机器人避障问题的数学模型
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机器人避障问题的数学模型
摘要
本文解决了机器人避障问题。根据要求在多个静态障碍场景中，实现机器人短时、短距地到达目标点，甚至完成回路过程，在处理躲避障碍物时，我们提出了障碍物顶点最小圆法，完全意义下实现了既安全躲障，又行驶路最短路线。对于最短时间路径的处理，我们在分析障碍物限制下，给出了顶点最小圆半径增大范围，并建立了非线性优化模型，实现了最短时间路径的计算。根据所给数据及场景，具体得到了以下数据基本结果：
1.最短线路数据：
2.从O 到A 到达的最短时间及路径数据：
最短到达时间：98.46280秒
最大顶点圆半径：12.78175 （个单位）， 圆心坐标（80,210） 最短时间路径：O （0,0）—1P （91.67,204.78）—2P （75.80,222.07）—A （300,300）
关键词：顶点最小圆 最短路径 障碍 非线性最优化
一、问题叙述
图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰
标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。
机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速
度为2
1.0100
e
1)(ρρ-+==v v v ，其中ρ是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧
翻，无法完成行走。
请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算：
(1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径。
(2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径。 注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以
及机器人行走的总距离和总时间。
图1 800×800平面场景图
二、模型假设与符号说明
1、模型假设
（1）.把机器人看作一个质点，机器人移动相当于质点的运动。
（2）.机器人在路线行驶过程中，运动速度为匀速运动。即不考虑机器人的启动加速和转弯减速，整个运行速度按转弯最大速度移动。
（3）.寻找运动路线时对于明显耗时、距离远的路线不再考虑，以便减少计算。 （4）.计算精度保留小数后两位，结果系程序计算所得，可获得更高精度。
2、符号说明
i v ：表示障碍物形状各顶点（i =1,2,3...n ）。
),(i i i y x P ：表示运动路线点顶点处的切点坐标（i =1,2,3...n ）
。 i r :表示顶点i 处各圆的半径。i k ：表示某些直线的斜率。 ：表示圆弧所对应的
圆心角。S ：表示机器人所走路程。t ：表示机器人经过某段路程所用的时间。
三、建立模型
移动机器人路径规划问题是指在有障碍物的工作环境中寻找一条恰当的从给定起点到终点的运动路径，使机器人在运动过程中能安全、无碰撞地绕过所有的障碍物而到达目标点。由问题所给场景图，结合机器人的运动规则：（1）行走路线：机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。（2）碰撞距离：为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。
在路线行驶中，要使运动距离最短，最基本的思维规则是：任何两点之间的直线距离最短。因此，若出发点与目标点连线周围10个单位内无障碍物，则直接走直线到达目标点距离最短。记机器人出发点坐标（R x ，R y ），目标点坐标为（T x ，T y ），则行走的直线方程为：
0 )(=++?-+=c by ax x x k y y R R ， （1）
其中R R kx y c b k a -=-==,1,，这里R
T R
T x x y y k --=
为直线的斜率。若设障碍物上点
P （p x ，p y ），则P 到上述直线的距离由下述公式给出：
2
2
b
a c by ax d p p +++=
（2）
从而，若d<10，机器人走直线可能碰上物体P ，此时P 点所对应物体应被视为障碍物。一般地，若一个障碍物是某个几何体，通过作出几何体的外接圆半径加10的圆，再判定直线与该圆是否有交点来确定几何体是否障碍物。
对于如图1所示的场景，障碍物分布密集，如果每个障碍物都做外接圆势必很难寻找到适合的行走路径，即可行路线都几乎找不到，因此需要寻求其它的避障方法。
按图1所示场景，为躲避障碍，获得可行路线，我们在处理问题时采用每个障碍物几何体顶点做圆法：即通过对几何体障碍物顶点做最小符合条件的圆（这里为半径10单位的圆周）来光滑地由一个路径连接点点过渡到下一个路径连接点。如下图2所示。
图2 机器人从O 到B 的一条光滑可行路径 其它可行路线处理方法相同。于是，得到机器人行走路线O-A ，O-B ，O-C ，O-A-B-C-O 的可行路径由如下图3，图4，图5，图6所示。
图3 从O 到A 的两条可行路径 图4 从O 到B 的几条较优化路径
图5从O 到C 的运动路径
图6 从B 到C 的运动路径
1、运动最短路径计算：
注意到两点之间直线距离最短，所以用顶点最小圆处理时既可躲避障碍，又可使转弯行驶路径最短。下面在计算中需
要处理几个环节：
1）点-圆切点计算。如下图7所示，记O （
R x ，R y ）为机器人出发点坐标，
),(111y x P 为障碍物5左上角圆周左上切点
坐标，则1x ，2y 应满足：
图7 点圆切线图
在1P 直线1OP 上： )(11R R x x k y y -=- ①
1P 在顶点圆上： 221121110)()(=-+-c c y y x x ②
其中),(11c c c y x O 为顶点圆坐标。
1P 为圆的切点，故
0))(())((111111=--+--c R c R y y y y x x x x ③ 即向量1与向量1P O c 垂直，数量积为0. 。
联立① ② ③ 可求出未知变量：1x ，1y ，k 。此方法可用于求出发点和到达目标点一端顶点圆的切点坐标。记),(222y x P 为目标点),(a a y x A 向障碍物5左上角顶点圆引出切点坐标，代入已知数据，得到：
出发点：0==R R y x ，801=c x ，2101=c y ?05.701=x ，14.2131=y 。 终点：300==a a y x ，801=c x ，2101=c y ?61.762=x ，41.2192=y 。 从而由O 到A 左上移动路径所经过线路及特定点坐标如下： 路线1：O-1P -2P -A
各点坐标依次为：)0 ,0(O ，)213.14 ,05.70(1P ，)219.41 ,61.76(2P ，)300 ,300(A . 同理算得由O 到A 右下移动路径所经过线路及特定点坐标如下： 路线2：O-3P -4P -A
各点坐标依次为：)0 ,0(O ，)213.14 ,05.70(3P ，)219.41 ,61.76(2P ，)300 ,300(A .
