人教版数学高一学案向量的正交分解与向量的直角坐标运算

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算

学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.

知识点一平面向量的正交分解

思考如果向量a与b的基线互相垂直，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

梳理如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为________.在正交基底下分解向量叫做________.

知识点二平面向量的坐标表示

思考1如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?

思考2在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a 的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？

梳理 (1)基底：在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向________的两个____________e 1，e 2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个____________{e 1，e 2}.这个基底也叫做直角坐标系xOy 的基底.

(2)坐标分量：在坐标平面xOy 内，任作一向量a (用有向线段AB →

表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝________________，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2}下的坐标，即a ＝________，其中a 1叫做向量a 在________上的坐标分量，a 2叫做a 在________上的坐标分量.

(3)若OA →＝x e 1＋y e 2＝(x ，y )，则OA →

的坐标(x ，y )?点A 的坐标(x ，y ). 知识点三 平面向量的坐标运算

思考 设i 、j 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R )如何分别用基底i 、j 表示？

梳理 (1)若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ＋b ＝______________，a －b ＝__________________，λa ＝λ(a 1，a 2)＝____________.即两个向量的和与差的坐标等于两个向量____________；数乘向量的积的坐标等于数乘以向量____________.

(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →

＝____________.即一个向量的坐标等于向量终点的坐标____________.

(3)在直角坐标系xOy 中，已知点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2).则线段AB 中点的坐标为__________________.

类型一 平面向量的坐标表示

例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →

＝a ，AB →

＝b .

四边形OABC 为平行四边形. (1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →

的坐标； (3)求点B 的坐标.

反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围.

跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，点C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →

的坐标.

类型二 平面向量的坐标运算

例2 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4).设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →

＝c . (1)求3a ＋b －3c ；

(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值；

反思与感悟 向量坐标运算的方法

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 跟踪训练2 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －1

3b .

类型三 平面向量坐标运算的应用

例3 已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10).若AP →＝AB →＋λAC →

(λ∈R )，试求当λ为何值时： (1)点P 在第一、三象限的角平分线上；

(2)点P 在第三象限内.

反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.

(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.

由此可建立相等关系求某些参数的值.

跟踪训练3 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.

1.设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b 等于( ) A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3)

2.已知向量OA →＝(3，－2)，OB →

＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )

A.????－4，12

B.????4，－1

2 C.(－8,1)

D.(8,1)

3.已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →

，则顶点D 的坐标为( )

A.????2，72

B.?

???2，－1

2 C.(3,2) D.(1,3) 4.已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →

等于( ) A.(－7，－4) B.(7,4) C.(－1,4)

D.(1,4)

5.如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.

1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.

2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时AB →

＝(x B －x A ，y B －y A ).

3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来

向量坐标的积.

答案精析

问题导学 知识点一

思考 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底． 梳理 正交基底 正交分解 知识点二

思考1 a ＝23i ＋2j .

思考2 对于A 点，若给定坐标为A (1,1)，则A 点位置确定．对于向量a ，给定a 的坐标为a ＝(1,1)，此时给出了a 的方向和大小，但因为向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a 的位置还与其起点有关，所以不确定． 梳理 (1)相同 单位向量 正交基底 (2)a 1e 1＋a 2e 2 (a 1，a 2) x 轴 y 轴 知识点三

思考 a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ， a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ， λa ＝λx 1i ＋λy 1j .

梳理 (1)(a 1＋b 1，a 2＋b 2) (a 1－b 1，a 2－b 2) (λa 1，λa 2) 相应坐标的和与差 相应坐标的积 (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) 减去始点的坐标 (3)?

??

??

x 1＋x 22，y 1＋y 22

题型探究

例1 解 (1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45°

＝4×

2

2

＝22， AM ＝OA ·sin 45° ＝4×

2

2

＝2 2.

∴A (22，22)，故a ＝(22，22)． ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°.

又∵OC ＝AB ＝3，∴C ????

－32，332，

∴AB →＝OC →

＝????－32，332，

即b ＝????

－32，332.

(2)BA →＝－AB →

＝????32，－332.

(3)OB →＝OA →＋AB →

＝(22，22)＋(－32，33

2)

＝?

