二次函数中考题型归类
《二次函数》考点复习精讲
【专题综述】
二次函数2
(,,y ax bx c a b c =++为常数，0a ≠)的定义和性质是中考中重点考查的内容.一般来说，对不同函数图象和性质的综合考查，多以中低难度客观题的形式呈现;用待定系数法求函数的解析式仍是解答题的“主角”;一次函数、反比例函数与二次函数的综合题，多是稍有难度的实际问题，需要特别注意自变量的取值范围;以函数为载体，或给出新概念，将三角形、四边形以及图形变换等知识融入的题目，具有较强的综合性和开放性，多位居压轴题的位置.2018年的中考将会延续这种基本走向.【方法解读】考点1二次函数的图象和性质
例1(2017?连云港)已知抛物线2
(0)y ax a =>过12(2,),(1,)A y B y -两点，则下列关系式一定正确的是
(
)
A.120y y >>
B.210y y >>
C.120y y >>
D.210
y y >>解:依题意，易知抛物线开口向上，对称轴为y 轴，且顶点为坐标原点，又结合图象的对称性可知12y y >.故选C.
评注:比较函数值的大小，可依据图象的开口方向以及相关点与对称轴的距离远近作出判断.例2以x 为自变量的二次函数2
2
2(2)1y x b x b =--+-的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是
(
)
A.54
b ≥
B.1b ≥或1b ≤-
C.2
b ≥ D.12
b ≤≤解:Q 二次函数2
2
2(2)1y x b x b =--+-的图象不经过第三象限，
∴抛物线在x 轴的上方(顶点在x 轴的上方或者在x 轴上)或在x 轴的下方经过第一、第二、第四象限这两种
情况.
①抛物线在x 轴的上方(顶点在x 轴的上方或者在x 轴上)时，
Q 二次项系数1a =，∴抛物线开口方向向上.
22[2(2)]4(1)0b b ∴=----≤V .
解得54
b ≥
.②当抛物线在x 轴的下方经过第一、第二、第四象限时，设抛物线与x 轴交点的横坐标分别为12,x x ,
2221212[2(2)]4(1)0,2(2)0,10b b x x b x x b ∴=---->+=->?=-≥V .
解这3个不等式，易知无公共解，也即此种情况不存在.综上所述，5
4
b ≥
.故选A.评注:解题的关键是正确分析图象的位置，并列出关于b 的不等式组求解.考点2二次函数的图象与各项系数之间的关系
例3
(2017?杭州)设直线1x =是函数2
(,,y ax bx c a b c =++是实数，且0a <)的图象的对称轴(
)
A.若1m >，则(1)0m a b -+>
B.若1m >，则(1)0m a b -+<
C.若1m <，则(1)0m a b -+>
D.若1m <，则(1)0m a b -+<解:由抛物线的对称轴是直线1x =,
12b
x a
∴=-
=.2b a ∴=-.
(1)(3)m a b m a ∴-+=-.
又0a <，
当1m <时，(3)0m a ->.故选C.
评注:对称轴是直线1x =，得2b a =-是解决本题的关键.例4
已知二次函数2
2(0)y ax bx a =--≠图象的顶点在第四象限，且过点(-1,0)，当a b -为整数时，ab
的值为()
A.
34或1 B.
14或1 C.34或12 D.
14或34
解:由题意，知0,0,202b
a a
b a ->->+-=，故0b >，且
2,(2)22b a a b a a a =--=--=-，于是02a <<,
2222a ∴-<-<，又a b -为整数.221,0,1a ∴-=-.∴1232a b ?=????=??,11a b =??=?,3212a b ?=????=??.3
4
ab ∴=
或1.故选A.评注:二次函数的系数与其图象特征之间存在本质联系.据此，将已知条件都用,a b 表示出来，就可使二者之间的数量关系逐步明晰.学~科！网例5
(2017?日照)已知抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点坐标为
(4,0)，其部分图象如图1所示.下列结论:①抛物线过原点;②40a b c ++=;③0a b c -+<;④抛物线的顶点坐标为(2,)b ;⑤当2x <时，y 随x 的增大而增大.其中正确的结论是(
)
A.①②③
B.③④⑤
C.①②④
D.①④⑤
解:依题意，易知抛物线过原点.①正确.
