2019年中考数学备考之圆压轴突破训练：培优篇(解析版)(20210313123633)

2019年中考数学备考之圆压轴突破训练：培优篇

1．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AB边上，CD与OB交于点E，∠ACD＝∠OBC；

（1）如图1，求证：CD⊥AB；

（2）如图2，当∠BAC＝∠OBC+∠BCD时，求证：BO平分∠ABC；

（3）如图3，在（2）的条件下，作OF⊥BC于点F，交CD于点G，作OH⊥CD于点H，连接FH并延长，交OB于点P，交AB边于点M．若OF＝3，MH＝5，求AC边的长．

解：（1）

如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠２

延长BO交⊙O于F，连接CF．

∵BF是⊙O的直径，∴∠FCB＝90°

∴∠1+∠F＝90°，

∵弧BC＝弧BC，

∴∠A＝∠F

又∵∠1＝∠2，

∴∠2+∠A＝90°，

∴∠3＝90°，

∴CD⊥AB

（2）

如图2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠４

延长BO交AC于K

∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，

∴∠A＝∠5，

∵∠A+∠2＝90°，

∴∠5+∠2＝90°，

∴∠6＝90°

∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，

∴∠6＝∠7，

又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠２

∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，

∴BO平分∠ABC

（3）

图3

如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN ∵OH⊥CN，OF⊥BC

∴CH＝NH，BF＝CF

∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN

∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC

∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM

∴∠OEH＝∠EHM

设EM、OE交于点P

∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°

∴∠EOH＝∠OHP

∴OP＝PH

∵∠ADC＝∠OHC＝90°

∴AD∥OH

∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP

∴PM＝PB

∴PM+PH＝PB+OP

∴HM＝OB＝５

在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF＝４

∴BC＝8，sin∠OBC＝

∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°

∴∠AKB+∠CKB＝90°

∴OK⊥AC

AC＝２CK，CK＝BC?sin∠OBC＝

∴AC＝

2．AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上的两个点，AD交BC于点F，点E在AB上，DE交BC 于点G，且∠DGF＝∠CAB．

（1）如图1．求证：DE⊥AB．

（2）如图2．若AD平分∠CAB．求证：BC＝２DE．

（3）如图3．在（2）的条件下，连接OF，若∠AFO＝45°，AC＝，求OF的长．

解：（1）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠CBA＝90°，

∵∠DGF＝∠CAB，∠DGF＝∠BGE，

∴∠BGE＝∠CAB，

∴∠BGE+∠CBA＝90°，

∴∠GEB＝90°，

∴DE⊥AB；

（2）如图2，连接OD交BC于H，连接BD，

∵AD平分∠CAB，

∴，

∴OD⊥BC，BH＝CH，

∵DE⊥AB，OD＝OB，

∴S△OBD＝OD×BH＝OB×DE，

∴BH＝DE，

∴BC＝２DE．

（3）如图3，作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠BAD＝x，

∴∠FBO＝90°﹣2x，

∵∠AFO＝45°，

∴∠FOB＝45°＋x，

∴∠OFB＝180°﹣（90°﹣２x）﹣（45°＋x）＝45°＋x，∴∠FOB＝∠OFB

∴BF＝BO＝OA，

∵∠FRB＝∠ACB＝90°，∠FBR＝∠ABC，

∴△BFR∽△BAC，

∴，

∵AC＝，

∴FR＝，

∴CF＝FR＝，

∴AF＝，tan∠FAR＝tan∠FAC＝，

设SO＝t，AS＝２t，SF＝SO＝t，

则AF＝AS+SF＝３t＝，t＝，

∴OF＝t＝．

3．已知：在△MAB中，C、D分别为BM、AM上的点，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，∠MCD＝∠ACD；（1）如图①，求证：弧AD＝弧BD；

（2）如图②，若AB为直径，CD＝BC，求tan∠DAC值；

（3）如图③，在（2）的条件下，E为弧CD上一点（不与C、D重合），F为AB上一点，连接EF交AC于点N，连接DN、DE，若DN＝DE，AB＝10，∠ABC﹣45°＝∠ANF，求AN 的长．