2）圆-圆切点的计算。 若在路径中出现下图8所示切线情形，仍记),(111y x P ，),(222y x P 分别为顶点圆21,C C 上的切点坐标，则切点坐标可由下列关系式联立求得：
21,P P 共线：
k x x y y =--1
21
2 （k 为21,P P 直线斜率，待定） ①
1P 在1C 上： 2
1211211)()(r y y x x c c =-+- ② 2P 在2C 上： 2
2222222)()(r y y x x c c =-+- ③
1P 是1C 的切点，故 2111P P P O ⊥ ，从而：
0))(())((12111211=--+--y y y y x x x x c c ④
2P 是2C 的切点，故2122P P P O ⊥，从而：
0))(())((12221222=--+--y y y y x x x x c c ⑤
联立①②③④⑤可解出：k Y X Y X ,,,,2211。
图8 圆-圆切线图
注：（1）上述公式②③中，对几何体的顶点圆而言，1021==r r ，但在处理如图1中障碍物2时，可取其中某一半径为1080+=r ，计算切点同此方法。 （2）机器人移动路径中OB ，OC ，AB ，BC 等中间连接点两圆切点统一都按此法计算。
3）距离的计算。问题要求整个移动的最短路径，而行驶路线只有一些线段和一些圆弧线组成，因而在曲线的计算中分情况逐段计算，求和，可最终求得某一可行路径的总距离。
直线段距离的计算：设),(111y x P ，),(222y x P 为线段上两点，
则21P P 的距离为： 212212)()(y y x x d -+-= （3）
圆弧线段的计算：设),(111y x P ，),(222y x P 为同一圆周一段弧的两个端点，若已知圆的圆心),(11c c c y x O ，半径为r ，则
θ?=r l （4）
其中θ为圆弧所对应的圆心角，由以下公式计算：
2
22212
21222122||||2||||||cos r
c r P O P O P P P O P O c c c c -=?-+=θ （5） 这里θ按余弦公式获得，212212)()(y y x x c -+-=。
2、最短移动时间的计算
注意到：时间=路程/速度，由于机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为
2
1.0100
e
1)(ρρ-+=
=v v v ，其中ρ是转弯半径。 （6）
如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无法完成行走。若假设机器人在运动过程
中匀速运动，这样不再考虑运动加减速过程，由于0v v <，因此要获得最短移动时间，则应让v 尽可能大，接近于0v ，由公式（6）可知，运动过程中经过圆弧的转弯半径越大，速度越大，于是为节省时间，需要增大转弯半径ρ，然而，按常规：0v v <，若在精度要求下，近似达到0v v =，则认为速度不在增大，此时应考虑获得最短路程，因为圆弧越大，可能会使得行走路程变大。综合考虑上述因素，建立下列非线性优化模型：
v
s t =
min ???
??????
????
??≥≤≤≤≤-+==+==-+-=-+---+--=--+?++=-0,,,5510 0)( 1)()()()())(())((cos )()(2
211222111.0100221221222112112020102012
22221212
y x y x r x x k y y x k y e v v r y y x x r y y x x r y y y y x x x x y y x x r y x s a a r c c c c a
a ，
，πθθθ （7）
上述模型中，5510≤≤r ，下限10为了躲避障碍物应满足的最低要求，那么最大值55如何获得呢？其基本原理
如下图示：（右图只要三点2P ，3P ，A 共线，不难理解）
图9
四、模型求解
按模型建立过程中所列举计算方法，结合软件编程，对各种情形下的目标点路径进行计算，即可得到各线路行驶最短路径及最短距离。 1. 障碍物基本数据汇总:
)60,80(1v ,)210,80(2v ,)210,230(3v ,)60,230(4v ,)300,60(5v ,)435,150(6v ,)300,235(7v ,)470,220(8v ,)530,220(9v ,)600,240(10v ,)600,150(11v ,)680,180(12v ,)680,270(13v ,
)680,370(14v ,)680,430(15v ,)600,540(16v ,)730,540(17v ,)730,670(18v ,)100,280(19v ，
)210,345(20v ，)100,410(21v ，)240,360(22v ，)330,400(23v ，)330,540(24v ，)240,500(25v ，)400,300(26v ，)600,300(27v ，)600,500(28v ，)520,640(29v ，)600,720(30v ，)520,720(31v ，)140,500(32v ，)200,500(33v ，)450,550(34v ， 2.列举各种较短的一些行走路线及节点坐标：
（按图10所示顶点标注路线，中间每个顶点包含顶点圆的两个切点）：
图10
OA 路线： 路线1：O-1v -A
坐标为：)0 ,0(O ，)213.14 ,05.70(1P ，)219.41 ,61.76(2P ，)300 ,300(A . 总距离L ：471.26（个单位） 路线2：O-4v -A
坐标为：)0 ,0(O ，)50.23 ,11.232(1P ，)57.59 ,70.239(2P ，)300 ,300(A . 总距离L ：498.64（个单位）
最短路径为：O-1v -A ， 最短路径：L=471.26（个单位）
OB 路线：
路线1：O -5v -6v -8v -9v -11v -B 坐标为：
)0 ,0(O ，)301.64
,14.50(1P ，)305.55 ,68.51(2P ，)440.55 ,68.141(3P ，)444.79 ,96.147(4P ，)460.21 ,04.222(5P ，)470,230(6P ，)530 ,230(7P ，
)538.33 ,50.225(8P ，)591.65 ,50.144(9P ，)596.35 ,69.140(10P ，)700 ,100(B 。 总距离L ：853.70（个单位）
路线2： O -5v -6v -8v -13v -B 坐标为：
O(0，0)，1P (50.14，301.64)，2P (51.68，305.55)，3P (141.68，440.55)，
4P (147.96，444.79)，5P (222.04，460.21)，6P (229.73，467.68)，
7P (279.73，677.68)，8P (270.59，689.98)， B(100，700). 总距离L ：971.23（个单位）
路线3：O -2v -7v -9v -11v -B 坐标为：
O(0，0)，1P (70.51，213.14)，2P (75.97，219.15)，3P (239.03，290.85)，
4P (244.98，300.65)，5P (229.98，530.65)，6P (225.50，538.35)，
7P (144.50，591.65)，8P (140.69，596.35)， B(100，700). 总距离L ：877.38（个单位）
路线4：O -4v -7v -9v -11v -B 坐标为：
O(0，0)，1P (232.11，50.23)，2P (240.00，59.79)，3P (245.00，299.79)，
4P (244.98，300.65)，5P (229.98，530.65)，6P (225.50，538.35)，
7P (144.50，591.65)，8P (140.69，596.35)，B(100，700). 总距离L ：945.95（个单位）
路线5：O -4v -13v -B 坐标为：
O(0，0)，1P (232.11，50.23)，2P (239.98，59.36)，3P (299.98，679.36)，
4P (270.59，689.98)， B(100，700).