Q 抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线2x =，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，0c ∴=.22b
a
-
=Q ,40a b ∴+=.
40a b c ∴++=.②正确.
1x =-Q 时,y a b c =-+，又由图象知，此时0y >.③错误.222444ac b b b b a a b
---===-Q .
∴抛物线的顶点坐标为(2,)b .④正确.
当2x <时，y 随x 增大而减小.⑤错误.综上所述，①②④正确.故选C
评注:对于一些比较复杂的涉及二次函数字母系数的结论的辨析，可依题意作适当的代换变形，导出式子，如对②的判断;先给x 赋值，代入函数关系式中，得到所要判定的式子，再结合图形，观察x 取该值时，y 的取值，得出结论，如对③的判断等.考点3二次函数与一元二次方程的关系
例6抛物线2
2221y x x =-+与坐标轴的交点个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
解:在2
2221y x x =-+中，令0x =，得1y =，即抛物线与y 轴的交点坐标为(0,1);令0y =，得
22210x x -+=.
解得1222x x ==
，即抛物线与x 轴的交点坐标为2,0)2
.所以抛物线与坐标轴的交点个数是2.故选C.
评注:抛物线2
y ax bx c =++与x 轴的位置关系，与一元二次方程2
0ax bx c ++=的根的情形有着密切的联系.我们时常需要在参透系数,,a b c 几何意义的基础上，数形结合解决问题.例7
图2是二次函数2
0(0)y ax bx c a =++=≠和正比例函数2
3
y x =
的图象，则方程22
()0(0)3
ax b x c a +-+=≠的两根之和(
)
A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.不能确定
解:由图象可知，方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的两根之和大于0,0a >,
0b
a
∴-
>.设方程22()03
ax b x c +-+=的两根为12,x x ,则122
2303b b x x a a a -
+=-
=-+>.故选A.评注:准确提取图象信息是正确推断的基础.实际上，方程2
2(0(0)3
ax b x c a +-+=≠的两根就是函数
20(0)y ax bx c a =++=≠与2
3
y x =交点的横坐标，若能如此思考，单凭观察图象即可得到结论.
考点4函数图象的平移变换
例8
(2017?兰州)抛物线2
33y x =-向右平移3个单位长度，得到新抛物线的解析式为(
)
A.2
3(3)3y x =-- B.2
3y x
=C.2
3(3)2
y x =+- D.2
36
y x =-解:依题意，平移后的抛物线的解析式为2
3(3)3y x =--.故选A.
评注:函数图象平移后解析式的变化规律是:左加右减，上加下减.在实施平移时，如果给出的二次函数是一般式，转化为顶点式求解.例9
(2017?丽水)将函数2
y x =的图象用下列方法平移后，所得图象不经过点(1,4)A 的方法是(
)
A.向左平移1个单位
B.向右平移3个单位
C.向上平移3个单位
D.向下平移1个单位
解:将点A 的坐标逐一代入图象平移后的函数解析式检验可知，向下平移1个单位后的图象不经过点A .故选D.
评注:对函数图象平移前后解析式的变化规律把握不准就可能错选答案.学@科#网例10
若抛物线2
23y x x =-+不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直
方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为()
A.2
(2)3y x =-+ B.2
(2)5y x =-+C.2
1
y x =- D.2
4
y x =+解:坐标系的平移和图象的平移互为反方向，题中给出的坐标系平移变换相当于把抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位.
2(1)2y x =-+Q ，
∴原抛物线的解析式应变为22(11)231y x x =-++-=-.故选C.
评注:可能会有同学不能正确理解题意，或者混淆坐标系与图象平移二者之间的关系导致出错.考点5二次函数的最值问题
例11
(2017?绍兴)某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建
筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x (m)，占地面积为y (m 2).(1)如图3，问饲养室长x 为多少时，占地面积y 最大?
(2)如图4，现要求在图中所示位置留2m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2m 就行了.”这个说法正确吗?
解:依题意，得
2501625
(25)222
x y x x -=?
=--+
,∴当25x =(m)时，占地面积y 最大，即饲养室长x 为25m 时，占地面积最大.
(2)依题意，得
250(2)1
(26)33822
x y x x --=?
