高等数学同济大学第六版 5-1答案
习题5-1
1. 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1, 两直线x =a 、x =b (b >a )及横轴所围成的图形的面积. 解 第一步: 在区间[a , b ]内插入n -1个分点i n
a
b a x i -+=(i =1, 2, ? ? ?, n -1), 把区间[a , b ]分成n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: n
a
b x i -=
?(i =1, 2, ? ? ?, n ). 第二步: 在第i 个小区间[x i -1, x i ] (i =1, 2, ? ? ?, n )上取右端点i n
a
b a x i i -+==ξ, 作和 n
a
b i n a b a x f S n
i i i n
i n -?+-+
=?=∑∑==]1)[()(21
1
ξ ∑=+-+-+-=n i i n
a b i n a b a a n a b 12
222]1)()(2[
]6)12)(1()(2)1()(2[)(222
n n n n n a b n n n a b a na n a b +++?-++?-+-= ]16)
12)(1()()1)(()[(2
22
+++-++-+-=n
n n a b n n a b a a a b . 第三步: 令λ=max{?x 1, ?x 2, ? ? ? , ?x n }n
a
b -=, 取极限得所求面积 ∑?=→?==n
i i i b
a x f dx x f S 1
0)(lim )(ξλ
]16)
12)(1()()1)(()[(lim 222
+++-++-+-=∞→n
n n a b n n a b a a a b n a b a b a b a b a a a b -+-=+-+-+-=)(3
1
]1)(31)()[(3322.
2. 利用定积分定义计算下列积分:
(1)xdx b
a ?(a <
b ); (2)dx e x ?1
0.
解 (1)取分点为i n
a
b a x i -+=(i =1, 2, ? ? ?, n -1), 则n a b x i -=?(i =1, 2, ? ? ?, n ). 在第i 个小区间上取右端点i n
a
b a x i i -+==ξ (i =1, 2, ? ? ?, n ). 于是
∑∑?=∞
→=∞→-?-+=?=n
i n n
i i i n b
a n
a
b i n a b a x xdx 1
1
)(lim lim ξ )(2
1
]2)
1()()([lim )(222
22a b n n n a b a b a a b n -=+-+
--=∞
→. (2)取分点为n
i
x i =(i =1, 2, ? ? ?, n -1), 则n x i 1=?(i =1, 2, ? ? ?, n ). 在第i 个小区间上取右端点
n
i x i i ==ξ (i =1, 2, ? ? ?, n ). 于是
) (1lim 1lim 211
10n n n n n n i n i n x
e e e n
n e dx e +???++==∞→=∞→∑
?
1)
1(]1[lim
1])(1[1
lim 1
1
111-=--=--?
=∞
→∞→e e n e e e e e n
n
n n n
n n n n .
3. 利用定积分的几何意义说明下列等式: (1)121
0=?xdx ; (2)4
110
2π
=
-?dx x ;
(3)?-=π
π0sin xdx ;
(4)??=-2022
cos 2cos π
π
πxdx xdx .
解 (1)?1
02xdx 表示由直线y =2x 、x 轴及直线x =1所围成的面积, 显然面积为1.
(2)?-1
021dx x 表示由曲线21x y -=、x 轴及y 轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x 2+y 2=1的面积的41:
4
141121
2π
π=??=-?dx x .
(3)由于y =sin x 为奇函数, 在关于原点的对称区间[-π, π]上与x 轴所夹的面积的代数和为零,
即 ?-=π
π0sin xdx .
(4)
?
-22
cos π
πxdx 表示由曲线y =cos x 与x 轴上]2
,2[π
π-一段所围成的图形的面积. 因为cos x
为偶函数, 所以此图形关于y 轴对称. 因此图形面积的一半为?20
cos π
xdx , 即
??=-2022
cos 2cos π
ππxdx xdx .
4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p (单位面积上的压力大小)是水深h 的函数, 且有p =9?8h (kN/m 2). 若闸门高H =3m , 宽L =2m , 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P .
解 建立坐标系如图. 用分点i n
H
x i =(i =1, 2, ? ? ?, n -1)将区间[0, H ]分为n 分个小区间, 各小区间的长为n
H
x i =
?(i =1, 2, ? ? ?, n ). 在第i 个小区间[x i -1, x i ]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为 ?P i =9.8x i l ??x i . 闸门所受的水压力为
22118.42)1(lim
8.9lim 8.98.9lim H L n n n H L n H
i n H L x L x P n n i n n i i i n ?=+?=?=???=∞→=∞→=∞→∑∑. 将L =2, H =3代入上式得P =88.2(千牛).
5. 证明定积分性质: (1)??=b
a b
a dx x f k dx x kf )()(; (2)a
b dx dx b
a b
a -==???1.
