圆锥曲线轨迹问题

建设现代化（检验）

——有关圆锥曲线轨迹问题

根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。

轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。

求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）

建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）

求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。

1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；

例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为

12

2=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与

MQ

的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。

【解析】设MN 切圆C 于N ，则

MN ),y x ,则

2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x

（1） 当1=λ时，方程为4

5

=

x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2222

222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。

◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得PM =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.

【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则

1(20)O -，，2(20)O ，.

由已知PM ，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以

22

1212(1)PO PO -=-.

设()P x y ，，则

2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-，

即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析：

1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发

直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

例2、已知动圆过定点,02p ??

???

，且与直线2p x =-相切，其中0p >.

求动圆圆心C 的轨迹的方程；

【解析】如图，设M 为动圆圆心，,02p ??

???

为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂

足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2

p

x =-

的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ??

???为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为

22(0)y px P =>；

◎◎ 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。

【解析】由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），

故P 点的方程为

12516

25)3(2

2=++y x

◎◎已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.

【解析】设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点， 两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|

=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知， 点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，

以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，

,02p ?? ???

2

p x =-

可求得动点P 的轨迹方程为：22

18172

x y +

=

评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。

三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x ’，y ’)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y ’表示为x,y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。

几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

例3、如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

【解析】设动点P 的坐标为（x,y ）,点Q 的坐标为（x 1,y 1） 则N （ 2x-x 1,2y-y 1）代入x+y=2,得2x-x 1+2y-y 1=2①

又PQ 垂直于直线x+y=2，故11

1

=--x x y y ，即x-y+y 1-x 1=0② 由①②解方程组得12

3

21,1212311-+=-+=

y x y y x x , 代入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是2x 2-2y 2-2x+2y-1=0

◎◎已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是

椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=?TF TF PT

求点T 的轨迹C 的方程；

【解析】 解法一：（相关点法）

设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上

.

l

O '

P E D

C B

A

当|0||0|2≠≠TF 且时，由02=?TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.

设点Q 的坐标为（y x '',），则???

???

?'=+'=.2,2y y c x x 因此??

?='-='.

2,

2y y c x x ①

由a F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+

综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ 解法二：（几何法） 设点T 的坐标为).,(y x

当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=?TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F ==

||2

1

||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+

评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。

四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

例4、在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO （如图4所示）.求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

【解析】

解法一：以OA 的斜率k 为参数由

{

2y kx y x

==解得A （k ，k 2

） ∵OA ⊥OB ，∴OB ：1y x k =-由21y x k y x

??=-??=?解得B 211,k k ??

- ??? 设△AOB 的重心G （x ，y ），则22113113x k k y k k ???

=- ??????

???=+ ?

????

消去参数k 得重心G 的轨迹方程为22

33

y x =+

解法二：设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则???

????+=+=33

21

21y y y x x x (1)

∵OA ⊥OB ∴1-=?OB OA k k ,即12121-=+y y x x ， (2)

又点A ，B 在抛物线上，有2

22211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x

∴3

2332)3(31]2)[(31)(31322212212

22121+=+?=-+=+=+=

x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3

2

32+

=x y 。 ◎◎如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求△APB 的重心G 的轨迹方程.

