圆、椭圆、抛物线切线方程导数证明

圆、椭圆、抛物线切线方程

用导数求切线方程的四种类型84657

题型一：利用导数去切线斜率 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为 解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，． 类型二：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例2 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 类型三：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例3 求过点(20)，且与曲线1y x =相切的直线方程． 题型二：利用导数判断函数单调性 总结求解函数f(x)单调区间的步骤: 练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求f(x)的导数f'(x)； （3）解不等式 f'(x)>0 ，解集在定义域内的部分为 增区间； （4）解不等式 f'(x)<0 ，解集在定义域内的部分为 减区间． 例1.：已知导函数 的下列信息： 注意： x x x f x x x f x x x x f ln 2 1 )()3(7 62)()2(),0(,sin )()1(223-=+-=∈-=π图像的大致形状。 试画出或当或当当)(0)(,1,40)(,1,40)(,41x f x f x x x f x x x f x ='==<'<>>'<<3211 11(1)2231(11)y x y x x =-+-=-+-练习：、在，处的切线方程 、在，处的切线方程1(01)x y xe =+-3、曲线在，处的切线方程sin 20x y x e x =++=5、曲线在处的切线方程

三招求圆的切线方程

三招求圆的切线方程 江西省永丰中学 吴全根 求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k 或已知切线上一点两种情况，而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况，面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢？下面教你三招. 一、公式法 可求过圆上一点的切线方程. 公式如下： ① 过圆x 2+y 2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y= r 2. ② 过圆（x-a)2+(y-b)2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为（x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2. ③ 过圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0上点P （x 0,y 0)的切线方程 x 0x+y 0y+D 2 0x x ++E 20y y ++F=0 . 点评：（1）公式②中当a=b=0时即为公式①. （2）上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的，当切线的斜率不存在时公式也适用. （3）当你忘记了这些公式，可利用公式推导方法求之. 例1 求过点A （4，1）且与圆（x-2)2+(y+1)2=8 相切的切线方程. 解一：（公式法） (4-2)2 +(1+1)2=8 ∴ 点A （4，1）在圆上， ∴ 圆的切线方程为（4-2)(x-2)+(1+1) (y+1)=8,即x+y-5=0. 解二：（公式推导法） 圆心C （2，-1）∴k AC =1 ∴ 过点A 的切线的斜率k= -1. ∴ 所求切线方程为y-1= -1(x- 4),即x+y-5=0. 二、待定系数法 可求过圆外一点P(x 0,y 0)的圆的切线方程或求已知切线的斜率k 的切线方程. 此时可设圆的切线方程为y-y 0=k(x-x 0)或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径” 这一性质求k . 例2 求过点M （2，4）向圆（x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程. 解：设所求切线方程为y-4=k(x-2)即kx-y-2k+4=0 (倾斜角不为900）, d=114 232=++-+k k k ,∴k=7 24,∴切线方程为24x-7y-20=0. 当倾斜角为900时，切线方程为x=2. ∴ 过M 点的切线方程为24x-7y-20=0或 x=2. 点评：因为过圆外一点P （x 0,y 0）引圆的切线有两条，故用此法求切线的斜率k 一般有两个值, 若k 只有一个值，说明还有一条切线，其斜率不存在，方程为x=x 0 ，应补回来. 三、判别式法 其依据是圆的切线的定义. 例3 已知圆C ：x 2+y 2+2x-4y+3=0 ，若圆C 的切线在坐标轴上的截距绝对值相等，求此切线方程. 解：（1）当截距不为0时，设切线方程为y=-x+b 或y=x+c 分别代人圆C 的方程得2x 2-2(b-3)x+(b 2- 4b+3)=0，或2x 2+2 (c-1)x+(c 2- 4c+3)=0 直线与圆相切，上述两方程均有等根，∴?=0，由此可得：b=3 或 b= -1,c=5 或 c=1 ∴切线方程为x+y-3=0 或x+y+1=0 或x-y+5=0 或x-y+1=0. (2) 当截距为0时，类似可求此时切线的方程为y=(2±6)x. 点评：（1）此题也可以用方法二求解；（2）截距相等时别忘了截距为0的情况.