???

22－32，22＋332.

跟踪训练1 解 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，

∴C (1，3)，D (12，3

2)．

∴AB →＝(2,0)，AC →

＝(1，3)， BC →

＝(1－2，3－0)＝(－1，3)， BD →＝(1

2－2，32－0)＝(－32，32)．

例2 解 由已知，得a ＝(5，－5)， b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．

(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n ) ＝a ＝(5，－5)，

∴????? －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得?????

m ＝－1，n ＝－1.

跟踪训练2 (1)(4,7) (2)(－7，－1) (3)???

?－76，23 例3 解 设点P 的坐标为(x ，y )， 则AP →

＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，

AB →＋λAC →

＝(5,4)－(2,3)＋λ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵AP →＝AB →＋λAC →，

∴????? x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则?????

x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.

(1)若点P 在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12

.

(2)若点P 在第三象限内，则?????

5＋5λ<0，

4＋7λ<0，

∴λ<－1.

∴当λ＝1

2时，点P 在第一、三象限的角平分线上；

当λ∈(－∞，－1)时，点P 在第三象限内． 跟踪训练3 －3 当堂训练

1．A 2.A 3.A 4.A 5.

197

高一上学期数学知识点总结

高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结 一、集合与命题 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P Q 、为两个非空实数集合，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P Q +中元素的有________个。（答：8）（2）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个（答：7） 2.遇到A B =?I 时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =U ，则实数a ＝______.（答：10,1,2 a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7） 4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =??U ； ⑵A B B B A =??I ；⑶A B ?? u u A B ?痧； ⑷u u A B A B =???I 痧； ⑸u A B U A B =??U e； ⑹()U C A B I U U C A C B =U ；⑺()U U U C A B C A C B =U I .如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A I ，}4{)(=B A C U I ，}5,1{)()(=B C A C U U I ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =） 5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：(){}|x y f x =—函数的定义域；(){}|y y f x =—函数的值域；(){}(,)|x y y f x =—函数图象上的点集， 如设集合{|M x y ==，集合N ＝{} 2|,y y x x M =∈，则M N =I _ _ （答：[4,)+∞）； 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关 于x 的不等式 250ax x a -<-的解集为M ，若3M ∈且5M ?求实数a 的取值范围。 （答：(]519253a ??∈????U ，，） 7.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若p 则q ” ；逆否命题为“若q 则p ”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ???”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5） 哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题 为 （答：在ABC ?中，若90C ∠≠o ，则,A B ∠∠不都是锐角）；（2）已知函数2(),11 x x f x a a x -=+>+，证明方程0)(=x f 没有负数根。 8.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若

苏教版数学高一苏教版必修42.5向量的应用

高中数学-打印版 最新版高中数学 2.5 向量的应用 一览众山小 诱学导入 材料：向量作为一种重要的工具,除了在数学中有广泛的应用之外,在物理学中也有广泛的应用,是研究物理问题的重要工具之一,如力、速度、加速度的合成与分解都与向量的合成与分解有关,由上节学习数量积的过程可知,功是力与位移的数量积.实际上在日常生活中有好多问题都可以用向量知识来解释.如“两个人同提一桶水,或共同提一个旅行包,夹角越大就越吃力”“在单杠上做引体向上时,两臂的夹角越小就越省力”等. 问题:你能用你所学解释这些现象吗？ 导入：为了确切地描述这一问题,就需要将这一物理问题转化成数学问题.不考虑物理因素,只考虑向量的平行四边形法则、力的平衡及直角三角形的知识即可解决问题. 温故知新 1.什么是向量加法的平行四边形法则？ 答:对于两个不共线的非零向量a 、b 分别作出OA =a ,OC =b ,以OA 、OC 为邻边作平行四边形OABC,则以O 为起点的对角线OB 就是向量a 与b 的和,这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 2.平面向量基本定理的内容是什么？ 答:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2使a =λ1e 1+λ2e 2. 3.直角三角形中锐角三角函数是怎样定义的？ 答:在初中我们利用直角三角形定义了锐角的三角函数,如图2-5-1,在Rt △ABC 中,锐角A 的三角函数定义如下: 图2-5-1 sinA= 斜边的对边A ∠;cosA=斜边的邻边A ∠;t a nA=邻边 的对边A A ∠∠.