【解析】设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(012112

0x x x x x x ≠和， ∴切线AP 的方程为：;022

0=--x y x x 切线BP 的方程为：;02211=--x y x x 解得P 点的坐标为：101

0,2

x x y x x x P P =+=

所以△APB 的重心G 的坐标为 P P

G x x x x x =++=

3

10， ,3

43)(332

1021010212

010p

P P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=

所以2

43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：

).24(3

1

,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即

评析：

1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。

2.选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。

3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。

4.多参问题中，根据方程的观点，引入 n 个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。

五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。

例5 、抛物线)0(42>=p px y 的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在

直线AB 上的射影M 的轨迹。

解1（交轨法）：点A 、B 在抛物线)0(42

>=p px y 上，设A （),42A A

y p

y ，B （),42

B B y p y 所以k OA =

A y p 4 k O

B =B

y p

4,由OA 垂直OB 得k OA k OB = -1，得y A y B = -16p 2 ,又AB 方程可求得

)4(442

2

2p y x p

y p y y y y y A B

A B A A ---=-，即（y A +y B ）y--4px--y A y B =0,把 y A y B = -16p 2

代入得AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 ① 又OM 的方程为 x P

y y y B

A 4-+=

② 由①②消去得y A +y B 即得0422=-+px y x ， 即得2

224)2(p y p x =+-。

所以点M 的轨迹方程为2224)2(p y p x =+-，其轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆,除去点（0，0）。

评析：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

解2（几何法）：由解1中AB 方程（y A +y B ）y--4px+16p 2 =0 可得AB 过定点（4p,0）而OM 垂直AB ，所以由圆的几法性质可知：M 点的轨迹是以)0,2(p 为圆心，半径为p 2的圆。所以方程为2224)2(p y p x =+-，除去点（0，0）。

五、向量法：

例6 、（1995全国理）已知椭圆如图6，162422y x +＝1，直线L ：8

12y

x +＝1，P 是L 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2.

当点P 在L 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线

总结：

以上给出了处理轨迹问题的几种常用方法，对于下面几点，在复习轨迹问题时是值得我们引起高度重视的：

1.高考方向要把握

高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法。

2.“轨迹”、“方程”要区分

求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）。

3.抓住特点选方法

处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累。所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不再重复）。

4.认真细致定范围

确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：

②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；

③推理要严密，方程化简要等价； ④消参时要保持范围的等价性； ⑤数形结合，查“漏”补“缺”。

5. 平几知识“用当先”

在处理轨迹问题时， 要特别注意运用平面几何知识， 其作用主要有： ①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式； ②简化条件式； ③转化化归。

6.向量工具“用自如”

向量是新课改后增加的内容，它是数形转化的纽带，它在初等数学的各个分支中起着十分重要的工具作用，在复习时应加强训练，使学生熟练掌握， 并能运用自如。

巩固练习：

1. 点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离和它到直线x =4的距离的比为2, 则动点M 的轨迹方程为 ( ).

A. 13422=-y x

B. 13

42

2=+y x C. 3x 2-y 2-34x +65=0 D. 3x 2-y 2-30x +63=0

(目的: 掌握直接法求轨迹方程的基本思路及步骤, 同时掌握双曲线第二定义, 避免错误使用)

答案: D

解析:

24

)1(2

2=-+-x y x , 两边平方即得3x 2-y 2-30x +63=0

2 . P 是椭圆19

162

2=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 则PD 中点的轨迹方程为( ).

A.

116922=+y x B. 196422=+y x C. 1492

2=+y x D. 19

42

2=+y x (目的: 掌握代入法求轨迹方程的基本思路及步骤, 理解其适用的题型)

答案: D

解析: 设PD 中点为M (x , y ), 则P 点坐标为(2x , y ), 代入方程19162

2=+y x , 即得19

42

2=+y x . 2

2y x

轴所在直线的弦的两个端点, 则A 1M 与A 2N 交点的轨迹方程是( ).

A. 12222=+b y a x

B. 12222=+b x a y

C. 122

22=-b y a x D.