利用导数求切线的方程

利用导数求切线的方程 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．已知曲线21y x =-在0x x =处的切线与曲线31y x =-在0x x =处的切线互相平行，则0x 的值为（ ） A ．0 B C ．0 D 2．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点A 处的切线方程是（ ） A.02=-y x B.02=+y x C.0144=+-y x D.0144=++y x 3．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A B 、22e C 、2e D 4．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ） A.)1(2-=x e y B.1-=ex y C.)1(-=x e y D.e x y -= 5．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-距离的最小值为（） A ．1 B C D 6处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ） A D 7处的切线平行于x 轴, 则()0f x =（ ） A C D ．2e 8上一动点00(,())P x f x 处的切线斜率的最小值为（ ） A B ．3 C D ．6 第II 卷（非选择题） 二、填空题 9在点()1,1处的切线与曲线x y e =在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 __________.

10．曲线cos y x x =-在点___________． 11．已知直线01=+-y x 与曲线的值为 ． 12．若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线，则实数b 的值为 ． 13．若直线y x b =+是曲线 14．已知函数()tan f x x =，则__________. 15在点()()1,1f 处的切线方程是 . 16．设曲线3()2f x ax a =-在点()1,a 处的切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值为______． 17．已知曲线()cos f x a x =与曲线()21g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线，则实数a b +的值为____________． 18．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为________． 19__________． 三、解答题 20．求曲线3 =y=f(x)(2x-2)在点（2,8）处的切线方程（一般式） 参考答案

用导数求切线方程的四种类型

用导数求切线方程的四种类型 浙江 曾安雄 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线 方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为 (1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --= 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴． 由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．

(完整版)用导数求切线方程教案

用导数求切线方程 一、教学目标： (1)知识与技能： 理解导数的几何意义. 能够应用导数公式及运算法则进行求导运算. (2)过程与方法： 掌握基本初等函数的导数公式及运算法则求简单函数的导数. (3)情感态度与价值观： 通过导数的几何意义的探索过程，掌握计算简单函数的导数，培养学生主动探索、勇于发现之间的联系的精神，渗透由特殊到一般的思想方法. 二、重点、难点 重点：能用导数的几何意义求切线方程. 难点：用导数求切线方程. 三、学情分析 学生在前面已学习导数的概念，能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，本节课进一步研究和学习导数的几何意义与切线方程之间的联系。根据学生好动、观察能力强的特点，让他们采用小组合作、讨论的形式归纳本节课的知识，突出本节课的重点、难点。 四、教学过程： 【知识回顾】 1. 导数的概念 函数()y f x =在0x x =处的导数是 _____________________.

2. 导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率，即________=k . 3. 基本初等函数的导数公式: 1）若()f x c =(c 为常数)，则()________'=x f ； 2）若()f x x α=,则()________'=x f ; 3）若()sin f x x =,则()________'=x f ； 4）若()cos f x x =,则()________'=x f ; 5）若()x f x a =,则()________'=x f ； 6）若()x f x e =,则()________'=x f ； 7）若()log x a f x =,则()________'=x f ； 8）若()ln f x x =,则()________'=x f . 4. 导数的运算法则 1）()()[]_______________'=±x g x f 2）()()[]_________________'=?x g x f 3）()_______________________')(=?? ????x g x f 4）()'________cf x =???? 【新课引入】 1. 用导数求切线方程的四种常见的类型及解法： 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =-- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=

利用导数求函数切线方程

利用导数求函数切线方程 摘要：导数是高中数学学习中分析和解决问题的有效工具，其中，导数在求解函数切线方程的应用中有很强的功能。本文采用“目标法”，通过对几个用导数求函数切线方程的例子的剖析，给出这类题的解题思路和技巧，让大家更深入地理解如何用“目标法”解决用导数求函数切线方程的问题，并在解题过程中通过“目标法”寻找策略，发现疏漏，同时展示高考题中用导数求切线方程的缜密的数学逻辑思维过程。 关键词：导数；切线方程；目标法；解题思路；数学逻辑 前言 导数作为高中教材必学内容之一，无论是在高中生的平时学习或者是在高考试题中，都毫无疑问的占有一席之地，已经有很多的教育工作者对有关导数在高中学习中的重要性和应该注意的一些问题进行了研究。付禹[1]采用问卷调查法，通过分析学生在测试中出现的问题和错误，对学生在学习“导数及其应用”中遇到的困难进行了分析。在高考试题中，导数已经从作为解决问题的辅助地位上升为分析和解决问题必不可少的工具[2]。而且，导数的广泛应用，也成为新教材高考试题的热点和命题的增长点[3]。可见，导数在高中学习中占有重要的位置。应用导数求函数的切线方程，这是导数的一个重要应用，对于高中生来说，也还存在一些解题误区，高春娇[4]对此做了分析。针对导数在求函数的切线方程中的重要性和高中生在学习过程中遇到的问题，作者主要想从一个高中生的视角，结合自己的解题经验，总结利用导数求函数切线方程的要点，并发现了解决导数问题的有效工具——“目标法”，同时在应用时体现数学的逻辑。希望对正在学习导数及其应用的高中学生有一定的帮助。文中选取的一些例题，主要来源于参考文献[5]，作者从另一角度给出了解题的思路和步骤，以及解答的过程，同时给出了解题中应该要注意到的诸多的细节问题，以期读者能掌握良好的做题习惯，感受强大的数学逻辑。 1用“目标法”解决用导数求函数的切线方程

