2014届高考数学一轮复习教学案空间向量与空间角(含解析)
空间向量与空间角
[知识能否忆起]
利用向量求空间角
1．两条异面直线所成的角的求法
设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a ·b |
|a||b |
(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．
2．直线和平面所成角的求法
如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝
|e ·n |
|e ||n |
.
3．求二面角的大小
(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小
θ＝〈AB ，CD
〉．
(2)如图2、3，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－1
2
，则l 与α所成的角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解析：选A 由于cos 〈m ，n 〉＝－1
2
，∴〈m ，n 〉＝120°.
所以直线l 与α所成的角为30°.
2．(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( )
A ．45°
B ．135°
C ．45°或135°
D ．90°
解析：选C cos 〈m ，n 〉＝
m ·n |m ||n |＝11×2＝2
2
， 即〈m ，n 〉＝45°，其补角为135°， ∴两平面所成的二面角为45°或135°.
3.在如图所示的正方体A
1B 1C 1D 1－ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( )
A ．－
10
10
B ．－120
C.1
20
D.1010
解析：选D 如图建立直角坐标系D －xyz ，设DA ＝1，A (1,0,0)，
C (0,1,0)，E ????0，12，1.则AC ＝(－1,1,0)，DE ＝???
?0，12，1，若异面直线DE 与AC 所成的角为θ，
cos θ＝|cos 〈AC ，DE 〉|＝10
10
.
4．已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值为________．
解析：如图，建立直角坐标系D －xyz ，
设DA ＝1由已知条件A (1,0,0)， E ????1，1，13，F ?
???0，1，23， AE ＝????0，1，13，AF ＝????－1，1，23，
设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，面AEF 与面ABC 所成的二面角为θ， 由???
n ·AE ＝0，n ·AF ＝0，得???
y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23
z ＝0.
令y ＝1，z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－3)． 设平面ABC 的法向量为m ＝(0,0，－1)， 则cos θ＝cos 〈n ，m 〉＝
311
，tan θ＝2
3.
答案：
23
5．(教材习题改编)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值________．
解析：建立如图所示直角坐标系，
则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，B 1(4,4,3)，C (0,4,0)，
1A B ＝(0,4，－3)，1B C
＝(－4,0，－3)．
设异面直线A 1B 与B 1C 所成角为θ，
则cos θ＝|cos 〈1A B ，1B C 〉|＝9
25
.
答案：9
25
(1)利用向量求空间角，一定要注意将向量夹角与所求角区别开来，在将向量夹角转化为各空间角时注意空间各角的取值范围，异面直线所成角的范围是????0，π
2，直线与平面所成角的范围是???
?0，π
2，二面角的范围是[0，π]． (2)利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．
典题导入
[例1] (2012·陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三
棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )
A.
5
5
B.53
C.255
D.35
[自主解答] 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.可得 O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)，
∴1BC ＝(0,2，－1)，1AB
＝(－2,2,1)，
∴cos 〈1BC ，1AB 〉＝1BC ·1AB
|1BC ||1AB |
＝4－15×9＝15＝5
5>0.
∴1BC 与1AB
的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，
∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55
. [答案] A
本例条件下，在线段OB 上，是否存在一点M ，使C 1M 与AB 1所成角的余弦为1
3？若存
在，求出M 点；不存在，说明理由．
解：不妨令CB ＝1，CA ＝CC 1＝2， 建系如本例题图，
假设存在符合条件的点M ，设M (0,0，a )，
则1C M ＝(0，－2，a )，又1AB
＝(－2,2,1)， ∴|cos 〈1C M ，1AB 〉|＝|a －4|4＋a 2·9
＝1
3
. ∴|a －4|＝4＋a 2，∴a 2－8a ＋16＝a 2＋4. ∴8a ＝12，∴a ＝32.又CB ＝1，∴a ＝32>1.
故不存在符合条件的点M .
由题悟法
利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
以题试法
1．(2012·安徽模拟)如图所示，在多面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、
下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .
(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值； (2)已知F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1.
解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，
y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a,0,0)，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，D 1(0,0，a )，F (a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，C 1(0，
a ，a )．
(1)∵1AB ＝(－a ，a ，a )，1DD
＝(0,0，a )，
∴cos 〈1AB ，1DD 〉＝1AB ·1
DD
|1AB |·|1DD |＝33
，所以异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为
3
3
. (2)证明：∵1BB
＝(－a ，－a ，a )，BC ＝(－2a,0,0)， 1FB
＝(0，a ，a )，
∴?????
1FB ·1BB ＝0， 1FB ·
BC
＝0，∴FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC . ∵BB 1∩BC ＝B ，∴FB 1⊥平面BCC 1B 1.
典题导入
[例2] (2012·大纲全国卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面
ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .
(1)证明：PC ⊥平面BED ；
(2)设二面角A -PB -C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．
[自主解答] (1)证明：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，
则C (22，0,0)．
设D (2，b,0)，其中b >0，则 P (0,0,2)，E ??
??
423
，0，23，
B (2，－b,0)．
于是PC
＝(22，0，－2)， BE ＝????23
，b ，23，
DE ＝????23，－b ，23，
从而PC ·
BE
＝0，PC ·DE ＝0， 故PC ⊥BE ，PC ⊥DE . 又BE ∩DE ＝E ， 所以PC ⊥平面BED .
(2) AP ＝(0,0,2)，AB
＝(2，－b,0)．
设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则
m ·AP ＝0，m ·AB
＝0，
即2z ＝0且2x －by ＝0， 令x ＝b ，则m ＝(b ，2，0)．
设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则
n ·PC ＝0，n ·
BE
＝0， 即22p －2r ＝0且
2p 3＋bq ＋2
3
r ＝0， 令p ＝1，则r ＝2，q ＝－
2b ，n ＝???
?1，－2
b ，2. 因为二面角A －PB －C 为90°，所以面P AB ⊥面PBC ，故m ·n ＝0， 即b －2
b
＝0，故b ＝2，
于是n ＝(1，－1，2)，DP
＝(－2，－2，2)，
所以cos 〈n ，DP 〉＝n ·
DP
|n ||DP |＝12
， 所以〈n ，DP
〉＝60°.
因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP
〉互余，
故PD 与平面PBC 所成的角为30°.
由题悟法
利用向量法求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角(如例2)．
以题试法
2.(2012·宝鸡模拟)如图，已知P A ⊥平面ABC ，且P A ＝2，等腰
直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝1，AB ⊥BC ，AD ⊥PB 于D ，AE ⊥PC 于E .
(1)求证：PC ⊥平面ADE ；
(2)求直线AB 与平面ADE 所成角的大小． 解：(1)证明：因为P A ⊥平面ABC ， 所以P A ⊥BC ，
又AB ⊥BC ，且P A ∩AB ＝A ， 所以BC ⊥平面P AB ，从而BC ⊥AD . 又AD ⊥PB ，BC ∩PB ＝B ， 所以AD ⊥平面PBC ， 得PC ⊥AD ，
又PC ⊥AE ，AE ∩AD ＝A ， 所以PC ⊥平面ADE .
(2)如图所示，建立空间直角坐标系B －xyz . 则A (1,0,0)，C (0,1,0)， P (1,0，2)， 因为PC ⊥平面ADE ，
所以PC
＝(－1,1，－2)是平面ADE 的一个法向量．
设直线AB 与平面ADE 所成的角为θ，
则sin θ＝|PC ·AB
||PC
||AB |
＝
(－1，1，－2)·(－1，0，0)2＝1
2
，
则直线AB 与平面ADE 所成的角为30°.
典题导入
[例3] (2012·江西高考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB
＝AC ＝AA 1＝5，BC ＝4，点A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O .
(1)证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长；
(2)求平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值．
[自主解答] (1)证明：连接AO ，在△AOA 1中，作OE ⊥AA 1于点E ，因为AA 1∥BB 1，
得OE ⊥BB 1，
因为A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC .
因为AB ＝AC ，OB ＝OC ，得AO ⊥BC ，所以BC ⊥平面AA 1O ，所以BC ⊥OE ， 所以OE ⊥平面BB 1C 1C .
又AO ＝AB 2－BO 2＝1，AA 1＝5， 得AE ＝AO 2AA 1＝5
5
.
(2)如图，分别以OA ，OB ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立
空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0，－2,0)，A 1(0,0,2)，B 1(－1,2,2)，
由AE ＝151AA 得点E 的坐标是????45，0，2
5， 由(1)得平面BB 1C 1C 的法向量是OE ＝????45
，0，2
5， 设平面A 1B 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
由?????
n ·11A B
＝0，n ·1A C
＝0，
得?????
－x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0. 令y ＝1，得x ＝2，z ＝－1，即n ＝(2,1，－1)，
所以cos 〈OE ，n 〉＝OE
·n
| OE |·|n |＝3010
， 即平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值是
30
10
.
由题悟法
求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
以题试法
3．(2012·山西模拟)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝AD ＝a ，点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≤1)．
(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE ； (2)若二面角C －AE －D 的大小为60°，求λ的值．
解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0，)，
B (a ，a,0)，
C (0，a,0)，
D (0,0,0)，
E (0,0，λa )，
∴AC ＝(－a ，a,0)，BE
＝(－a ，－a ，λa )， ∴AC ·
BE
＝0对任意λ∈(0,1]都成立，即对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE . (2)显然n ＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量， 设平面ACE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
∵AC ＝(－a ，a,0)，AE
＝(－a,0，λa )，
∴???
m ·AC
＝0，m ·AE
＝0.