解：（1）∵∠MCD+∠DCB＝180°，∠DCB+∠DAB＝180°∴∠DAB＝∠MCD

又∵∠MCD＝∠ACD

∴∠DAB＝∠ACD

∴弧AD＝弧BD

（2）

作DG⊥MB于点G，连结BD（如图2）

∵AB为直径

弧AD＝弧BD＝45°

∴∠MCD＝∠DAB＝45°

∴DG＝GC＝CD

又∵CD＝BC

∴BC＝CD

∴DG＝GC＝BC

∴tan∠DBC＝＝

又∵∠DAC＝∠DBC

∴tan∠DAC＝tan∠DBC＝

（3）

连结BD交AC，EF分别为点P，点L，连结OP，OE，PE，再作OH⊥EF于点H，NM⊥AD于点M（如图3所示）

∵∠ABC﹣45°＝∠ANF，∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝∠ABC45°，

∴∠ANF＝∠DBC＝∠DAC

∴EF∥AD

∴EF⊥BD

由（2）得tan∠DAP＝

∴

∴

即P为BD的中点

∴OP⊥BD

∴四边形OPLH为矩形

设HO＝d，则PL＝d．

又∵DN＝DE

∴BD垂直平分NE

∴PE＝PN

∴∠LEP＝∠LNP＝∠DAP

∴

∴LE＝２d

又∵△OPB为等腰直角三角形

∴OP＝BO＝

∴LH＝OP＝

∴HE＝LH+LE＝+2d

∵OH2+HE2＝OE2

∴

解得d＝

∴DL＝DP﹣LP＝＝

∴MN＝DL＝

∴AM＝２MN＝

∴

4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC上一点O为圆心作圆与AB相切于点D，与BC 分别交于点F、N，连接DF并延长交AC的延长线点E．