导数之一：导数求导与切线方程

本章节知识提要 考试要求1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景； (2)理解导数的几何 意义. 2.导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝ x 1，y ＝x 的导数； (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数. 3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)； (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 4.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念； (2)了解微积分基本定理的含义 导数（1）：求导与切线 ?知识点梳理? 1. 求导公式与求导法则：

0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x sin )'(cos -= x x 1)'(ln = ； x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2. 法则1 )(.))'(('=x f c x cf 法则2 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±． 法则3 [()()]'()()()f x g x f x g x f x g x '= +, [()]'(cf x cf x '= 法则4：'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠ ??? 3．利用导数求曲线的切线方程：函数()y f x =在点0x 的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线斜率是0()f x '，切线的方程为000()()y y f x x x '-=- 曲线f (x )在A （m,n ）处的切线方程求法： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②求值：f ′(m )得过A 点的切线的斜率 ③由点斜式写出切线方程：y –n = f ′(m )(x-m) ?精选例题? 例1．求下列函数的导函数 1. x x f =)( 2.2)(e x f = 3.y=2x+3 4.x x f = )( 5.y=x 2+3x-3 6. 1y x = 7. x x x f ln 2)(= 8. 32)sin()(x x x f += 9. x x x x f 2ln )(+= 例2：.求函数12+=x y 在－1,0，1处导数。 例3：已知曲线313y x =上一点P （2，38 ），求点P 处的切线的斜率及切线方程？

实用圆切线方程的证明

关于圆的切线方程及相关公式的证明 一、点P(x 0,y 0)在圆上 1、在圆的标准方程（x-a) 2+(y-b) 2=r 2上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为 (x 0-a) (x-a) +(y 0-b) (y-b) =r 2或 (x 0-a) (x-x 0) +(y 0-b) (y-y 0) =0 证明：∵P(x 0,y 0)在圆上，（x 0-a) 2+(y 0-b) 2=r 2 ，圆心O(a,b)，OP 的斜率a x b y k --=00 ∴切线的斜率为k 1 - ，切线方程)(0000 x x b y a x y y ----=- 0))(())((0000=--+--y y b y x x a x ① （x 0-a) 2+(y 0-b) 2=r 2 ② ①+②得出（x 0－a ）(x －x 0+x 0－a)+(y 0-b)(y －y 0+y 0－b)= r 2 (x 0－a) (x －a) +(y 0－b) (y －b) =r 2 2、在圆的特殊方程x 2+y 2=r 2上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为 x 0x + y 0y ＝=r 2 （当a=0，b=0） 3、在圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2-4F ＞0）上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为x 0x + y 0y + D ×（2 x x + ）+ E ×（ 2 y y + ）+ F =0 证明：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 化成圆的标准方程 44)2()2(222 2 F E D E y D x -+= + ++ ∵P(x 0,y 0)在圆上，4 4)2 ()2 (222020F E D E y D x -+= + ++ ，OP 的斜率 2 2 00D x E y k + += ∴切线的斜率为 k 1 - ，切线方程

(完整版)利用导数求曲线的切线和公切线

利用导数求曲线的切线和公切线 一.求切线方程 【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1. (1)求在点P（1,0）处的切线l 1 的方程； (2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l 2 的方程. 提醒：注意是在某个点处还是过某个点！ 二.有关切线的条数 【例2】．（2014?北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x． （Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值； （Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论） 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3， 令f′（x）=0得，x=﹣或x=， ∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1， ∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为． （Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x 0，y ）， 则y 0=2﹣3x ，且切线斜率为k=6﹣3， ∴切线方程为y﹣y 0=（6﹣3）（x﹣x ）， ∴t﹣y 0=（6﹣3）（1﹣x ），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3， 则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1）， ∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值． ∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1， ∴当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）． （Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．