=--+,
一告(x-26)2+338.
∴当26x =(m)时，占地面积y 最大，即饲养室长x 为26m 时，占地面积最大.262512-=≠Q ，∴小敏的说法不正确.
评注:该例可以看作由人教版初中数学课本九年级上册第49页的探究1改编而成的.在运用二次函数的性质求实际问题的最值时，时常需要注意题目对自变量取值范围的限制，在其端点处函数可能会取到最值.考点6二次函数与其他函数的综合
例12
(2017?凉山)一次函数(0)y ax b a =+≠与二次函数2
(0)y ax bx a =+≠的图象大致是(
)
解:在选项A 中，易得0a >，而由直线得0b >，由抛物线得02b
x a
=-
>.得0b <，矛盾.在选项B 中，易得0a >,0b <，该选项正确.在选项C 中，由抛物线得0a <，由直线得0a >，矛盾.在选项D 中，由抛物线得0a >，由直线得0a <，矛盾.故选B.
评注:含有两个以上函数图象的选择题多采用排除法实施推断.根据图象的特征(开口方向、与坐标轴交点坐标的正负等)，依次查寻选项中不同函数图象间的关系，逐步排除错误选项，最后作出选择.例13
如图5，二次函数2
(2)y x m =++的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线
的对称轴对称，已知一次函数y kx b =+的图象经过该二次函数图象上的点(1,0)A -及点B .
(1)求二次函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象，写出满足2
(2)x m kx b ++≥+的x 的取值范围.解:(1)Q 抛物线2
(2)y x m =++经过点(1,0)A -，
01m ∴=+.1
m ∴=-∴二次函数的解析式为2(2)1y x =+-，即243y x x =++.(0,3)C ∴.
Q 对称轴为直线2,,x B C =-关于对称轴对称，(4,3)B ∴-.
y kx b =+Q 经过点,A B B,∴034k b k b =-+??=-+?
,
解得1
1
k b =-??
=-?,
∴一次函数的解析式为1y x =--.
(2)由图象可知，满足2
(2)x m kx b ++≥+的x 的取值范围为4x ≤-或1x ≥-.
评注:求函数解析式的前提是确定函数图象上相关点的坐标，而坐标的确定依赖于对已知条件的充分挖掘和对函数性质的灵活运用.求函数的解析式，一般是要先求函数图象上点的坐标.例14
某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，对30天销售一种成本为10元/件的商品
进行统计，得到此商品单价在第x 天(x 为正整数)销售的相关信息，如下表所示:
(1)请计算第几天该商品单价为25元/件?
(2)求网店销售该商品30天里所获利润y (元)关于x (天)的函数关系式.解:(1)①当120x ≤≤时，将25m =代入1
202
m x =+.解得10x =.
②当2130x ≤≤时，将25m =代入420
10m x
=+.解得28x =.
经检验28x =是方程420
2510x
=+
的解.综上所述，第10天或第28天时该商品单价为25元/件.
(2)①当120x ≤≤时，211
(10)(2010)(50)1550022
y m n x x x x =-=+
--=-++.②当2130x ≤≤时，4202100
(1010)(50)420y x x x
=+--=-.
综上所述，2
115500(120)2
2100420(2130x x x y x x
?-++≤≤??=??-≤≤??）.