总距离L ：1058.35（个单位）
最短路径为：O -5v -6v -8v -9v -11v -B ，最短路径：L=853.70（个单位）
OC 路线：
路线1：O-5v -6v -8v -27v -15v -17v -18v -C 坐标为：
O(0，0)，1P (50.14,，301.64)，2P (51.68，305.55)，3P (141.68，440.55)，
4P (147.96，444.79)，5P (222.04，460.21)，6P (229.13，465.92)，
7P (290.87，604.08)，8P (295.92，609.13)，9P (434.08，670.87)， 10P (435.59，671.71)，11P (534.41，738.29)，12P (540，740)，
13P (670，740)，11P (679.77，732.14)，C(700，640). 总距离L ：1239.82（个单位）
路线2：O-5v -6v -26v -33v -31v -30v -C 坐标为：
O(0，0)，1P (50.14,，301.64)，2P (51.68，305.55)，3P (141.68，440.55)，
4P (153.52，444.36)，5P (296.48，390.64)，6P (299.19，390.03)，
7P (543.55，370.26)，8P (660.33，393.20)，9P (727.04，512.90)，
10P (730.00，520.00)，11P (730.00，600.00)，12P (727.72，606.36)，C(700，640). 总距离L ：1243.67（个单位） 路线3：O-2v -23v -34v -31v -30v -C 坐标为：
O(0，0)，1P (70.51，213.14)，2P (76.49，219.36)，3P (396.49，339.36)，
4P (398.14，339.83)，5P (564.88，371.40)，6P (606.33，393.20)，
7P (727.04，512.90)，8P (730.00，520.00)，9P (730.00，600)， 10P (727.72，606.36)，C(700，640). 总距离L ：1098.35（个单位）
路线4：O-4v -23v -34v -31v -30v -C 坐标为：
O(0，0)，1P (232.11，50.23)，2P (238.78，55.21)，3P (391.22，334.79)，
4P (398.14，339.83)，5P (564.88，371.40)，6P (606.33，393.20)，
7P (727.04，512.90)，8P (730.00，520.00)，9P (730.00，600.00)， 10P (727.72，606.37)，C(700，640). 总距离L ：1094.80（个单位）
路线5：O-4v -20v -25v -31v -30v -C 坐标为：
O(0，0)，1P (232.11，50.23)，2P (238.54,54.79)，3P (336.46，215.21)，
4P (344.36，219.98)，5P (500.64，230.02)，6P (507.86，233.82)，
7P (727.86，513.82)，8P (730，520)，9P (730，600)， 10P (727.72，606.36)，C(700，640). 总距离L ：1101.36（个单位） 路线6：O-4v -21v -33v -31v -30v -C 坐标为：
O(0，0)，1P (232.11，50.23)，2P (232.17,50.24)，3P (412.17,90.24)，
4P (418.34，94.49)，5P (491.66，205.51)，6P (492.06，206.08)，
7P (727.94，513.92)，8P (730.00，520.00）
，9P (730.00，660.00)， 10P (727.72，606.36)，C ( 700，640). 总距离L ：1088.20
最短路线为：O-4v -21v -33v -31v -30v -C ； 最短距离为：L=1088.20 （个单位）
AB 路线： 路线1：A-9v -11v -B
经过点的坐标依次为：A(300，300)，1P (229.57，532.89)，2P (225.50，538.35)，
3P (144.50，591.65)，4P （140.69，596.35)，5P (222.04，460.21)，B (100，700). 总距离L ：838.63（个单位）
路线2：A-26v -13v -B
经过点的坐标依次为：A(300，300)，1P (290.05，399.00)，2P (290.01，399.64)，
3P (279.99，680.36)，4P (270.59，689.98)，B (100，700). 总距离L ：871.05
最短路径为：A-9v -11v -B ，L=838.63（个单位）
BC 路线：
路线1：B-13v -14v -15v -17v -18v -C
经过点的坐标依次为：B (100，700)，1P (270.59，689.98)，2P (272.00，689.80)，
3P (368，670.20)，4P (370，670，)，5P (430，670)，6P (435.59，671.71)，7P (534.41，738.29)，8P （540，740)，9P (640，740)，10P (679.77，732.14)，C (700，640).
总距离L ：701.21（个单位）
路线2：B-11v --10v 15v -17v -18v -C
经过点的坐标依次为：B (100，700)，1P (140.69，596.35)，2P (150，590)，3P (240，590)，4P (243.88，590.78)，5P (433.88，670.78)，6P (435.59，671.71)，7P (534.41，738.29)，8P (540，740)，9P (670，740)，10P (679.77，732.14)，C (700，640). 总距离L ：788.39（个单位）
路线3：B-13v --28v 29v -31v -30v -C
经过点的坐标依次为：B (100，700)，1P (270.59，689.98)，2P (273.29，689.44)，3P (503.29，609.44)，4P （506，608)，5P (634，512）
，6P (640，510)，7P (720，510)，8P (730，520)，9P (730，600)，10P (727.72，597.64)，C (700，640). 总距离L ：816.31
最短路径为：B-13v -14v -15v -17v -18v -C ，L=701.21（个单位）
OABCO 路线：
经过的点坐标依次为：O (0,0)，1P (70.51,213.14)，2P （76.88，219.50），3P （293.12,290.50），4P （299.57,302.91），5P （229.57,532.91），6P （225.50,538.35），7P （144.50,591.65），8P （140.72,596.29），9P （100.72,696.29.），10
P （111.24,709.92），11P （271.24,689.92），12P （272.00,689.80），13
P （368.00,670.20），14P （370.00,670.00），15P （430.00，670.00），16P （435.59,671.71），17P （534.41，738.29），18P （540.00,740。00），19P （670,740），20P （679.14,734.06），21P （700,637），22P （719.70,642.43），23P （729.70,602.43）
，24P （730,600），25P （730,520），26P （727.94,513.92），27P
（492.06,206.08），28P （491.66,205.51），29P （418.34,94.49），30P （412.17,90.24），31P （232.17,50.24）
，32P （232.11,50.23），O （0,0）. 最短路径行驶路线在场景图中具体如下各图所示。
从O 到A 的可行路线 从O 到B 的可行路线
从O 到C 的可行路线
从B 到C 的可行路线
3．最短移动速度求解。
利用非线性规划求解Lingo 软件计算非线性优化模型，得到获得最大转弯半径为12.78（个单位），从O 到A 沿左上角路线最短移动时间为 98.46秒
具体行驶路线节点为：
O （0,0）—1P （91.67,204.78）—2P （75.80,222.07）—A （300,300） 行驶转弯速度99.4 v 个单位/秒。
4．最优路线汇总：
最优路线表
五、模型分析及推广
对机器人路径规划的研究，世界各国的专家学者们提出了许多不同的路径规划方法，主要可分为全局路径和局部路径规划方法。全局路径规划方法有位形空间法、广义锥方法、顶点图像法、栅格划归法；局部路径规划方法主要有人工势场法。这些方法都各有优缺点。
本文针对多障碍问题提出了顶点最小圆法，优点：（1）实现了静态障碍下机器人的安全移动。（2）找到了到各目标点全局最短路径。（3）基本理论涉及简单的几何问题及其计算，可操作性强，容易实现。缺点：整个过程我们按匀速运动处理运动速度，对机器人的启动加速，减速停止都没有详尽的考虑。
实际应用上，可考虑以下问题： 厂房车间机器人搬运。对于移动搬运机器人，顶点最小圆方法是一种可行而且实用的方法。首先，机器人及障碍物的位置可以实时测得，且障碍物一般为固定不动；其次，障碍物数量固定，形状大小可预知；再次，搬运的效率要求机器人的行走路径为最短，而且走直线比走曲线更能讲究效率。 当然，其它方面的应用还待深入的开发，我们拭目以待！
参考文献
【1】周杏鹏.传感器与检测技术.北京:清华大学出版社,2010.
【2】(美) 理查德.摩雷.（中）李泽湘.（美）夏恩卡.萨思特里机器人操作的数学导论.北京:机械工业出版社,2007.
