??? 12a

1,2a ??

+∞ ? ?

??

()f x ' +

-

()f x

极大值

()f x 的极大值为111ln 222f a a ????=- ? ? ? ?????，由11ln 022a ??-> ? ???

得102a e <<； 因为()()

22ln 0a a a a f e e ae a ae ----=-=--<，所以()f x 在1,

2a e a

-?

? ? ??

?

必存在一个零点； 显然当x →+∞时，

()0f x <，所以()f x 在1,2a ??

+∞ ? ???

上必存在一个零点；

本节作业内容学生签名

学生本节课具体情况：表现：

1、上次课后作业情况：

2、学生课堂表现：

3、学生课堂掌握情况：

4、学生课后需要巩固的知识点：

5、下次课内容：

老师签名：

极值点偏移问题的两种常见解法之比较

极值点偏移问题的两种常见解法之比较 浅谈部分导数压轴题的解法 在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且 12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点12 02 x x x += ，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点12 02 x x x +≠的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、， 1212()()f x f x x x . 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？ 两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,(,)ln ln ,, a b a b L a b a b a a b -?≠? =-??=? 对数平均数与算术平均数、 (,)2 a b L a b +≤≤，（此式记为对数平均不等式） 下面给出对数平均不等式的证明： i ）当0a b =>时，显然等号成立 ii ）当0a b ≠>时，不妨设0a b >>， ln ln a b a b --， ln ln a b a b -<-， 只须证：ln a b < 1x =>，只须证：1 2ln ,1x x x x ≤-> 设1 ()2ln ,1f x x x x x =-+>，则222 21(1)()10x f x x x x -'=--=- <，所以()f x

极值点偏移问题

极值点偏移问题总结 一、 判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为 21x x 、，且b x x a <<<21， （1）若 02 12x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移； （2） 若0212 x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0 x 左偏； （3）若02 12 x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0 x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有 ),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2 02 1x a x x ∈+，所以02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。

证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以 02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏. 结论（2）证明略。 二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法 1.方法概述： （1）求出函数()f x 的极值点； （2）构造一元差函数00()()()F x f x x f x x =+-- （3）确定函数()F x 的单调性； （4）结合(0)0F =，判断()F x 的符号，从而确定00(),()f x x f x x -+的大小关系。 2.抽化模型 答题模板：若已知函数()f x 满足12()()f x f x =，0x 为()f x 的极值点，求证：1202x x x +< （1）讨论函数()f x 的单调性并求出()f x 的极值点0x ； 假设此处()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞ 上单调递增。 （2）构造00()()()F x f x x f x x =+--；

极值点偏移 专题

一、极值点偏移的含义 众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为 221x x +，则刚好有02 12 x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或 )2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数) (x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则2 2 1x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +< ，则称为极值点左偏；若22 1x x m +>，则称为极值点右偏. 如函数x e x x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点2 21x x +的左边， 我们称之为极值点左偏.

二、极值点偏移问题的一般题设形式： 1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数) (x f 的极值点）； 2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2 2 10x x x += ，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令22 10x x x +=，求证： 0)('0>x f . 三、问题初现，形神合聚 ★函数x ae x x x f ++-=12)(2有两极值点21,x x ，且21x x <. 证明：421>+x x .

极值点偏移第2招--含参数的极值点偏移问题

含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元12,x x 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数. ★例1. 已知函数x ae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x . 不妨设12x x >，记12t x x =-，则0,1t t e >>， 因此只要证明：1 21 t t e t e +?>-01)1(2>+--?t t e e t ， 再次换元令x t x e t ln , 1=>=，即证),1(,01 ) 1(2ln +∞∈>+-- x x x x 构造新函数2(1) ()ln 1 x F x x x -=- +，0)1(=F 求导2 ' 22 14(1)()0(1)(1)x F x x x x x -=- =>++，得)(x F 在),1(+∞上递增， 所以0)(>x F ，因此原不等式122x x +>获证.

