不等式的解法
【教学内容】不等式的解法
【课型】复习习题课
【教学目标】(1)会解整式不等式、分式不等式、绝对值不等式
(2)能从指数、对数的单调性的深化的角度求解指数对数不等式。【重点难点】
重点:指数、对数不等式的解法
难点:含参数不等式中参数的讨论
【教学方法】讲解启发
【教学过程】
一、基本知识
(引导学生自己回忆说出来)
1、不等式同解原理、一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法
①a>b?a+c>b+c;c>0时,a>b?ac>c;c<0 时a>b?ac ②设a>0,方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 (x1> x2),则 不等式ax2+bx+c>0的解集为{x| x>x1, 或x< x2} 不等式ax2+bx+c<0的解集为{x| x2< x ③设a>0,则不等式|x|>a的解集为{x|x>a,或x<-a}; 不等式|x| 要注意这些基本知识的应用条件,若条件不满足,它就是一个分类的标准。 2、指数函数、对数函数的单调性 ①函数y=a x, 当a>1时为增函数,当0 ②函数y=log a x, 当a>1时为增函数,当0 解指数、对数不等式时往往要根据它们的单调性把指数、对数不等式转化为整式不等式,要注意到定义域和底;在解含参数的不等式的时候,底a也是一个最重要的分类标准。 3、分式不等式高次不等式——数轴标根法 注意变量前面的系数为正,将各因子的根在数轴上排序,从右上方画起。 二、典型例题 例1(1)关于x的不等式ax>b的解集为一切实数,则ab2= 分析:关键是对不等式ax>b的解集为一切实数的理解,要满足条件,则必有a=0, b<0, 从而ab2=0。 (2)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α 则不等式cx2+bx+a<0的解集为 分析:要确定cx2+bx+a<0的解集,则必须知道c的符号,及方程cx2+bx+a=0 的根,还要注意比较两根的大小。 事实上,由形式可知,a<0,又αβ=0>c a ,故c<0。将方程两边同除以x 2得,0)1()1(2=++c x b x a ,则x 1=α或β,从而两个根为α 1和β1,故解集为:),1()1,(+∞-∞α β 说明:以上是处理倒数方程的常见手法。 (3)已知关于x 的不等式x 2-x+a>0的解集为一切实数,则函数y=ax 在[-1,1]上的值域为 分析:由题意知:△=1-4a<0→a>4 1, 从而所求的值域为:[-a, a] 注意:第一句话仅仅是为了确定a 的符号,不应该把a 的范围代入。 (4)不等式04 )1)(2()1(2<++--x x x x 的解集为 分析:分式不等式和高次不等式一般用序轴标根法求解 “系数为正、右上下笔、奇穿偶回”。答案:())2,1()1,1(4, --∞- 例2解不等式:(1)0)1lg(<-x x (2)|x-5|-|2x+3|<1 分析:(1)要结合函数的单调性,注意函数的定义域;(2)最需解决的问题是如何去掉绝对值符号,以零点分类讨论。 解:(1)原不等式等价于110<- x →原不等式的解集为:)5 51,1()251,1(+-- (2)原不等式等价于: ???<≥13-2x -5-x 5x 或?????<<<-13-2x -x -5 523x 或?????<++-≤1 32x x -5 23x 从而得原不等式的解集为:),3 1()7,(+∞--∞ 例3对任意实数x ,不等式|x+1|+|x-2|>a 恒成立,求实数a 的取值范围。 分析:经过分析转化,实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值,a 应比最小值小。 解: 由绝对值不等式:|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当(x+1)(x-2)≤0, 即 21≤≤-x 时取等号。故a<3 说明:转化思想在解中有很重要的作用,比如:恒成立问题、定义域为R 等问题都可转化为求最大、最小值问题。(在这些问题里我们要给自己提问题,怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题,常问的问题是:要使……,只要……) 例4解关于x 的不等式12 )1(>--x x a 分析:若将原不等式移项、通分整理可得: 02)2()1(>----x a x a ?0)2)](2()1[(>----x a x a 显然,现在有两个问题:(1)a-1的符号怎样?(2) 12--a a 与2的大小关系怎样?这也就是本题的分类标准所在。 解: 原不等式与不等式0)2)](2()1[(>----x a x a 同解。 1、 当a-1>0,即a>1时,原不等式与不等式0)2)(1 2(>----x a a x 同解,此时因为12--a a <2, 所以原不等式的解集为),2()1 2,(+∞---∞ a a 2、 当a=1时,即x-2>0,其解集为),2(+∞ 3、 当a<1时,原不等式与不等式0)2)(1 2(<---- x a a x 同解 (1)当12--a a >2, 即0 2,2(--a a (2)当a=0时,解集为Φ (3)当a<0时,原不等式的解集为)2,1 2(--a a 说明:(1)解题时标准要明确,书写条理要清晰。 (2)常见的分类标准:Φ、0、1、根 例5若关于x 的方程x 2-x-(m+1)=0在[-1,1]上有解,求m 的取值范围。 分析:这是一个根的分部的问题,要求方程在[-1,1]上有解,这要注意:有几解? 解:设f(x)= x 2-x-(m+1) 1. 