即????? －ax ＋ay ＝0，－ax ＋λaz ＝0，∴?????
x －y ＝0，x －λz ＝0. 取z ＝1，则x ＝y ＝λ，∴m ＝(λ，λ，1)， ∵二面角C －AE －D 的大小为60°， ∴|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n ||m |＝λ1＋2λ
2＝1
2， ∵λ∈(0,1]， ∴λ＝
2
2
.
1.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC
＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝BC ＝AA 1＝2，
则C
1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)，
则EF
＝(0，－1,1)，1BC ＝(2,0,2)，
∴EF ·1BC
＝2， ∴cos 〈EF ，1BC
〉＝
22×22＝1
2
，
∴EF 和BC 1所成角为60°. 答案：60°
2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为________．
解析：如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x
轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)．
设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ＝(1,0，a )，1CB
＝(0,2,2)，
设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )．
则?????
m ·1CB ＝0m ·
CD ＝0??????
2y ＋2z ＝0x ＋az ＝0， 令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，
又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 则由cos 60°＝|m·n ||m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，
故AD ＝ 2. 答案： 2
3.如图，在正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成角为________．
解析：如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .
设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，
则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ?
???0，－a 2，a
2. 则CA ＝(2a,0,0)，AP ＝????－a ，－a 2，a 2，CB ＝(a ，a,0)．
设平面P AC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，
则cos 〈CB ，n 〉＝CB
·n | CB ||n |
＝a 2a 2
·2＝1
2. ∴〈CB
，n 〉＝60°，
∴直线BC 与平面P AC 的夹角为90°－60°＝30°. 答案：30°
4．(2012·山西模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，
AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.
(1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求二面角P －BD －A 的大小．
解：(1)证明：由题可知，AP 、AD 、AB 两两垂直，则分别以AB 、
AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，
∴AP ＝(0,0,3)，AC ＝(23，6,0)，BD
＝(－23，2,0)，
∴BD ·AP ＝0，BD ·AC
＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC .
又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC .
(2)显然平面ABD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则n ·
BD ＝0，n ·BP ＝0. 由(1)知，BP
＝(－23，0,3)，
∴???
－23x ＋2y ＝0，
－23x ＋3z ＝0，整理得?????
y ＝3x ，z ＝233x .
令x ＝3，则n ＝(3，3,2)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12
.
∴结合图形可知二面角P －BD －A 的大小为60°.
5．(2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC
＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．
(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；
(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值．
解：(1)法一：证明：如图，连接AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝
90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．
又因为N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′. 又MN ?平面A ′ACC ′， A ′C ?平面A ′ACC ′， 所以MN ∥平面A ′ACC ′.
法二：证明：取A ′B ′ 中点P ，连接MP ，NP ，
而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′， 所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，
因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′.而MN ?平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′.
(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示．
设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，
于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)， B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)， 所以M ????λ2，0，12，N ???
?λ2，λ
2，1. 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量， 由???
m ·A M ' ＝0，
m ·MN
＝0，得???
λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0，
可取m ＝(1，－1，λ)．
设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量， 由???
n ·NC ＝0，
n ·MN
＝0，得???
－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0，
可取n ＝(－3，－1，λ)．
因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m·n ＝0， 即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝2(负值舍去)．
6．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.
(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；
(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；
(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由． 解：(1)证明：因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ， 所以DE ⊥AC .
所以ED ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC . 所以DE ⊥A 1C . 又因为A 1C ⊥CD . 所以A 1C ⊥平面BCDE .
(2)如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz ，则
A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，M (0,1, 3)，
B (3,0,0)，E (2,2,0)．
设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则
n ·1A B ＝0，n ·BE =0.
又1A B
(3,0－＝ (－1,2，0)， 所以???
3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.
令y ＝1，则x ＝2，z ＝ 3. 所以n ＝(2,1，3)．
设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.
因为CM
＝所以sin θ＝|cos 〈n , CM 〉|＝|n ·CM
|n ||CM |
|＝
48×4＝2
2
. 所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π
4
.
(3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]．
设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则
m ·1A D ＝0，m ·DP ＝0. 又1A D ＝(0，2，－23),DP
＝(p ，－2,0)， 所以???
2y －2 3z ＝0，px －2y ＝0.
令x ＝2，则y ＝p ，z ＝p 3
. 所以m ＝(2，p ，
p 3
)． 平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0， 即4＋p ＋p ＝0.
解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾．
所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．
1．(2013·湖北模拟)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD
为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．
(1)求证：P A ⊥EF ；
(2)求二面角D －FG －E 的余弦值．
解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，A (0,2,0)，C (－2,0,0)，P (0,0,2)，E (－1,0,1)，F (0,0,1)，G (－2,1,0)．
(1)证明：由于PA ＝(0,2，－2)，EF ＝(1,0,0)，则PA ·
EF
＝
1×0＋0×2＋(－2)×0＝0，
∴P A ⊥EF .