★例 2. 已知函数()ln f x x ax =-，a为常数，若函数() f x有两个零点 12 ,x x，证明： 2 12 . x x e ?> 法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设 12 x x >， ∵ 1122 ln0,ln0 x ax x ax -=-=，∴ 12121212 ln ln(),ln ln() x x a x x x x a x x +=+-=-， ∴12 12 ln ln x x a x x - = - ，欲证明2 12 x x e >，即证 12 ln ln2 x x +>. ∵ 1212 ln ln() x x a x x +=+，∴即证 12 2 a x x > + ， ∴原命题等价于证明12 1212 ln ln2 x x x x x x - > -+ ，即证：112 212 2() ln x x x x x x - > + ，令1 2 ,(1) x t t x =>，构造 2(1) ln, 1 )1 ( t t g t t t - =-> + ，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数： 1222 1211 ln ln ln , ln x x x x a x x x x ==?=设2 12 1 ,,(1) x x x t t x <=>， 则11 21 11 ln ln ln , ln ln tx t x x tx t t x x + ==?=， 反解出： 1211 ln ln ln ln,ln ln ln ln ln 111 t t t t x x tx t x t t t t ===+=+= --- ， 故2 1212 1 ln ln2ln2 1 t x x e x x t t + >?+>?> - ，转化成法二，下同，略.

高中数学极值点偏移问题

极值点偏移问题沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解分别为且<

拓展： 1） 若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+（或f(x)=f(2a-x)），则)(x f 的图象关于直线a x =对称 2） 若函数f(x)满足 有下列之一成立： ①f(x)在 递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大 值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(x f 的图象关于直线a x =对称若 则 <=>,(=0,); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若则则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+ )-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性

专题1.3 极值点偏移第一招——不含参数的极值点偏移问题-2121届高考数学压轴题讲义(解答题)

函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例.（2010天津理）已知函数()()x f x xe x R -=∈，如果12x x ≠，且12()()f x f x =.证明：12 2. x x +> 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈，则0)1()1(')1(')('21>-=--+=+x x e e x x f x f x F ，所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=， 也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==， 即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以122x x -<，即证12 2.x x +>学&科网

法三：由12()()f x f x =，得1212x x x e x e --=，化简得2121 x x x e x -=…①，不妨设21x x >，由法一知，1201x x <<<.令21t x x =-，则210,t x t x >=+，代入①式，得11t t x e x +=，反解出11t t x e = -，学科#网则121221t t x x x t t e +=+=+-，故要证122x x +>，即证221t t t e +>-，又因为10t e ->，等价于证明：2(2)(1)0t t t e +-->…②， 构造函数()2(2)(1),(0)t G t t t e t =+-->，则()(1)1,()0t t G t t e G t te '''=-+=>，故()G t '在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G ''>=， 从而()G t 也在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G >=，学&科网

【精选】高考数学玩转压轴题专题1.3极值点偏移第一招__不含参数的极值点偏移问题

专题1.3 极值点偏移第一招--不含参数的极值点偏移问题 函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例.（2010天津理）已知函数，如果，且. 证明： 构造函数， 则， 所以在上单调递增，， 也即对恒成立. 由，则， 所以， 即，又因为，且在上单调递减， 所以，即证

法三：由 ，得 ，化简得 … ， 不妨设，由法一知，. 令，则，代入式，得， 反解出， 则，故要证 ， 即证， 又因为，等价于证明： … ， 构造函数，则 ， 故在上单调递增， ， 从而 也在 上单调递增， ，

构造， 则， 又令，则， 由于对恒成立，故， 在上单调递增， 所以，从而， 故在上单调递增， 由洛比塔法则知：， 即证，即证式成立，也即原不等式成立. 【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的. 例.（2013湖南文）已知函数，证明：当时， 【解析】易知，在上单调递增，在上单调递减.