【3】吴翔,吴孟达,成礼智.数学建模的理论与实践.长沙:国防科技大学出版社,1999.
【4】殷剑宏,吴开亚.图论及其算法.合肥:中国科学技术大学出版社,2003. 【5】李胡锡.Matlab循序渐进.上海:上海交通大学出版社,1997.
【6】王家文.MATLAB7.0图形图像处理.北京:国防工业出版社,2006.
【7】叶湘滨熊飞丽张文娜罗武胜.传感器与测试技术.国防工业出版社，2007.
附录
附录一：模型一的maple部分程序如下：
> restart:
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
>
xR:=0:yR:=0:xA:=300:yA:=300:xB:=100:yB:=700:xC:=700:yC:=6 40:r:=10:
> btanpoint:=proc(x0,y0,xc,yc)
global X,Y,K,Q;
local P;
P:=solve({Y=y0+K*(X-x0),(X-xc)^2+(Y-yc)^2=r^2,(X-xc)+K*(Y -yc)=0},{K,X,Y});
Q:=evalf(allvalues(P));
return Q;
end proc:
mtanpoint:=proc(xc1,yc1,xc2,yc2)
global X1,Y1,X2,Y2,K,Q;
local P;
if xc1<>xc2 then
P:=solve({Y2-Y1=K*(X2-X1),(X1-xc1)^2+(Y1-yc1)^2=r^2,
(X2-xc2)^2+(Y2-yc2)^2=r^2,(X1-xc1)+K*(Y1-yc1)=0,(X2-xc2)+ K*(Y2-yc2)=0},{K,X1,Y1,X2,Y2});
Q:=map(evalf@allvalues,[P]);
return Q;
else
P:=solve({X1=X2,(X1-xc1)^2+(Y1-yc1)^2=r^2, (X2-xc2)^2+(Y2-yc2)^2=r^2,(X1-xc1)*(X2-X1)+(Y1-yc1)*(Y2-Y 1)=0,(X2-xc2)*(X2-X1)+(Y2-yc2)*(Y2-Y1)=0},{K,X1,Y1,X2,Y2} );
Q:=map(evalf@allvalues,[P]);
return Q;
fi:
end proc:
ctanpoint:=proc(xc1,yc1,xc2,yc2,a,b)
global X1,Y1,X2,Y2,K,Q;
local P;
if xc1<>xc2 then
2012年数学建模机器人避障问题
机器人避障问题 摘要 本文主要运用直线逼近法等规律来解决机器人避障问题.对于问题一：要求最短路径运用直线逼近法证得圆弧角三角形定理，得出结论：若一大圆弧角三角形完全包括另一小圆弧角三角形，则该三角形曲线周长必大于小的三角形周长.那么可知机器人在曲线过弯时，选择最小半径可满足路径最短，即为10个单位半径，通过观察可得可能的所有曲线，通过仅考虑直线段的大致筛选选出总长较小、长度相近（之差小于100）的曲线，然后利用平面几何知识对相关切点，进而求出各直线、曲线的长度，求和可得最段路线.对于问题二：通过对机器人过弯规律2 1.0100 e 1)(ρ ρ-+= =v v v 的分析可知，当过弯 半径13ρ=时，机器人速度达最大速度为50=v 个单位/秒，再大就无变化了，那么可分两种情况考虑：1）当13ρ>时，过弯速度无变化，但由圆弧角三角形定理可知，此时随着ρ的不断变大，其路线总长不断变大，这时ρ越小O A →所用时间最短；2）当13ρ≤时，统计计算ρ分别为10、11、12、13时，过弯速度v 也不断变化，计算所用时间发现随ρ不断变大，O A →所用时间越短，此时当13ρ=时，时间最短.综合上述可知：当 13ρ=时，时间最短. 关键词： 质点机器人 安全范围 直线逼近法 圆弧角三角形定理 10单位半径
1 问题重述 在一个800×800的平面场景中，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动，其中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物， 物的距离至少超过10个单位）.规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径.机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位.为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位. 机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒.机器人转弯时，最大转弯速度为 2100.11 0()(1e ) v v v ρρ--==+，其中ρ是转弯半径.如果超过该速度，机器人将发 生侧翻，无法完成行走. 下面建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型.对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算： (1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径. (2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径. 2 问题分析 2.1问题一： 该问题要求路径最短，即不要求速度与时间，则可认为以最小半径10的圆过弯. 如图2.1所示：由圆弧角三角形定理（简单证明见模型准备5.3）可知过弯时，只有采用10单位半径过弯时，才会使得过弯路径最短，因此解决问题一的过弯拐角问题均采用10单位半径过弯路径. 2.2问题二： 由于O→A 过程中，机器人至少要经过一
机器人避障问题的解题分析(建模集训)
机器人避障问题的解题分析 摘要：本文对2012年全国大学生数学建模竞赛D题机器人避障问题进行了全面分析，对最短路的设计进行了理论分析和证明，建立了机器人避障最短路径的几何模型，对最短时间路径问题通过建立非线性规划模型，有效地解决了转弯半径、圆弧圆心位置和行走时间等问题。 关键词：机器人避障；最短路径；Dijkstra算法；几何模型；非线性规划模型 1 引言 随着科学技术的进步和计算机技术的发展，机器人的应用越来越广泛，在机器人的应用中如何使机器人在其工作范围内为完成一项特定的任务寻找一条安全高效的行走路径，是人工智能领域的一个重要问题。本文主要针对在一个场景中的各种静态障碍物，研究机器人绕过障碍物到达指定目的地的最短路径问题和最短时间问题。 本文以2012年“高教社”杯全国大学生数学建模竞赛D题“机器人避障问题”为例进行研究。假设机器人的工作范围为800×800的平面正方形区域（如图1），其中有12个不同形状的静态障碍物，障碍物的数学描述（如表1）： 图1 800×800平面场景图
表1 在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动，机器人不能与障碍物发生碰撞，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为2 1.0100 e 1)(ρρ-+==v v v （ρ是转弯 半径）。如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无法完成行走。 场景图中有4个目标点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，下面我们
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D题机器人避障问题 摘要 本文综合运用分析法、图论方法、非线性规划方法，讨论了机器人避障最短路径和最短时间路径求解问题。 针对问题一，首先，通过分析，建立了靠近障碍物顶点处转弯得到的路径最短、转弯时圆弧的半径最小时和转弯圆弧的圆心为障碍物的顶点时路径最短、转弯在中间目标点附近时，中间目标点位于弧段中点有最短路径的三个原理，基于三个原理，其次对模型进行变换，对障碍物进行加工，扩充为符合条件的新的区域并在转弯处圆角化构成障碍图，并通过扩充的跨立实验，得到切线和圆弧是否在可避障区的算法，第三，计算起点、中间目标点和最终目标点和各圆弧及圆弧之间的所有可避障切线和圆弧路径，最后给这些定点赋一个等于切线长度或弧度的权值构成一个网络图，然后利用Dijkstra算法求出了O-A、O-B，O-C的最短路径为O-A：471.0372个单位，O-B：853.7001个单位，O-C：1086.0677个单位；对于需要经中间目标点的路径，可运用启发规则分别以相邻的目标点作为起点和终点计算，确定路径的大致情况，在进一步调整可得到O-A-B-C-O的最短路径为2748.699个单位。 针对问题二，主要研究的是由出发点到达目标点A点的最短时间路径，我们在第一问的基础上考虑路径尽可能短且圆弧转弯时的圆弧尽量靠近障碍物的顶点，即确定了圆弧半径最小时的圆弧内切于要确定的圆弧时存在最小时间路径，建立以总时间最短为目标函数，采用非线性规划模型通过Matlab编程求解出最短时间路径为最短时间路程为472.4822个单位，其中圆弧的圆心坐标为(81.430,209.41)，最短时间为94.3332秒。圆弧两切点的坐标分别为（70.88,212.92）、（77.66,219.87）。 关键字：Dijkstra算法跨立实验分析法非线性规划模型