(2)易知DF ＝(0,0,1)，EF
＝(1,0,0)，FG ＝(－2,1，－1)，
设平面DFG 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，
则???
m ·DF ＝0，m ·
FG
＝0，解得?????
z 1＝0，－2x 1＋y 1－z 1＝0. 令x 1＝1，得m ＝(1,2,0)是平面DFG 的一个法向量． 设平面EFG 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)， 同理可得n ＝(0,1,1)是平面EFG 的一个法向量． ∵cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝25·2＝210
＝10
5，
设二面角D －FG －E 的平面角为θ，由图可知θ＝π－〈m ，n 〉， ∴cos θ＝－
105
， ∴二面角D －FG －E 的余弦值为－
105
. 2．(2012·北京西城模拟)如图，在直三棱柱ABC －A
1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，∠ABC ＝90°，D 是BC 的中点．
(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1； (2)求二面角C 1－AD －C 的余弦值；
(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角？若存在，确定E 点位置；若不存在，说明理由．
解：(1)证明：连接A 1C ，交AC 1于点O ，连接OD .
由ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，得四边形ACC 1A 1为矩形，O 为A 1C 的中点．
又D 为BC 的中点，所以OD 为△A 1BC 的中位线， 所以A 1B ∥OD ，
因为OD ?平面ADC 1，A 1B ?平面ADC 1， 所以A 1B ∥平面ADC 1.
(2)由ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，且∠ABC ＝90°，得BA ，BC ，BB 1两两垂直．
以BC ，BA ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz . 设BA ＝2，则B (0,0,0)，C (2,0,0)，A (0,2,0)，C 1(2,0,1)，D (1,0,0)，
所以AD
＝(1，－2,0)，1AC ＝(2，－2,1)．
设平面ADC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有?????
n ·AD ＝0，
n ·1AC ＝0.
所以?????
x －2y ＝0，
2x －2y ＋z ＝0.
取y ＝1，得n ＝(2,1，－2)．
易知平面ADC 的一个法向量为v ＝(0,0,1)． 所以cos 〈n ，v 〉＝n ·v |n |·|v |＝－23.
因为二面角C 1－AD －C 是锐二面角， 所以二面角C 1－AD －C 的余弦值为2
3.
(3)假设存在满足条件的点E .
因为点E 在线段A 1B 1上，A 1(0,2,1)，B 1(0,0,1)， 故可设E (0，λ，1)，其中0≤λ≤2.
所以AE
＝(0，λ－2,1)，1DC ＝(1,0,1)．
因为AE 与DC 1成60°角，
所以|cos 〈AE ，1DC 〉|＝?????
???AE ·1DC
|AE |·|1DC |＝12. 即??
????1(λ－2)2
＋1·2＝12
，解得λ＝1或λ＝3(舍去)．
所以当点E 为线段A 1B 1的中点时，AE 与DC 1成60°角．
1．(2012·北京东城模拟)如图，四边形ABCD 为正方形，PD
⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12
PD .
(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．
解：(1)证明：如图，以D 为坐标原点，DA 、DP 、DC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .设DA ＝1，则有D (0,0,0)，Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，
所以DQ ＝(1,1,0)，DC ＝(0,0,1)，PQ
＝(1，－1,0)，
所以PQ ·DQ ＝0，PQ ·DC ＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC .
又DQ ?平面DCQ ，DC ?平面DCQ ，且DQ ∩DC ＝D ， 所以PQ ⊥平面DCQ .
又PQ ?平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .
(2)由(1)易知B (1,0,1)，CB ＝(1,0,0)，BP
＝(－1,2，－1)．
设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，则???
n ·CB ＝0，
n ·
BP
＝0， 即?
????
x ＝0，
－x ＋2y －z ＝0，可取n ＝(0，－1，－2)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PBQ 的法向量，则?
????
m ·
BP
＝0，m ·PQ ＝0， 即?
????
－x 1＋2y 1－z 1＝0，
x 1－y 1＝0，可取m ＝(1,1,1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝－
15
5
， 故二面角Q －BP －C 的余弦值为－
155
. 2．(2012·天津高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，
AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.
(1)证明PC ⊥AD ；
(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；
(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．
解：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，
D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ??
－1
2
，
??
12，0
，P (0,0,2)．
(1)证明：易得PC
＝(0,1，－2)， AD
＝(2,0,0)，
于是PC ·AD
＝0，所以PC ⊥AD .
