八年级数学勾股定理试卷含答案
八年级数学试卷（勾股定理）
一、选择题（将正确答案代号填入下表中，每小题 3分，共 36 分） 1．以下列数组为边长的三角形，恰好是直角三角形的是（
）
A ．4，6，8
B ．4，8，10
C ．6，8，10
D ． 8， 10，12 2．已知命题：等边三角
形是等腰三角形．则下列说法正确的是（
）
A ．该命题为假命题
B ．该命题为真命题
C ．该命题的逆命题为真命题
D ．该命题没有逆命题
3．一个圆柱形铁桶的底面半径为 12cm ，高为 32cm ，则桶内所能容下的木棒最
长为（ ）
A ．20cm
B ．50cm
C ．40cm
D ．45cm
4．等边三角形的边长为 2，则该三角形的面积为（ ）
A ．4
B ．
C ．2
D ．3 5．如图，将三边长分别为 3，4，5的△ ABC 沿最
长边翻转 180°成△ABC 1，则 CC 1
6．如图，正方形网格中的△ ABC ，若小方格边长为 1，则△ ABC 的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．以上答案都不对
D ．
7．如图，△ ABC和△ DCE都是边长为 4 的等边三角形，点B、C、E在同一条直
8．长方形的一边长为4，对角线与长方形另外一条边相差2，则长方形的面积为（）
A．8 B．4 C．6 D．12
9．在直角三角形中，如果有一个角是30°，这个直角三角形的三边之比最有可
能的是（）
A．3：4：5 B．1：1：C．5：12：13 D．1：： 2
10．设a、b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab 的值是（）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
11．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过
点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）
A．4 dm B．2 dm C．2 dm D．4 dm
12．如图，在 6 个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从 A 点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）
A．1 种B．2 种C．3 种D．4 种
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上）13．如果三角形的三边分别为
，，2，那么这个三角形的最大角的度数为．14．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点 E 在边DC 上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E 的坐标为．
15．如图，以Rt△ ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边
AB=a，则图中阴影部分的面积为．
16．如图所示，在△ ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P 从点
A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出计算过程）17．在
cm2．
3 秒时，△ BPQ 的面积
为
Rt△ABC中，∠ C=90°．
（1）已知c=25，b=15，求a；
（2）已知a= ，∠ A=60°，求b、c．
18．如图，已知在△ ABC中，CD⊥AB于D，BD=9，BC=15，
AC=20．（1）求CD的长；
（2）求AB 的长；
（3）判断△ ABC的形状．
19．如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC 的中点 D 重合，折痕为MN，求线段BN的长．
20．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面 3 尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为 6 尺，请问水深多少？
21．如图，△ ABC，△ AED 是两个大小一样的三角形，已知∠ ADE=90°，
AE=5，
22．在△ ABC中，AB=2 ，AC=4，BC=2，以AB为边向△ ABC外作△ ABD，使△ ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
23．在△ ABC中，a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m、n 都是正整数；且m
> n，试判断△ ABC是否为直角三角形？
24．长方形OABC绕顶点C（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到CO′A′位B 置′时，边O′A交′边AB于D，且A′D=，2 AD=4．
（1）求BC长；
（2）求阴影部分的面积．
八年级数学试卷（勾股定理）
参考答案与试题解析
一、选择题（将正确答案代号填入下表中，每小题3分，共36 分）1．以下列数组为边长的三角形，恰好是直角三角形的是（）
A．4，6，8 B．4，8，10 C．6，8，10 D．8，10，12 【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．
【解答】解：A、∵ 42+62≠82，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
B、∵42+82≠102，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