避障机器人设计报告
开放性实验报告 ——避障机器人设计 系别：智能科学与技术 姓名：唐继鹏 姚武浩 姜飞鹏 郑光旭 指导老师：袁立行、王曙光、亢红波时间：2011.9.16——2012.4.28
目录 1 系统功能介绍 (1) 2 设计任务与要求 (1) 3 系统硬件设计 (1) 3.1系统总体设计框图 (1) 3.2寻线模块(ST188) (2) 3.3电机控制模块 (3) 3.4单片机最小模块 (4) 3.5数码管显示模块 (6) 4 系统软件实现 (7) 4.1 设计思路 (7) 4.2 软件程序流程图 (8) 4.3程序代码见附录Ⅰ (8) 5 调试结果 (8) 6 实验总结 (9) 附录Ι (10) 附录Ⅱ (18) 附录Ⅲ (19)
1 系统功能介绍 本设计以单片机作为控制核心，电路分为最小系统模块，黑线检测模块，电机驱动模块，数码管显示模块。黑线检测模块采用反射式关电传感器st188，并且接相应的三级管来规划传感器的输出，当输出高电平为正常情况。电机为伺服电机，给定脉宽为1.5ms的信号电机保持不动，给定脉宽为1.7ms的信号电机正向转到给定脉宽为1.3ms的信号电机逆向转到。数码管动态显示机器人行进过程所用的时间。 2 设计任务与要求 ◆熟悉51系列单片机的原理及应用。 ◆掌握ST188设计电路和传感器的使用。 ◆掌握直流电机的驱动方法。 ◆掌握动态数码管显示的方法。 ◆设计机器人的硬件电路及软件程序。 ◆制作机器人的硬件电路，并调试软件，最后实现机器人的自动测量黑线。 3 系统硬件设计 3.1系统总体设计框图 该系统中51单片机作为主微控芯片，其外多个I/O口作为通用I/O口接受传感器的信号并输出相应的控制信号。 系统硬件总体设计框图如下图3.1-1所示。
机器人避障优化模型讲解
机器人避障优化模型 摘要 “机器人避障问题”是在一个规定的区域范围内，有12个位置各异、形状不同的障碍物分布，求机器人从出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点的避障最短路径及其最短时间，其中必须考虑如圆与切线的关系等问题。基于优化模型，对于题目实际情况进行研究和分析，对两个问题都用合适的数学思想做出了相应的解答和处理，以此建立符合题意的数学模型。 问题一，要求建立机器人从原点出发到达以区域中另一点为终点的最短路径模型。机器人的避障路径规划主要包括环境建模、路径搜索、路径平滑等环节，针对本题的具体情况，首先对图形进行分析，并用AutoCAD 软件进行环境建模，使其在障碍物外围延伸10个单位，然后考虑了障碍物对路径安全的影响再通过蚁群算法来求它的的最短路径，由于此时最短路径中存在转弯路径，需要用人工势场法进行路径平滑处理，从而使它的最短路径在蚁群算法算出的结果情况下，可以进一步缩短其路径，从而存在机器人以区域中一点到达另一点使其避障的路径达到最短，在最终求解时，通过matlab 软件求其最优解。 问题二，仿照问题一机器人避障路径规划的基本环节所建立的一般模型，再根据题二所提出的具体问题，建立机器人从O （0，0）出发，使达到A 的最短时间路径模型。其中已知最大速度为50=v 个单位/秒，机器人转弯时，最大转弯速度为 2 1.0100 e 1)(ρρ-+= =v v v ，其中ρ是转弯半径，并有ν为增函数。且有0νν<恒成立，则可 知行走路径应尽量减少走圆弧，且可时间由走两段直线加圆弧的时间之和。 关键词： 最短路径 蚁群算法 人工势场法 机器人避障
高教社杯数学建模D题机器人避障问题论文
机器人避 障问题 摘要 本文研究了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题。主要研究了在一个区域中存在12个不同形状障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点的多种情形，寻找出一条恰当的从给出发点到目标点的运动路径使机器人在运动中能安全、无碰撞的绕过障碍物而使用的路径和时间最短。由于规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径，机器人不能折线转弯。所以只要给定的出发点到目标点存在至少一个障碍物，我们都可以认为最短路径一定是由线和圆弧所组成，因此我们建立了切线圆结构，这样无论路径多么复杂，我们都可以将路径划分为若干个这种切线圆结构来求解。在没有危险碰撞的情况下，圆弧的半径越小，路径应该越短，因此我们尽量选择最小的圆弧半径以达到最优。对于途中经过节点的再到达目标点的状况，我们采用了两种方案，一种是在拐点和节点都采用最小转弯半径的形式，另一种是适当扩大拐点处的转弯半径，使得机器人能够沿直线通过途中的目标点。然后建立了最优化模型对两种方案分别进行求解，把可能路径的最短路径采用穷举法列举出来，用lingo 工具箱求解得出了机器人从O(0,0)出发，O→A、O→B、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径；利用matlab 中的fminbnd 函数求极值的方法求出了机器人从O(0,0)出发，到达A 的最短时间路径。本文提出一种最短切线圆路径的规划方法，其涉及的理论并不高深，只是应用了几何知识和计算机程序、数学工具计算，计算简易，便于实现，能搞提高运行效率。 问题一 O→A 最短路径为：OA L =471.0372 O→B 最短路径为：=1OB L 853.8014 O→C 最短路径为：4OC L =1054.0 O→A→B→C→O 最短路径为： 问题二机器人从O(0,0)出发，到达A 的最短时间路径： 最短时间是94.5649，圆弧的半径是11.5035,路径长4078 .472=OA L 关键词最短路径；避障路径；最优化模型；解析几何；数学工具 一、问题重述 图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0,0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍
小车自动避障与路径规划
第3章系统总体结构及工作原理 该系统主要以超声波测距为基本测距原理，并在相应的硬件和软件的支持下，达到机器人避障的效果。 3.1机器人总体硬件设计 3.1.1传感器的分布要求 为了全方位检测障物的分布状况，并及时为机器人系统提供全面的数据，可将所需的八个传感器均匀排列在机器人周围，相邻每对传感器互成45度角。为了避免相互干扰，八个传感器以程序运行周期为周期，进行循环测距。传感器排列示意图如下： 图3.1.1 传感器分布图
图3.1.2 硬件设计总体框架图 上图为支持机器人运行实用程序的硬件部分的总体设计框架图，由负责相关任务的同学提供。在超声波信号输入单片机以后，由存储在单片机中的主程序调用避障子程序，根据输入信号执行避障指令，并使相关数据返回主程序，转而提供给电机和LED显示器的驱动程序使用，最后，由电机执行转向指令，结果则显示在LED显示器上。
图3.1.3 软件总体框架图 由上图可知，本文作者负责的超声波避障程序为软件总体设计中的子程序部分。在主程序运行过程中，若调用超声波避障程序，机器人在自行轨迹规划后，将程序处理所得数据送给电机处理成立程序，控制电机动作。具体的避障程序设计将在第4章进行。 3.2超声波测距原理 测距原理：超声波是指频率高于20KHz的机械波。为了以超声波作为检测