(2) PC ＝(0,1，－2)，CD
＝(2，－1,0)．
设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则???
n ·PC
＝0，n ·
CD
＝0，即?????
y －2z ＝0，2x －y ＝0.不妨令z ＝1， 可得n ＝(1,2,1)．
可取平面P AC 的法向量m ＝(1,0,0)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m·n
|m |·|n |＝16＝66，
从而sin 〈m ，n 〉＝
30
6
. 所以二面角A －PC －D 的正弦值为
306
. (3)设点E 的坐标为(0,0，h )，其中h ∈[0,2]．由此得BE ＝????12，－12，h .由CD ＝(2，－
1,0)，故cos 〈BE ，CD 〉＝BE ·CD
|BE
|·|CD |
＝32
12
＋h 2
×5＝3
10＋20h 2，
所以
310＋20h 2
＝cos 30°＝32，解得h ＝10
10，
即AE ＝
10
10
. 3.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2.
(1)证明：当点E 在棱AB 上移动时，D 1E ⊥A 1D ； (2)在棱AB 上是否存在点E ，使二面角D 1－EC －D 的平面角为π
6
？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由．
解：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,2,0)，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)．
设E (1，y 0,0)(0≤y 0≤2)．
(1)证明：∵1D E ＝(1，y 0，－1)，1A D
＝(－1,0，－1)， 则1D E ·1A D
＝(1，y 0，－1)·(－1,0，－1)＝0， ∴1D E
⊥1A D
，即D 1E ⊥A 1D .
(2)当AE ＝2－
33时，二面角D 1－EC －D 的平面角为π6
. ∵EC ＝(－1,2－y 0,0)，1D C
＝(0,2，－1)，设平面D 1EC 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，
z )，
则?????
n 1·EC ＝0，n 1·1D C ＝0
??????
－x ＋y (2－y 0)＝0，
2y －z ＝0.
取y ＝1，则n 1＝(2－y 0,1,2)是平面D 1EC 的一个法向量．
而平面ECD 的一个法向量为n 2＝1DD ＝(0,0,1)，要使二面角D 1－EC －D 的平面角为π
6
，
则cos π6＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|
＝
2(2－y 0)2＋12＋22＝32
，解得y 0
＝2－3
3(0≤y 0≤2)． ∴当AE ＝2－
33时，二面角D 1－EC －D 的平面角为π
6
. 4．(2012·湖北模拟)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，∠
BAC ＝90°.
(1)若异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角为60°，求棱柱的高； (2)设D 是BB 1的中点，DC 1与平面A 1BC 1所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sin θ的最大值．
解：建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设AA 1＝h (h >0)，则有B (1,0,0)，B 1(1,0，
h )，C 1(0,1，h )，A 1(0,0，h )，11B C ＝(－1,1,0)，11A C ＝(0,1,0)，1A B
＝(1,0，－h )． (1)因为异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角为60°，所以cos60°＝
|11B C ·1A B ||11B C |·|1A B |
， 即
12·h 2
＋1＝1
2
，得1＋h 2＝2，解得h ＝1. (2)由D 是BB 1的中点，得D ?
???1，0，h 2， 于是1DC ＝?
???－1，1，h
2. 设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，于是由n ⊥1A B ，n ⊥11A C
可得
?????
n ·1A B ＝0，n ·11A C
＝0，
即?????
x －hz ＝0，
y ＝0，可取n ＝(h,0,1)，
故sin θ＝|cos 〈1DC
，n 〉|，
而|cos 〈1DC ，n 〉|＝|1DC
·n |
|1DC |·|n |
＝?
???
－h ＋h 214
h 2＋2·h 2
＋1＝h
h 4＋9h 2＋8.
令f (h )＝
h
h 4
＋9h 2＋8
＝
1
h 2＋8h
2＋9
，
因为h 2＋8h 2＋9≥28＋9，当且仅当h 2＝8h 2，即h ＝4
8时，等号成立．
所以f (h )≤
1
9＋28＝1
8＋1＝22－17，
故当h ＝4
8时，sin θ的最大值为22－17.
立 体 几 何
(时间：120分钟，满分150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2012·重庆模拟)若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是( )
A ．平行
B ．异面
C ．相交
D ．平行、异面或相交
解析：选D 经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现．
2．(2012·福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )
A ．球
B ．三棱锥
C ．正方体
D ．圆柱
解析：选D 球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除
选项A 和C.对于如图所示三棱锥O －ABC ，当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.
不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同． 3．(2012·安徽模拟)在空间，下列命题正确的是( ) A ．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面 B ．若直线m 与平面α内的一条直线平行，则m ∥α
C ．若平面α⊥β，且α∩β＝l ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β
D ．若直线a ∥b ，且直线l ⊥a ，则l ⊥b
解析：选D 三条直线两两相交，可确定一个平面或三个平面，故A 错；m 与平面α内一条直线平行，m 也可在α内，故B 错；若平面α⊥β，且α∩β＝l ，当P ∈l 时，过P 点与l 垂直的直线可在β外，也可在β内，故C 错．由等角定理知D 正确．
4．(2012·新课标全国卷)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )
A.6π
B ．43π
C ．46π
D ．63π
解析：选B 设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝(2)2＋12＝3，所以球的体积V ＝4
3
πR 3＝43π.