若原方程在(-1,1)上有两解,则 ??? ????<<->+-+=->+--=≥++=? 12110)1(11)1( 0)1(11)1( 0)1(41m f m f m →145-<≤-m 2、若原方程在(-1,1)上有一解,则 f(1)f(-1)<0, 即: (-m-1)(1-m)<0→-1 3、若f(1)=0, 则m=-1, 若f(-1)=0,则m=1 综上得:m 得取值范围为[1,45-] 说明:1、从以上解法可以看出,此题从正面考虑情况比较多,这时我们可以从反面去考虑,我们求使方程在[-1, 1]上无解的m 的取值范围:这时只有两种情况,(1)方程本身无解;(2)方程有解,但解都不在[-1,1]上。最后取补集即可。 2、此问题还可看为函数m=x 2-x-1,在[-1,1]上的取值范围,即为[1,45-] 三、课堂小结 本节课主要复习了不等式的解法,要注意以下内容: (1) 序轴标根法 系数为正、右上下笔、奇穿偶回 (2) 分类讨论 抓住标准: Φ、0、1、根 (3) 结合单调性,注意定义域 (4) 正难则反 四、课后作业 1、解下列关于x 的不等式 (1)3182042≥++-x x x (2)3|9|2+≤-x x (3)ax 2-(a+1)x+1<0,其中a>0 2、定义R 上的减函数f(x),如果不等式组???-+>-+>-+) 1()13( )2()1(22x kx f kx f k f x kx f 对任何]1,0[∈x 都成立,求实数k 的取值范围。 §3.1不等式与不等关系 【教学目标】 1.知识与技能:通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式(组)正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1)用不等式表示不等关系 引例1:限速40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40km/h ,写成不等式就是: 40v ≤ 引例2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1:设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤。 问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元,销售 绝对值不等式的解法教案 教学目标 (1)掌握与()型的绝对值不等式的解法. (2)掌握与()型的绝对值不等式的解法. (3)通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集,培养学生数形结合的能力。 (4)通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式,培养学生化归的思想和转化的能力。 教学重点:型的不等式的解法; 教学难点:利用绝对值的意义分析、解决问题. 教学过程设计 教师活动 一、导入新课 【提问】正数的绝对值什么负数的绝对值是什么零的绝对值是什么举例说明【概括】 【不等式的代数意义及几何意义】 学生活动 口答:代数意义 几何意义 |a|的意义是a在数轴上的相应点到原点的距离。 设计意图 绝对值的概念是解与()型绝对值不等式的概念,为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫. 【不等式的性质】: ①若a>b ;c∈R 则 a+c>b+c ②若a>b ;c>0 则 ac>bc ③若a>b ;c<0 则 ac 不等式的解集表示为 【设问】解绝对值不等式,由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗这个绝对值不等式的解集怎样表示 【质疑】的解集有几部分为什么也是它的解集 【讲述】这个集合中的数都比-2小,从数轴上可以明显看出它们的绝对值都比2大,所以是解集的一部分.在解时容易出现只求出这部分解集,而丢掉这部解集的错误. 画出数轴思考答案 不等式的解集为或表示为,或 2、自主演练:解下列不等式 1) | x | < 4 | x | < -1 | x | ≤ 0 2) | x | > 4 | x | > -3 | x | >0 3、抽象概括绝对值不等式的解集答案:{ x | -4 < x < 4 } Ф 答案:{ x | x>4,或x<-4 } R 第三章不等式 必修5 3.1 不等关系与不等式 一、教学目标 1.通过具体问题情境,让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系; 2.通过了解一些不等式(组)产生的实际背景的前提下,学习不等式的相关内容; 3.理解比较两个实数(代数式)大小的数学思维过程. 二、教学重点: 用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题.理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值. 三、教学难点: 使用不等式(组)正确表示出不等关系. 四、教学过程: (一)导入课题 现实世界和生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系我们知道,两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,等等.人们还经常用长与短,高与矮,轻与重,大与小,不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 在数学中,我们用不等式来表示这样的不等关系. 