招式演练： ★已知函数，正实数满足. 证明：. 【解析】由，得 从而， 令，构造函数， 得，可知在上单调递减，在上单调递增，

所以，也即， 解得：. ★已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若方程有两个相异实根，，且，证明：. 【答案】（Ⅰ）在 (0,1)递增，在(1,+ 递减；（Ⅱ）见解析 （2）由(1)可设的两个相异实根分别为，满足 且， 由题意可知 又有(1)可知在递减 故 所以，令

极值点偏移1-4-第2招--含参数的极值点偏移问题

极值点偏移1-4-第2招--含参数的极值点偏移问题 含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元12,x x 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数. ★例1. 已知函数x ae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x . 不妨设12x x >，记12t x x =-，则0,1t t e >>， 因此只要证明：1 21 t t e t e +?>-01)1(2>+--?t t e e t ， 再次换元令x t x e t ln , 1=>=，即证),1(,01 ) 1(2ln +∞∈>+-- x x x x 构造新函数2(1) ()ln 1 x F x x x -=- +，0)1(=F 求导2 ' 22 14(1)()0(1)(1)x F x x x x x -=- =>++，得)(x F 在),1(+∞上递增， 所以0)(>x F ，因此原不等式122x x +>获证.

★例2. 已知函数()ln f x x ax =-，a 为常数，若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：2 12. x x e ?> 法二：利用参数a 作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设12x x >， ∵1122ln 0,ln 0x ax x ax -=-=，∴12121212ln ln (),ln ln ()x x a x x x x a x x +=+-=-， ∴ 12 12 ln ln x x a x x -=-，欲证明212x x e >，即证12ln ln 2x x +>. ∵1212ln ln ()x x a x x +=+，∴即证12 2 a x x > +， ∴原命题等价于证明 121212ln ln 2 x x x x x x ->-+，即证：1122122()ln x x x x x x ->+，令12 ,(1)x t t x =>，构造 2(1) ln ,1 )1(t t g t t t -=- >+，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数： 12221211ln ln ln ,ln x x x x a x x x x = =?=设2121 ,,(1)x x x t t x <=>， 则11 2111 ln ln ln , ln ln tx t x x tx t t x x +==?=， 反解出：1211ln ln ln ln ,ln ln ln ln ln 111 t t t t x x tx t x t t t t ===+=+=---， 故2 12121ln ln 2ln 21 t x x e x x t t +>?+>?>-，转化成法二，下同，略.

高中数学极值点偏移问题

一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解分别为且<

1） 若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+（或f(x)=f(2a-x)），则)(x f 的图象关于直线a x =对称 2） 若函数f(x)满足 有下列之一成立： ①f(x)在 递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大 值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(x f 的图象关于直线a x =对称若 则 <=> ,( =0, ); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若则 则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f( )-f( , F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性 ③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f( ( f(x+) 与f( f(x)与f(的大小关系; 答题模式： 已知函数y=f(x)满足,为函数y=f(x)的极值点,求证： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性 ③判断F(x)符号从而确定f(x+),f( 的大小关系; 假设F(x)在(0,+单调递增则F(x)>F(0)=0，从而得到x>0时f(x+)>f( ④

专题1.6 极值点偏移第四招——含指数式的极值点偏移问题-2121届高考数学压轴题讲义(解答题)

近几年全国各地的模拟试题、高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型：在给定区间内研究两函数之间的不等关系.要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离变量之后构造新的函数，通过研究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系.这一类问题多数与指数函数有关，解题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转化为对数问题，再用对数平均不等式求解，本文对此类问题做一探究. ★（2016年新课标I 卷理数压轴21题）已知函数2 )1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点21,x x .证明： 122x x +< . 法二：参变分离再构造差量函数 由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠， 故可整理得：()() ()() 1 2 122 2 122211x x x e x e a x x ---==--设()()() 221x x e g x x -=-，则()() 12g x g x =那么()()() 2 3 21'1x x g x e x -+=-， 当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增．学科*网 设0m >，构造代数式：

()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-?? +--= -=+ ?+?? 设()2111 m m h m e m -=++，0m >则()() 2 22 2'01m m h m e m = >+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=． 因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-． 由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有12 1x x <<令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--?->=????????而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->?->整理得：122x x +<． 法三：参变分离再构造对称函数 由法二，得()()() 2 21x x e g x x -=-，构造()()(2),((,1))G x g x g x x =--∈-∞，利用单调性可证，此处略.学科*网