求圆的切线方程的几种方法

1 / 2 求圆的切线方程的几种方法 四川省冕宁中学 谢玉 在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题:求过已知圆上一点的切线方程,除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法,现将这些方法归纳整理,以供参考。 例：已知圆的方程是x ２ + y 2 ＝ r 2，求经过圆上一点Ｍ(ｘ0,y 0)的切线的方程。 解法一：利用斜率求解 同样适用。在坐标轴上时上面方程当点所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得的切线方程是：经过点，则，设切线的斜率为如图M . . . )(,.112002202020200000 000 00r y y x x r y x M y x y y x x x x y x y y M y x k x y k k k k OM OM =+=++=+--=--=∴=-=? 解法二:利用向量求解 () . .. )(0 PM OM ) ,(PM ),,OM PM OM ,p 22002202020200000000000r y y x x r y x M y x y y x x y y y x x x y y x x y x y x =+=++=+=-?+-?∴=?∴--==⊥所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：）（（，∵的坐标，设切线上的任意一点如图 （这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在) 解法三:利用几何特征求解 用。 重合时上面方程同样适和当所求的直线方程为：在圆上，所以因为点整理得：∵的一点，设直线上不同于如图M P r y y x x r y x M y x y y x x y x y y x x y x OP PM OM PM OM y x P y x M . .. )()() ,(),(2200220202020002 220 2020202 2200=+=++=++=-+-++∴=+∴⊥ 解法四：用待定系数法求解 图1 图2

求圆的切线方程的几种方法

1 求圆的切线方程的几种方法 在直线与圆的位置关系中,相切是一个重要的位置关系.众所周知,在圆上的点可以作一条直线与该圆相切,过圆外一点可以作二条直线与该圆相切.本文就如何求圆的切线方程的方法展开讨论,供同学们参考. 1.利用几何性质来求切线方程 当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径.因此,利用点到直线的距离公式即可以求出切线方程. 例1 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (3,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程. 解:当过P 的直线的斜率不存在时,显然不是圆的切线. 设所求的直线的斜率为k ,直线方程为y －2＝k (x －3), 化为一般形式为kx －y －3k ＋2＝0. 由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离d 等于半径2,即 d ＝|－1－3k ＋2|k 2＋1＝|3k －1|k 2＋1 ＝2, 解得k ＝3±265 . 所以切线方程为y －2＝3±265 (x －3). 点评:求切线方程时,点到直线的距离公式相当重要,不能记错.设直线方程时,一定要考虑直线的斜率不存在时的情况,避免漏解. 2.利用方程的判别式来求切线方程 当直线与圆相切时,直线与圆只有一个公共点,此时圆的方程与直线联立,利用判别式等于零即可以求出切线方程. 例2 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,圆外一点P (2,2),求经过点P 且与圆C 相切的直线方程. 解:当过P 的直线的斜率不存在时,直线x ＝2是圆的切线. 当过P 的直线的斜率存在时，设所求的直线方程为y －2＝k (x －2). 直线方程与圆的方程联立,整理,得(1＋k 2)x 2＋2k (1－2k )x ＋4k 2－4k －3＝0, 因为直线与圆只有一个公共点,故Δ＝4k 2(1－2k )2－4(1＋k 2)(4k 2－4k －3)＝0. 解得k ＝－34 . 所以所求的切线方程是x ＝2或y －2＝－34 (x －2). 点评:利用判别式求解时计算量比较大,本题注意不能漏解了x ＝2. 3.利用垂直关系求切线方程 当已知切点时,我们可以利用圆心与切点的连线与直线垂直、斜率之积为－1来求出切线方程. 例3 已知圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝4,求以P (3,2)为切点的切线方程. 解:由已知得圆心O (0,1),点P 在圆C 上,显然x ＝3不是圆的切线. 设切线方程为l :y －2＝k (x －3). 由直线OP ⊥l 得k ·k OP ＝－1,所以k ＝－1k OP ＝－3. 所以切线方程为y －2＝－3(x －3)即y ＝－3x ＋5. 点评:由直线垂直求出切线的斜率,可以避免繁杂的计算. 小结:在求圆的切线方程时,先判断切线方程有几条,再是注意特殊情况(如斜率不存在),三是注意使用哪种方法计算最简捷.

