铅球投掷的模型
第四章 日常生活中的数学模型
§ 4.2 铅球投掷的模型 一. 背景、问题： 投掷圆直径=2.135m ，有效扇形 450，坻趾板 10×10cm ，铅球重 16磅=7.264kg 。运动员单手托住铅球，在投掷圆内将铅球掷出并使铅球落入有效区内。以铅球落地点与投掷圆间的距离测量铅球投掷的远度。以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。 问题：建模分析如何使铅球投掷得最远？ 二. 模型与分析： 1. 抛射体模型：
假设：1. 铅球是个质点。2. 忽略空气阻力。 3. 出手角度与出手速度无关。
变量、参量：出手角度 a ，出手高度 h ，出手速度 v =(v cos a, v sin a)，投掷远度 s 。 先分析铅球出手后的运动过程；在x-y 坐标系中铅球运动的轨迹为 ( x(t), y(t) ). 由力与运动平衡关系（牛顿定律）得：
铅球落地点为 (s , 0) 解得 模型I : s=s(v , h, α).
检验:
姓 名 v (m/s) h(m) a(0) s(m) 实测 李梅素 13.75 1.90 37.60 20.68 20.95 李梅素 13.52 2.00 38.96 20.22 20.30 斯卢皮 13.77 2.06 40.00 21.25 21.41 基本吻合
分析:
1. 最佳出手角度: 显然函数 s (v , h , a )是变量v 和h 的单调增函数，关于变量a 的极大值点满足方程 ?s /?a =0，即：
化简可得:
因此，0≤a ≤π/4, 给定出手高度 h , 最佳出手角度a 随出手速度 v 增大而增大。 给定出手速度 v ，最佳出手角度a 随出手高度 h 增大而减小。
2. 最佳投掷模式:给定出手高度h、出手速度v 从而可以计算最佳出手角度a o p t=a(v,h)和相应的投掷距离s=s (h, v, αopt). 这样构成最佳的铅球投掷模式。
h\v 10 11 12 13 14 14.5 15
1.9 40.48 41.16 41.71 4
2.15 42.51 42.76 42.80
11.95 14.11 16.48 19.05 21.81 23.27 24.78
2.0 40.28 40.99 41.55 42.01 42.39 42.55 42.70
12.03 14.20 16.57 19.14 21.90 23.36 24.87
2.1 40.08 40.82 41.40 41.88 42.27 42.44 42.59
12.12 14.29 16.65 19.29 22.00 23.46 24.97
3. 主要因素分析—模型的参数灵敏度分析
问题：h, v, α这三个因素中哪个最重要，即哪个参数变化对投掷距离s 影响最大？
归结为参数的灵敏度分析。这里采用模型对参数的极差分析方法：比较参数在可能的变化范围内变化时模型值改变量的极差?s=s max-s min。
当h=1.9m时,
V\ α37 38 39 40 41 42 43 ?s
10 11.89 11.92 11.94 11.95 11.95 11.94 11.92 0.06
11 14.01 14.05 14.09 14.11 14.12 14.12 14.10 0.11
12 16.31 16.38 16.43 16.46 16.48 16.48 16.47 0.17
13 18.80 18.89 18.96 19.01 19.04 19.05 19.04 0.25
14 21.48 21.59 21.68 21.75 21.79 21.81 21.82 0.34
15 24.36 24.49 24.60 24.68 24.74 24.78 24.78 0.42
?s 12.47 12.57 12.66 12.73 12.79 12.84 12.86
出手速度改变引起投掷距离变化的极差：12.47~12.89m
出手角度改变引起投掷距离变化的极差：0.05~0.42m
出手高度改变引起投掷距离变化的极差：0.16~0.22m
结论：
1. 出手速度最重要。
2. 出手角度的调整对取得稳定的成绩是重要的。但在最佳出手角度上下20 范围内远度的变化很小。不必过分准确。
3. 在前面的基础上，尽量提高出手的高度。
2. 铅球投掷模型
问题：
1. 李梅素的数据
h=1.9m，a=37.60，v=13.75m/s，s=20.95m
最佳值a=42.430 理论值s=20.68m
h=2.0m，a=39.70，v=13.52m/s，s=20.30m
最佳值a=42.370理论值s=20.22
出手高度增高了，出手角度更接近最佳角度，但投掷的远度减小了。
出手的速度随着出手角度的增加减小了！
女子铅球的技术特征:
滑步的低、平、快；过渡阶段随着左腿低而快地直顶抵趾板下沿，推髋侧移，使铅球低而远地远离出手点；最后用力阶段突出向前性。
2. 铅球的投掷不是简单的抛射体。出手速度、出手角度和出手高度是不独立的, 是运动员投掷铅球过程中用力过程的一个综合的结果。需要组建铅球投掷的模型。
假设：
1. 滑步阶段为水平运动，铅球随人体产生一个水平的初速度。
2. 在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间。
3. 在用力的时间内作用在铅球上的推力大小不变，力的方向与铅球出手方向相同。 参量、变量: 同上， v 0 初速度, t 0 用力时间, F 推力, m 铅球质量。 发力期间平衡关系： 设t=0时开始用力，t=t 0 时铅球出手。则有，
由此得到铅球的出手时的速度。
显然v 随着 F , v 0和 t 0 的增加而增大. 但是，
? v ?a= - F t 0 (g t 0 cos a + v 0 sin a )/(mv) <0, 所以随着a 的增大，v=v( a )减小。
模型II s=s(h, α):=s(v(α) , h, α)
由 ?s/? α=0 可以求得比模型I 更合理的 最佳投掷角度， 它比模型I 得到的最佳角度小些。 检验: 从以下我国三位铅球运动员的成绩可见，出手角度从40.27降到35.13，出手速度从13.16m/s 提高到14.08m/s ，成绩从 19.4m 提高到 21.76m 。这样进一步验证了模型II 的可靠性。 a v h s 李梅素 40.27 13.16 2.20 19.40 隋新梅 39.00 13.95 2.04 21.66 李梅素 38.69 13.51 2.00 20.30 黄志红 37.75 13.58 2.02 20.76 李梅素 37.60 13.75 1.90 20.95 李梅素 35.13 14.08 1.95 21.76
问题：组建完整的铅球投掷的数学模型（包括出手速度、出手高度的形成），并进行分析讨论。 2. 赛跑速度的模型
Keller J.B. Optimal velocity in race, the American mathematical monthly 1974 V ol.81 P474 W.G . Pritchard, Mathematical models of running, SIAM Review 1993 V ol.35, No.3 P359 问题：为获得最好成绩，参加赛跑的运动员如何安排赛程中各阶段的速度。
背景分析：运动员在赛跑过程中要克服体内外的阻力，发挥向前的冲力。产生冲力的能量来源一是储存在体内的能量；二是呼吸系统通过氧的新陈代谢作用产生的能量。需要考虑：比赛成绩与速度的关系；速度与冲力的关系（力学）；冲力与能量的关系（生理）。 假设：
1 赛跑时运动员体内外的阻力与速度成正比（比例系数1/τ ），最大冲力为F , 初速度为零。
2 呼吸系统在氧的代谢作用下单位时间提供的能量是常数σ， 初始时刻运动员体内储存的能量为E 0.