提问: 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系?(大于、等于、小于). 2.现实生活中,人们是如何描述“不等关系”的呢?(用不等式描述) 引入知识点: 1.不等式的定义:用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 2.不等式a b ≥的含义. 不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”,其含义是指“或者a >b ,或者a =b ”,等价于“a 不小于b ,即若a >b 或a =b 之中有一个正确,则a b ≥正确. 3.实数比较大小的依据与方法. (1)如果a b -是正数,那么a b >;如果a b -等于零,那么a b =;如果a b -是负数,那么a b <.反之也成立,就是(a b ->0?a >b ;a b -=0?a =b ;a b -<0?a 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 一.课题:含绝对值的不等式的解法 二.教学目标:掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法. 三.教学重点:解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次) 不等式(组),难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中,集合间 的交、并等各种运算. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2.当0c >时,||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-,||ax b c c ax b c +-<+<; 当0c <时,||ax b c x R +>?∈,||ax b c x φ+∈. (二)主要方法: 1.解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解; 2.去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法:|| (0)x a a a x a <>?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法; (3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. (三)例题分析: 例1.解下列不等式: (1)4|23|7x <-≤;(2)|2||1|x x -<+;(3)|21||2|4x x ++->. 解:(1)原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-,∴原不等式解集为17[2,) (,5]22--. (2)原不等式可化为22(2)(1)x x -<+,即12x > ,∴原不等式解集为1[,)2+∞. (3)当12x ≤- 时,原不等式可化为2124x x --+->,∴1x <-,此时1x <-; 当122 x -<<时,原不等式可化为2124x x ++->,∴1x >,此时12x <<; 当2x ≥时,原不等式可化为2124x x ++->,∴53 x >,此时2x ≥. 综上可得:原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞. 例2.(1)对任意实数x ,|1||2|x x a ++->恒成立,则a 的取值范围是(,3)-∞; (2)对任意实数x ,|1||3|x x a --+<恒成立,则a 的取值范围是(4,)+∞. 解:(1)可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥,∴3a <; (2)与(1)同理可得|1||3|4x x --+≤,∴4a >. 例3.(《高考A 计划》考点3“智能训练第13题”)设0,0a b >>,解关于x 的不等式:|2|ax bx -≥. 解:原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-,即()2a b x -≥①或2()2a b x x a b +≤?≤ +②, 高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1.222a b a b +≥,其中,a b R ∈,当且仅当a b =时等号成立。 2.2a b a b +≥,其中[),0,a b ∈+∞,当且仅当a b =时等号成立。 3.常考不等式: 2 2 2 2112 2a b a b a b a b ++??≥≥≥ ??? + ,其中(),0,a b ∈+∞,当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1:基本不等式与最值 解题思路: (1)积定和最小:若a b 是定值,那么当且仅当a b =时,()m in 2a b a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ (2)和定积最大:若a b +是定值,那么当且仅当a b =时,()2 m a x 2a b a b +??= ??? ,其中,a b R ∈。 例题1:若实数,a b 满足221a b +=,则a b +的最大值是 . 