(完整版)利用导数求曲线的切线和公切线

利用导数求曲线的切线和公切线 一. 求切线万程 【例11 .已知曲线f(x)=x 3-2x 2+1. (1) 求在点P (1,0 )处的切线l 1的方程； ⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程. 提醒：注意是在某个点处还是过某个点！ 二. 有关切线的条数 【例21.( 2014?北京)已知函数f (x ) =2x 3 - 3x . (I)求f (x )在区间［-2, 1］上的最大值； (n)若过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切，求t 的取值范围; (川)问过点 A (- 1, 2), B (2, 10), C (0, 2)分别存在几条直线与曲线 y=f (x )相切？(只需写出结论) 【解答1 解：(I)由 f (x ) =2x 3 - 3x 得 f '( x ) =6x 2- 3, 令 f '(x ) =0 得，x= -^_或 x=」, ?- f (-2) =- 10, f (-=) =：-：, f (斗)=-::,f (1) =- 1, .f (x )在区间［-2, 1］上的最大值为：.：. (n)设过点P (1, t )的直线与曲线y=f (x )相切于点(X 。，y °), 则y °=2诃-3X 0，且切线斜率为k=6爲-3, .切线方程为 y -y o = (6-,- - 3)(x - x o ), +t+3=0，设 g (x ) =4x 3 - 6x 2+t+3 , 则“过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切”，等价于“ g (x )有3 个不同的零点”.T g '(x ) =12x 2- 12x=12x (x - 1), .g (0) =t+3是g (x )的极大值，g (1) =t+1是g (x )的极小值. .g (0)> 0 且 g (1)v 0,即-3v t v- 1, .当过点过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切时，t 的取值范围是 (-3,- 1). (rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x )相切； 过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x )相切； 过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x )相切. (6 t - y o = -3)( 1-X 。)，即卩 4嗚 2 O

利用导数求切线方程

切线方程的求法 ●基础知识总结和逻辑关系 一、 函数的单调性 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: 1) 确定函数的()f x 的定义区间； 2) 求'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 3) 把函数()f x 的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来， 然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间； 4) 确定'()f x 在各个区间内的符号，由'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区 间内的单调性. 二、 函数的极值 求函数的极值的三个基本步骤 1) 求导数'()f x ； 2) 求方程'()0f x =的所有实数根； 3) 检验'()f x 在方程'()0f x =的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则() f x 在这个根处取得极大（小）值. 三、 求函数最值 1) 求函数()f x 在区间(,)a b 上的极值； 2) 将极值与区间端点函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就 是最小值. 四利用导数证明不等式 1） 利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：

① 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减） 区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立. ② 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目 的. 2） 利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式. 导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题. ●解题方法总结和题型归类 1导数的几何意义及切线方程的求法 1）曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别： 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 2）解决方案：解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程. 【题】求过曲线cos y x =上点1 (,)32 P π且与在这点的切线垂直的直线方程. 【答案】：22032 x π--+= 【难度】* 【点评】

高考★圆锥曲线★的基本公式推导

圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2 换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程： 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22 =与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式， 再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+=+b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x

用导数求切线方程的四种类型

用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．例1　曲线在点处的切线方程为（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2　与直线的平行的抛物线的切线方程是（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 解：设为切点，则切点的斜率为． ． 由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线上的点的切线方程． 解：设想为切点，则切线的斜率为． 切线方程为． ． 又知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，或．

故所求切线方程为，或，即，或． 评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4　求过点且与曲线相切的直线方程． 解：设为切点，则切线的斜率为． 切线方程为，即． 又已知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，即． 评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性． 例5　已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为，点不在曲线上． 设切点为， 则点的坐标满足． 因， 故切线的方程为． 点在切线上，则有． 化简得，解得． 所以，切点为，切线方程为． 评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．