3. 对运动员体重的单位质量建模，m=1.
mg
F t y m F t x m -=''=''ααsin )(,cos )(.
0)0(,)0(0='='y v x
参数，变量：比赛成绩（跑完赛程D 的时间）：T ， 比赛速度： v(t)， 冲力： f(t) 运动员体内的能量： E(t), 模型：平衡关系：
速度与跑完赛程D 的关系
冲力与速度的关系（牛顿定律）：
运动员体内储存能与冲力的关系：
短跑分析: 当赛程多长时，运动员能够用最大冲力跑完全程？ 因为，当f=F 时, v(t)=F τ(1-e - t/τ), 所以，dE/dt= σ - F 2τ (1-e - t/τ)
E(t)=E 0-(F 2 τ -σ)t+F 2 τ2 (1-e - t/τ
)。 设 F
2 τ>σ >0, 则存在 t=t c 使得 E( t c )=0，以最大冲力能跑的最远距离为 由约翰逊、路易斯的100m 成绩
D(m) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t(s) 1.84 2.86 3.8 4.67 5.53 6.38 7.23 8.1 8.96 9.83 t(s) 1.94 2.96 3.91 4.78 5.64 6.5 7.36 8.22 9.07 9.93 拟合 的近似方程D ≈ v max (t- τ) ,（ v max ≈F τ）， 得到 v max =11.6 m/s τ ≈ 1.24s , F ≈ 10 m/s 2.
再由中长跑的世界纪录拟合得到 E 0 ≈2403.5 m 2/s 2 和 σ ≈41.5m 2/s 3
的估计，
从方程式 E( t c )=0 解得 t c 。最后算出 D c ≈290m. 因此100米短跑可用最大冲力跑完全程。
中长跑分析：当赛程大于D c 时，将赛程分成三段，
初始阶段 0 ≤ t ≤ t 1, (t 1待定)以最大冲力跑 f=F, dv/dt+v/ τ=F 速度为 v 1(t)=F τ(1-e -t/τ
), 最后阶段 t 2 ≤ t ≤ T , (t 2待定) 能量已用完 E=0, 靠惯性冲刺，
dE/dt=0，σ -fv=0 dv/dt+v/ τ=σ /v dv 2 /t+ 2v 2/
τ=2σ v(t 2)= v 2 (t 2) 速度为 v 3(t)=[(v 2 (t 2) 2- σ t)e -2(t-t2)/ τ+ τ σ ] 1/2.
中间阶段 t 1 ≤ t ≤t 2 , 采取的速度 v 2 (t) 要使得E(t 2)=0
而且 对固定的赛程 D, 要求v 2 (t) 使得跑完全程的时间T 最小。
这等价于对固定的 T 求v 2 (t) (t 1 ≤ t ≤t 2 ，t 2 自由) 使得D=D (v 2, t 2 ) 最大。
dt
t v v D D T
?
=
=0
)(:)())
1(()(/0
τ
ττc c
t c t c e
t F dt t v D ---==
?
))
1(()()(/0
τ
ττt t
e
t F dt t v t D ---==
?
??
---
-+==-2
1
1
)(/1)1(2/)(),(02
20
2
/222
22022t t t t dt
t v dt e
F t v t E t v E ττστ
?
?
?
+
+
=
T
t t t t dt
t v dt t v dt t v t v D 2
2
1
1
)()()(),(320
122
这是一个带有约束条件E(v 2, t 2 )=0 的泛函 D (v 2, t 2 ) 极大值问题。引入拉格朗日乘子λ, 化为无条件泛函I (v 2, t 2 )= D(v 2, t 2 )+(λ/2) E (v 2, t 2 ) 极值问题：
求 t 2 (t 1 ≤ t 2) 和在区间[t 1，t 2 ] 上的连续函数v 2 (t) 使得I (v 2, t 2 ) 取得极大值 。
泛函I (v 2, t 2 ) 在(v 2, t 2 ) 点达到极值的必要条件为它在这点的变分为零： δI (v 2, t 2 )=0 称此方程为欧拉方程。
记 x= (v 2, t 2 )，类似于求函数在x 点沿e 方向的方向导数， 可以得到dI(x+ αe)/d α| α=0 =δI (x) ? e 令 δI (x) ? e=0，?e, 则可得到 δI (x) =0。此处取 e = (?, h)，
?∈C 0∞
[t 1, t 2 ], h ∈R.
于是，数值 t 2 ,函数 v 2 满足如下方程 v 2 (t) ≡τ/λ
利用v(t)的连续性可推出确定参数 t 1 ，t 2 ，λ 的以下三个方程式.
于是，得到了关于中长跑最佳速度安排。
1
)1(/1=--τ
λt e
F 0
)(/)1()2/(122
2/2
2
2
201
=-----+?-t t dt e
F t E t t λττλτστ
τ
σλτστλστλττ
-=-+---2
2
/12/)(22
22]
)[(22t T e
?