5．(2012·北京海淀二模)某几何体的正视图与俯视图如图所示，侧视图与正
视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )
A.20
3 B.43 C ．6
D ．4
解析：选A 由三视图知，该几何体是正方体挖去一个以正方体的中心为顶点、以正方体的上底面为底面的四棱锥后的剩余部分，其体积是
23－13×22×1＝203
.
6．(2013·安徽模拟)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所
示，则该几何体的侧视图为( )
解析：选B 由三视图的相关知识易知选B.
7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与体对角线AC 1异面的棱有( ) A ．3条 B ．4条 C ．6条
D ．8条
解析：选C 从定义出发，同时考虑到正方体的体对角线AC 1与正方体的6条棱有公共
空间向量与立体几何知识点
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．
（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：
空间向量与立体几何(整章教案)
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教
材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平 行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与
空间向量及其运算详细教案
空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量
空间向量高中数学教案课程
空间向量 考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌 握 空 间 两 点 间 的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是：
1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ．
利用空间向量求空间角和距离
利用空间向量求空间角和距离 A 级——夯基保分练 1.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( ) A.30 30 B ．3015 C. 3010 D. 1515 解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则B 1(2,2,2)，M (1,1,0)，D 1(0，0,2)，N (1,0,0)，∴B 1M ―→ ＝(－1，－1，－2)，D 1N ―→ ＝(1,0，－2)， ∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为|B 1M ―→·D 1N ―→ | |B 1M ―→|·|D 1N ―→|＝ |－1＋4|1＋1＋4×1＋4＝30 10 . 2.如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝1 3AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成角的 正弦值为( ) A.33535 B ．277 C.33 D.24 解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0,3,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，C (0,3,0)， ∴DC 1―→＝(0,3,1)，D 1E ―→＝(1,1，－1)，D 1C ―→ ＝(0,3，－1)． 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则????? n ·D 1E ―→＝0，n · D 1C ―→＝0，即????? x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝1，得n ＝(2,1,3)． ∴cos DC 1―→，n ＝DC 1―→·n |DC 1―→|·|n| ＝33535， ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为335 35 .
数学选修空间向量及其运算教案
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
第43讲 利用空间向量求空间角和距离(讲)(解析版)
第43讲 利用空间向量求空间角和距离 思维导图 知识梳理 1．异面直线所成角 设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b | |a ||b |， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量． 2．直线与平面所成角 如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n | |a ||n | 3．二面角 (1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角，如图(1)． (2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ |n 1·n 2| |n 1||n 2| ，如图(2)(3)． 4．利用空间向量求距离 (1)两点间的距离
设点A (x 1，y 1，z 1)，点B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝|AB ―→ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. (2)点到平面的距离 如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|BO ―→|＝|AB ―→ ·n | |n | . 题型归纳 题型1 异面直线所成的角 【例1-1】（2020?济南模拟）已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，1 2 AB AD BC == ，将直角梯形ABCD （及其内部）以AB 所在直线为轴顺时针旋转90?，形成如图所示的几何体，其中M 为CE 的中点． （1）求证：BM DF ⊥； （2）求异面直线BM 与EF 所成角的大小． 【分析】（1）建立空间坐标系，得出BM ，DF 的坐标，根据向量的数量积为0得出直线垂直； （2）计算BM 和EF 的夹角，从而得出异面直线所成角的大小． 【解答】（1）证明： AB BC ⊥，AB BE ⊥，BC BE B =， AB ∴⊥平面BCE ， 以B 为原点，以BE ，BC ，BA 为坐标轴建立空间坐标系B xyz -，如图所示： 设1AB AD ==，则(0D ，1，1)，(1F ，0，1)，(0B ，0，0)，M 0)， ∴(2BM =，0)，(1DF =，1-，0)，
空间向量及其线性运算(教案)
课 题：空间向量及其线性运算 教学目标： 1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。 教学过程： 一、创设情景 1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量. 2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学 1．空间向量的概念： 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图） b a AB OA OB +=+= b a -=-= )(R a ∈=λλ 运算律： ⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体： 平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，
全国高中数学优秀课评选：《9.6空间向量的夹角和距离公式》教学设计教案或说明
1 9．6空间向量的夹角和距离公式 三维目标： 知识与技能： ⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度公式、 夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式 解决有关问题； ⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而提高 分析问题、解决问题的能力. 过程与方法： 通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使学生在 积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”. 情感、态度和价值观：⒈通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习 热情和求知欲，充分体现学生的主体地位； ⒉通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的 魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情. 教学重点：夹角公式、距离公式． 教学难点：数学模型的建立． 关键： 将生活中的问题转化为数学问题，建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空 间向量的坐标. 教具准备：多媒体投影，实物投影仪. 教学过程： (一) 创设情境,新课导入 2008年5月16日，南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚集在圣火的传递上，让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学，其中途经我市雄伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程，我校派了小记者在船上进行全景拍摄,出现了这么一个问题. 引例:在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面） 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？ C 1 A