手段，必须产生超生波和接收超声波。完成这种功能的装置就是超声波传感器，习惯上称为超声波换能器或超声波探头。超声波传感器有发送器和接收器，但一个超声波传感器也可具有发送和接收声波的双重作用。超声波传感器是利用压电效应的原理将电能和超声波相互转化即在发射超声波的时候，将电能转换，发射超声波；而在收到回波的时候，则将超声振动转换成电信号。[8]超声波测距的原理一般采用渡越时间法TOF（time of flight）。首先测出超声波从发射到遇到障碍物返回所经历的时间，再乘以超声波的速度就得到二倍的声源与障碍物之间的距离，即：[8] D=ct/2 其中D为传感器与障碍物之间的距离，以m计，c为超声波速度，这里以340m/s计，t为超声波从发送到接收的总时间，以s计。据此原理可以用超声波传感器测得的距离为避障程序提供所需的数据。[8] 第4章轨迹规划算法的实现方案 4.1轨迹规划算法的层次化设计 根据上述材料分析，可以将机器人轨迹规划算法设计分为基础控制层、行为控制层和坐标计算层，三个层次进行。 4.1.1基础控制层设计 基础控制层可定义为基本行为层，这层算法的任务是寻找目标点，并确保机器人可以顺利到达指定目标位。在确定目的地位置的情况下，为了达到上述目的，计算机必须对机器人的方位进行时实计算。应用人工势场法原理，可以将目标点设为引力极，牵引机器人运动。对此动作建立相应的模型，可以使用建立平面坐标作为虚拟势场的方法来给机器人定义方位，将机器人关于目标点的时实偏角作为虚拟引力方向，以确定机器人下一步所需转过的角度，并时实检测，是否已到达目的地，若已到达，则可认为虚拟引力此刻为0，并发出信号控制程序终止运行总体程序。 由此，可确定基础控制层所需的各参数： (1)机器人的时实坐标x, y值，由专门的坐标计算层提供，为了提高精 确度，可以采用厘米为单位制。 (2)机器人的速度v，测量后设为定值使用。 (3)周期T，直接设置为定值使用。 (4)偏转角de，可通过机器人与横坐标之间的夹角pe，减去机器人到目 标点连线与横坐标的夹角E得到。
机器人避障问题论文
机器人避障问题 【摘要】 本文主要是对机器人在一个平面区域内通过不同障碍物到指定目标点进行研究，通过建立机器人与障碍物的最小安全距离的禁区模型，进而建立从区域一点到另一点的最短距离、最短时间的数学模型。在最优转弯顶点为障碍物，最优转弯半径为安全距离10的基础上，把路径概括为基本的三种数学模型。利用穷举的算法找出最短路径和最短时间。 针对区域中从一点到另一点避障的最优路径问题，把障碍物划分为有顶点和无顶点两大类。首先本文证明对于有顶点障碍物，机器人以障碍物顶点为圆心且转弯的圆弧半径为10时路径最优，我们还注意到在某些路径中适当增加圆的半径可以把曲线路线转换为直线路径，进一步优化行进路径；对于无顶点障碍物通过论证找出以障碍物圆心为转弯圆心，以障碍物半径与安全距离的和为转弯半径的最优转弯圆弧。其次本文将寻找最短路径的的问题转换为最短路径的优选问题。本文巧妙的将优化模型转变为研究不与障碍物边界相交、不与圆弧相交的路线中的最优解的问题。在这个数学模型的基础上进行相应的改善并且使用穷举的算法找出最优路径。 针对不同的目标点，我们将机器人的行进分为单目标点和多目标点两种情况针对多目标点问题，由于机器人不能直线转向，所以在经过目标点时，应该提前转向，且中间目标点应该在转弯弧上。因此先建立优化模型（模型三）对行进时中间目标点处转弯圆弧圆心搜索求解。求出中间目标点转弯圆心后，用把中间目标点的圆心看做“障碍物”的办法把问题转化为单目标点问题。然后根据模型二和模型一利用MATLAB软件编程求得了O→A、O→B、O→C、O→A→B→A→C的最短路径，最短路径长分别为 471.0372、857.6778、1094.5、2799.0121,其中O-->A的最短路径对应圆弧的圆心坐标为(80,210)；O→B的最短路径对应圆弧的圆心坐标：(60,300)、(150,435)、（220、470）、(220,530)、(150,600)；O→C经过的圆心：(230，60)、(410,100)、(500,200)、(720,520)， （720,600）；对于多目标点问题利用模型三进行分割求解得到O→A→B→C→O最短路径对应圆心坐标（80,210）、（307.7715）、（306.2932）、（220,530）、（150,600）、（109.8478,701.7379）、（270,680）、（370,680）、（430,680）、（540,730）、（670,730）、（709.7933）、（642.0227）、（720,600）、（720,520）（500,200），（410,100），（230,60）。对于最短时间路径问题，根据转弯半径和速度的关系，在问题一求出的最短路径的模型的基础上，进行路线优化，建立以最短时间为目标的非线性规划模型，利用lingo 求解最短时间获得了机器人从O点出发，到达A的最短时间路径，求得最短时间路径下转弯半径为12.9885 ，同时最短时间路径时间长为94.2283个单位，路径长为471.129个单位。相应圆弧的圆心坐标为（82.1414，207.9153）。 关键词：机器人避障覆盖法穷举法非线性规划
数学建模机器人避障论文
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
机器人避障问题 摘要 针对题中机器人避障最短路径问题，文章使用简化后建立的最短路径的数学模型来解决此类问题。 对于问题1，我们matlab中自带函数graphshortestpath函数求解最短路径的数学模型。其主要思想是：首先先证明出两点之间的最短路径是由两条线段和以中间点为圆心的圆的一段圆弧组成，然后证明圆弧的半径为定值10。然后对模型简化使模型化为标准的最短路径模型，最后用graphshortestpath函数对模型求解。 针对问题2，我们建立了优化模型。在问题1的基础上，我们对两种行走方案进行分析，根据转弯弧的半径变化对速度的影响我们锁定到一条路径，然后利用lingo对优化模型进行求解。 关键词：graphshortestpath函数、最短路径、避障问题
机器人避障问题的最短路径分析
机器人避障问题的最短路径分析 摘要 本论文研究了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题。主要讨论了在一个区域中存在12个障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过若干目标点最终到达出发点的两种情况。采用传统的避障方法——切线图法。建立了线圆结构，这样任何路径，我们都可以将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。对于途中经过节点再到达目标点的状况，我们采用在转弯点和节点都采用最小转弯半径，以节点为切点的形式。然后建立了最优化模型，利用MATLAB软件对方案进行求解。 问题一：把路径分解成若干个线圆结构来求解，然后把可能的最短路径采用穷举法列举出来，最终得出最短路径： A O→最短路径为：471.0 O→最短路径为：869.5 B O→最短路径为：1093.3 C 对于O → → →我们将A、B、C看作切点，同样采用线圆结构 C B A O→ 计算。 O→ → → →最短路径为：2827.1 A O C B 问题二：考虑避障路径和转弯速度，我们建立时间与路径之间的模型，用MATLAB软件求出最优解。当转弯半径为11.5的时候，可以得出最短时间为：T=94.3 关键词最优化模型避障路径线圆结构切线图法
一、问题重述 本文是求一个机器人在800×800的平面场景图中避开障碍物，建立从原点O(0, 0)点处出发达到终点的最短路径和最短时间路径的模型。即求：1、O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径。2、O →A 的最短时间路径。 机器人在行走时的要求是：1、它只能在该平面场景范围内活动2、图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物（障碍物的分布如图1）3、障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。4、规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。5、为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞。 机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速 度为2 1.0100 e 1)(ρρ-+==v v v ，其中ρ是转弯半径。 已知场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)。图中各个点 的坐标见下表。 图1 编号 障碍物名称 左下顶点坐标 其它特性描述 1 正方形 (300, 400) 边长200 2 圆形 圆心坐标(550, 450)，半径70 3 平行四边形 (360, 240) 底边长140，左上顶点坐标(400, 330)
机器人避障问题