（1）求证：AE＝AD；

（2）过点D作DH⊥BC于点B，连接AF并延长交⊙O于点G，连接DG，若DO平分∠GDH．求证：∠AFD＝2∠DFN；

（3）在（2）的条件下，延长DG交AE的延长线于点P，连接PF并延长交⊙O于点M，若FM＝5，FH＝9，求OH的长．

解：（1）证明：∵∠ACB＝90°

∴∠E+∠CFE＝∠ACB＝90°

∵∠CFE＝∠OFD

∴∠E+∠OFD＝90°

∵AB切⊙O于D

∴OD⊥AB

∴∠ODF+∠ADE＝90°

∵OD＝OF

∴∠OFD＝∠ODF

∴∠E＝∠ADE

∴AE＝AD

（2）证明：连接DN

∵DO平分∠GDH

∴设∠ODG＝∠ODH＝α，

设∠FDG＝β，则∠FDH＝2α+β

∵OF＝OD

∴∠DFN＝∠ODF＝α+β

∵DH⊥FN

∴∠DHF＝90°

∴∠DFN+∠FDH＝90°，即α+β+2α+β＝3α+2β＝90°

∵FN为⊙O直径

∴∠FDN＝90°

∴∠DNF＝90°﹣∠DFN＝90°﹣（2α+β）＝3α+2β﹣（α+β）＝2α+β∴∠G＝∠DNF＝2α+β

∵∠AFD＝∠G+∠FDG＝2α+β+β＝2α+2β

∴∠AFD＝2∠DFN

（3）过O作OQ∥AB交FM于点Q

∵∠AEF+∠EFC＝90°，∠DFN+∠FDH＝90°，∠EFC＝∠DFN

∴∠AEF＝∠FDH＝2α+β

∴∠ADE＝∠AEF＝2α+β

∴∠FAD＝180°﹣∠AFD﹣∠ADF＝2（3α+2β）﹣（2α+2β）﹣（2α+β）＝2α+β即∠FAD＝∠ADF

∴AF＝DF

∴F在AD的垂直平分线上

∵∠AEF＝∠FGD＝2α+β，∠AFE＝∠DFG

∴∠EAF＝∠FDG＝β

∴∠PAD＝∠PDA＝β+（2α+β）＝2α+2β

∴PA＝PD

∴P在AD的垂直平分线上

即PM垂直平分AD

∴OQ⊥FM

∴∠OQF＝90°，FQ＝FM＝

∵OQ∥AB

∴∠FOQ＝∠B

∵∠B+∠DOH＝∠DOH+∠ODH＝90°

∴∠B＝∠ODH

∴∠FOQ＝∠ODH

在△FOQ与△ODH中

∴△FOQ≌△ODH（AAS）

∴OH＝FQ＝

5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；

（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．

①求证：AG＝BG；

②若AD＝2，CD＝3，求FG的长．

（1）证明：如图1，连接OA，OB，OC．

在△OAC和△OAB中，，

∴△OAC≌△OAB（SSS），

∴∠OAC＝∠OAB，

∴AO平分∠BAC，

∴AO⊥BC．

又∵AD∥BC，

∴AD⊥AO，

∴AD是⊙O的切线．

（2）①证明：如图2，连接AE．

∵∠BCE＝90°，

∴∠BAE＝90°．

又∵AF⊥BE，

∴∠AFB＝90°．

∵∠BAG+∠EAF＝∠AEB+∠EAF＝90°，

∴∠BAG＝∠AEB．

∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，

∴∠BAG＝∠ABC，

∴AG＝BG．

②解：在△ADC和△AFB中，，

∴△ADC≌△AFB（AAS），

∴AF＝AD＝2，BF＝CD＝3．

设FG＝x，在Rt△BFG中，FG＝x，BF＝3，BG＝AG＝x+2，

∴FG2+BF2＝BG2，即x2+32＝（x+2）2，

∴x＝，

∴FG＝．

6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣２x+4与坐标轴交于A，B两点，动点C在x轴正半轴上，⊙D为△AOC的外接圆，射线OD与直线AB交于点E．

（1）如图①，若OE＝DE，求＝；

（2）如图②，当∠ABC＝2∠ACB时，求OC的长；

（3）点C由原点向x轴正半轴运动过程中，设OC的长为a，

①用含a的代数式表示点E的横坐标x E；②若x E＝BC，求a的值．

解：（1）∵OE＝DE，

∴S△AOE＝S△ADE，

∵AD＝CD，

∴S△CDE＝S△ADE，

∴＝，

故答案为：；

（2）作OF⊥AC于点F，

对于直线y＝﹣２x+4，当y＝０时，x＝2，当x＝０时，y＝4，

则A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0），即OA＝4，OB＝2，∵∠ABC＝2∠ACB，

∴∠ADO＝∠ABC，

∴∠ODC＝∠ABO，

∴tan∠ODC＝tan∠ABO＝2，

设DF＝m，则OF＝２m，

由勾股定理得，OD＝＝m，

∴CF＝（﹣1）m，

∴tan∠OCD＝，

∴＝，即＝，

解得，OC＝２﹣2；

（3）①设直线OD交⊙D另一点为G，连结AG，作EH⊥AO于点H，

则EH∥AG，

∴＝，＝，

∴+＝+＝1，即+＝1，

解得，x E＝；

②当C在点B右侧时，BC＝x E，即a﹣2＝x E，

∴a﹣2＝，

解得，a1＝1+，a2＝1﹣（舍去），

当C在点B左侧时，BC＝x E，即2﹣a＝x E，

∴2﹣a＝，

解得，a1＝﹣1+，a2＝﹣1﹣（舍去），

所以a的值为±1．

7．已知：如图，BC为⊙O的弦，点A为⊙O上一个动点，△OBC的周长为16．过C作CD∥

AB交⊙O于D，BD与AC相交于点P，过点P作PQ∥AB交于Q，设∠A的度数为α．（1）如图1，求∠COB的度数（用含α的式子表示）；

（2）如图2，若∠ABC＝90°时，AB＝8，求阴影部分面积（用含α的式子表示）；（3）如图1，当PQ＝2，求的值．

解：（1）∵∠A的度数为α，

∴∠COB＝2∠A＝2α，

（2）当∠ABC＝90°时，AC为⊙O的直径，

∵CD∥AB，

∴∠DCB＝180°﹣90°＝90，

∴BD为⊙O的直径，

∴P与圆心O重合，

∵PQ∥AB交于Q，

∴OQ⊥BC，

∴CQ＝BQ，

∵AB＝8，

∴OQ＝AB＝4，

设⊙O的半径为r，

∵△OBC的周长为16，

∴CQ＝8﹣r，

∴（8﹣r）2+42＝r2，

解得r＝5，CB＝6，

∴阴影部分面积＝；

（3）∵CD∥AB∥PQ，

∴△BPQ∽△BDC，△CPQ∽△CAB，

∴，

∴，

∵PQ＝2，

∴，

∴＝2．

8．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＞AC．∠B AC的外角平分线交⊙O于E，EF⊥AB，垂足为F．