=+------T
t t t t t dt e
e
t v 2
222
/]
))([(/)(22
/1/)(222
2λστσττ
τ
铅球掷远研究报告数学建模
铅球掷远研究
目录 一、问题的提出 (3) 二、问题分析 (3) 三、模型假设 (4) 四、符号定义 (4) 五、模型建立与求解 (4) 六、模型的评价 (10) 七、参考文献 (10) 八、附录 (10)
摘要： 本文研究了铅球掷远的问题，分析了掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度的关系。得出了对于不同的出手速度，确定的了最佳出手角度，比较了掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏度。 铅球投掷作为田径比赛的一个重要组成项目，投掷距离s(米)的远近是教练员和运动，员最关心的问题。由投掷常识知道，影响投掷距离远近的因素主要有三个: 铅球出手时的初、速度v(米/秒)、出手角度A(度) 和出手高度h(米)。迄今为止，利用物理中运动学知识研究铅球投掷运动现象比较多, 而且在研究时很少考虑出手高度的影响[2, 3]。通过建立模型,寻求初速度v、出手角度A和出手高度h 三个因素对投掷距离s的影响度的大小，从而在训练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义. 关键词：铅球掷远投掷距离出手角度灵敏度
一、问题提出 球掷远比赛要求运动员在直径2.135m的圆将重7.257kg（男子）的铅球投掷 45的扇形区域，如图1所示。观察运动员比赛的录像发现，他们的投掷角度在 变化较大，一般在38°- 45°，有的高达55°，建立模型讨论以下问题： 1．以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型。 2．在此基础上，给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。 比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性。
二、问题分析 针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。【1】 三、模型假设 1、 人的高度h 和铅球投掷初速度v 是一定的，当投掷出时间1t 后，铅球到达 最高点，当时间在2t 时刻时铅球落地，重力加速度28.9s m g =，速度方向与投掷的水平方向所成角为θ时)900(?≤≤θ，此情况下铅球落地点与人的距离是S 。 2、 由于空气阻力对铅球运动的影响非常小，故忽略空气阻力对投掷铅球的 影响。【2】 四、符号定义： h ： 人的高度，假设为1.7m v ：铅球投掷初速度
投掷铅球角度的选择
投掷铅球角度的选择 在投掷铅球时若一个人投掷的初速度一定,怎样投掷才能使铅球投的最远,解决这一问题可作为运动员训练的一种科学依据。主要研究投掷角度的选择。 一、 模型假设 1、 人的高度h 和铅球投掷初速度v 是一定的，当投掷出时间1t 后，铅球到达最高点，当时间在2t 时刻时铅球落地，重力加速度2 8.9s m g =，速度方向与投掷的水平方向所成角为θ时)900(?≤≤θ，此情况下铅球落地点与人的距离是S 。 2、 由于空气阻力对铅球运动的影响非常小，故忽略空气阻力对投掷铅球的影响。 二、 模型构成 由模拟铅球运动轨迹图形可知，在1t 时刻铅球到 达最高点，此时竖直方向上的速度为0 ∴1sin gt v =θ 即g v t θsin 1= ∴最高点g v h gt h t H 2sin 21)(22211θ+=+= 可设该抛物线的方程为g v h g v t a t H 2sin )sin ()(222θθ++-= ∵h g v h g v a H =++=2sin sin )0(22222θθ ∴2g a -= ∴g v h g v t g t H 2sin )sin (2)(222θθ++--= 又0)(2=t H ∴g v g v g h t θθsin sin 22222++= ） （t H θ h o 1t 2t v t
又∵2cos t v S = ∴g v g v g hv S 22sin )22sin (cos 222222θθθ++= 三、 结果解析 由最终式子可以看出，一个人投掷铅球，在能力（即初速度）一定时，所投距离S 只与投掷角度有关θ有关，要看S 是否有最大值，即要看S 关于θ的函数式是否有最大值。（因为0≥S ，当然求最小值无意义，故S 有极值且为极大值就为S 的最大值） 式子00='?=S d dS θ ) 2s i n c o s 82c o s 2s i n 22c o s 2s i n (2s i n c o s 82c o s 2s i n c o s 812s i n 22c o s 2s i n 2c o s 22s i n c o s 22c o s 2s i n )s i n (c o s 22212422224222 224222 2 422222222=++-+=++-=+??? ? ??+?+-??='θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθv g h v gh v v ghv g v g v v ghv g g hv g v g v g v g hv g v g v g hv S 即 02sin 22sin cos 82cos 2cos 2sin 24222=-++θθθθθθgh v ghv v θθθθ2sin cos 8)2sin 2tan 2(242222v ghv v gh +=-? θθθθ222222cos 82sin 2tan 42tan 4ghv ghv h g =-? θθθθ2222cos 22sin 2tan 2tan v v gh =-? θθθθθ2cos )12(cos 2cos 2sin 2sin 22222+=-?v v gh
铅球投掷模型
西北农林科技大学实验报告 学院名称：理学院专业年级：2011级信计1班 姓名：学号：2011014816 课程：数学模型与数学建模报告日期：2013年11月7日 1 实验题目:铅球投掷模型 2 实验问题陈述:众所周知，铅球运动是指运动员单手托住铅球在投掷圆内将铅球掷出并且使千秋在有效区域中，以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。在铅球的训练和比赛中，铅球投掷的距离的远近使人们最关心的问题，而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球投掷得最远？由普通的投掷常识我们知道，在投掷铅球的过程中，有两个重要的因素：投掷角和初速度。对于教练来说，平时的训练中，应更注意哪方面的训练呢？ 3 实验目的:建立模型进行分析如何能使铅球投掷的最远，在投掷角和初速度两个重要因素上运动员在训练时应该更加注重哪一项的训练。选择一个最优的方法使得训练更加具有针对性，使运动员提高起来更加容易。 4 实验内容 抛射模型:在这个模型中，我们不考虑投掷者在投掷圆内用力阶段的力学过程，只考虑前球脱手使得初速度和投掷的角度对铅球投掷远度的影响。为此，我们不妨把铅球视为一个抛射体，关于它的运动可以在如下三个家设置下来分析。
