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定义与证明讲义

学前回顾

真命题与假命题

要点诠释：如果题设成立，那么结论一定成立，像这样的命题叫做真命题。相反，如果题设成立时，不能保证结论总是正确的，就认为结论不成立，像这样的命题叫做假命题，凡是假命题都是错误的命题。

假命题的判定

要点诠释：只需举出反例，它符合命题的题设，但不满足结论，即可判定该命题是假命题。

I ：反证法

要点诠释：从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法

注意：

1.数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即

可．

2.证明的意义：在几何中，除了公理以外，不管所论及的命题的结论是多么明显，都必须通

过推理来证明

反证法的适用范围

（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；

（2）命题的结论以否定形式出现时；

（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时

（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；

（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；

（6）关于存在性命题；

（7）某些定理的逆定理。

夯实基础

1.下列语句中，属于定义的是（）．

（A）直线AB和CD垂直吗？

（B）过线段AB的中点C画AB的垂线。

（C）数据分组后落在各小组内的数据个数叫做频数。

（D）同旁内角互补，两直线平行。

2.下列命题中，属于真命题的是（）

（A）一个角的补角大于这个角（B）若a∥b，b∥c，则a∥c

（C）若a⊥c，b⊥c，则a∥b （D）互补的两角必有一条公共边

3.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）．

（A）垂直（B）两条直线

（C）同一条直线（D）两条直线垂直于同一条直线

4.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的例子是（）（A）∠1=50°，∠2=40°（B）∠1=50°，∠2=50°

（C）∠1=∠2=45°（D）∠1=40°，∠2=40°

二、填空题

1．命题“同旁内角互补”中，题设是，结论是 .

2．填空使之成为一个完整的命题。

（1）若a⊥b，b∥c，则；（2）若，则这两个角互补。

（3）若a∥b，b∥c，则。

3．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式。

（1）锐角小于90o。答：。

（2）两点确定一条直线。答：。

（3）相等的角是对顶角。答：。

（4）全等三角形的对应角相等，对应边相等。答：。

（5）垂直于同一条直线的两条直线平行。答：。

（6）直角都相等。答：。

基本事实与定理

基本事实：公理

1、同位角相等，两直线平行。

2、两直线平行，同位角相等。

3、如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等（SSS）.

4、如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．（SAS）

5、如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(ASA).

6、全等三角形对应边相等、对应角相等。

公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。

要点诠释：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。例如：“两点之间线段最短”；“一条直线截两条平行直线所得的同位角相等”定理：通过推理得到证实的真命题。

要点诠释：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。

等量代换：在证明命题时，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以作为推理的依据。例如，“在等式或不等式中，一个量可以用他的等量来代替”，简称“等量代换”。

公理：

1. 平行判定：

___________相等，两直线平行。

2. 平行性质：

两直线平行，____________________________________________。

3. 与三角形的有关公理

（1）___________对应相等的两个三角形全等（SSS）

（2）___________对应相等的两个三角形全等（SAS）

（3）___________对应相等的两个三角形全等（ASA）

（4）全等三角形的___________相等

与三角形有关的定理

1. 三角形内角和___________

2. 三角形的一个外角等于___________

3. 三角形的一个外角大于______________________

4. 根据上面的公理和已证明的定理，可以证明下面的推论和定理：

（1）______________________对应相等的两个三角形全等（AAS）

（2）等腰三角形_________________________________互相重合。（简称“三线合一”）（3）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于___________。

（4）有一个角等于60°的___________是等边三角形。

（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于___________。

（6）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于___________。

（7）三个角都相等的三角形是___________三角形。

（8）等腰三角形的___________相等（简称为“等边对等角”）

（9）有___________相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）

（10）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的___________。

（11）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是___________

（12）______________________对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”）（13）线段垂直平分线上的点到___________的距离相等。

（14）到一条线段___________距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（15）三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到___________的距离相等。（这个交点也叫三角形的___________。不同的三角形，___________的位置不同：______________________）

（16）角平分线上的点到这个角的___________的距离相等。

（17）一个角的内部，且到角的两边___________相等的点，在这个角的平分线上。

（18）三角形三条角平分线相交于一点，交且这一点到___________的距离相等。

（这个点也叫三角形的___________，都在三角形的___________）

5. 反证法：

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出了矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为___________。

6. 互逆命题、互逆定理：

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为___________，其中一个命题称为另一个命题的___________。

如果一个定理的逆命题经过证明是___________，那么它也是一个定理，这两个定理称为另一个定理的___________。

证明

要点诠释：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。（证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程）

[例题] 证明：等腰三角形两底角的平分线相等

1. 1、弄清题意

此为“文字型”数学证明题，既没有图形，也无直观的已知与求证。如何弄清题意呢？根据命题的定义可知，命题由条件与结论两部分组成，因此区分命题的条件与结论至关重要，是解题成败的关键。命题可以改写成“如果………..，那么……….”的形式，其中“如果………..”