12

2

22=-b x a y (目的: 熟悉参数法求轨迹方程的基本思路, 理解相交点轨迹方程的解题技巧) 答案: A

解析: 设 M (x 1, y 1), N (x 1, -y 1), A 1M 与A 2N 交点为P (x ,y ), A 1 (-a ,0), A 2(a ,0), 则A 1 M 的方程是

a x a x y y ++=11,A 2M 的方程是a x a

x y y --=-11, 两式相乘, 结合1221221=-b

y a x 即得. 4. 抛物线的准线l 的方程是y =1, 且抛物线恒过点P (1,-1), 则抛物线焦点弦的另一个端

点Q 的轨迹方程是( ). ( B )

A. (x -1)2=-8(y -1)

B. (x -1)2=-8(y -1) (x ≠1)

C. (y -1)2=8(x -1)

D. (y -1)2=8(x -1) (x ≠1) (目的: 认识到用定义法求轨迹方程能减少运算量, 是重要的解题方法)

答案: B

解析: 设焦点为F , Q (x ,y ), 则由抛物线定义得:

22)1()1()1(2++-==-+=+y x PQ y QF AF , 化简即得

5. △ABC 中, A (0,-2), B (0,2), 且CB AB CA ,,成等差数列, 则C 点的轨迹方程是 .

(目的: 求曲线方程应注意根据题意检验方程的完整性)

答案:

)0(112

162

2≠=+x x y 解析: 82==+AB CB CA , 知: C 点轨迹是以A 、B 为焦点, 且2a =8的椭圆

6. 若A 点是圆(x-2)2+(y-2)2=1上的动点, 点B (1,0), M 分AB 的比为2:1, 则M 点的轨迹方程是 .

(目的: 熟悉代入法及定比分点坐标公式)

答案: 9

1

)32()34(22=-+-y x

解析: 设A (x 1, y 1), M (x , y ), 则由定比分点公式得: 3

,3211y

y x x =+=

, y y x x 3,2311=-=∴, 代入(x-2)2+(y-2)2=1即得9

1

)32()34(22=-+-y x

7. 直线12=-+

a

y

a x 与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是 . (目的: 理解参数法及其参数限制对方程的影响, 注意解题的完整性)

答案: x +y =1 , )1,0(≠≠x x

解析: 设直线

12=-+a

y a x 与x 、y 轴交点为)2,0(),0,(a B a A -, A 、B 中点为M (x , y ), 则21,2a

y a x -==

, 消去a , 得: x +y =1, 1,0,2,0≠≠∴≠≠x x a a

圆锥曲线大题十个大招——轨迹问题

招式八：轨迹问题 轨迹法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(2 2 2 2 2 =++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222) 1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ， ，则 2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， y x Q M N O

即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。 例2、已知动圆过定点,02p ?? ??? ，且与直线2p x =-相切，其中0p >.求动圆圆心C 的轨迹的方程； 【解析】如图，设M 为动圆圆心，,02p ?? ??? 为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线， 垂足为N ，由题意知：MF MN = 即动点M 到定点F 与定直线2 p x =- 的距离相等， 由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ?? ??? 为焦点， 2 p x =- 为准线，所以轨迹方程为2 2(0)y px P =>； ◎◎ 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。 【解析】由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、 O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为 12516 25)3(2 2=++y x ,02p ?? ??? 2 p x =-

高中数学圆锥曲线轨迹问题题型分析

有关圆锥曲线轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为 122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数 )0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 2 2 ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 222 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点） ，使得PM =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，.

圆锥曲线中的轨迹问题(含解析)

圆锥曲线中的轨迹问题 一、单选题 1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一个椭圆 D ．曲线的一支 2．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有 1PC BD ⊥，则动点P 的轨迹所围成图形的面积为（ ） A ．3 B ．32 C ． 32 D ．1 3．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且1 3 AM = ，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．直线 二、填空题 4．已知分别过点(1,0)A -和点(1,0)B 的两条直线相交于点P ，若直线PA 与PB 的斜率之积为-1，则动点P 的轨迹方程是________. 5．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是____________. 三、解答题 6．圆C 过点()60A ， ，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上. （1）求圆C 的方程；

（2）P 为圆C 上的任意一点，定点()8,0Q ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 7．若平面内两定点(0,0)O ，(3,0)A ，动点P 满足||1 ||2 PO PA =. （1）求点P 的轨迹方程； 8．点(,)M x y 与定点(3,0)F 的距离和它到直线25:3 l x = 的距离之比是常数3 5，求点 M 的轨迹方程. 9．在圆:C 223x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当P 在 圆上运动时，线段PD 上有一点M ，使得DM =， （1）求M 的轨迹的方程； 10．已知点()1,0F ，点P 到点F 的距离比点P 到y 轴的距离多1，且点P 的横坐标非负，点()1,M m (0m <)； （1）求点P 的轨迹C 的方程；. （2）过点M 作C 的两条切线，切点为A ，B ，设AB 的中点为N ，求直线MN 的斜率.