⑴铅球被看成是一个质点，其初速度为v ，运动轨迹如图一。 ⑵铅球运动中忽略空气的阻力。 ⑶投掷角α和初速度v 是相互独立的，并且衡量成绩的远度记为s 。 ⑷运动员具有身高h 。 以铅球出手点的铅垂方向为y 轴（向上为正），以y 轴与地面的交点到铅球落地点方向为x 轴构成平面直角坐标系。在此坐标系内考虑铅球的运动，由物理学的知识可以得到铅球运动方程： ()()?? ???-+??=??=221sin cos gt h t v y t v x αα ,/8.9,2,0秒米=??????∈g πα 解这个方程，得()()222tan 2cos gx y f x x h v αα =-++ ① 图中显示铅球落在地面A 点，此时的远度是 s ，也即轨迹与x 轴相交于点（s ,0）处。代入①解出s ， 得 s =② 这个公式中已经体现了初速度、投掷角度和远度之间的简单关系。也指明了铅球投掷的远度是如何依赖于前两者的。这就是我们需要的铅球投掷模型I ——投射模型。 模型II ——投掷模型 在实际中我们从奥运会的女子铅球比赛中获得这样一组数据
数学建模模拟试题及参考答案
《数学建模》模拟试题 一、（02'） 人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。 二、（02'） 雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式。 三、（03'） 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。 将人体简化成一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=厚m c 2.0=，设跑步距离 ,1000m d =跑步最大速度s m v m /5=，雨速s m u /4= ，降雨量h cm w /2=，记跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论； （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量 （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，如图1建立总淋雨量与速度v 及参数θ,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算0 30,0==θθ时的总淋雨量。 （3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为?，如图2建立总淋雨量与速度v 及参数?,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030=θ时的总淋雨量。 四、（03'） 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与α,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
数学建模校内选拔赛
2011年北方工业大学数学建模 时鹏晓张海亮吴本顺 （理学院统08A-2，艺术学院工设08A-1，机电学院材控08A-2） 摘要： 在铅球投掷训练和比赛中，教练和运动员关心的核心问题是铅球的投掷距离的远近，而距离的远近主要取决于铅球的出手速度、出手角度、出手高度等等，它们对铅球投掷距离的远近主次影响是怎样的呢？因为空气阻力等的影响相对比较微小，可以忽略不计，本文主要运用牛顿力学等物理、数学知识建立了铅球投掷过程的数学模型探讨出手速度、出手高度、出手角度这三个影响铅球投掷成绩的主要因素，然后运用数值法进行分析，计算出各影响因素对铅球投掷距离的影响程度，确定出各影响因素的主次关系，为制定科学的铅球训练计划提供依据。 关键词：铅球投掷、数值法、最优出手角度、最远投掷距离 1问题的提出 众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。 在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？ 哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。 参考数据资料如下： 表1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩 表2 我国优秀运动员的铅球投掷数据
铅球掷远问题研究—数学建模竞赛优秀论文范文模板参考资料
铅球掷远研究 目录 一、问题的提出 (3) 二、问题分析 (3) 三、模型假设 (4) 四、符号定义 (4) 五、模型建立与求解 (4) 六、模型的评价 (10) 七、参考文献 (10) 八、附录 (10)
摘要： 本文研究了铅球掷远的问题，分析了掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度的关系。得出了对于不同的出手速度，确定的了最佳出手角度，比较了掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏度。 铅球投掷作为田径比赛的一个重要组成项目，投掷距离s(米)的远近是教练员和运动，员最关心的问题。由投掷常识知道，影响投掷距离远近的因素主要有三个: 铅球出手时的初、速度v(米/秒)、出手角度A(度) 和出手高度h(米)。迄今为止，利用物理中运动学知识研究铅球投掷运动现象比较多, 而且在研究时很少考虑出手高度的影响[2, 3]。通过建立模型,寻求初速度v、出手角度A和出手高度h三个因素对投掷距离s的影响度的大小，从而在训练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义. 关键词：铅球掷远投掷距离出手角度灵敏度
一、问题提出 球掷远比赛要求运动员在直径2.135m 的圆内将重7.257kg （男子）的铅球投 掷在 45的扇形区域内，如图1所示。观察运动员比赛的录像发现，他们的投掷角度变化较大，一般在38°- 45°，有的高达55°，建立模型讨论以下问题 ： 1．以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型。 2．在此基础上，给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。 比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性。 二、问题分析 针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。【1】
标准铅球区面积
标准铅球区面积 铅球是田径运动中重要的一项，铅球场的大小有严格的标准。快跟小编一起去了解下吧。 标准铅球场的面积 投掷区 在铅球、铁饼、链球比赛中，运动员都是在投掷圈中站立开始投掷。投掷圈外围是金属镶边，有6毫米厚，顶端涂白。投掷时，运动员不能接触铁边的顶端或者投掷圈以外的地面。铅球和链球的投掷圈直径2.135米，铁饼的投掷圈稍大一点，直径2.5米。 圈内地面由水泥或者有相似的硬度又能防滑的物质构成，它的高度略低于地面高度。铅球投掷圈的正前方放着一个木质的抵趾板，用来防止运动员滑出圈外。运动员可以碰抵趾板的内侧，但不能碰抵趾板的顶部。 落地区 在所有投掷比赛中，落地区都是草坪或者其它能留下印记的物质构成的平坦扇形区域。每一个扇形区由5厘米宽的白线分开(白线5厘米宽不包括在落地区之内)。铅球、链球和铁饼比赛的落地区的扇面角度是34.92度，标枪比赛约为29度。 在奥运会和世界性田径比赛中使用的铅球应该用实心的铁、铜或者其它任何硬度不低于铜的金属制成。铅球的外形必须是球形，表面