2 （2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? （不考虑火炬手与小船本身的大小）. 今天我们从另一个角度来分析这个问题. 分析:建立数学模型 问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离? 问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值？ 1、空间两点间的距离公式 111222(,,)(,,),A x y z B x y z 已知：，则 ()212121,,AB x x y y z z =--- (AB AB AB x =?= ,A B d =2、夹角公式 设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==， 则,a OA b OB = = cos ,a b a b a b ?<>== (二)例题示范，形成技能 例1: 在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面） 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？ （2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? （不考虑火炬手与小船本身的大小）. 解：建立如图空间直角坐标系， x y z O 111(,,) A x y z 222(,,) B x y z a a b
空间向量的应用----求空间角与距离
空间向量的应用----求空间角与距离 一、考点梳理 1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考查常规解题方法的同时，更多地关注向量法（基向量法、坐标法）在解题中的应用。坐标法（法向量的应用），以其问题（数量关系：空间角、空间距离）处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续体现法向量的应用价值。 2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下： 1)求直线和直线所成的角 若直线AB 、CD 所成的角是α，cos α=|,cos |> 计算公式为： 4).利用法向量求点面距离 如图点P 为平面外一点，点A 为平面内的任一点，平面的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO ，记∠OPA=θ，则点P 到平面的距离 θcos ||||PA PO d == 5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面 间的距离，以及平行平面间的距离等。其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二， 异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点A 、B ，AB 在n 上的射影长即 为所求。n 为异面直线AD 、BC 公共垂直的方向向量，可由0n AD ?=及0n BC ?=求得，其计算公式为： || || n AB d n =。其本质与求点面距离一致。 向量是新课程中引进的一个重要解题工具。而法向量又是向量工具中的一朵厅葩，解题方法新颖，往往能使解题有起死回生的效果，所以在学习中应起足够的重视。 二、范例分析 例1 已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，3将它沿对称轴1 OO n α A P O θ 空间向量与空间距离 1.了解点到直线、平面距离的概念． 2.会用空间向量 求点到直线、平面距离． 空间距离的向量求法 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B →的长度．() 所成向量AB (2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．() (3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条 直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A.534 B.532 C.532 D.132 答案：C 3．已知直线l 过点A (1，－1，2)，和l 垂直的一个向量为n ＝(－3，0，4)，则P (3，5，0)到l 的距离为( ) A ．5 B ．14 C.145 D.45 答案：C 4．已知直线l 与平面α相交于点O ，A ∈l ，B 为线段OA 的中点，若点A 到平面α的距离为10，则点B 到平面α的距离为________． 答案：5 探究点一 点到直线的距离 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，求点B 到直线A ′C 的距离． [解] 因为AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，所以A ′(0，0，3)，C (1，2，0)，B (1，0，0)， 所以直线A ′C 的方向向量A ′C →＝(1，2，－3)． 又BC →＝(0，2，0)， 所以BC →在A ′C →上的射影长为|BC →·A ′C →||A ′C →|＝414. 所以点B 到直线A ′C 的距离 d ＝|BC →|2－????????BC →·A ′ C →|A ′C →|2＝ 4－1614 ＝2357. 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长； (4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 空间向量及其运算 【高考导航】 本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】 本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的 用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法 向量， 则斜线l 与平 面 α 所成的角 α=arcsin | ||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角 l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 法二、设12,,n n 是二面角l αβ--的两 个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角 l αβ--的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）． 欢迎阅读 空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距 离公式． 理解空 间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、 性质和运算律；了解空间 向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量．(2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． 基础过关 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ． 北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》 第一课时平面向量知识复习 一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备 二、教学重点：平面向量的基础知识。教学难点：运用向量知识解决具体问题 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、基本概念 向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。（二）、基本运算 1、向量的运算及其性质 2、平面向量基本定理： 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且 只有一对实数21,λλ，使a = ； 注意)(2 1 OB OA OP += ,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示） 4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥ 的充要条件是： ；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示） （三）、课堂练习 1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则?ABC 是（ ） A ．