圆锥曲线的切线方程总结

运用联想探究圆锥曲线的切线方程 现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆2 22r y x =+上 一点),(00y x M 的切线方程为2 00r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为2 00r y y x x =+。那么，在圆锥曲线中，又 将如何？我们不妨进行几个联想。 联想一：（1）过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点),(00y x M 切线方程为 1202 0=+b y y a x x ；（2）当),(00y x M 在椭圆122 22=+b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+b y y a x x 证明：（1）2222 1x y a b +=的两边对x 求导，得22220x yy a b ' +=，得020 2 x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为20 0020 ()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y a b a b +=+= 。 （2）设过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 外一点),(00y x M 引两条切线，切点分别 为),(11y x A 、),(22y x B 。由（1）可知过A 、B 两点的切线方程分别为：12121=+b y y a x x 、 12222=+b y y a x x 。又因),(0 0y x M 是两条切线的交点，所以有1201201=+b y y a x x 、120 2202=+b y y a x x 。观察以上两个等式，发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+b y y a x x 。 评注：因),(00y x M 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的位置（在椭圆上或椭圆 外）的不同，同一方程12020=+b y y a x x 表示直线的几何意义亦不同。 联想二：（1）过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点),(00y x M 切线方程为 1202 0=-b y y a x x ；（2）当),(00y x M 在双曲线122 22=-b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=-b y y a x x 。（证明同上） 联想三：（1）过圆锥曲线2 2 0Ax Cy Dx Ey F ++++=（A ，C 不全为零）上的点 ),(00y x M 的切线方程为00 00022 x x y y Ax x Cy y D E F ++++++=；（2）当

圆锥曲线的切线方程的推导

圆锥曲线的切线方程的推导 2 2 1.若点P(x o ,y o ) 是椭圆 笃?爲=1上任一点，则椭圆过该点的切线方程为： 一 b x o x y o y 1 a 证明: 1° 当 b 2 2 2 由占"亠 b a x- -a 时，过点 ???对①式求导：2yy'= 2 y 2二圧(1一笃)……① a P 的切线斜率k 一定存在，且k - y' |x 2b 2 x O , a 二 k 二 y ' |x 談- a y o 2 x ???点P(x o ,y o )在椭圆 — a _b X 。 . b 2x ?切线方程为 y_y o =_ — (X_xJ ..... a yo 2 2 故辱1 a 2 b 2 而当x = a 时, 代入②得 y o = 0 X o x _y o y 2 .2 ~ 1 a b 切线方程为x 二- a ，也满足③式 故驴晋可是椭圆过点 P(x 0,y 0)的切线方程. 2.若点P(x o ,y o )是双曲线 2 2 計計1上任一点，则双曲线过该点的切线方程为: x °x y o y a 2 证明: 1°当 2 = 1。 b 2 2 2 由 b-^-1- b a x = -a 时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且k = y'L 承。 2 b 2(^2 -1) .. ① a ?对①式求导 ?切线方程为 2b 2 2yy'=-^rxo ?- k= y'l x’ a b 2x o 2 a y o y _y 。二 警(x - X 。) a y o 2 2 2 2 ??点 P(x o ,y °)在双曲线 仔-与=1上，故 第逆 =1 a b a b 代入②得 x o x y o y a 2 b 2 =1…③ 而当x 二-a 时，y 。二O ,切线方程为x 二-a ，也满足③式

高中数学用导数方法求圆锥曲线的切线.doc

用导数方法求圆锥曲线的切线 求解函数图象上过某点的函数图象的切线的方程，是导数的一个重要应用。有心圆锥曲线一般情形下都不是函数图象，所以习惯上，一般我们不用导数方法求解圆锥曲线的切线问题，而是利用传统的方法，即判断直线和圆锥曲线方程所组成的方程组的解的情况来解决，但是有时候这种解法会比较烦琐，特别是含有参数的时候计算量较大。而我们可以将圆锥曲线分成“几个函数”来分别讨论，这样就可以实现用导数的方法来求曲线的切线了。本文将用导数的方法证明一个有心圆锥曲线的性质。 引理1：过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的该椭圆的切线方程为12020=+b y y a x x ； 证明：我们先考虑当的情形；0>y ,022x a a b y y -=>时，，22'x a a bx y --= ，20200|'x a a bx y x x --== b ay x a x a a b y 0202220,=--=所以而 ,,|'000 2020的斜率）的切线（即为椭圆过l y x P y a x b y x x -=∴= )(:00 2020x x y a x b y y l --=-∴切线 .1,20202202202020222 022020202=++=++=+b y y a x x b y a x b y y a x x b a y a x b y y a x x b ，即得 两边同除以化简得 当0