精心整理 机器人避障问题 摘要 本文研究了在一个800800?平面场景里，机器人通过直线和圆弧转弯，绕过障碍物，到达目标点的问题，解决了到达目标点路径最短，以及到达A 点时间最短的问题。文章将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。对于途中经过节点的再到达目标点的状况，我们采用了在拐点和节点最小转弯半径的形式. O A →O →B O →C O →A →B 10个单位为50=v 对场景图中4(1)(2)1.出发，分别做圆的切线，直到终点。对于经过路径中的目标点的问题，我们采用最小转弯模式，建立优化模型，最终求的最短路径。 2．问题二要求从起始点到达A 点所用的时间最短，从题意以及生活经验可得，拐弯半径越大，所用时间越短，拐弯半径越小，所用时间越大。半径最小不低于10，取最大值时机器人应刚好未碰到4、6三角形，可通过几何解法计算出来，并对时间进行优化处理。 三、模型假设 假设机器人可以抽象成点来处理 假设机器人的能源充足，且在整个行走过程中无故障发生 四,符号说明
】 5（为起点，，OA 圆弧的切点，角度 1OO A ∠=,11OO M ∠=,11AO N ∠=，111M O N θ∠=.设这段路程机器人的总路程为L. 解法如下： 如上图可得有以下关系： 1 AOO ?在中： 在11Rt OO M ?： 222arccos(2b c a bc α+-=
在11Rt AO N 中： 所以： 从而可得： 结果如下： 机器人行走路线 1OM =1N A 弧11M N = 224.7221； b= 237.6973 c= O 同理了解 比较可得， O 从上面绕到到目标点A 的距离最短，最短路径为471.0372。
智能避障机器人设计外文翻译
INTELLIGENT VEHICLE Our society is awash in “machine intelligence” of various kinds.Over the last century, we have witnessed more and more of the “drudgery” of daily living being replaced by devices such as washing machines. One remaining area of both drudgery and danger, however, is the daily act ofdriving automobiles 1.2 million people were killed in traffic crashes in 2002, which was 2.1% of all globaldeaths and the 11th ranked cause of death . If this trend continues, an estimated 8.5 million people will be dying every year in road crashes by 2020. In fact, the U.S. Department of Transportation has estimated the overall societal cost of road crashes annually in the United States at greater than $230 billion. When hundreds or thousands of vehicles are sharing the same roads at the same time, leading to the all too familiar experience of congested traffic. Traffic congestion undermines our quality of life in the same way air pollution undermines public health.Around 1990, road transportation professionals began to apply them to traffic and road management. Thus was born the intelligent transportation system(ITS). Starting in the late 1990s, ITS systems were developed and deployed. In developed countries, travelers today have access to signifi-cant amounts of information about travel conditions, whether they are driving their own vehicle or riding on public transit systems. As the world energy crisis, and the war and the energy consumption of oil -- and are full of energy, in one day, someday it will disappear without a trace. Oil is not in resources. So in oil consumption must be clean before finding a replacement. With the development of science and technology the progress of the society, people invented the electric car. Electric cars will become the most ideal of transportation. In the development of world each aspect is fruitful, especially with the automobile electronic technology and computer and rapid development of the information age. The electronic control technology in the car on a wide range of
行走机器人避障问题
机器人行走问题 摘要 本文研究了机器人避障最短路径的问题。主要研究了在一个区域中存在四个障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点的两种情形。我们通过证明具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的：一部分是平面上的自然最短路径（即直线段），另一部分是限定区域的部分边界，这两部分是相切的，互相连接的。依据这个结果，我们可以认为最短路径一定是由线和圆弧做组成，因此我们建立了线圆结构，这样无论路径多么复杂，我们都可以将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。对于途中经过节点的再到达目标点的状况，我们采用了两种方案，一种是在拐点和节点都采用最小转弯半径的形式，另一种是适当扩大拐点处的转弯半径，使得机器人能够沿直线通过途中的目标点。然后建立了最优化模型对两种方案分别进行求解。 问题一，我们很容易分解成线圆结构来求解，然后把可能路径的最短路径采用穷举法列举出来，最终得出最短路径： R→A 最短路径为：70.5076 R→B 最短路径为：107.9587 R→C 最短路径为：102.0514 问题二，我们方案都进行优化，求得最终结果： 第一种方案最短路径为：156.471 第二种方案最短路径为：157.752 关键词最短路径最优化模型避障路径解析几何
一、问题重述 下图是一个100×80的平面场景图，在R（0，0）点处有一个机器人，机器人只能在该100×80的范围内活动，图中四个矩形区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述分别为B1（20，40；5，10）、B2（30，30；10，15）、B3（70，50；15，5）、B4（85，15；5，10），其中B1（20，40；5，10）表示一个矩形障碍物，其中心坐标为（20，40），5表示从中心沿横轴方向左右各5个单位，即矩形沿横轴方向长5×2=10个单位，10表示从中心沿纵轴方向上下各10个单位，即矩形沿纵轴方向长10×2=20个单位，所以，障碍物B1的中心在（20，40），大小为10×20个单位的矩形，其它三个障碍物的描述完全类似。 在平面场景中、障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过1个单位），为此，须要确定机器人的最优行走路线——由直线段和圆弧线段组成的光滑曲线，其中圆弧线段是机器人转弯路线，机器人不能折线转弯，转弯路径是与直线相切的一圆形曲线段，也可以是两个或多个相切的圆弧曲线段组成，但每个圆形路线的半径都必须大于某个最小转弯半径，假设为1个单位。另外，为了不与障碍物发生碰撞，要求机器人行走线路与障碍物间的最短距离为1个单位，越远越安全，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法到达目标点，行走失败。请回答如下问题： 1.场景图中有三个目标点A（50，40）、B（75，60）、C（95，20），请用数学建 模的方法给出机器人从R（0，0）出发安全到达每个目标点的最短路线。 2.求机器人从R（0，0）出发，依次安全通过A、B到达C的最短路线。