C、∵62+82=102，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
D、∵82+102≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，
故错误；故选C．
2．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（）
A．该命题为假命题B．该命题为真命题
C．该命题的逆命题为真命题D．该命题没有逆命题
【考点】命题与定理．
【分析】首先判断该命题的正误，然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选项．
【解答】解：等边三角形是等腰三角形，正确，为真命题；其逆命题为等腰三角形是等边三角形，错误，为假命题，故选B．
3．一个圆柱形铁桶的底面半径为12cm，高为32cm，则桶内所能容下的木棒最
长为（）
A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题意画出示意图，AC为圆桶底面直径，AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB 的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC 中利用勾股定理即可求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，
∴ AC=2× 12=24cm，CB=32cm，
∴线段AB 的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴ AB= = =40cm．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．
故选C．
4．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）
A．4 B．C．2 D．3
【考点】等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD 的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．
【解答】解：∵等边三角形高线即中点，AB=2，
∴BD=CD=1，
在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，
∴ AD= ，
∴ S△ABC= BC?AD= × 2× = ，故选B．
5．如图，将三边长分别为 3，4，5 的△ ABC 沿最长边翻转 180°成△ABC 1，则 CC 1
【考点】 翻折变换（折叠问题） ；勾股定理的逆定理．
【分析】首先设 AB 与 CC 1相较于点 D ，由△ABC 的三边分别为 3、4、5，且
32+42=52， 可得△ ABC 是直角三角形，即可求得 CD 的长，继而求得答案．
【解答】 解：设 AB 与 CC 1相较于点 D ， ∵△ ABC 的三边分别为 3、4、5，且 32+42=52，
∴△ ABC 是直角三角形， 由折叠的性质可得： AB ⊥CD ，且 CD=C 1D ，
CD= =
∴ CD= = ，
∴ CC 1=2CD= ．
6．如图，正方形网格中的△ ABC ，若小方格边长为 1，则△ ABC 的形状为（
）
D ．
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．以上答案都不对
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】根据勾股定理求得△ ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【解答】解：∵正方形小方格边长为1，
∴ BC= =2 ，
AC= = ，
AB= = ，
在△ ABC中，
∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ ABC是直角三角形．
故选：A．
7．如图，△ ABC和△ DCE都是边长为 4 的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD 的长为（）
A．B．C．D．
【考点】勾股定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠ BDE=9°0，再进一步根据勾股定理进行求解．
【解答】解：∵△ ABC和△ DCE都是边长为 4 的等边三角形，
∴∠ DCE=∠CDE=6°0，BC=CD=4．
∴∠ BDC=∠CBD=3°0．
∴∠ BDE=9°0．
∴ BD= =4 ．
故选：D．
8．长方形的一边长为4，对角线与长方形另外一条边相差2，则长方形的面积为（）
A．8 B．4 C．6 D．12
【考点】矩形的性质．
【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵如图，AB=4，AC=BC+2，
∴根据勾股定理得到：AB2+BC2=（BC+2）2，即16+BC2=（BC+2）2，
∴BC=3，
∴它的面积为4×3=12．
故选：D．
9．在直角三角形中，如果有一个角是30°，这个直角三角形的三边之比最有可能的是（）
A．3：4：5 B．1：1：C．5：12：13 D．1：： 2
【考点】含30 度角的直角三角形．
【分析】设30°角所对的直角边为a，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出斜边的长度，再利用勾股定理求出另一条边的长度，然后即可求出比值．【解答】解：如图，设30°角所对的直角边BC=a，则AB=2BC=2a，
∴ AC= = a，
∴三边之比为a：a：2a=1：：2．故选D．