必须光滑。 铅球的竞赛规则 在比赛过程中，运动员如果有下列违反规则的行为，则会被判犯规，成绩无效：①超出时间限制; ②投掷铅球和标枪技术不符合规则规定(规则要求铅球和标枪必须由单手从肩上掷出); ③在投掷过程中，身体和器械的任何一部分不得触及投掷圈铁圈上沿或圈外的地面和标枪投掷弧、延长线以及线以外地面任何一部分，包括铅球抵趾板的上面，否则即为投掷失败; ④只有当器械落地以后，运动员才允许离开投掷圈或助跑道。标枪运动员在投出的枪落地前，不能在投掷后转身完全背对其投出的标枪。完成投掷后，链球、铁饼和铅球运动员必须从投掷圈后半圈的延长线后面退出。标枪运动员必须从投掷弧以及延长线以后退出; ⑤在没有犯规的情况下，参赛者可以中止已开始的试掷动作，将器材放下以后暂时离开投掷区，并重新开始，但是必须在规定的时限内完成投掷; ⑥参赛者可以在比赛期间离开比赛区域，但必须由裁判员许可并由裁判员陪伴; ⑦比赛过程中，运动员不能在比赛场地使用以下电子设备：摄像机、便携式录放机、收音机、CD机、报话机、手机、MP3以及类似的电子设备。
完整的数学建模铅球投掷
承诺书 我们仔细阅读了四川理工学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写)： C 我们的参赛报名号为(如果设置报名号的话)： 所属学校(请填写完整的全名)：四川理工学院黄岭校区 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 日期： 2012 年 05 月21 日
编号专用页 评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：评阅记录表
铅球投掷问题 摘要 本文通过对投掷铅球的水平距离的讨论，研究了根据实际怎样控制水平距离的因素，才能使得铅球飞行更远．运用了力学知识，抛物线规律及数学软件的辅助，建立了各种最佳投掷模型。即运动员应该根据自身的的具体身高与其习惯的出手姿势计算并得出最佳的出手角度，一般而言使出手速度在14m/s左右，对应的出手角度在37.2707°左右时能使得投掷距离最大，而且可以通过各种方式.增大手与铅球间的摩擦力，同时采用旋转投掷法，从腰间发力，在投掷点采用前后脚交替等方法可达到增大初速度从而增加投掷距离的作用． 关键词：铅球投掷投掷距离出手角度出手速度最佳
一、问题的提出 铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。如图1： 图1 铅球投掷场地 根据优秀运动员的投掷数据看出他们的投掷角度一般为35°—41°,出手速度一般为13.1m/s—14.1m/s，出手高度一般为1.9m—2.1m……………[1]。需解答一下问题： 1.建立数学模型，将预测的投掷距离表示为出手速度、出手角度，找出最佳出手角度。 2.由于出手速度与出手角度相互影响,并同时影响出手距离,应该怎样对出手速度与出手角度折中,才能得到最大的出手距离。 3.分析影响铅球投掷距离的因素，根据结果分析教练员对运动员训练的目标和方向。 二、基本假设 1. 铅球是个质点。 2.忽略空气阻力。 h：出手高度 v：出手速度 ：出手速度与水平面的夹角
铅球投掷的动作结构和发力顺序
铅球投掷的动作结构和发力顺序 在中学体育课程铅球投掷技术教学中，绝绝大部分学生因为年龄和技术基础的限制，往往难以在短短几节课有限的时间里理解原地铅球投掷技术的的动作结构和要领，因而难以把握发力顺序，只注意手臂用力，只能做到直接伸臂用力推球，忽略了蹬地、摆体、挺髋、转身、挺胸抬头等一系列连贯动作。致使自身的力量不能完全用上，形成了有劲用不上的现象。 根据多年的教学经验，为了学生尽快的理解和掌握铅球投掷技术，根据学生存有的问题和理解水平，我设计了一种有效的辅助练习手段——实心球辅助练习：“原地侧向肩扛实心球”练习。 “原地侧向肩扛实心球”练习（以右手者为例）： 一阶段练习： 右手掌心向下将1KG或2KGR的实心球压在右肩上，侧向投掷方向，两脚分立略宽于肩，身体右倾屈右膝，右腿发力蹬地，站直身体，用肩膀将实心球经头上向左前上方顶出。 二段练习： 右手掌心向下将实心球压在右肩上，侧向投掷方向，两脚分立略宽于肩，身体右倾屈右膝，右腿发力蹬地，站直身体并左转挺胸，用肩膀将实心球向前上方顶出。 这个辅助练习手段最大水准的简化了投掷技术，练习过程中因为掌心向下扶着实心球，臂、肘、腕环节无法用力，学生就能够把注意力集中到蹬——摆环节上，绝大部分学生只要两、三次练习就能明白由膝——髋——腰——肩自下而上的动作结构，做好蹬——摆衔接。 练习开始前还能够有一个插曲：请大家观摩，由体育委员用肩膀把老师推出三米距离。体育委员会下意识的按照生活中的经验弓腰屈膝，用力蹬地，然后推开老师。通过观摩学生们明白了，对付重物一定要用上全身的力量才行，那么对付铅球这个重物投掷，也得采用同样的办法。 学生都会觉得这个辅助练习从一开始就非常有趣，练习的积极性很高，同时这个辅助练习为完整技术的学习打下了很好的基础。 经过这个教学环节，绝绝大部分学生就能够较好的在随后课程的完整技术练习中把握铅球投掷的动作结构和发力顺序。 “原地侧向肩扛实心球”练习实际上是将铅球投掷技术完整动作实行合理分解，紧扣基础环节教学重点和学生心理过程，并依据学生已有的生活经验而设计的行之有效的教学手段。这个辅助练习手段具有较高的实效性，成功的解决了教学中存有的问题。
投掷铅球的方法
投掷铅球的方法 01持球阶段持球阶段又分为握球和持球。 握球是练习者用手指握住铅球球体，手指力量好的同学可以用四指分开的方式握球，手指力量较差的同学可用四指并拢的方式握球。 持球使学生将铅球之余右下颚和肩窝处并用手指抵制铅球，持球的位置一定要正确，否则出球时会造成掉球或脱手。 02预备姿势两脚前后开立，前脚的脚尖与后脚的脚后跟在一条直线上，前腿伸直，后腿膝关节向内扣，力量压在后腿的前脚掌上，上体向后弯曲，双肩与投掷方向垂直，腰部充分扭紧。 03最后用力阶段最后用力阶段是从左脚落地到铅球离手。 最后用力阶段是从后脚瞪转开始的，瞪转开始后，积极送髋，形成超越器械的反弓形动作，在左臂的引导下，上体迅速挺胸抬起，此时右臂也开始大臂带动小臂发力推球，铅球在离手的一瞬间，手指拨球。 04维持平衡铅球离手的同时，人体向前用力，身体前冲，此时要迅速交换支撑腿，并降低重心。 05双手扔： 后脚蹬地的同时，挥动手臂投球，球出手时还要考虑到出手的角度问题，一定要在头上方出手，让球呈45度抛物线抛出。 很多学生投出的实心球运行路线是一条直线，这样很影响成绩。 在一连串过程中，要讲究力的传到协调，从后脚蹬的反作用力，