“圆锥曲线平行弦中点轨迹问题”说题

圆锥曲线平行弦中点轨迹问题”说题 说题”是近年来涌现出的一种新型教学研究模式 简单地讲：说题是执教者或受教育者在精心做题的基础上，阐述对习题解答时所采用的思维方式，解题策略及依据，进而总结出经验性解题规律. “说题”使教研活动更入微了，可以说是教研活动的一次创新 般说来，说题应从以下几个方面进行分析：数学思想 与数学方法，命题变化的自然思维，小结、归纳与应用，题多解、发散思维，常规变式，多种变式、融会贯通，从特殊到一般寻找规律.要求数学教师不但对题目进行深层次的 挖掘，说出题目的本质、新意、特色，还要说出题目的编制、演变过程以及该题目的潜在价值 面是本人的一次说题研究，在此抛砖引玉供各位参考、说问题 背景 问题来源于2005 年上海市普通高等学校春季招生考试 数学试卷第22 题： 1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（-2，-2）的 椭圆的标准方程； (2)已知椭圆C的方程是x2a2+y2b2=1 (a>b>0), 设 斜率为k的直线I，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M.证

明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上； 3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找 出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心. 二、说问题立意 1.考查椭圆的标准方程和性质；中心对称等； 2.考查数 学思想有：从特殊到一般思想；数形结合思想；分类讨论思 想；数学方法：判别式法；函数与方程转化等；引导将双 曲线问题与相应的椭圆问题开展类比研究的思想方法.3.通 过研究椭圆的平行弦的中点轨迹，对直线与曲线位置关系研究方法有更深刻的理解；这是将知识、方法、思想、能力素质融于一体的命题，也看出高校选拔人才对学生的直觉思维能力、逻辑推理能力、运算能力和自主探索能力等提出了较高的要求. 、说问题解法 解法1（1）略（2）设直线I的方程为y=kx+m,与椭圆C的交点A（x1, y1 )、B (x2, y2),则有y=kx+m, x2a2+y2b2=1，解得( b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0. ???△ >0，二m2vb2+a2k2，即-b2+a2k2vmvb2+a2k2.则 x1+x2=-2a2kmb2+a2k2，y1+y2=kx1+m+kx2+m=2b2mb2+a2k2. ??? AB 中点M 的坐标为(-a2kmb2+a2k2 , b2mb2+a2k2 ).

圆锥曲线轨迹方程经典例题

轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆： 1、 长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程： 已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程; 2、 线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。 （2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 3如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 4在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 5（2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明 直线l 过定点。 二、椭圆类型： 3、 定义法：点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线8=x 的距离之比为2 1 ，求点M 的轨迹方程.

最新圆锥曲线轨迹问题(教师版)

第四讲 有关圆锥曲线轨迹问题（教师版） 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）限（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这 种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系，点Q （2，0），圆C 方程为 12 2=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则 2 22ON MO MN -=。),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ化简得 0)41(4))(1(2 2222=++-+-λλλx y x 当1=λ时，方程为54x =，表示一条直线。 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 【练习】如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ， （M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -， ，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) y x Q M N O

圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)

x 专题：圆锥曲线之轨迹问题 一、 临阵磨枪 1?直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些 几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含 x,y 的等式就得到曲线 的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。 2?定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线 的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 3?坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随 着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的， 或是可分析的, 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标， 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方 程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。 4. 参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现 （或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间 等）的制约，即动点坐标（x, y ）中的x, y 分别随另一变量的变化而变化， 我们可以把这个变 量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程， 只要消去参变量即可。 5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可 通过解方程组得出交点含参数的坐标， 再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。 二、 小试牛刀 1. _________________________________________________________________________ 已知M （-3,0），N （ 3,0） PM PN 6,则动点P 的轨迹方程为 ______________________________ 析：Q MN PM PN ???点P 的轨迹一定是线段 MN 的延长线。 故所求轨迹方程是 y 0（x 3） 圆所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程为 __________________________ 析：???圆O 与圆o 外切于点M （2,0） ?两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等, 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为 x 2 2 2 x y 一 3.已知椭圆 — 亍1（a b 0） ,M 是椭圆上一动点，F i 为椭圆的左焦点，贝U 线段MF i a b 的中点P 的轨迹方程为 _____________________________ 析：设P （x, y ） M （x °,y °）又F , （ c,0）由中点坐标公式可得: 2 2.已知圆0的方程为x 2 2 y 2，圆0的方程为x 2 y 8x 10 0 ,由动点P 向两

神奇的圆锥曲线问题探究

神奇的圆锥曲线动态结构 目录 一、神奇曲线，定义统一 01．距离和差，轨迹椭双 02．距离定比，三线统一 二、过焦半径，相关问题 03．切线焦径，准线作法 04．焦点切线，射影是圆 05．焦半径圆，切于大圆 06．焦点弦圆，准线定位 07．焦三角形，内心轨迹 三、焦点之弦，相关问题 08．焦点半径，倒和定值 09．正交焦弦，倒和定值 10．焦弦中垂，焦交定长 11．焦弦投影，连线截中 12．焦弦长轴，三点共线 13．对焦连线，互相垂直 14．相交焦弦，轨迹准线 15．相交焦弦，角分垂直 16．定点交弦，轨迹直线 17．焦弦直线，中轴分比

四、相交之弦，蝴蝶特征19．横点交弦，竖之蝴蝶20．纵点交弦，横之蝴蝶21．蝴蝶定理，一般情形五、切点之弦，相关问题22．主轴分割，等比中项23．定点割线，倒和两倍24．定点割线，内外定积25．主轴交点，切线平行六、定点之弦，张角问题26．焦点之弦，张角相等27．定点之弦，张角仍等28．对称之点，三点共线29．焦点切点，张角相等30．倾角互补，连线定角七、动弦中点，相关问题31．动弦中点，斜积定值32．切线半径，斜积仍定33．动弦中垂，范围特定34．定向中点，轨迹直径35．定点中点，轨迹同型八、向量内积，定值问题

37．存在定点，内积仍定九、其它重要性质38．光线反射，路径过焦39．切线中割，切弦平行40．直周之角，斜过定点41．正交半径，斜切定圆42．直径端点，斜积定值43．垂弦端点，交轨对偶44．准线动点，斜率等差45．焦点切线，距离等比46．共轭点对，距离等积47．正交中点，连线定点48．顶点切圆，切线交准49．平行焦径，交点轨迹50．内接内圆，切线永保51．切线正交，顶点轨迹52．斜率定值，弦过定点53．直线动点，切弦定点54．与圆四交，叉连互补55．交弦积比，平行方等56．补弦外圆，切于同点57、焦点切长，张角相等

2021高考数学圆锥曲线轨迹方程问题解法指导

2021高考数学圆锥曲线轨迹方程问题解法指导 纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目.分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理。圆锥曲线问题是山东卷高考压轴大题，解题的关键往往是第一问能否求出轨迹方程。 圆锥曲线问题轨迹方程，解答题中以待定系数法为多，一旦变换考法，往往会造成学生心理负担，为了更好的解决这一问题，本专题针对轨迹方程的常见考法做出了系统总结。 一、考法解法 命题特点分析 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同时具备一定的推理能力和运算能力。 高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可