高一上学期数学知识点总结含答案

高一上学期数学知识概念法题型易误点技巧总结 一、集合与命题 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P Q 、为两个非空实数集合，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P Q +中元素的有________个。（答：8）（2）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个（答：7） 2.遇到A B =?I 时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的情形？要注意到?是任集合的子集，是任非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =U ，则实数a ＝______.（答： 10,1,2 a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7） 4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =??U ； ⑵A B B B A =??I ；⑶A B ?? u u A B ?痧； ⑷u u A B A B =???I 痧； ⑸u A B U A B =??U e； ⑹()U C A B I U U C A C B =U ；⑺()U U U C A B C A C B =U I .如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A I ，}4{)(=B A C U I ，}5,1{)()(=B C A C U U I ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =） 5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：(){}|x y f x =—函数的定义域；(){}|y y f x =—函数的值域；(){}(,)|x y y f x =—函数图象上的点集， 如设集合{|M x y ==，集合N ＝{} 2|,y y x x M =∈，则M N =I _ _ （答：[4,)+∞）； 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关 于x 的不等式 250ax x a -<-的解集为M ，若3M ∈且5M ?数a 的取值围。 （答：(]519253a ??∈????U ，，） 7.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若p 则q ” ；逆否命题为“若q 则p ”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价； （2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ???”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1） “在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 （答：在ABC ?中，若90C ∠≠o ，则,A B ∠∠不都是锐角）；（2）已知函数2(),11 x x f x a a x -=+>+，证明程0)(=x f 没有负数根。 8.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成

高一数学向量的加法一 人教版

高一数学向量的加法一 一．课题：向量的加法 二．教学目标：1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义； 2.熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和向量； 3.理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算。 三．教学重、难点：1.如何作两向量的和向量； 2.向量加法定义的理解。 四．教学过程： （一）复习： 1．向量的概念、表示法。 2．平行向量、相等向量的概念。 3．已知O 点是正六边形ABCDEF 的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ） （A ）OB uuu r 、CD uuu r 、FE u u u r 、CB u u u r （B ）AB u u u r 、CD uuu r 、FA u u u r 、DE u u u r （C ）FE u u u r 、AB u u u r 、CB u u u r 、OF u u u r （D ）AF u u u r 、AB u u u r 、OC u u u r 、OD u u u r （二）新课讲解： 1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ． 规定：零向量与任一向量a r ，都有00a a a +=+=r r r r r ． 说明： ①共线向量的加法： a r b r a b +r r ②不共线向量的加法：如图（1），已知向量a r ，b r ，求作向量a b +r r . 作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =u u u r r ，AB b =r r ，则OB a b =+u u u r r r . （1） （2） 2.向量加法的法则： （1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。 表示：AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ． （2）平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a r ，b r 为邻边作ABCD Y ，则 则以A 为起点的对角线AC u u u r 就是a r 与b r 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行 四边形法则。 b r a r O B A b r a r b r a r A B C D A B C

高一数学向量几何人教版

高一数学向量几何人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容 向量几何 【典型例题】 [例1] 已知向量与反向，下列等式成立的是（ C ） -=- -=+ -=+ +=+ 解：利用向量加、减法的法则，当a 与b -为a 与b 长度之和。 [例2] 已知非零向量、、，条件甲：=++，条件乙：、、 组成三角形ABC ，则甲是乙的（ B ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 和Q 使，用向量的方法证明P 、A 、Q 三点共线

一. 选择题 1. 下列结论中正确的是（ ） A. 若AB 和>，且AB 与同向，则> B. =，则a 与b 的长度相等且共线 C. 对于任意向量a 、b +≤+ D. 不能与任何向量平行 2. 下面有四个式子：① =--)( ② =+ ③ -=-+)( ④ 0=- 则正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 3. 如图，点M 是ABC ?的重心，则-+为（ ） A. B. ME 4 C. MB 4 D. MF 4

7. 已知正方形ABCD 的边长为1，a AB =，b BC =，c AC ==++b （ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 22 8. 在平行四边形ABCD 中，设a AB =，b AD =，c AC =，d BD =，则下列等式不