解析:很明显,和为定,根据和定积最大法则可得:2 2 222 221222 4 a b a b a b a b -++?= ??≤≤? ??+≤-? ? ,当且 仅当1a b ==-时取等号。 变式:函数1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ,若点在直线1m x n y +=上,则m n 的最大值为______。 解析:由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ,将点()1,1A 代入直线方程1m x n y +=中可得1m n +=,明显,和为 定,根据和定积最大法则可得:2 124m n m n +?? ≤= ? ?? ,当且仅当12m n ==时取等号。 例题2:已知函数()2 122 x x f x +=+ ,则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________. 解析:很明显,积为定,根据积定和最小法则可得:2 2 1122212 2 x x x x +++≥? =,当且仅当2 12 12 x x x += ?=-时 取等号。 变式:已知2x >-,则12 x x + +的最小值为 。 解析:由题意可得()120,2 12 x x x +>+ ?= +,明显,积为定,根据和定积最大法则可得: ()1122 222 2 x x x x ++≥+?=++,当且仅当122112 x x x x += ?+=?=- +时取等号,此时可得 教学计划高中数学 教学计划(课程计划)是课程设置的整体规划,以下是整理的关于教学计划高中数学,欢迎阅读参考。 我以前一直是在教文科班的数学,这学期对于我来说,面临着挑战,因为本学期我接手了两个理科班。以前我带的始终是文科班,对于文科班的学生的情况比较理解,但对于理科班来说,我不知道他们对学习会有怎样的想法与做法。针对这种情况,我制定了如下的高中数学教学计划: 一、指导思想 在学校、数学组的领导下,严格执行学校的各项教育教学制度和要求,认真完成各项任务,严格执行“三规”、“五严”。利用有限的时间,使学生在获得所必须的基本数学知识和技能的同时,在数学能力方面能有所提高,为学生今后的发展打下坚实的数学基础。 二、教学措施 1、以能力为中心,以基础为依托,调整学生的学习习惯,调动学生学习的积极性,让学生多动手、多动脑,培养学生的运算能力、逻辑思维能力、运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。精讲多练,一般地,每一节课让学生练习20分钟左右,充分发挥学生的主体作用。 2、坚持每一个教学内容集体研究,充分发挥备课组集体的力量,精心备好每一节课,努力提高上课效率。调整教学方法,采用新的教学模式。 3、脚踏实地做好落实工作。当日内容,当日消化,加强每天、每月过关练习的检查与落实。坚持每周一周练,每章一章考。通过周练重点突破一些重点、难点,章考试一章的查漏补缺,章考后对一章的不足之处进行重点讲评。 4、周练与章考,切实把握试题的选取,切实把握高考的脉搏,注重基础知识的考查,注重能力的考查,注意思维的层次性(即解法的多样性),适时推出一些新题,加强应用题考察的力度。每一次考试试题坚持集体研究,努力提高考试的效率。 5.注重对所选例题和练习题的把握: 6.周密计划合理安排,现数学学科特点,注重知识能力的提高,提升综合解题能力,加强解题教学,使学生在解题探究中提高能力. 7.多从“贴近教材、贴近学生、贴近实际”角度,选择典型的数学联系生活、生产、环境和科技方面的问题,对学生进行有计划、针对性强的训练,多给学生锻炼各种能力的机会,从而达到提升学生数学综合能力之目的.不脱离基础知识来讲学生的能力,基础扎实的学生不一定能力强.教学中不断地将基础知识运用于数学问题的解决中,努力提高学生的学科综合能力. 三、对自己的要求——落实教学的各个环节 1.精心上好每一节课 备课时从实际出发,精心设计每一节课,备课组分工合作,利用集体智慧制作课件,充分应用现代化教育手段为教学服务,提高四十五分钟课堂效率。 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 (1)能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系; (2)初步学会作差法比较两实数的大小; (3)掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系;以问题方式代替例题,学习如何利用不等式研究及表示不等式,利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度,注重问题情境、实际背景的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变学生学习方式,提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系, 会作差法比较两实数的大小 ,通过类比法,掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. (一)新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< (二)新课讲授 问题1:你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 (1)某路段限速40km /h ; (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于%,蛋白质的含量p 