以A B 为底边的等腰三角形B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形 2．P 是△ABC 所在平面上一点，若?=?=?，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心B ．内心 C ．重心D ．垂心 3．在四边形ABCD 中，?→ ?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45?，则以52a p q =+ ，3b p q =- 为邻边的 平行四边形的一条对角线长为（ ） 第三章空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： 知识与技能（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何 体加深对运算的理解。 过程与方法（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探 究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运 算及其运算律的意义。 （3）培养学生空间向量的应用意识 情感态度与价值观通过本节课的学习，让学生在掌握知识的同时，体验发现数学的乐趣，从而激发学生努力学习的动力。 教学重点：（1）空间向量的有关概念； （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义； （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 课堂类型：新授课 教学方法：研讨、探究、启发引导 教学用具：多媒体 教学过程： 一、创设情境 （老师）：以前我们学过平面向量，请问所有的向量都是平面向量吗？比如：长 方体中的过同一点的三条边上的向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）：这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量 板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，常见的高压电线及支架所在向量。二、讲授新课 （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量的知识。 （一）复习回顾平面向量的基本概念 1.向量概念：在平面上既有大小又有方向的量叫向量； 2.画法：用有向线段画出来； 3.表示方式：或a（用小写的字母表示）； 4零向量：在平面中长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的； 5.单位向量：在平面中模为1的向量称为单位向量； 6.相反向量：在平面中长度相等，方向相反的两个向量，互称为相反向量； 7.相等向量：在平面中方向相同且模相等的向量称为相等向量； （二）空间向量的基本概念 （老师）：其实空间向量就是把向量放到空间中了，请同学们给空间向量下个定义， （学生）在空间中，既有大小又有方向的量 （老师）：非常好，请大家类比平面向量得到空间向量的其他相关定义（提问学生） （学生）回答向量概念、画法、.表示方式及零向量（零向量的方向是任意的）、单位向量、相反向量、相等向量的概念。 （老师）：得到空间向量的相关定义，我们做几个题巩固一下（见课件） （三）复习回顾平面向量的加减运算 （老师）：在数学中引入一种量以后，一个很自然的问题就是研究它们的运算，空间向量的运算我们也采用与平面向量类比的方法，那么我们首先来复习回顾一下平面向量的加减运算。（课件） 复习回顾：（找学生回答） （学生）：1.平面向量的加法法则：（称为三角形法则或平行四边形法则）：记为+； 几何意义：如图为+为平行四边形的对角线，或三角形ABO中边。口诀是首尾相连或相同起点。 2.减法法则：记为-； 几何意义：如图中-为平行四边形的对角线，方向指向被减向量。口诀是：减向量终点指向被减向量终点。 3平面向量运算律： 用向量法求空间角与距离 1.1. 向量的数量积和坐标运算 b a ,是两个非零向量，它们的夹角为 ，则数 cos |||| b 叫做与的数量积（或内积），记作b a ，即.cos |||| 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是： 若),,(),,,(222111z y x b z y x a ，则 ①212121z z y y x x b a ； ②2 22222212121||,||z y x b z y x a ； ③212121z z y y x x b a ④2 2 2 22 22 12 12 12 12121,cos z y x z y x z z y y x x b a 1.2. 异面直线n m ,所成的角 分别在直线n m ,上取定向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角 等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示），则 .||||| |cos b a b a （例如2004年高考数学广东卷第18题第（2）问） 1.3. 异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的 向量，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在 上的射影长，即| |n d . 图1 证明：设CD 为公垂线段，取b a ,（如图1所示），则 | |||)( | |||n d 设直线n m ,所成的角为 ，显然.||||| |cos b a b a 1.4. 直线L 与平面 所成的角 在L 上取定，求平面 的法向量2所示）， 再求 | |||cos n AB 2 为所求的角. 1.5． 二面角 方法一：构造二面角 l 的两个半平面 、的法向量 21n n 、（都取向上的方向，如图3所示），则 ① 若二面角 l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即| |||cos 2121n n （例如2004年高考数学广 东卷第18题第（1）问）. ② 若二面角 l 是“锐角型”的如图3乙所示， 那么其大 小等于两法向量21n n 、的夹角， 即| |||cos 2121n n （例如 2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）. 方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面 、内求出与l 垂直的向量21n n 、（如图4所示） ，则二面角 l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 图3乙 图3 图4 图2 空间向量及其运算教学 设计教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 教学准备 1. 教学目标 1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。 2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。 3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。 2. 教学重点/难点 重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 难点：理解空间向量基本定理； 3. 教学用具 多媒体设备 4. 标签 教学过程 教学过程设计 （一）.复习引入 1、共线向量定理： 2、共面向量定理： 3、平面向量基本定理： 4、平面向量的正交分解： （二）、新课探究： 探究一.空间向量基本定理 2、空间向量基本定理 3、注意：对于基底{a,b,c},除了应知道向量a,b,c不共面，还应明确 （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 （2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。 （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。 4、应用举例析： 知识点一向量基底的判断 例1.已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底吗为什么 解∵a＋b，a－b，c不共面，能构成空间一个基底． 假设a＋b，a－b，c共面，则存在x，y， 使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴c＝(x＋y)a＋(x－y)b. 从而由共面向量定理知，c与a，b共面． 这与a、b、c不共面矛盾． ∴a＋b，a－b，c不共面． 【反思感悟】解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．空间向量与空间距离
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