9. 向量、 8= 12= +的最大值、最小值分别为 。 10. 设a 表示向正西北走10km ，b 表示正东北走5km ，c 表示正东南2km ，则c b a 52++

试题答案 一. 1. C 2. A 3. D 提示：2=+ 22-== 4. C 提示：与共线的有：、、 5. B 提示：=-=- 6. D 7. D 8. B 二. 9. 20、4 10. 向东北走10km 提示：222)5(=+=++ 三. 11. 解：)(6 1 6131-+=+=+ =+= )(61-+=6 5 61+= OD OD CD OD CN OC ON 6 1 213121+=+=+= )(3 2 )(3232+=+==

高中数学《向量的线性运算》教案8 苏教版必修4

2.2.3 向量的数乘（1） 一、课题：向量的数乘（1） 二、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义； 2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算； 3．理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。 三、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律，向量共线的充要条件； 2．向量共线的充要条件及其应用。 四、教学过程： （一）复习： 已知非零向量a ，求作a a +和()()a a -+-． 如图：OB a a =+2a =，()()CE a a =-+-2a =-． （二）新课讲解： 1．实数与向量的积的定义： 一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如 下： （1）||||||a a λλ=； （2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同； 当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反； 当0λ= 时，0a λ=． 2．实数与向量的积的运算律： （1）()()a a λμλμ=（结合律）； （2）()a a a λμλμ+=+（第一分配律）； （3）a b λλλ+（a+b ）=（第二分配律）． 例 1 计算：（1）(3)4a -?； （2）3()2()a b a b a +---； （3） (23)(32)a b c a b c +---+． 解：（1）原式=12a -； （2）原式=5b ； （3）原式=52a b c -+-． 3．向量共线的充要条件： 定理：（向量共线的充要条件）向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得b a λ=． 例2 如图，已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线． 解：∵333()3AE AD DE AB BC AB BC AC =+=+=+= ∴AC 与AE 共线． 例3 判断下列各题中的向量是否共线： a - E a a a O B A C D a - A B C D E

高一数学上册知识点

高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 集合的含义 集合的中元素的三个特性： 元素的确定性如：世界上最高的山 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 列举法：{a,b,c……} 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x(R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} Venn图: 4、集合的分类： 有限集含有有限个元素的集合 无限集含有无限个元素的集合 空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A(A ②真子集:如果A(B,且A( B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果A(B, B(C ,那么A(C ④如果A(B 同时B(A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)

高一数学测试题—向量的加减法.doc

一、选择题： 1、下列说法正确的有( )个. ①零向量是没有方向的向量,②零向量的方向是任意的,③零向量与任一向量共线,④零向 量只能与零向量共线. A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 2、下列物理量中，不能称为向量的有( )个. ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程 A．0 B．1 C．2 D．3 3、已知正方形ABCD的边长为1, = a , = b , = c,则| a+b+c|等于（） A．0 B．3 C．2 D．22 4、在平行四边形ABCD 中，设= a, = b，= c, = d,则下列不等式中不正确的是 （）A．a+b=c B．a－b=d C．b－a=d D．c－d=b－d 5、△ABC中,D,E,F分别是AB、BC、CD的中点,则－等于（） A．B ．C．D． 6、如图.点M是△ABC的重心,则MA+MB－MC为（） A．0 B．4 C ．4 D．4 7、在正六边形ABCDEF中,不与向量相等的是（） A ．+ B ．－ C ．+D．+ 8、a=－b是|a| = |b|的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分也非必要条件 二、填空题： 9、化简：+ + + + = ______.