评注:当x 在不同的范围内取值时，y 对应不同的表达式，是实际问题的数学模型的普遍特点，对此就必须分类讨论.【强化训练】
1．（2017内蒙古包头市）已知一次函数14y x =，二次函数2
222y x =+，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为1y 与2y ，则下列关系正确的是（）
A ．12y y >
B ．12
y y ≥C ．
12y y y y ≤【答案】D ．【解析】试题分析：由2 422 y x y x =?? =+?消去y 得到：2210x x -+=，∵△=0，∴直线y =4x 与抛物线2 22y x =+只有 一个交点，如图所示，观察图象可知：12y y ≤，故选D ． 考点：二次函数与不等式（组）．学@科%网 2．（2017四川省乐山市）已知二次函数mx x y 22 -=（m 为常数），当﹣1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为﹣2，则m 的值是（）A ． 23 B ．2 C ． 2 3 或2D ．2 3 - 或2【答案】D ．【解析】 考点：1．二次函数的最值；2．最值问题；3．分类讨论；4．综合题． 3．（2017四川省凉山州）已知抛物线2 22y x x m =+--与x 轴没有交点，则函数m y x =的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C ．【解析】 考点：1．反比例函数的图象；2．抛物线与x 轴的交点． 4．（2017四川省泸州市）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程2 2 2240x tx t t -+-+=的两实数根，则 (2)(2)m n ++的最小值是（ ）A ．7B ．11 C ．12 D ．16 【答案】D ．【解析】 试题分析：∵△=（2t ）2﹣4（224t t -+）≥0，∴t ≥2，又∵m +n =2t ，mn =2 24t t -+，∴ (2)(2)m n ++=2()4mn m n +++=224224t t t -++?+=228t t ++=2(1)7t ++，根据二次函数的性 质，t ≥-1时，函数值随t 的增大而增大，∵t ≥2，∴当t =2时，(2)(2)m n ++的值最小，此时 (2)(2)m n ++=2(21)7++=16，即最小值为16．故选D ． 考点：1．二次函数的性质；2．最值问题；3．二次函数的最值；4．根与系数的关系；5．综合题．5.（2017山东省威海市）已知二次函数2 y ax bx c =++（a ≠0）的图象如图所示，则正比例函数y =（b +c ）x 与反比例函数x c b a y +-= 在同一坐标系中的大致图象是（） A ． B ． C ． D ． 【答案】C ．【解析】 试题分析：由二次函数图象可知a ＞0，c ＞0，由对称轴x =2b a - ＞0，可知b ＜0，当x =1时，a +b +c ＜0，即b +c ＜0，所以正比例函数y =（b +c ）x 经过二四象限，反比例函数x c b a y +-=图象经过一三象限，故选C ． 考点：1．反比例函数的图象；2．正比例函数的图象；3．二次函数的图象． 6.（2017山东省淄博市）将二次函数2 21y x x =+-的图象沿x 轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（ ） A ．2 (3)2y x =+-B ．2 (3)2y x =++C ．2 (1)2y x =-+D ．2 (1)2 y x =--【答案】D ．【解析】 考点：二次函数图象与几何变换． 7.（2017湖北省鄂州市）如图抛物线c bx ax y ++=2 的图象交x 轴于A （﹣2，0）和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB =OC ，下列结论：①2b ﹣c =2；②a = 12；③ac =b ﹣1；④a b c +＞0其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C ．【解析】 ∵ac ﹣b +1=0，∴b =ac +1，a =12，∴b =1 2 c +1，∴2b ﹣c =2，故①正确；故选C ． 考点：1．抛物线与x 轴的交点；2．二次函数图象与系数的关系． 8.（2017新疆）如图，在边长为6cm 的正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别从点A 、B 、C 、D 同时出发，均以1cm /s 的速度向点B 、C 、D 、A 匀速运动，当点E 到达点B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s 时，四边形EFGH 的面积最小，其最小值是 cm 2． 【答案】3，18． 【解析】 18． 故答案为：3，18． 考点：1．二次函数的最值；2．正方形的性质；3．动点型；4．最值问题；5．二次函数的最值．学~科`网 9.（2017贵州省贵阳市）如图，直线y=2x+6与反比例函数 k y x =（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x 轴交于点B，平行于x轴的直线y=n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．（1）求m的值和反比例函数的表达式； （2）直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？ 【答案】（1）m=8， 8 y x =；（2）n=3． 【解析】 （2）由题意，点M ，N 的坐标为M （ 8n ，n ），N （62n -，n ），∵0＜n ＜6，∴62n -＜0，∴S △BMN =12 ×（|62n -|+|8n |）×n =12×（﹣62n -+8n ）×n =2125(3)44 n --+，∴n =3时，△BMN 的面积最大． 考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．平移的性质；3．最值问题；4．二次函数的最值．10.（2017湖北省荆门市）我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y 1（百件）与时间t （t 为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示，网上商店的日销售量y 2（百件）与时间t （t 为整数，单位：天）的部分对应值如图所示． （1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y 1与t 的变化规律，并求出y 1与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围； （2）求y 2与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y （百件），求y 与t 的函数关系式；当t 为何值时，日销售总量y 达到最大，并求出此时的最大值． 【答案】（1）2 1165y t t =-+（0≤t ≤30，且为整数）；（2）24 (010)30 (1030)t t y t t ≤≤?=?+<≤? ，且为整数，且为整数；（3） 2 2 1 +10t (010)5 1 +7t+30 (1030)5 t t y t t ?-≤≤??=? ?-<≤??，且为整数，且为整数，当t =17或18时，y 最大=91.2百件．【解析】 最大 =80；当10＜t ≤30时，得到y 最大=91.2，于是得到结论． 