（1）求证：EB＝EC；

（2）分别求式子、的值；

（3）若EF＝AC＝3，AB＝5，求△AEF的面积．

（1）证明：∵∠BAC的外角平分线交⊙O于E，

∴∠1＝∠2，

∵∠1＝∠EBC，∠2＝∠3，

∴∠EBC＝∠3，

∴EB＝EC；

（2）解：在BA上截取BD＝CA，如图，

在△BED和△CEA中

，

∴△BED≌△CEA（SAS），

∴ED＝EA，

∵EF⊥AD，

∴DF＝AF，

∴AB+AC＝BD+DF+FA+BD＝BF+DF+BD＝２BF，

AB﹣AC＝BD+DF+AF﹣BD＝２AF，

∴＝＝2，＝＝2；

（3）解：由（2）得BD＝AC＝3，

∵AB＝BD+DF+AF＝AC+2AF，

∴3+2AF＝5，

∴AF＝1，

而EF＝3，

∴△AEF的面积＝×3×1＝．

9．如图，AB为⊙O的直径，点C在弧AB上，CD为⊙O的切线，AD⊥CD交⊙O于E，连接AC．

（1）如图1，求证：∠BAC＝∠DAC；

（2）如图2，过点C作CF⊥AB于F，交⊙O于M，求证：BF＝DE；

（3）如图3，在（2）的条件下，作DG⊥CF，交射线FC于G，在射线DC上截取CH＝CD，连接BH，GH，点N为半圆上一点，∠NBM＝2∠BNM，若BH＝AF，S△DGH＝，求线段MN的长．

解：（1）如图1所示：连接OC，则：∠CAO＝∠ACO，∵CD为切线，

∴OC⊥CD，而AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠ACO＝∠CAD，

∴∠BAC＝∠DAC；

（2）如图2所示：连接BC、EC，

∵CF⊥AB，∠AFC＝∠D＝90°，

而∠BAC＝∠DAC，

∴ED＝CF，

∠EDC＝∠B，

∴Rt△ECD≌Rt△BFC（AAS），

∴BF＝DE；

（3）如图3所示：连接EB、连接OC交EB于Q，

∵CO∥AD，而∠D＝90°，

∴∠DCO＝90°，

∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，

∴四边形DCQE为矩形，

∴EQ＝DC，

∵OC⊥EB，

∴EQ＝BQ，

而EQ＝DC，

∴EQ＝BQ＝CH，

∴BE＝DH，而BE∥DH，

∴四边形DEBH为矩形，

∵BH＝AF，

设：HB＝ED＝x，则：AF＝４x＝AD，AE＝４x﹣x＝３x，

则：AB＝５x，易证△DAC≌△FAC（AAS），

∴BE＝４x＝DH，而DC＝DH＝２x，

设：∠NBM＝2∠BNM＝2α，则∠DAC＝α，∠BAM＝α，

∴∠CAM＝2α，

∵DH是切线，∴∠HCM＝∠CAM＝∠DCG，

∴Rt△DGC∽Rt△AEB，

∴＝＝，

∵C是DH的中点，

∴S△DCG＝S△DHG，而S△DGH＝，

∴S△BEA＝24＝?AE?BE＝?3x?4x，

∴x＝2，x＝﹣2（舍去），

∴MN＝BE＝４x＝8．

答：线段MN的长为8．

10．已知如图，AC⊥BD，垂足为E，CF是⊙O的直径，连接AB、CD、DF．（1）如图1，连接BC，求证：AB＝DF；

（2）如图2，连接OA、OB，OA交BD于点M，若∠ABM＝∠AOB，求证：AB＝BM；

（3）在第二问的基础上，若⊙O的半径为7，AM＝5，求点O到线段CD的距离OK的长．（1）证明：如图1中，连接AF，AD．

∵AF是直径，

∴∠CAF＝90°，

∵AC⊥BD，

∴∠CED＝∠CAF＝90°，

∴AF∥BD，

∴∠FAD＝∠ADB，

∴＝，

∴AB＝DF．

（2）证明：如图2中，

∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB，

∵∠AOB+∠OBA+∠OAB＝180°，∠ABM+∠BAM+∠BMA＝180°，∠ABM＝∠AOB，∴∠BAM＝∠BMA，

∴BA＝BM．

（3）解：如图2中，