10．设a、b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab 的值是（）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【考点】勾股定理．
【分析】由该三角形的周长为6，斜边长为 2.5可知a+b+2.5=6，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab 的值．
【解答】解：∵三角形的周长为6，斜边长为 2.5，
∴ a+b+2.5=6，
∴ a+b=3.5，①
∵a、b 是直角三角形的两条直角边，∴a2+b2=2.52，②
由②得a2+b2=（a+b）2﹣2ab=2.52 ∴3.52﹣2ab=2.52
ab=3，故选D．
11．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）
A．4 dm B．2 dm C．2 dm D．4 dm
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，
∴ AB=2dm，BC=BC′=2dm，
∴AC2=22+22=4+4=8，
∴ AC=2 dm，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4 dm ．
故选：A．
12．如图，在 6 个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从 A 点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）
A．1 种B．2 种C．3 种D．4 种
【考点】勾股定理的应用．
【分析】如图所示，找出从 A 点到B点的最短距离的走法即可．解答】解：根据题意得出最短路程如图所示，最短路程长为+1=2 +1，
则从A点到B点的最短距离的走法共有3种，故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上）
13．如果三角形的三边分别为，，2，那么这个三角形的最大角的度数为
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得答案．
【解答】解：∵（）2+22=（）2，
∴此三角形是直角三角形，
∴这个三角形的最大角的度数为90°，
故答案为：90°．
14．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点 E 在边DC 上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为（10，3）．
【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△ AOF中，利用勾股定理来求OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8﹣x，CF=10﹣6=4，根据勾股定理列方程求出EC 可得点E的坐标．
【解答】解：∵四边形A0CD为矩形，D的坐标为（10，8），
∴AD=BC=10，DC=AB=8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt△AOF中，OF= =6，
∴FC=10﹣6=4，
设EC=x，则DE=EF=8﹣x，
在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，
即EC 的长为3．
∴点 E 的坐标为（10，3），
15．如图，以Rt△ ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜
边AB=a，
考点】勾股定理．
【分析】 根据勾股定理可得 AC 2+BC 2=AB 2，然后判断出阴影部分的面积
=2S △ABE ， 再利用等腰直角三角形的面积等于直角边的平方的一半计算即可得
解．
解答】 解：∵△ ABC 是直角三角形， ∴AC 2+BC 2=AB 2，
∵三个阴影部分三角形都是等腰直角三角形，
16．如图所示，在△ ABC 中，AB ：BC ：CA=3：4：5，且周长为 36cm ，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以每秒 1cm 的速度移动；点 Q 从点 B 沿 BC 边向点 C 以每
【分析】 首先设 AB 为 3xcm ，BC 为 4xcm ，AC 为 5xcm ，利用方程求出三角形的
三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出 3 秒后的， BP ，
BQ 的长，利用三角形的面积公式计算求解．
【解答】 解：设 AB 为 3xcm ，BC 为 4xcm ，AC 为 5xcm ， ∵周长为 36cm ，
AB+BC+AC=36cm ，
∴ 3x+4x+5x=36， 解得 x=3，
∴ AB=9cm ，BC=12cm ， AC=15cm ， ∵AB 2+BC 2=AC 2， ∴△ ABC 是直角三角形，
过 3 秒时， BP=9﹣3×1=6（cm ）， BQ=2×3=6（cm ）， ∴S △PBQ = BP?BQ= ×（ 9﹣3）×6=18（cm 2）．
∴阴影部分的面积 =2S △ABE =2× ?a?（ a ） = a 2．
3 秒时，△ BPQ 的面积为 18 cm 2 ．
故答案为：
考点】 勾股定理的逆定理．
故答案为：18．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出计算过程）17．在Rt△ABC 中，∠ C=90°．
（1）已知c=25，b=15，求a；
（2）已知a= ，∠ A=60°，求b、c．
【考点】解直角三角形．
【分析】（1）根据勾股定理即可直接求出 a 的值；（2）根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出b、c 的值．