通过腰部的传递并增加力量，讲这股力量传到，上体，最后上肢借助这股力量，并加之上肢力量，传到手掌，一气呵成将球抛出。 如果协调不好，然而起到反作用—减力。 06单手扔：推球时，右脚迅速用力蹬地，脚跟提起，右膝内转，右髋前送，使上体向左侧抬起，朝着投掷方向转动。 当身体左侧接近于地面垂直一刹那，以左肩为轴，右腿迅速伸直，身体转向投掷方向，挺胸、抬头，右肩用力向前送，右臂迅速伸直将球向前上方约40-42度角左右推出(图)。 球离手时手腕要用力，并用手指拨球。 与推球的同时，左腿用力向上蹬直，以增加铅球向前和向上的力量。 球出手后，，右腿迅速与左脚交换，左腿后举，降低身体重心，缓冲向前的力量，以维持身体的平衡。 在这过程中，关键是腰部的力量和下肢的力量，力的传递跟加强跟双手扔大致相当，不同之处是增加了腰部的旋转力。 这一系列的动作如果协调不好，也起到反作用—减力。 扔实心球，关键是身体各部位的协调和瞬间爆发力，并不一定说手臂力量大的人就扔的远。
铅球的比赛规则
铅球的比赛规则 国际比赛规则第181条推铅球 比赛 1．应抽签决定运动员试掷顺序。 2．运动员超过8人，应允许每人试掷3次，有效成绩最好的前8名运动 员可再试掷3次，试掷顺序与前3次试掷后的排名相反。如果在第3次试掷结 束后出现第8名成绩相等，按规则第146条3处理。当比赛人数只有8人或少 于8人时，每人均可试掷6次。 3．比赛开始前，运动员可在比赛场地练习试掷，练习组应按抽签排定的顺序进行，并始终处于裁判员的监督之下。 4．一旦比赛开始，运动员不得持器械练习，无论持器械与否，均不得使用投掷或落地区以内地面练习投掷。 5、应从投掷圈内将铅球推出。运动员必须从静止姿势开始试掷。允许运动员触及铁圈和抵趾板的内侧。 6、应用单手从肩部将铅球推出。当运动员进入圈内开始试掷时，铅球应抵住或靠近颈部或下颌，在推球过程中持球手不得降到此部位以下。不得将铅球 置于肩轴线后方。 7、（a）不允许使用任何装置对投掷时的运动员进行任何帮助，例如使用 带子将两个或更多的手指捆在一起。除了开放性损伤需要包扎以外，不得在手 上使用绷带或胶布。 （b）不允许使用手套。 （c）为了能更好地持握铅球，运动员可使用某种适宜物质，但仅限于双手。 （d）为了防止手腕受伤，运动员可在手腕处缠绕绷带。 （e）为防止脊柱受伤，运动员可系一条皮带或其他适宜材料制成的带子。 （f）不允许运动员向圈内或鞋底喷洒任何物质。 8、运动员进入圈内开始投掷后，如果运动员身体的任何部位触及圈外地面，或触及铁圈和抵趾板上面，或以不符合规定的方式将铅球推出，均判为一次投 掷失败。 9、如果在投掷中未违反上述规定，运动员可中止已开始的投掷，可将器械方在圈内或圈外，在遵守本条第12款的前提下，可以离开投掷圈，然后返回圈内从静止姿势重新开始投掷。 注：本款中允许的所有行为应包括在规则第142条4中规定的一次投掷的 时限之内。 10、铅球必须完全落在落地区角度线内沿以内，试掷方为有效。 11、每次有效试掷后，应立即测量成绩。从铅球落地痕迹的最近点取直线 量至投掷圈内沿，测量线应通过投掷圈圆心。
铅球投掷最佳角分析
铅球投掷的最佳角分析 兰州新区舟曲中学 指导教师：冯彩芸 课题组长：冯红平 课题成员：
开题报告 投掷铅球是体育运动中比较受欢迎的项目之一，而在学校运动会上以及一些比赛中取得好成绩更是每个铅球运动员所希望的。众所周知,要使铅球掷得远,就要求掷出铅球时有很快的出手初速度和最适宜的出手角度。其中,出手速度是决定铅球运动成绩的主要因素,但是,当运动员充分发挥了身体素质条件以及运动技术水平,获得一个最大的出手速度后,投掷角(出手角)将是直接影响投掷成绩的一个重要因素。那么,本次研究我们就来找出投掷铅球的最佳角度。 小组分工 第一组：（投掷铅球） 第二组：（记录数据，包括角度的长度） 第三组：（分析数据，对理论的最佳角计算得出结论） 实施过程 第一步：实验阶段（冯老师指导实验步骤） 第一组成员在操场投掷铅球第二组记录数据 （1）分别以竖直向上，竖直向下投掷铅球，且记录了铅球的落地点。 （2）分别以同样的出手速度多次做斜向下和斜向上投掷铅球，且记录铅球落地点。 （3）分别以同样的出手速度多次做斜向上和平抛投掷铅球，且记录铅球落地点。 （4）分别试着多次以同样的出手速度以30o，45o，60o左右投掷铅球，且记录铅球落地点。 第二步：初步得出结论 1.当以竖直向上，竖直向下投掷铅球时，铅球落回竖直方向的原地，则0o和90o 都不是正常的头掷铅球角度。 2.当分别以同样的速度做斜向下和斜向上投掷铅球时，可以明显发现斜向上投 掷比斜向下要远。 3.当分别以同样的速度多次做斜向上和平抛投掷铅球，明显发现斜向上投掷比 平抛要远。 4.当分别试着多次以同样的出手速度以30o，45o，60o左右投掷铅球时，从记录
数学模型--投掷标枪
数学建模课程设计报告 标枪投掷模型 学院 专业 学号 姓名 指导教师 成绩 教师评语： 指导教师签字： 2014年7月16日
1 绪论 1.1 课题的背景 标枪是田径运动的投掷项目之一，对核心力量与大腿手臂力量要求严格，但是实际上，标球运动并不是一项只靠身体素质就能取得好成绩的运动，除了与选手的比赛状态有关外，还与选手所采用的技术有关。而本次我们就来研究一下在确定的力量与身高下求最佳的出手角度。进而再研究通过一定的训练使力量增加，研究力量与出手角度和距离的关系。 建立标枪掷远模型。不考虑阻力，设标枪初速度为ν，出手高度为h，出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与ν，h，α的关系式，计算在确定的ν，h下，计算最佳出手角度，进而研究出手速度与出手角度的关系。 1.2 预备知识 上述问题是最优化问题，首先应该考虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的关系，这个需要用到一定的物理知识：抛体运动的水平位移和竖直位移的计算方法。在得到这个关系后，进而转化为初速度、出手高度一定的情况下，求解最佳出手角度。 2 计算机工具简介 MATLAB具有非常丰富的图像表达功能，它提供了丰富的作图命令，利用它们可以容易地画出各种函数的二维或三维曲线图形，可以方便地实现数学计算的结果可视化，从中掌握函数的性质和变化趋势，从而求出模型的最优解。本模型将首先计算出虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的函数关系式，接着在初速度、出手高度一定的情况下，找出投掷距离与出手角度之间的关系。然后给出一组具体的初速度和出手高度，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。再对出手角度与出手速度都未知求它们与最远距离的关系，以及出手角度与出手速度的对最远距离的影响关系。 3 模型的假设 3.1 模型假设 (1)标枪运行的过程中没有任何阻力； (2)可以将标枪看作一个质点； (3)投射角度α与投射初速度ν是两个相互独立的量；
铅球投掷模型
铅球投掷模型