就是命题的条件，“那么…….”就是命题的结论

改写：如果，那么。

2. 2、根据题意，画出图形。

图形对解决证明题，能起到直观形象的提示，所以画图因尽量与题意相符合。并且把题中已知的条件，能标在图形上的尽量标在图形上。

作图：

3. 根据题意与图形，用数学的语言与符号写出已知和求证。

4. 命题的条件---已知，命题的结论---求证，但要特别注意的是，已知、求证必须用数学的语言

和符号来表示。

知：上一题可表示为：在△ABC中，AB=AC, BD、CE分别是△ABC的角平分线，求证：BD=CE

4. 3、分析已知、求证与图形，探索证明的思路，对于证明题，有三种思考方式：

1 2

（1）正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出

1.求证：两条直线被第三条直线所截.如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行. 已知：如图，直线12,l l 被3l 所截，∠1+∠2____180°. 求证：12l l 与_______.

证明：（反证法）假设12____l l ，

则∠1+∠2____180°（）这与______________矛盾，故_________不成立. 所以____________________________________.

（2）逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。要求从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽解题思路。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。

∵AB=AC(已知)

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)

∵BD 、CE 分别是△ABC 的角平分线(已知) ∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB （角平分线的定义） ∴∠1=∠2(等量代换) 在△BEC 与△CDB 中，

∵∠ACB=∠ABC, BC=CB, ∠1=∠2 ∴△BEC ≌△CDB(ASA)

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)

6. 检查证明的过程，看看是否合理、正确

分析：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。

（3）正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，同学们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。

5. 根据证明的思路，用数学的语言与符号写出证明的过程

任何“因为、所以”，在书写是都要符合公理、定理、推论或以已知条件相吻合，不能无中生有、胡说八道，要有根有据！

课堂练习

1、已知：如图12，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2．求证：

AD平分∠BAC，填写分析和证明中的空白．

分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明__________＝____________，

而已知∠1＝∠2，所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系，

由已知BC的两条垂线可推出________∥_________，这时再观察这

两对角的关系已不难得到结论．

证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）

∴________∥_________（）

∴_______＝________（两直线平行，内错角相等），

________＝（两直线平行，同位角相等）

∵（已知）

∴______________即AD平分∠BAC（）

2.已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分线，BH是∠ABC的平分线, ∠A=58°.求∠

H的度数.

D H

3.求证：等腰三角形两腰上的高相等。

4. 如图，AB=AE，AC=AD，要使EC=BD，需添加一个什么条件？

请你添加一个条件，请说明理由．

5.观察右边各式：

想一想：什么样的两个数之积等于这两个数的和？设n表示正整数，用关于n的代数式表示这个规律：_______×_______=_______+________.

你能说明理由吗？

24,24;

3939 3,3;

2222

416416 4,4;

3333

525525 5,5.

4444?=+=

?=+=

课后作业作业

1、下列说法正确的是。

A ．在同一平面内两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

B ．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等

C ．两个相等的角一组边平行，那么另一组边也平行

D ．一条直线垂直于平行线中的一条，也一定垂直于另一条 2、下列命题中为假命题的是

A ．内错角不相等，两直线不平行 B.一个角的余角一定大于这个角 C ．一个钝角的补角必是锐角 D.过两点有且只有一条直线

3、如图：下列条件能说明AD ∥BC 的是

A ．∠A = ∠C B. ∠

B = ∠D

C ．∠B = ∠C D. ∠A + ∠B = 180°

4、如图，直线a 、b 都于直线c 相交，下列条件中，能判断a ∥b 的条件是 ① ∠1 = ∠2 ② ∠3 = ∠6 ③∠2 = ∠8 ④∠5 + ∠8 = 1800 A ．①③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

5、如图，两直线AB 、CD 被直线EF 所截，∠1 = 700

A ．若∠2 = 700，则A

B ∥CD B ．若∠5 = 700，则AB ∥CD

C ．若∠3 = 1100，则AB ∥C

D D ．若∠4 = 700，则AB ∥CD

6.如果∠A 和∠B 的两边分别平行，那么∠A 和∠B 的关系是( ). A.相等 B.互余或互补 C.互补 D.相等或互补

第5题

第3题

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