以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处理轨迹问题时，一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法，确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”。在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件式；③转化化归。 解题方法荟萃 1.直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧，它是求轨迹方程的基本方法。 直接法一般有下列几种情况： 1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。 3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。

2021届高考数学圆锥曲线中必考知识专题9 圆锥曲线中的轨迹问题(解析版)

专题9：圆锥曲线中的轨迹问题（解析版） 一、单选题 1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一个椭圆 D ．曲线的一支 【答案】A 【分析】 先找出定点A 和直线l 确定的一个平面，结合平面相交的特点可得轨迹类型. 【详解】 如图，设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面β，且α的斜线 AB β⊥，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直 所有直线都在这个平面内，故动点C 都在平面β与平面α的交线上. 【点睛】 本题主要考查轨迹的类型确定，熟悉平面的基本性质及推论是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养. 2．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有 1PC BD ⊥，则动点P 的轨迹所围成图形的面积为（ ） A 3 B ．32 C 3 D ．1 【答案】C 【分析】 本题首先可以根据题意确定当1PC BD ⊥时直线PC 所在平面区域，然后结合图像即可

得出动点P 的轨迹所围成图形为1AB C ，然后求出1AB C 面积即可得出结果. 【详解】 如图，易知直线1BD ⊥平面1ACB ， 故动点P 的轨迹所围成图形为1AB C ， 因为1AB C 为边长为2的正三角形， 所以其面积() 2 3 32S =?= ， 故选：C. 【点睛】 本题考查线面垂直的相关性质，若直线与平面垂直，则直线垂直这个平面内的所有直线，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题. 3．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且1 3 AM = ，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．直线 【答案】B 【分析】 作PQ AD ⊥，11QR A D ⊥，PR 即为点P 到直线11A D 的距离，由勾股定理得

圆锥曲线轨迹方程问题

圆锥曲线轨迹方程问题 纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高， 主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目. 分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没 有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理。圆锥曲线问题是 ft东卷高 考压轴大题，解题的关键往往是第一问能否求出轨迹方程。 圆锥曲线问题轨迹方程，解答题中以待定系数法为多，一旦变换考法，往往会造成学生 心理负担，为了更好的解决这一问题，本专题针对轨迹方程的常见考法做出了系统总结。 一、考法解法 命题特点分析 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其 实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类 问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同 时具备一定的推理能力和运算能力。 高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨 迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型 （定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处 理轨迹问题时，一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法，确定轨迹的范围是处理轨迹问 题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理 解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要 等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”。在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；② 简化条件式； ③转化化归。 解题方法荟萃

圆锥曲线之轨迹问题例题习题(精品)

专题：圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题 一、临阵磨枪 1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。 2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。 4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。 5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。 二、小试牛刀 1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析： MN PM PN =- ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。 故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥ 2.已知圆O 的方程为22 2 =+y x ，圆O '的方程为01082 2 =+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为 析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x = 3.已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1 MF 的中点P 的轨迹方程为 析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：

圆锥曲线的综合问题-分题型整理

圆锥曲线的综合问题 ★知识梳理★ 1.直线与圆锥曲线C 的位置关系 将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程20ax bx c ++= （1）交点个数 ①当 a=0或a ≠0，⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点; ②当 a ≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点; ③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点; (2) 弦长公式： 2.对称问题： 曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上 3.求动点轨迹方程 ①轨迹类型已确定的，一般用待定系数法 ②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法 ③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法 ★重难点突破★ 重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题 重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能 ①求弦长时用韦达定理设而不求 ②弦中点问题用“点差法”设而不求 2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用 问题1：已知点1F 为椭圆22195 x y +=的左焦点，点()1,1A ，动点P 在椭圆上，则1PA PF +的最 小值为 点拨：设2F 为椭圆的右焦点，利用定义将1PF 转化为2PF ，在结合图形，用平面几何的知识解决。 126PA PF PA PF +=+-，当2,,P A F 共线时最小，最小值为62- ★热点考点题型探析★ 考点1 直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题 [例1 ] 设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ?-+?+=-?+=