试题解析：解（1）根据观察可设2 1y at bt c =++，将（0，0），（5，25），（10，40）代入得：0 255251001040c a b a b =??+=??+=?， 解得：1560 a b c ?=-??=??=?? ，∴y 1与t 的函数关系式为：2 1165y t t =-+（0≤t ≤30，且为整数）； （2）当0≤t ≤10时，设y 2=kt ，∵（10，40）在其图象上，∴10k =40，∴k =4，∴y 2与t 的函数关系式为：y 2=4t ，当10≤t ≤30时，设y 2=mt +n ，将（10，40），（30，60）代入得：10403060m n m n +=?? +=?，解得：1 30 m n =??=?， ∴y 2与t 的函数关系式为：y 2=t +30，综上所述，24 (010)30 (1030) t t y t t ≤≤?=? +<≤?，且为整数，且为整数； （3）依题意得y =y 1+y 2，当0≤t ≤10时，y =2 1645 t t t -++=2 1 +10t 5 t -=1 5 -（t ﹣25）2+125，∴t =10时，y 最大=80； 当10＜t ≤30时，y =15- t 2+6t +t +30=21 +7t+305t -=2135365()524 t --+，∵t 为整数，∴t =17或18时，y 最大=91.2，∵91.2＞80，∴当t =17或18时，y 最大=91.2（百件）． 综上所述：2 21 +10t (010)5 1 +7t+30 (1030)5 t t y t t ?-≤≤??=??-<≤??，且为整数，且为整数，当t =17或18时，y 最大=91.2百件． 考点：1．二次函数的应用；2．分段函数；3．二次函数的最值；4．最值问题．学@科6网 中考数学中二次函数压 轴题分类总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 二次函数的压轴题分类复习 一、抛物线关于三角形面积问题 例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ??=4 5 ,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 练习： 1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式； （3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求?BON 的面积的最大值，并求 出此时点N 的坐标； 2. 如图，已知抛物线42 12++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作 正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． y x O B N A M E F B y 中考二次函数压轴题经典题型 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM 有最大面积，求矩形PNDM的面积最大值？ 2、如图，二次函数的图象经过点D(0， 3 9 7 )，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（1 2 ， 5 2 ）和B（4，m），点P是线段AB 上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 4、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB 的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。 5、如图1，对称轴x=为直线的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，若M是线段BC上一动点，在轴上是否存在这样有点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 专题10二次函数的应用一．解读考点 知识点 二次函（1）利润问题 数应用（2）几何问题 类型（3）抛物线型问题 名师点晴 利用二次函数的最值确定最大利润、最大面积是二次函数应用最常见的问题. 一般方法是： （1）建模（最重要的 就是可以读懂题意），然 二次后求二次函数的解析式，解决此类问题的关键是①函数并把x的取值范围求出；认真审题，理解题意，建 应用（2）求x= ﹣b 2a 的值；立二次函数的数学模型， 的解（3）判断x=﹣b的值在再用二次函数的相关知识 2a 题步不在自变量x的取值范解决②注意自变量的取值骤围 ①在，即相当于求顶点处 函数的最大值或最小值 ②不在，可画草图根据二 范围． 次函数的增减性来解答． 二．考点归纳 归纳1：利润问题 基础知识归纳： ①每件商品的利润=售价—进价 ②商品的总利润=每件商品的利润×销售量=（售价—进价）×销售量 ③商品的总利润=总收入－总支出 ④商品的利润率== 例1.（2017湖北十堰）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每月的销量为y箱． (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y=60+10x（1≤x≤12，且x为整数）； （2）超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元. 【解析】 试题分析：(1)根据题意，得：y=60+10x，由36?x≥24得x ≤12， ∴1≤x≤12，且x为整数； (2)设所获利润为W， 则W=(36?x?24)(10x+60)=?10x2+60x+720=?10(x?3)2+810， ∴当x=3时，W取得最大值，最大值为810， 答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元. 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． 【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 《二次函数》中考题型归类 二次函数是初中数学的核心知识之一，也是中考的必考考点.考查的主要知识点有:二次函数的概念，二次函数解析式的三种表达形式，二次函数的图象及其性质，二次函数与一元二次方程和不等式的关系，用二次函数解决实际问题.为方便同学们学习，及时理解二次函数在中考中的地位，现以中考试题为例，对二次函数的典型题型进行展示与解析. 一、二次函数的概念 例1 若函数2(1)42y a x x a =--+的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为. 分析:题目中没有说明函数的类型，由于a 是变化的，因此这个函数可能是二次函数，也可能是一次函数，前者的条件是1a ≠，后者的条件是1a =，所以需要进行分类讨论. 解:①当1a ≠时，函数2(1)42y a x x a =--+是二次函数，由它的图象与x 轴有且只有一个交点，得2(4)4(1)20a a =--?-?=V . 整理，得220a a --=. 解得122,1a a ==-. ②当1a =时，函数2(1)4242y a x x a x =--+=-+是一次函数，其图象与x 轴的交点为1(,0)，满足“图象与x 轴有且只有一个交点”的要求，因此1a =满足要求. 综上所述，a 的值为1或2或-1. 评注:形如2y ax bx c =++(,,a b c 为常数，0a ≠)的函数叫做二次函数.这里有两个要素:一是0a ≠，二是x 的最高次数为2，两者缺一不可.