10、若a =“向东走8公里”，b =“向北走8公里”，则| a + b |=___,a +b 的方向是_ ____. 11、已知D 、E 、F 分别是△ABC 中BC 、CA 、AB 上的点,且 = 3 1 , = 3 1 , = 3 1,设 = a , = b ,则 = __________. 12、向量a,b 满足：|a |=2,|a +b |=3,|a －b |=3,则|b |=_____. 三、解答题： 13、如图在正六边形ABCDEF 中，已知：= a , = b ,试用a 、b 表示向量 , , ， . 14、如图：若G 点是△ABC 的重心，求证： + + = 0 . 15、求证：|a +b | 2 +|a －b | 2 =2 (|a | 2+|b | 2). 16、如图 ABCD 是一个梯形,AB ∥CD 且AB=2CD,M,N 分别是DC 和AB 的中点,若 = a , = b ,试用a,b 表示 和 . 一、BCDBD DCA E

高一数学上学期知识点归纳

上学期知识点及解题技巧归纳 一、常见不等式解法 1. 含绝对值不等式的解法 2 (1) 一元二次不等式 ax bx c 0(a 0) 的解为“大两边、小中间”，即“大于大根或小于 小根”，“大 于小根小于大根” . (2) 若 a<0，是什么情况？一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数区别与联系？望自 行思考 . 3. 分式不等式： 1) fx fx g x 0 ； (2) fx f x g x 0 ； gx gx f x fx g x 0 fx fx g x 0 3) g x gx ； (4) gx gx 4. 指数不等式与对数不等式 f (x) 0 log a f (x) log a g(x) g(x) 0 f (x) g( x) (1) 当 a 1 时 , a a f(x) g(x) ； f (x) g(x) f (x) 0 log a f(x) log a g(x) g(x) 0 f (x) g( x) (2) 当 0 a 1时, a a f(x) g(x) ； f (x) g( 5. 经典例题及易混易错题型 略. 二、与集合相关的知识 1. 集合间的基本关系 提示】

(1)A A (1) 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 子集AB (或 B A) A 中的任一元素都 属于B (2) A (3) 若 A B且 B C，则AC (4) 若 A B且B A ，则AB (2) 任何一个集合是它本身的子集， A A. 只有一个子集，就是它本身. (3) 集合是子集和真子集具有传递性，若 A B且 B C，则 A C. (4) 已知集合A有n(n 1)个元素，则它有2n个子集，它有2n 1个真子集，它有2n 1个非空子 集，它有2n 2 非空真子集. 2. 集合的基本运算 真子集 AB (或B A) A (1) (A 为 非空子集) A B，且 B 中至少 有一元素不属于A (2) 若A C，则 AC 集合 相等AB A 中的任一元素都 属于B，B 中的任 一元素都属于A (1)A B (2)B A 易错点拔】 (1) A B包含A=B和 A B两种情况. A B分A= ?和A≠ ?两种情况. (2) 与∈的区别. (3) ? 与{?} 的区别：前者代表空集，后者代表一个集合，这个集合的元素的空集，属于集中集?∈{?} 、? {?} 均正确. 【解题思路点拔】 学好集合间基本关系须熟记四个结论：名称记号意义性质韦恩图 (1) A I A A 交集AI B{x|x A,且(2) AI A A B B x B} (3) AI B A A B= B A AI B B (1) AUA A (2) A U A 并集AUB{x| x x B} A, 或 (3) A UB A A B AUB B A B=B A (CuA)(CuB)= Cu (A B) 德摩根公式 补集CuA{x|x U,且x A}(CuA)(CuB)= Cu(A B) 德摩根公式 A (CuA)=U A (CuA)= Φ

高一数学向量练习题

高一数学《平面向量》单元测试 姓名: 班级: 一、 选择题(共8小题,每题5分) 1. 下列命题正确的是 （ ） A ．单位向量都相等 B ． 任一向量与它的相反向量不相等 C ．平行向量不一定是共线向量 D ．模为0的向量与任意向量共线 2．已知向量a ＝（3,4），b ＝（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43- 3．在以下关于向量的命题中，不正确的是 （ ） A ．若向量a =(x ，y )，向量b =(－y ，x )(x 、y ≠0)，则a ⊥b B ．四边形ABCD 是菱形的充要条件是=D C ，且||=|| C ．点G 是△ABC 的重心，则GA +GB +CG =0 D ．△ABC 中，AB 和的夹角等于180°－A 4．设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为 （ ） A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 5．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 6．在△ABC 中，A ＞B 是sin A ＞sin B 成立的什么条件（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 7．若将函数x y 2sin =的图象按向量平移后得到函数)4 2sin(π-=x y -1的图象,则向量a 可以是： （ ） A ． )1,8(-π B ． )1,8(π- C ． )1,4(π D ．)1,4 (--π 8．在△ABC 中，已知S ABC ?===?则,3,1||,4||的值为（ ） A ．－2 B ．2 C ．±4 D ．±2 二、 填空题(共4小题,每题5分) 9．已知向量、的模分别为3，4，则｜-｜的取值范围为 ． 10．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120O ,而a 在e 方向上的投影为－2，则 a = . 11．设21e e 、是两个单位向量，它们的夹角是 60，则=+-?-)23()2(2121e e e e 12．在?ABC 中，a =5，b=3,C=0120,则=A sin