【解答】解：（1）根据勾股定理可得：
a= =20；
（2）∵△ ABC为Rt△，∠ A=60°，
∴∠ B=30°，
∴ c=2b，
根据勾股定理可得：a2+b2=c2，即6+b2=（2b）2，
解得b= ，则c=2 ．
18．如图，已知在△ ABC中，CD⊥AB于D，BD=9，BC=15，AC=20．（1）求
CD的长；
（2）求AB 的长；
（3）判断△ ABC的形状．
分析】（1）在Rt△BCD中，根据勾股定理求出CD的长；
2）在Rt△ACD中根据勾股定理求出AD 的长，故可得出AB的长；（3）由勾股定理的逆定理即可得出结论．
【解答】（1）在△ BCD中，因为CD⊥AB，所以BD2+CD2=BC2．
所以CD2=BC2﹣BD2=152﹣92=144．
所以CD=12．
（2）在△ ACD中，因为CD⊥AB，
所以CD2+AD2=AC2．
所以AD2=AC2﹣CD2=202﹣122=256．
所以AD=16．
所以AB=AD+BD=16+9=25．
（3）因为BC2+AC2=152+202=625，AB2=252=625，所以AB2=BC2+AC2．
所以△ ABC是直角三角形．
19．如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC 的中点 D 重合，折痕为MN，求线段BN的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】如图，首先求出BD的长，根据勾股定理列出关于线段AN 的方程，问题即可解决．
【解答】解：如图，
∵点D为BC的中点，
∴ BD=CD= ；
由题意知：AN=DN（设为x），
则BN=9﹣x；由勾股定理得：x2=（9﹣x）2+32，
解得：x=5，
∴ BN=9﹣5=4，即BN 的长为 4 ．
20．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面 3 尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为 6 尺，请问水深多少？
考点】勾股定理的应用．
【分析】仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可
【解答】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．
Rt△ABC中，AB=h，AC=h+3，BC=6，
由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即（h+3）2=h2+62，
∴h2+6h+9=h2+36，
6h=27，解得：h=4.5．答：水深 4.5 尺．
21．如图，△ ABC，△ AED 是两个大小一样的三角形，已知∠ ADE=90°，AE=5，AD=4，连接EB，求DE和EB的长．
【考点】勾股定理．
【分析】直接利用勾股定理得出DE 的长，再利用全等三角形的性质结合勾股定理得出BE的长．
【解答】解：∵∠ ADE=9°0，AE=5，AD=4，
∴ DE= =3，
∵△ ABC，△ AED是两个大小一样的三角形，
∴AB=AE=5，
∴BD=1，
∴ BE= = = ．
22．在△ ABC中，AB=2 ，AC=4，BC=2，以AB为边向△ ABC外作△ ABD，使△ ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
【考点】勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据题意中的△ ABD 为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠
ABD=90°，∠ BAD=90°，∠ ADB=90°．然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．
【解答】解：∵ AC=4，BC=2，AB= ，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ ACB为直角三角形，∠ ACB=9°0．
分三种情况：
如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．
∵DE⊥CB（已知）
∴∠ BED=∠ACB=9°0（垂直的定义），∴∠CAB+∠CBA=9°0（直角三角形两锐角互余），
∵△ ABD为等腰直角三角形（已知），
∴AB=BD，∠ ABD=9°0（等腰直角三角形的定义），
∴∠ CBA+∠DBE=9°0（平角的定义），
∴∠ CAB=∠EBD（同角的余角相等），
在△ ACB与△ BED中，∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已证），
∴△ ACB≌△ BED（AAS），
∴ BE=AC=，4 DE=CB=（2 全等三角形对应边相等），∴CE=6（等量代换）根据勾股定理得：CD=2 ；如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点
E．∵BC⊥CA（已知）
∴∠ AED=∠ACB=9°0（垂直的定义）
∴∠ EAD+∠EDA=9°0（直角三角形两锐角互余）
∵△ ABD为等腰直角三角形（已知）
∴ AB=AD，∠ BAD=9°0 （等腰直角三角形的定义）
∴∠ CAB+∠DAE=9°0（平角的定义）
∴∠ BAC=∠ADE（同角的余角相等）
在△ ACB与△ DEA中，
∵∠ ACB=∠DEA（已证）∠ CAB=∠EDA（已证）AB=DA（已证）
∴△ ACB≌△ DEA（AAS）
∴ DE=AC=，4 AE=BC=2（全等三角形对应边相等）∴CE=6（等量代换）根据勾股定理得：CD=2 ；如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．∵∠ C=90°，
∴∠ CAB+∠CBA=9°0，