不能误认为2y ax bx c =++就一定是二次函数，当0,0a b =≠时，它是一次函数;当0,0a b ==时，它是平行(或重合)于x 轴的一条直线.因此，对于这类含字母系数的函数问题，要弄清它是否一定为二次函数，注意进行分类讨论.中考时，命题者常设计这方面的试题来考查考生的分类意识. 二、二次函数的图象与性质 例2 (1)(2017?金华)对于二次函数2(1)2y x =--+的图象与性质，下列说法正确的是() A.对称轴是直线1x =，最小值是2 B.对称轴是直线1x =，最大值是2 C.对称轴是直线1x =-，最小值是2 D.对称轴是直线1x =-，最大值是2 (2)(2017?宁波)抛物线2222y x x m =-++(m 是常数)的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 二次函数 一、二次函数概念： １.二次函数的概念:一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数. 2． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是２． ⑵ a b c ，，是常数,a 是二次项系数，b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1． 二次函数基本形式:2y ax =的性质: ａ 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3． ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 ４. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下 : 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2． 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小; 当2b x a >- 时,y 随x 的增大而增大; 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113 +113 + 3）点Q的坐 标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式； （2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1 2 CD＝CE．利 用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标； （3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛 物线的解析式联立，得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ，求解即可得出点Q的坐标． 【详解】 （1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）， ∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1）， 二次函数题型分析练习 题型一：二次函数对称轴及顶点坐标的应用 1.（2015?兰州）在下列二次函数中，其图象对称轴为x =﹣2的是（ ） A ． y =（x +2）2 B ．y =2x 2﹣2 C ．y =﹣2x 2﹣2 D ．y =2（x ﹣2）2 2.（2014?浙江）已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y =x 2+4x +10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称 点坐标为（ ） A.（﹣3，7） B.（﹣1，7） C.（﹣4，10） D.（0，10） 3.在同一坐标系中，图像与y=2x 2 的图像关于x 轴对称的函数是（ ） A.212y x = B.212y x =- C.22y x =- D.2y x =- 4.二次函数 无论k 取何值，其图象的顶点都在( ) A.直线 上 B.直线 上 C.x 轴上 D.y 轴上 5.（2012?烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2 +1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直 线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6.（2014?扬州）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y 轴的直线，若点 P （4，0）在该抛物线上，则4a ﹣2b +c 的值为 ． 7.已知二次函数 ，当 取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则当 取 时，函数值为 （ ） A. B . C. D.c 8.如图所示，已知二次函数 的图象经过（-1,0）和（0,-1）两点，则化简代数式 = . 题型二：平移 二 次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 )2 h k +方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、 与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值 244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点 中考数学二次函数分类汇编试题含答案 一、选择题 1、（2007天津市）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ） B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、（2007南充）如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）．B （A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③ 3、（2007广州市）二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）B A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数 2y ax bx =+的图象可能为（ ）A 5、（2007四川资阳）已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点(-1，2)，(1，0) . 下 列结论正确的是( )D A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大 B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小 C. 