高一数学教案：苏教版高一数学向量的概念及表示2

说明: (1) 具有方向的线段叫有向线段。有向线段的三要素：起点、 (2) 向量AB 的长度(或称模)：线段AB 的长度叫向量 方向和长度； AB 的长度，记作 |AB|. 3.单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义： (1) 单位向量：长度为 1的向量叫单位向量，即* | AB ; (2) 零向量：长度为零的向量叫零向量，记作 0 ； 呻彳呻 (3) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作： 斗a//b// c ； (4) 相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。即： a 二b ； (5) 说明: 共线向量: (1)规定：零向量与任一向量平行，记作 0//a ； (2)零向量与零向量相等，记作 0 =0 ； (3)任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。 4 .例题分析： 例1如图1,设O 是正六边厶ABCgEF 的中心，分别 写出图中与向「OA , OB , 00_相等的向量。 解:OA=CB=DQ =西；OB 二 DC 二 EO 二 OC =AB =ED =FO . 例2如图2,梯形ABCD 中, E ,三学别是腰A 空DC 的三等分点， 且|AD|=2 , |BC|=5，求|EF|. 解：分别取BE , CF 的中点分别记为 M , N , 1 | MN | (| EF | ■ BC) 1 ―* 1 -------- * 1 - (AD |EF | | BC |)B 2 2 9 4 由梯形的中位线定理知: 1 | EF | (AD MN ) 3 ?- 3|EF|」(2 5) 4 2 2 例3在直角坐标系 xoy 中，已知|OA| = 5 , OA 与x 轴正方向所成的角为 30，与y 轴正方向所成的角为 120 , 、课题：向量 、教学目标：1.理解向量的概念，掌握向量的二要素(长度、方向) 2.能正确地表示向量，初步学会求向量的模长; 3?注意向量的特点：可以平行移动(长度、方向确定，起点不确定) 三、教学重、难点：1 .向量、相等向量、共线向量的概念； 2 .向量的几何表示。 四、教学过程： (一)问题引入： 老鼠由A 向西北方向逃窜，如果猫由 (二)新课讲解： 1. 向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。 2?向量的表示方法：(1)用有向线段表示； (2)用字母表示：a 试作出 2. 1.向量 B 向正东方向追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么? .?B (终 点) A 1 ) (图2)

高中数学高一上学期知识点总结

高一（上）数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是； 1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律：()()()()()() C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧ “非”().? 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？（注意整体代换思想） [ ] 如：函数的定义域是，，，则函数的定 f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。[]（答：，） a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域） 13. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； ③设的定义域为，值域为，，，则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1=∈∈?=-()b a [][] ∴====---f f a f b a f f b f a b 111()()()()， 14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、定号、下结论） 如何判断复合函数的单调性？[] （，，则（外层）（内层） y f u u x y f x ===()()()?? [][]当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。）f x f x ??()() () 如：求的单调区间 y x x =-+log 12 22（设，由则u x x u x =-+><<22002