极值点偏移1-2---极值点偏移定理

极值点偏移1-2---极值点偏移判定定理 一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21， （1）若)2()(201x x f x f -<，则02 1)(2 x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）若)2()(201x x f x f ->，则02 1)(2 x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏. 证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且 0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以 02 1)(2 x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）证明略. 左快右慢（极值点左偏22 1x x m +< ?） 左慢右快（极值点右偏2 21x x m +>?）

左快右慢（极值点左偏221x x m +< ?） 左慢右快（极值点右偏2 2 1x x m +>?） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数)(x f 的极值点0x ； （2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=； （3）确定函数)(x F 的单调性； （4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型 答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+. （1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ； 假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增. （2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=； 注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式. （3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与 )(0x x f -的大小关系； 假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+. （4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出

两招解决极值点偏移问题

两招解决极值点偏移问题 一、极值点偏移的含义 众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点.如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为 221x x +，则刚好有0212 x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同.故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则 221x x +与极值点m 必有确定的大小关系：若221x x m +<，则称为极值点左偏；若2 21x x m +>，则称为极值点右偏.如函数x e x x g = )(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏.

二、极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 2.若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 3.若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2 210x x x +=，求证：0)('0>x f ；4.若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x += ，求证：0)('0>x f . 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数)(x f 的极值点0x ； （2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=； （3）确定函数)(x F 的单调性； （4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.

(完整版)极值点偏移问题专题

极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移） 例1已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ，2x 满足()()12+=4f x f x ， 求证:122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 =+210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+，()1=0f ''，则（1,2）是()f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是()f x 的 对称中心，则有12=2x x +，证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-，(]0,1x ∈，则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-????

() ( ) 1 4110 2 x x x ?? =--≥ ? ? - ?? ， 得() F x在(]0,1上单增，有()()() 1214 F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移（()00 f x '=） 二次函数()() 12120 2 f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移() () f x ''= ()()() 1 20120 22 f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路） 例1（2010 天津）已知函数()e x f x x- =． （1）求函数() f x的单调区间和极值； （2）已知函数() g x的图像与() f x的图像关于直线1 x=对称，证明：当1 x>时， ()() 12201 120 2 2 f x f x x x x x x x =?>- ?+> ()()() 120201 120 22 2 f x f x f x x x x x x x +=?>- ?+>

极值点偏移问题的两种常见解法之比较

极值点偏移问题的两种常见解法之比较 浅谈部分导数压轴题的解法 在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移 问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是： 已知函数y = f(x)是连续函数，在区间(捲卞2)内有且只有一个极值点 x 0，且 f(xj = f (X 2)，若极值 点左右的 增减速度”相同，常常有极值点x o 二为」，我 2 们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的增减速度”不同，函数的图象不 具有对称性，常常有极值点的情况，我们称这种状态为 极值点偏移” 2 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是 函数的单调性，若函数f(x)在区 间(a,b)内单调递增，则对区间(a,b)内的任意两个变量x i 、X 2 , f(xj ::： f(X 2)= X i ::： X 2;若函数f (x)在区间(a,b)内单调递减，则对区间(a,b) 内 的任意两个变量x 1> x 2， f (x 1p: f (x 2^ > x 2.二是利用 对数平均不等式”证 明，什么是对数平均”什么又是对数平均不等式” a -b L(a, b) = In a -1 n b a,a =b, 对数平均数与算术平均数、几何平均数的大小关系是： 85^2， (此式记为对数平均不等式) 下面给出对数平均不等式的 证明: i) 当a 二b 0时，显然等号成立 ii) 当a = b 0时，不妨设a b 0， ①先证..ab ，要证Jab ，只须证：In 空「 a 一” b In aTnb In aTnb b Yb V a / 1 2ln x 二 x ,x 1 x 1 ”21 设 f(x) =2ln x -x ,x 1，贝U f (x) 1 2 两个正数a 和b 的对数平均数定义: (x-1)1 2 X 2 0，所以 f (x)