专题06 圆锥曲线中的轨迹问题-2020高考数学尖子生辅导专题

专题六 圆锥曲线中的轨迹问题 轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了．根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是高考的常考点：一方面，求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想． 模块1 整理方法 提升能力 曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下3种： 1．定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法． 2．直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含未知数x 、y 的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法． 3．参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x 、y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做参数法．一般来说，引进了N 个未知数与参数，要得到未知数x 与y 之间的关系，需要找1N -个方程．常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等．相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况． 例1 已知点()2,2P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． （1）求M 的轨迹方程； （2）当OP OM =时，求l 的方程及△POM 的面积． 【解析】（1）法1（定义法）：圆心()0,4C ，由垂径定理可知CM PM ⊥，于是点M 在以CP 为直径的圆上，所以M 的轨迹方程为()()()2420x x y y -+--=，即 ()() 22 132x y -+-=．

圆锥曲线之轨迹方程的求法

圆锥曲线之轨迹方程的求法（一） （制卷：周芳明） 【复习目标】 □1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤； □2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。 【基础练习】 1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( ) A ．y x = B ．||y x = C ．22y x = D ．220x y += 2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．两条射线 D ．以上都不对 3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a +=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段 4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________. 【例题精选】 一、直接法求曲线方程 根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。 例1．已知ABC ?中，2,AB BC m AC ==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形. 练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。点P 的轨迹是什么曲线？

二定义法 若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。 例1．⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程. 例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12 。记点P 的轨迹为 曲线C 求点P 的轨迹方程； 练习．若动圆与圆1)2(:2 21=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 . 三代入法 有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。 例1、已知定点A ( 3, 0 )，P 是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，∠AOP 的平分线交AP 于M ， 求M 点的轨迹。

圆锥曲线之轨迹问题(有答案)

圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题 一、临阵磨枪 1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。 2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。 4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。 5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。 二、小试牛刀 1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =-Q ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。 故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥

专题9 圆锥曲线中的轨迹问题(含答案)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练

专题9：圆锥曲线中的轨迹问题（原卷版） 一、单选题 1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一个椭圆 D ．曲线的一支 2．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体表面上的一个动点，且总有 1PC BD ⊥，则动点P 的轨迹所围成图形的面积为（ ） A ．3 B ．32 C ． 32 D ．1 3．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且1 3 AM = ，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．直线 二、填空题 4．已知分别过点(1,0)A -和点(1,0)B 的两条直线相交于点P ，若直线PA 与PB 的斜率之积为-1，则动点P 的轨迹方程是________. 5．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，求动圆圆心M 的轨迹方程是____________. 三、解答题 6．圆C 过点()60A ， ，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上. （1）求圆C 的方程；

试卷第2页，总10页 （2）P 为圆C 上的任意一点，定点()8,0Q ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 7．若平面内两定点(0,0)O ，(3,0)A ，动点P 满足||1 ||2 PO PA =. （1）求点P 的轨迹方程； 8．点(,)M x y 与定点(3,0)F 的距离和它到直线25:3 l x = 的距离之比是常数3 5，求点 M 的轨迹方程. 9．在圆:C 223x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当P 在 圆上运动时，线段PD 上有一点M ，使得DM =， （1）求M 的轨迹的方程； 10．已知点()1,0F ，点P 到点F 的距离比点P 到y 轴的距离多1，且点P 的横坐标非负，点()1,M m (0m <)； （1）求点P 的轨迹C 的方程；. （2）过点M 作C 的两条切线，切点为A ，B ，设AB 的中点为N ，求直线MN 的斜率. 专题9：圆锥曲线中的轨迹问题（解析版） 一、单选题 1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一个椭圆 D ．曲线的一支 【答案】A 【分析】 先找出定点A 和直线l 确定的一个平面，结合平面相交的特点可得轨迹类型. 【详解】 如图，设l 与l '是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面β，且α的斜线 AB β⊥，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直 所有直线都在这个平面内，故动点C 都在平面β与平面α的交线上.