高一数学平面向量练习题

高一平面向量测试题 一、选择题： 1.下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．)0,0(=a ρ )2,1(-=b ρ B ．)2,1(-=a ρ )4,2(-=b ρ C ．)5,3(=a ρ )10,6(=b ρ D ．)3,2(-=a ρ )9,6(=b ρ 2.已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，则 n m 等于( ) A ．21-； B ．21； C ．2-； D ．2； 3.已知两个非零向量22),2,3(),6,3(,--=--=+则与=（ ） A ．－3 B ．－24 C ．21 D ．12。 4. 在四边形ABCD 中，2+=，--=4，35--=，则四边形ABCD 的形状是（ ）A ．长方形 B ．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形 5.已知向量a =(x ,y), b =( -1,2 )，且a +b =（1，3），则a 等于（ ） A ． 2 B . 3 C. 5 D. 10 6.已知向量a = (-3 ,2 ) , b =(x, -4) , 若a//b ，则x=（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 7.下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是 （ ）A.=- B.a （b ·c ）= （a ·b ）c C.()()(,)a a λμλμλμ=∈R D ．00=? 8. 已知向量b a b a b a b a 与则满足,37|2|,3||,2||,= +==的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 9.已知向量等于则垂直与若a b a n b n a ρρρρ,),,1(),,1(-==（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 10.(2,1),(3,4)a b →→==，则向量a b →→在向量方向上的投影为 （ ） A ． B ． 2 C ． D ．10 11.,,3AB a AC b BD DC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，用,a b r r 表示AD u u u r ，则AD =u u u r A B C D

高一数学教案：苏教版高一数学向量的数乘4

第四课时向量的数乘 教学目标： 掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算 律，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行教学重点：实数与向量积的定义；实数与向量积的运算律； 教学难点： 对向量共线的理解? 教学过程： I ?复习回顾 前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算?这一节，我们将在加法运算基础上研究相 同向量和的简便计算及其推广? n ?讲授新课 在代数运算中，a+ a+ a = 3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算? 已知非零向量a,我们作出a+ a + a和(一a) + (-a)+ (—a). 亠 A 5C ■崛?■?p N M Q 由图可知，OC= OA + AB+ BC= a + a+ a,我们把a+ a+ a记作3a，即OC = 3a，显然3a 的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即丨3a |= 3 | a | . 同样，由图可知，PN = PQ + QM + MN = (—a)+ (—a) + (—a),我们把(一a) + (—a)+ (—a)记作一3a,即PN = —3a,显然一3a的方向与a的方向相反，一3a的长度是a的长度的3 倍，即|— 3 a | = 3 | a | . 上述过程推广后即为实数与向量的积? 1?实数与向量的积 实数入与向量a的积是一个向量，记作扫，其长度和方向规定如下： (1) | 扫 | = | 入 || a | (2) 当X>0时，入a与a同向；当X< 0时，入a与a反向；当入=0时，^a= 0. 根据实数与向量 的积的定义，我们可以验证下面的运算律 2?实数与向量的积的运算律 ⑴入([B.)=(入?a (2) ( W?a = ?a+ ?a (3) 入(a+ b)= ?a+ 血 说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行

高一上学期数学知识点大全

高一第一学期数学公式 1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性” 。 如：集合A x|y Igx，B y|y lg x ，C (x,y)|y Ig x，A、B、C 中元素各表示什么？ 2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 八_ 2 女口：集合A x|x 2x 3 0，B x|ax 1 若B A，则实数a的值构成的集合为 ________________ 3. 注意下列性质： (1) ........................................ 集合a!，a2，，a n的所有子集的个数是2n; (2) A B ABA AUB B (3)德摩根定律： C U AUB C U A U C U B C U A B C U A U C U B 4. 对映射的概念了解吗？ 映射f: A T B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性 5. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ (定义域、对应法则、值域) 6. 求函数的定义域有哪些常见类型？ x 4 x 例：函数y ?2的定义域是 lg x 3 7. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，b a 0，则函数F(x) f(x) f ( x)的定义域是______________ 。 8. 如何用定义证明函数的单调性？ (取值、作差、利用因式分解配方判正负) 如何判断复合函数的单调性？