存在一个负数x 0，使得当x 初三数学二次函数综合练习 卷 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 2 2 3x y -= 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； 二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2 y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得 到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2 y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若 与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 1 二次函数练习题 练习一 二次函数 1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如 下表： 时间t （秒） 1 2 3 4 … 距离s （米） 2 8 18 32 … 写出用t 表示s 的函数关系式： 2、 下列函数：① 23y x ；② 21y x x x ；③ 224y x x x ；④ 2 1y x x ； ⑤ 1y x x ，其中是二次函数的是 ，其中a ，b ，c 3、当m 时，函数2 235y m x x （m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m 时，函数22 21 m m y m m x 是关于x 的二次函数 5、当____m 时，函数256 4m m y m x +3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿. 7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ， 那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2. 10、已知二次函数),0(2 ≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形. （1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的 长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？ 1．（2016·山东省滨州市·3分）抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：抛物线y=2x2﹣2x+1，令y=0，得到2x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，解得：x1=x2=，故选C 2、（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）故选C． A．B．C．D． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误． 3、2016·四川泸州）已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（） A．或1 B．或1 C．或D．或 【解答】解：依题意知a＞0，＞0，a+b﹣2=0，故b＞0，且b=2﹣a，a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，于是0＜a＜2，﹣2＜2a﹣2＜2，又a﹣b为整数， ∴2a﹣2=﹣1，0，1，故a=，1，，b=，1，，∴ab=或1，故选A． 4、（2016·四川攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（） A．2a﹣b=0 B．a+b+c＞0 C．3a﹣c=0 D．当a=时△ABD是等腰直角三角形 【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线 x=1，则﹣=1，即2a+b=0，得出，选项A错误； 当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误； 当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，而b=﹣2a，可得到a与c的关系，得出选项C错误； 当a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣，把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，∴D点坐标为（1，﹣2），∴AE=2，BE=2，DE=2， ∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，∴△ADB为等腰直角三角形，∴选项D正确． 中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例1】（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； （3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.（2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 2.（2010绵阳）如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标； （2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3．(2012铜仁)如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图2中考数学中二次函数压轴题分类总结
中考二次函数压轴题经典题型
中考专项复习：二次函数的应用题型总结解析版
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
中考复习：二次函数题型分类总结
(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
《二次函数》中考题型归类汇编
人教版初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
中考数学二次函数-经典压轴题及答案
二次函数中考复习(题型分类练习)
北师大版中考复习二次函数经典总结及典型题
中考数学二次函数分类汇编试题
(完整)初三数学二次函数经典习题
中考数学二次函数压轴题题型归纳
最新北师大版中考复习二次函数经典总结及典型题
初三__二次函数基础分类练习题(含答案)解析
最新中考二次函数经典题型带解析
2019中考二次函数压轴题专题分类训练
- 2020中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题-
- 《二次函数》中考题型归类汇编
- (完整版)中考数学二次函数压轴题题型归纳(学生版)
- 中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题-(-含答案)
- 中考二次函数题型归类
- 二次函数中考复习(题型分类练习)
- (完整版)中考复习：二次函数题型分类总结
- 中考数学二次函数压轴题题型归纳
- 2019中考二次函数压轴题专题分类训练.pptx
- 中考复习：二次函数题型分类总结
- 中考数学二次函数压轴题题型归纳
- (完整版)中考数学二次函数压轴题题型归纳
- 中考数学二次函数压轴题题型归纳
- 初三__二次函数基础分类练习题(含答案)解析
- 中考数学题型归类总结共58页
- 二次函数中考复习题型分类练习
- 中学考试数学二次函数压轴题题型归纳
- 中考复习：二次函数题型分类总结
- 中考复习：二次函数题型分类总结材料
- 精品课件-中考二次函数压轴题专题分类训练