湖北黄冈浠水县高考数学二轮专题复习圆锥曲线及轨迹问题

圆锥曲线及轨迹问题 主干知识整合： 求曲线轨迹方程的思想方法体现了解析几何最基本也是重要的解题思想方法,因而求曲 线轨迹方程成为新高考的热点内容.试题多以解答题形式出现,它是考查我们根据曲线的几何特征熟练地运用解析几何知识将其转化为数量关系,再运用代数（如函数与方程）的知识作答的能力. 经典真题感悟： １．（08陕西卷8）双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是 12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴， 则双曲线的离心率为（ B ） Ａ．6 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ． 3 3 ２（08辽宁卷１0）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，２）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） 17 Ｂ．3 5 Ｄ． 92 ３．（08湖南卷１２）已知椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点为F,右准 线为l ,离心率e =5 5过顶点A （0,b ）作AM ⊥l ,垂足为M ，则直线FM 的斜率 等于 . 1 2 热点考点探究： 考点一：定义法求轨迹 例１：已知双曲线的两个焦点分别为F １、F ２，其中F １又是抛物线 y ２ = ４ x 的一个焦点，且点A （—１, ２），B （３, ２）在双曲线上． （１）求点F ２的轨迹; （２）是否存在直线y = x+m 与点F ２的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m 的值，若不存在，说明理由．

解 （１） 由题意知F １（１, 0），设F ２（x , y ），则 | |AF １|—|AF ２| | = | |BF １|—|BF ２| | = ２a > 0．……………………………１ ∵ A （—１, ２），B （３, ２） 在已知双曲线上，且 |AF １| = | BF １| =22．于是 （ⅰ） 当 | AF １|—|AF ２| = |BF １|—|BF ２|时，有 |AF ２| = |BF ２| , 再代入１得： F ２的轨迹为直线 x = １除去两个点F １（１, 0）, D （１, ４）． （ⅱ） ∵ 当 | AF １|—|AF ２| = — （ |BF １|—|BF ２| ） 时，有 | AF ２| + |BF ２| = |AF １| + |BF １| =24> ４ = |AB| , ∴ 点F ２的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆Q ，且除去F １（１, 0），D （１, ４）两点， 故所求的轨迹方程为 l ：x = １与Q ：14 )2(8)1(22=-+-y x （ y ≠0，y ≠ ４ ） ． （２） 设存在直线L ：y = x+ m 满足条件．（ⅰ） 若L 过点F １或点D ， ∵ F １、D 两点既在直线l ：x = １上，又在椭圆Q 上，但不在F ２的轨迹上， ∴ L 与F ２的轨迹只有一个公共点，不合题意． （ⅱ） ）若L 不过点F １和D 两点，（m ≠—１, m ≠３），则L 与l 必有一个公共点E ，且E 点不在椭圆Q 上， ∴ 要使L 与F ２的轨迹有且只有两个公共点，则L 必与Q 有且只有一个公共点． 由 ? ????=-+-+=,14)2(8 )1(, 2 2y x m x y 得 ３x ２ — （１0 — ４m ） x +２m ２— 8m +１= 0, 从而，有 △= （１0 — ４m ） ２— １２（２m ２— 8m+１） = — 8 （ m ２—２m —１１） , 当△= 0时，有321±=m ．即存在符合条件的直线 y = x+321±． 点评 这是“定义法”求轨迹的问题．对于轨迹问题的求解，务必要注意轨迹的纯粹性与完备性，这是我们最易忽略的． 考点二：交轨法求轨迹 例２．已知常数a > 0，c = （0, a ），i = （１, 0），经过原点O ，以c +λ