(y f(u), u (x),则y f (x) (外层) (内层) 当内、外层函数单调性相同时 f (X )为增函数，否则f (X )为减函数。) 9. 函数f(x)具有奇偶性的前提条件是什么？ (f(x)定义域关于原点对称) 若f( X) f(x)总成立 f(x)为奇函数 函数图象关于原点对称 若f( x) f(x)总成立 f(x)为偶函数 函数图象关于y 轴对称 注意如下结论： (1) 在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数； 两个偶函数的乘积是偶函数； 一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 (2 )若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则 f(0) 0。 x 女口：若f(x) a ^2——J 2为奇函数，则实数 a 2x 1 ---------------------------------------------------- a , c, —, b 2 4ac 决定图像的什么？ 2a (4)指数函数：y a x a 0, a 1 (5)对数函数y log a x a 0, a 1 a 决定图像的什么? (1) 一次函数： y kx b k 0。k 、b 决定图像的什么？ (2)反比例函数： k y= (k k 0)。k 决定图像的什么？引申 y= b(k 0)表示什 x x a 么？ 10?你熟练掌握常用函数的图象吗？ 2 2 (3)二次函数 y ax bx c a 0 b 2a 4ac b 2 4a 图象为抛物线 决定图像的什

高一数学向量的线性运算练习题

平面向量及其线性运算 （一）基础知识： 1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向量的_____. 2.零向量: 模长为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量没有确定的方向. 3.单位向量: 模长等于________________的向量叫做单位向量,记作_______. 4.共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量. 规定:_______与任意向量共线. 其中模长相等方向相同的向量叫做____________;模长相等且方向相反的向量叫做___________; 5.向量的运算: 加法、减法、数乘运算的运算法则,运算率，及其几何意义. 6.向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是:有且只有一个实数λ,使得___________. 7.平面向量基本定理: 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ,使a =_____________________. 8.三点共线定理:平面上三点A,B,C 共线的充要条件是:存在实数α,β,使_____________________, 其中α+β=____, O 为平面内任意一点. 9.①中点公式：若M 是线段AB 的中点, O 为平面内任意一点,则OM =__________________ ②在△ABC 中, 若G 为重心,则CA BC AB ++ =_________,GC GB GA ++ =____________. （二）例题分析： 1.下列命题中，正确的是（ ） A ．若c b b a //,//，则c a // B ．对于任意向量b a ,，有b a b a +≥+ C ．若b a =，则b a =或b a -= D ．对于任意向量b a ,，有b a b a -≥+ 2.已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0 ，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若a AC =, b BD =,则=AF （ ） A ．1142a b + B. 2133 a b + C. 1124a b + D. 1233 a b + （三）基础训练： 1.如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ） （A ）→ --AB ＝→ --DC ； （B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC （C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ； （D ）→--AD ＋→--CB ＝→ 0． 2．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A ．EF OF OE =+ B. EF OF OE =- C. EF OF OE =-+ D. EF OF OE =-- 3．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则=AP （ ） A ．)1,0(),(∈+λλAD AB B ．)22, 0(),(∈+λλBC AB C ．)1,0(),(∈-λλAD AB D ．)2 2,0(),(∈-λλBC AB 4.已知O ，A ，B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ，满足20AC CB += ,则OC = （ ） A ．2OA O B - B ．2OA OB -+ C ．2133OA OB - D ．1233 OA OB -+ 5O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足 [)(),0,,A B A C O P O A P A B A C λλ=++∈+∞ 则的轨迹一定通过ABC 的( ) （A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心

高一数学教案[苏教版]平面向量基本定理1

第六课时 平面向量基本定理 教学目标： 了解平面向量基本定理，掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法，能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达；事物之间的相互转化. 教学重点： 平面向量基本定理. 教学难点： 平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程： Ⅰ.复习回顾 上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的充要条件. 这一节，我们将在上述知识的基础上学习平面向量基本定理及其应用. Ⅰ.讲授新课 平面向量基本定理： 如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 说明：(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一； (5)一个平面向量用一组基底e 1、e 2表示成a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，我们称它为向量的分解。当e 1、e 2互相垂直时，就称为向量的正交分解。 ［例1］如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使 BF ＝13 BC ，以a 、b 为基底分解向量AM →与HF →. 分析：以a ，b 为基底分解向量AB →与HF →，实为用a 与b 表示向量AM →与HF →. 解：由H 、M 、F 所在位置有： AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12 DC →＝AD →＋12 AB →＝b ＋12 a ， HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →＝AB →＋13 BC →－12 AD →＝AB →＋13 AD →－12 AD →＝a －16 b ［例2］如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ⅠBC ，且 PQ BC ＝t ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，