极值点偏移问题专题(一)拐点偏移PK极值点偏移常规套路

极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移） 例1已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ，2x 满足()()12+=4f x f x ， 求证:122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2= +210f x x x '+> ()2 2=2f x x ''-+，()1=0f ''，则（1,2）是()f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是()f x 的 对称中心，则有12=2x x +，证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥ - ()()()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥ + - ()()()2F x f x f x =+ -，(]0,1x ∈，则 ()()() ()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-????

()()1 41102x x x ??=--≥ ? ?-?? ， 得()F x 在(]0,1上单增，有()()()1214F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK 拐点偏移常规套路 1、 极值点偏移（()00f x '=） 二次函数()()121202f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移()()00f x ''= ()()()12012022f x f x f x x x x + = ?+= 今天带来极值点偏移系列 第3篇文章，供大家参考 () ()12201 120 22f x f x x x x x x x =? >-?+ >()()()120201 120 222f x f x f x x x x x x x + = ? >-?+>

专题1.5 极值点偏移第三招--含对数式的极值点偏移问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高

专题05：极值点偏移第三招——含对数式的极值点偏移问题 前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略：若()f x 的极值点为0x ，则根据对称性构造一元差函数()()()00F x f x x f x x =+--，巧借()F x 的单调性以及()00F =，借助于 ()()()12002f x f x f x x x ==--????与()002f x x x +-???? ()022f x x =-，比较2x 与012x x -的大小，即 比较0x 与 21 2 x x +的大小．有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩。 本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据()()12f x f x =建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解． ★例. 已知函数2 ()ln (2).f x x ax a x =-+- （1）讨论()f x 的单调性； （2）设0a >，证明：当10x a << 时，11 ()()f x f x a a +>-； （3）若函数()y f x =的图象与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x '<. 【问题的进一步探究】 对数平均不等式的介绍与证明 两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln (). a b a b L a b a b a a b -?≠? =-??=? 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： (,)2 a b ab L a b +≤≤ （此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当a b =时，等号成立. 只证：当a b ≠时，(,)2 a b ab L a b +<<.不失一般性，可设a b >. 证明如下： [来源学_科_网] （I (,)ab L a b <……

2020届人教B版(文科数学) 极值点偏移第六招--极值点偏移终极套路 单元测试

★已知函数()()ln ,f x x ax b a b R =-+∈有两个不同的零点12,x x ． ()I 求()f x 的最值； ()II 证明： 1221x x a ?< ． 【答案】（1）()max ln 1f x a b =--+，无最小值 （2）见解析

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明. ★已知函数()()()2a x g x xe a R -=∈， e 为自然对数的底数. （1）讨论()g x 的单调性； （2）若函数()()2 ln f x g x ax =-的图象与直线()y m m R =∈交于A B 、两点，线段AB 中点的横坐标为 0x ，证明： ()00f x '<（()f x '为函数()f x 的导函数） 【答案】（1）见解析（2）见解析

（2）∵()()( )()22 2ln ln 2(0)a x f x xe ax x a x ax x -=-=+-->， ∴()()()()2111 22x ax f x a ax x x +-= +--'=-， 当0a ≤时， ()()0,f x y g x >'=在()0,+∞上单调递增，与直线y m =不可能有两个交点，故0a >． 令()0f x '≥，则10x a <≤ ；令()0f x '<，则1x a >，故()y g x =在10,a ?? ???上单调递增，在1,a ?? +∞ ??? 上单调递减．不妨设()()12,,,A x m B x m ，且121 0x x a <<<， 要证()00f x '<，需证010ax ->， 即证()01221211222x x x x x f x f x a a a a ??> ?+>?>-?<- ??? ， 又()()12f x f x =，所以只需证()112f x f x a ?? <- ??? ，即证：当10x a <<时， ()20f x f x a ?? --> ??? ．&