证明 (1)?∑∑?=?=?==→=→b
a n
i i i n
i i i b
a dx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(1
01
0ξξλλ.
(2)a b a b x x dx n
i i n
i i b
a -=-=?=??=?→=→=→∑∑?)(lim lim 1lim 10
1
01
0λλλ.
6. 估计下列各积分的值: (1)?+4
12)1(dx x ; (2)?+π
π
454
2)sin 1(dx x ;
(3)?3
3
1arctan xdx x ;
(4)?-0
22
dx e x
x
.
解 (1)因为当1≤x ≤4时, 2≤x 2+1≤17, 所以 )14(17)1()14(24
12-?≤+≤-??dx x , 即 51)1(64
12≤+≤?dx x . (2)因为当
ππ
4
54≤≤x 时, 1≤1+sin 2
x ≤2, 所以 )4
45(2)sin 1()445(145
4
2π
πππππ-?≤+≤-??dx x ,
即 πππ
π
2)sin 1(454
2
≤+≤?dx x .
(3)先求函数f (x )=x arctan x 在区间]3 ,3
1[上的最大值M 与最小值m .
2
1a r c t a n )(x
x x x f ++='. 因为当
33
1≤≤x 时, f '(x )>0, 所以函数f (x )=x arctan x 在区间
]3 ,3
1[上单调增加. 于是
3
631arctan
31)31(π
=
=
=f m , 3
3arctan 3)3(π
=
==f M .
因此
)3
13(3
arctan )3
13(3
63
3
1-
≤
≤-
?π
π
xdx x ,
即
3
2arctan 9
3
3
1π
π
≤
≤?xdx x . (4)先求函数x
x e x f -=2
)(在区间[0, 2]上的最大值M 与最小值m .
)12()(2
-='-x e x f x
x
, 驻点为2
1
=x .
比较f (0)=1, f (2)=e 2
, 41)2
1(-=e f ,得41-=e m , M =e 2. 于是
)02()02(22
04
12
-?≤≤-?--e dx e e x
x
,
即 4102
2
222---≤≤-?
e dx dx e e x
x .
7. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:
(1)若在[a , b ]上f (x )≥0, 且0)(=?b
a dx x f , 则在[a ,
b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )?0, 则0)(>?b
a dx x f ;
(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且??=b a b
a dx x g dx x f )()(, 则在[a
b ]上f (x )≡g (x ).
证明 (1)假如f (x )?0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.
再由连续性, 存在[c , d ]?[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2
)
()(0x f x f >
. 于是
0)(2
)
()()()()()(0>-≥
≥++=?????c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f d
c b
d d c c a b a . 这与条件0)(=?b
a dx x f 相矛盾. 因此在[a ,
b ]上f (x )≡0.
(2)证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.
再由连续性, 存在[c , d ]?[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2
)
()(0x f x f >
. 于是
?
?>-≥
≥b
a
d
c
c d x f dx x f dx x f 0)(2
)
()()(0. 证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥?b
a dx x f . 假如0)(>?b
a dx x f 不成立. 则只有0)(=?b
a dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>?b
a dx x f . (3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a ,
b ]上F (x )≥0且
0)()()]()([)(=-=-=????b
a b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,
由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).
4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)?1
02dx x 还是?1
03dx x ？ (2)?2
12dx x 还是?2
13dx x ？ (3)?2
1ln xdx 还是?2
12)(ln dx x ？ (4)?1
0xdx 还是?+1
0)1ln(dx x ？ (5)?1
0dx e x 还是?+1
0)1(dx x ？
解 (1)因为当0≤x ≤1时, x 2≥x 3, 所以??≥1
031
02dx x dx x . 又当0
02dx x dx x . (2)因为当1≤x ≤2时, x 2≤x 3, 所以??≤2
132
12dx x dx x . 又因为当1 132 12dx x dx x . (3)因为当1≤x ≤2时, 0≤ln x <1, ln x ≥(ln x )2, 所以??≥2 122 1)(ln ln dx x xdx . 又因为当1 1221)(ln ln dx x xdx . (4)因为当0≤x ≤1时, x ≥ln(1+x ), 所以??+≥1 01 0)1ln(dx x xdx . 又因为当0 01 0)1ln(dx x xdx . (5)设f (x )=e x -1-x , 则当0≤x ≤1时f '(x ) =e x -1>0, f (x )=e x -1-x 是单调增加的. 因此当0≤x ≤1时, f (x )≥f (0)=0, 即e x ≥1+x , 所以??+≥1 01 0)1(dx x dx e x . 又因为当0 01 0)1(dx x dx e x .