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西北农林科技大学实验报告 学院名称：理学院????专业年级：2０11级信计1班 姓名:????学号：20１101４８1６ 课程：数学模型与数学建模?报告日期:20１3年11月７日 1 实验题目：铅球投掷模型 2 实验问题陈述:众所周知，铅球运动是指运动员单手托住铅球在投掷圆内将铅球掷出并且使千秋在有效区域中,以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度,并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。在铅球的训练和比赛中，铅球投掷的距离的远近使人们最关心的问题,而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球投掷得最远？由普通的投掷常识我们知道,在投掷铅球的过程中，有两个重要的因素:投掷角和初速度。对于教练来说，平时的训练中，应更注意哪方面的训练呢？ 3 实验目的：建立模型进行分析如何能使铅球投掷的最远，在投掷角和初速度两个重要因素上运动员在训练时应该更加注重哪一项的训练。选择一个最优的方法使得训练更加具有针对性,使运动员提高起来更加容易。 4 实验内容 抛射模型:在这个模型中，我们不考虑投掷者在投掷圆内用力阶段的力学过程,只考虑前球脱手使得初速度和投掷的角度对铅球投掷远度的影响。为此,我们不妨把铅球视为一个抛射体，关于它的运动可以在如下三个家设置下来分析。
⑴铅球被看成是一个质点，其初速度为v ,运动轨迹如图一。 ⑵铅球运动中忽略空气的阻力。 ⑶投掷角α和初速度v 是相互独立的，并且衡量成绩的远度记为s 。 ⑷运动员具有身高h 。 以铅球出手点的铅垂方向为y 轴(向上为正）,以y 轴与地面的交点到铅球落地点方向为x 轴构成平面直角坐标系。在此坐标系内考虑铅球的运动，由物理学的知识可以得到铅球运动方程: ()()?? ???-+??=??=221sin cos gt h t v y t v x αα ,/8.9,2,0秒米=??????∈g πα 解 这个方程,得()()222tan 2cos gx y f x x h v αα =-++ ① 图中显示铅球落在地面A 点,此时的远度是s ，也即轨迹与x 轴相交于点(s ,0）处。代入①解出s ， 得 222sin 22cos sin 22v v v gh s g ααα+?+= ② 这个公式中已经体现了初速度、投掷角度和远度之间的简单关系。也指明了铅球投掷的远度是如何依赖于前两者的。这就是我们需要的铅球投掷模型I ——投射模型。 模型ＩI ——投掷模型 在实际中我们从奥运会的女子铅球比赛中获得这样一组数据
铅球投掷问题
C题铅球投掷问题 摘要 本文在物理相关知识的基础上，利用MAPLE数学软件建立对铅球掷的远度影响的数学模型，并在出手速度与出手高度一定时，对其进行求解，完成了表中内容的计算。运用相关物理知识建立在不考虑出手高度情况下铅球投掷的远度的数学模型；通过分析从而建立铅球投掷的远度的数学模型；根据模型分析出手速度v 与出手高度h一定时，如何选择最佳的出手角度a，使远度s最大。 关键字：出手速度出手角度出手高度
问题分析 对于投掷的远度与投掷时的出手速度与投掷角度的关系，利用物理知识建立其函数关系模型，根据该模型把铅球的出手高度考虑进去建立完整的铅球投掷的远度模型。从而利用微积分对模型求解，得铅球投掷的远度，代入数据完成表中内容的计算。在出手高度h一定情况下，最佳出手角度 a随速度v的增大而增加，在出手速度一定情况下，最佳出手角度a随出手高度h的增大而减小。 模型假设及符号的定义说明 模型假设 1.铅球被看作是一个质点。 2.铅球运行过程中忽略空气的阻力。 3.出手角度与出手速度无关。 符号的定义说明 s表示铅球投掷的远度 h表示运动员的出手高度 v表示运动员的出手速度 α表示运动员投掷角度 g表示重力加速度（9.82s m） t表示从出手至最高点所经历的时间 1 t表示下落距地面h高度所需要的时间 2 模型的建立与求解 模型建立:（1）分析铅球出手后的运动过程：建立x-y坐标系
如图所示，由图可得αcos v v x =，αsin v v y = ⑴ 由运 1gt v y =g v t y = ?1 ⑵ 2 222 1gt t v h y + = ⑶ 运用MAPLE 软件程序命令如下： eqns:={h=y v *t2+1/2*g*t2^2}; solve(eqns,{t2}); 运行结果如下： }2 1{:2 22gt t v h eqns y +== }2{},2{2 22 2g gh v v t g gh v v t y y y y ++- =+-- = 由此可得： g gh v v t y y 22 2+-- = ⑷ )2(21t t v s x += ⑸ 由⑴⑵⑷得： 铅球投掷的远度为：
数学建模铅球掷远
数学建模铅球掷远
铅球掷远 理学院物理1011 2010533021 姓名：童一龙 摘要：本文研究了铅球掷远的问题，分析了掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度的关系。得出了对于不同的出手速度，确定的了最佳出手角度，且比较了掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏度。由运动规律可知，影响投掷距离的因素主要有铅球出手时的初速度、出手角度和出手高度。本文利用物理中运动学知识研究铅球投掷运动，通过建立模型,分析出手速度、出手角度、出手高度三个因素对投掷距离的影响，从而解决铅球掷远问题. 关键词：铅球掷远出手速度出手角度数学模型
1 背景及问题的提出 铅球掷远比赛的场地是直径2.135m的圆，要求运动员从场地中将7.257kg 重的铅球掷在45°的扇形区域内，如图1 。观察运动员的比赛录像发现，他们的投掷角度变化较大，一般在38°~45°，有的高达55°建立模型讨论以下问题： 1.以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型。 2.给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。比较掷远结 果对出手速度和出手角度灵敏性。 3.考虑运动员推铅球时用力展臂的动作，改进上面的模型。 2 数学建模 2.1 问题分析 如果出手速度、出手角度、出手高度都已给定，且不考虑铅球在空气中所受的阻力影响，则根据牛顿运动定理可完全确定铅球的运动轨迹方程。 2.2 模型假设 假设1：以水平面为参考系，设运动员的出手高度为h，出手角度为θ，出手速度为V。，铅球达到最高点时经历时间为t1，从最高点下落到水平面的时间为t2，在总时间T=t1+t2内铅球水平方向经过的路程即为S。
数学模型试题
数 学模型试题及答案 一．简答题 1、什么是数学模型？（5分） 答：数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 2、建立数学模型的方法有哪些？（5分） 答：一般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类，一类是机理分析方法，一类是测试分析方法。同时也可以说成：机理分析、统计分析、系统分析相结合。 二、.智力题 九宫图,请把1,2,3,4,5,6,7,8,9填入3乘以3的正方形格子,使3个行中每个行的数字总和为15,3个列中每个列的数字总和也15,两个对角线数字总和也15. 建模求解出这9个数字的填法 (1) 先证明填入中间格数字为5 (7分) (2) 用推理或建立模型方法求出其它数字(建模只说明求解,不求具体解,8分) 解: (1) 把第2行,第2列,两对角线所有数字相加,12,3,4,5,6,7,8,9数字各出现1次,而中间数字记为x 多出现了 3次,列出方程 ( 4分) 1543)987654321(?=+++++++++x ( 2分) 解方程得 x=5, ( 1分) 中间格x 22为5 (2) 数字1不能填对角,否则相应一个对角为9 而1对应行,列总和为14,而14=6+8仅有一种排法 由对称性有右图填法 ( 2分) 把余下数分3个一组,按总和为15分为 第一组(3,4,8)预放入第1行, 第2组(2,6,7) 预放入第3行 ( 2分) 调整次序不难得出右图最终结果 (2)别一法:利用上图列出方程 ????? ????=+=+=+=++=++6 10141515k c n b m a k n m c b a ( 5分) 解空间是1维,取k 为自由变量(k=2,3,4,,6,7,8),取k=2时其它变量全为整数 ( 3分) 三． 不允许缺贷的存贮模型,试作出一些必要而合理的假设，建立的数学模型并求解(共15分) 解: 模型假设: 1. 产品每天需求量为常数r (2分) 2. 每次生产准备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2 (2分) 3. 生产能力无限大 (2分) 模型建立 一周期总费用如下:
数学建模铅球掷远
铅球掷远 理学院物理1011 2010533021 姓名：童一龙 摘要：本文研究了铅球掷远的问题，分析了掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度的关系。得出了对于不同的出手速度，确定的了最佳出手角度，且比较了掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏度。由运动规律可知，影响投掷距离的因素主要有铅球出手时的初速度、出手角度和出手高度。本文利用物理中运动学知识研究铅球投掷运动，通过建立模型,分析出手速度、出手角度、出手高度三个因素对投掷距离的影响，从而解决铅球掷远问题. 关键词：铅球掷远出手速度出手角度数学模型 1 背景及问题的提出 铅球掷远比赛的场地是直径2.135m的圆，要求运动员从场地中将7.257kg 重的铅球掷在45°的扇形区域内，如图1 。观察运动员的比赛录像发现，他们的投掷角度变化较大，一般在38°~45°，有的高达55°建立模型讨论以下问题： 1.以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型。 2.给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。比较掷远结
果对出手速度和出手角度灵敏性。 3.考虑运动员推铅球时用力展臂的动作，改进上面的模型。 2 数学建模 2.1 问题分析 如果出手速度、出手角度、出手高度都已给定，且不考虑铅球在空气中所受的阻力影响，则根据牛顿运动定理可完全确定铅球的运动轨迹方程。 2.2 模型假设 假设1：以水平面为参考系，设运动员的出手高度为h，出手角度为θ，出手速度为V。，铅球达到最高点时经历时间为t1，从最高点下落到水平面的时间为t2，在总时间T=t1+t2内铅球水平方向经过的路程即为S。 假设2.铅球在空气中所受的阻力对其运动影响甚小，忽略不计。 假设3.不考虑运动员推铅球时用力展臂的动作。 2.3 模型建立 图2：铅球掷远简意图
铅球有几种投掷方法
铅球有几种投掷方法 那么扔铅球的技巧呢?下面为您总结扔铅球的技巧，看看吧。 扔铅球的技巧1、增加力量哑铃练习：手持哑铃，两臂向各种方向做屈、伸、举、振等动作两脚左右开立，两手屈臂持哑铃于肩上，连续快速向上推举。 两脚前后开立，两手屈臂持哑铃于胸前，连续快速向斜上方推举。 自然站立，两手持哑铃前平举，向两侧开振扩胸。 两脚前后开立，两手屈臂持哑铃于头后，向斜前上方振举。 两脚前后开立，右手持哑铃做引转“满弓的练习。 两脚左右开立，两手持哑铃于体侧，右臂向上提拉，同时上体向左侧屈，左右交替进行。 扔铅球的技巧2、拿球姿势铅球是单手将球从肩上推出的爆发力项目，持球时总要将球用手指包裹起来(尤其是女生)手指与铅球完全是包与被包的关系，从侧面看就形成了拿铅球的手型。 这种持球方法将严重影响到铅球出手时手对铅球的制动性发力和拨球动作的顺利完成。 铅球的正确放位是在锁骨内端上方，紧贴颈部。 持球的正确动作是五指自然分开，将球放在食指、中指、无名指的指根处。 拇指和小拇指贴在球的两侧。 扔铅球的技巧3、推球步骤最正确的推球步骤：以右手推铅球为例。
正对投掷方向，高姿站立。 右手持、握球。 预摆前：上体伸展，左臂自然前伸，身体先向投掷方向反向转体90度并稍前倾，提高腰部肌群的扭转效果，重心落于左脚。 预摆开始：左脚内侧蹬地，腰部肌群带动上体反向转体270度，形成重心向右脚平移的双支撑的超越器械技术，提高支撑反作用力效果。 预摆结束瞬间：左腿支撑，右腿开始快速蹬伸发力，通过展髋、挺胸、振臂、伸腕、拨指将球弹出。 由于地球引力的作用，他们投掷臂的肘会自然下垂，下垂后的肘部使人的胸大肌、肱二头肌等多块和铅球成绩有紧密联系的肌肉无法充分伸展，人为地缩短了肌肉的初长度降低了肌肉的兴奋性，直接导致肌肉无法产生较大的肌力，从而严重影响到铅球的成绩和动作的协调性。 扔铅球的技巧5、出手角度出手时出手角应保持在35°~45°之间，头向上看。 扔铅球的技巧6、练实心球两脚前后开立成半蹲，两手持球于胸前，肘部抬起稍低于肩，将球向前上方推出，推出时手指用力拨球。 要求推球时用力蹬地，上体伸展，上、下肢配合要协调。 两脚左右开立，两膝微屈，右手持球于右肩上，左手扶球，两腿蹬伸将球向前上方推出。
标枪__铁饼__铅球场地的画法
铅球、铁饼、标枪场地 必备条件： 1.铅球场地一般都建在田径场地一个半圆内的空地上，也可以根据场地的实 际情况选择。 2.铅球圈的直径是2.135米，投掷区夹角为40度，边线宽5厘米；抵趾板宽 度为11.2-30厘米，内沿弧长1.22米，高出圈内地面10厘米；圈内地面低于圈外地面2厘米。 画线痕 1.在空地上拉出一直线OE；以O为圆心、1.0675米为半径画一个圆。 2.用一条74厘米的木尺与纵轴线垂直并等分，相交与OE之间的圆弧上，得 C、D两点。 3.连接OC、OD并延长，两条线之间就是铅球落地区域。 4.通过O点画一直径与OE垂直，和圆相交的直线得A、B点，延长OA、OB 到圆外，形成75厘米得短线，就是犯规线。 画实线（5厘米宽） 1. 2.135 C D E O A B 0.75 O 0.74 40度投掷圈：沿线痕画在弧外侧。 2.落地区：沿线痕画在区外侧。 3.犯规线：沿线痕画在前侧。
铁饼场地 必备条件： 1.铁饼投掷圈一般都建在田径场半圆内的空地上，铁饼落地区域在田径场内。 也可以根据场地的实际情况选择。 2.铁饼投掷圈的直径是2. 5米，落地区夹角为40度，边线宽5厘米；圈内地 面低于圈外地面2厘米；铁饼护笼应找专业的器材厂商制作安装，以保证安全。 3.画法同铅球场地，只是投掷圈的半径为1.25米，C、D两点之间的距离为 86厘米。 标枪场地 必备条件： 1.标枪场地一般建在田径场半圆内的空地上，助跑道和投掷区的纵轴线与田 径场地的纵轴线重合，也可以根据场地的实际情况选择。 2.助跑道长30—36.5米，宽4米、落地区域角度为29度。 画线痕 1.以田径场纵轴线作中心线，在两侧画两条平行线，与中心线的距离是2米， 为助跑道线。 2.在中心线上找一点O，以O为圆心，以8米为半径画弧与助跑道线交叉成 C、D点，连接OC、OD并延长就是落地区域的边线。 3.通过C、D各画一条75厘米长的线与跑道线垂直，连上弧线就是投掷线。画实线（5厘米宽） 1.沿投掷线线痕画前侧画7厘米宽的实线。 2.沿其它线痕的外侧画5厘米宽的实线。 O C E D 2.0米 半径=8米