基于弹性绳索拉伸的机器人避障问题
基于弹性绳索拉伸的机器人避障问题 摘要 本文研究了机器人避障的相关问题。在一个已知区域中存在12个障碍物，使用基于弹性绳索拉伸的方法，求解了由出发点到目标点的最短路径和最短时间路径。我们在禁区顶点以最小转弯半径转向为最优的前提下，对障碍物进行了加工，即将限定区域向外扩展并将顶点圆角化。那么最短路径就由两部分组成：一部分是平面上的直线段，另一部分是限定区域上部分弧构成。由于最短路径一定是由直线线段和圆弧做组成，而弹性绳索紧贴障碍物时，弹性绳索与直线线段和圆弧重合，并且弹性绳索有自然缩短的趋势，弹性绳处于紧绷状态，此时弹性绳长就是最短路径。 问题一，将绳索系与起点和终点，使用拉伸弹性绳索的方法，找到所有符合要求的绳索连结成的路径并计算路径长度，最终最短的绳长即为所求。由于符合要求的路径可能比较多，我们又使用了尺规作图进行简化了以及一般情况下的Dijkstra求解最短路径的方法。 最终求得： O→A最短路径长度为471.037 O→B最短路径长度为 853.13 O→C最短路径长度为1092.82 O→A→B→C→O最短路径长度为2714.31 问题二，由于机器人转弯时所行走的速度和转弯半径有关。而当转弯半径最小时相应的速度也最小。就必须平衡转弯半径和转弯时速度的这一对矛盾。本文通过极限状态的求解，计算出可能的最短时间路径。 关键字：最短路径切线长弧长
一、问题的重述 图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如下表： 编号 障碍物名称 左下顶点坐标 其它特性描述 1 正方形 (300, 400) 边长200 2 圆形 圆心坐标(550, 450)，半径70 3 平行四边形 (360, 240) 底边长140，左上顶点坐标(400, 330) 4 三角形 (280, 100) 上顶点坐标(345, 210)，右下顶点坐标(410, 100) 5 正方形 (80, 60) 边长150 6 三角形 (60, 300) 上顶点坐标(150, 435)，右下顶点坐标(235, 300) 7 长方形 (0, 470) 长220，宽60 8 平行四边形 (150, 600) 底边长90，左上顶点坐标(180, 680) 9 长方形 (370, 680) 长60，宽120 10 正方形 (540, 600) 边长130 11 正方形 (640, 520) 边长80 12 长方形 (500, 140) 长300，宽60 在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点(要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位)。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。 机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为 2 1.0100 e 1)(ρρ-+==v v v ，其中ρ是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧 翻，无法完成行走。 请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算： (1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径。 (2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径。 注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。
2012全国大学生数学建模机器人避障问题优秀论文模型
承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：2418 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1.黎仕东 2.李兆海 3.赵甜森 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：年 8 月25 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
2012年高教社杯数学建模D题--机器人避障问题论文设计
机器人避障问题 摘要 本文研究了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题。主要研究了在一个区域中存在12个不同形状障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点的多种情形，寻找出一条恰当的从给出发点到目标点的运动路径使机器人在运动中能安全、无碰撞的绕过障碍物而使用的路径和时间最短。由于规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径，机器人不能折线转弯。所以只要给定的出发点到目标点存在至少一个障碍物，我们都可以认为最短路径一定是由线和圆弧所组成，因此我们建立了切线圆结构，这样无论路径多么复杂，我们都可以将路径划分为若干个这种切线圆结构来求解。在没有危险碰撞的情况下，圆弧的半径越小，路径应该越短，因此我们尽量选择最小的圆弧半径以达到最优。对于途中经过节点的再到达目标点的状况，我们采用了两种方案，一种是在拐点和节点都采用最小转弯半径的形式，另一种是适当扩大拐点处的转弯半径，使得机器人能够沿直线通过途中的目标点。然后建立了最优化模型对两种方案分别进行求解，把可能路径的最短路径采用穷举法列举出来，用lingo 工具箱求解得出了机器人从O(0, 0)出发，O →A 、O →B 、O →C 和O →A →B →C →O 的最短路径；利用matlab 中的fminbnd 函数求极值的方法求出了机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径。本文提出一种最短切线圆路径的规划方法，其涉及的理论并不高深，只是应用了几何知识和计算机程序、数学工具计算，计算简易，便于实现，能搞提高运行效率。 问题一 O →A 最短路径为：OA L =471.0372 O →B 最短路径为：=1OB L 853.8014 O →C 最短路径为：4OC L =1054.0 O →A →B →C →O 最短路径为： 问题二机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径： 最短时间是94.5649，圆弧的半径是11.5035,路径长4078.472=OA L 关键词 最短路径；避障路径；最优化模型；解析几何；数学工具
可避障机器人设计报告
可避障机器人设计报告 姓名*** 班级机械设计制造及其自动化1班学号3011201*** 任课教师洪鹰 2014年12 月16 日
目录 一、概述??????????????????????????????????????????????3 二、方案设计?????????????????????????????????????????4 1、硬件设计?????????????????????????????????????4 1.1避障基本方法?????????????????????????????4 1.2主控芯片选择?????????????????????????????4 1.3电源设计??????????????????????????????????5 1.4电机选择?????????????????????????????????5 2、主程序设计??????????????????????????????????5 三、总结??????????????????????????????????????????????7
一、概述 机器人是一类能够自动完成某项功能的机械系统，机器人通过传感器和执行机构与外界进行信息物理和交互，处理器负责处理传感器采集来的信息并将相应的控制命令送给执行机构执行。机器人因其对环境的强适应性，使得他在很多领域取代了人的劳动，将人从繁重、危险的环境中解放出来。机器人广泛应用于工业生产、科学研究、危险品处理乃至国防领域。而我这次设计的应该是最基础的一种机器人——自动避障机器人，它能通过传感器感知外部环境，实现避障。