应不少于%; (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边; (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 对于(1),设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ,“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40,于是0<v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于%,蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于(3),设△ABC 的三条边为a ,b ,c ,则a +b >c ,a -b <c . 对于(4),如图,设C 是线段AB 外的任意一点,CD 垂直于AB ,垂足 为D ,E 是线段AB 上不同于D 的任意一点,则CD <CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着, 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解:提价后销售的总收入为错误!x 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 《一元一次不等式的解法》教案 第1课时 教学目标 知识与技能:知道一元一次不等式的标准形式,理解不等式的解与解集的概念,了解什么是一元一次不等式. 过程与方法:理解用不等式的性质解一元一次不等式的基本方法,会熟练的解一元一次不等式. 情感态度与价值观:培养学生的分析能力.训练学生的动手能力,提高综合分析解题能力、转化的数学思想.通过本节的学习,进一步渗透化归的数学美. 教学重难点 重点:一元一次不等式的解法. 难点:不等式的两边同乘以(或除以)一个负数. 教学过程 一、创设情境,导入新课 动脑筋: 水果批发市场的梨每千克3元,苹果每千克4元,小王购进50千克梨后还想购进些苹果,但他只有350元,他最多能买多少千克苹果? 思考: 1、买梨子用去的钱和买苹果用去的钱以及身上有的350元钱有什么关系? 买梨子用去的钱_____买苹果用去的钱_____身上有的350元钱. 2、若设他买了x千克苹果可以列出关系式:_____________________ 3、这个关系式有什么特点呢?(含有___个未知数,且未知数的次数为____)这样的不等式叫什么不等式?你认为呢? 含有___个未知数,且未知数的次数为____的不等式叫_______不等式. 4、请你把一元一次不等式的概念与一元一次方程的概念对比,看看它们有什么异同? 5、什么叫一元一次方程的标准形式?_________,__________,由此请你猜想什么是一元一次不等式的标准形式? ________________________叫一元一次不等式的标准形式. 怎样求出小王最多能买多少千克苹果呢?只需要解上面的一元一次不等式,这节课我们来研究一元一次不等式的解法. 二、合作交流,探究新知 1、不等式的解和解集的概念 高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0,解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a;若a<0,解集为?? ? ? ? ? x| x< b a;若a=0,当b≥0时,解集为?,当b<0时,解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论,对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集,可归纳为: 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根 有两相异实根 x=x1或x=x2 有两相同实根 x=x1=x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2+bx+ c>0(a>0) {x|x 高一上教学进度周次节次教学内容(包括复习,测试等安排) 11集合的含义及其表示2子集,全集,补集 1交集,并集 21习题课 1一元二次不等式的解法 1简单高次不等式及分式不等式的解法1简单绝对值不等式的解法 1复习课 32函数的概念和图像1函数的概念和图像2函数的表示方法 42函数的简单性质2函数的简单性质1映射的概念 52函数习题课 1二次函数图像、概念和性质 61二次函数在给定区间上的最值问题2分数指数幂 71指数函数3指数函数1对数 81对数 1对数函数2对数函数1幂函数 92习题课 1简单复合函数的研究2简单复合函数的研究 101二次函数与一元二次方程1用二分法求方程的近似解2函数模型及其应用 1习题课 112复习与期中考试 121任意角 1弧度制 1习题课(角范围的表示) 1任意角的三角函数的概念 1三角函数线(补充简单的三角不等式) 131同角三角函数的基本关系1同角三角函数的基本关系2诱导公式 1习题课 141三角函数的周期性 1正、余弦函数的图象及五点法 1正、余弦函数的性质(补充对称性)1正、余弦函数的性质习题课 1正切函数的图象与性质 151习题课 2函数y=Asin(ωx+φ)的图像2三角函数的应用 161向量的概念及其表示1向量的加法 1向量的减法 2向量的数乘 172习题课 1平面向量的基本定理 1平面向量的座标表示及运算1向量平行的座标表示 181向量的数量的概念 1向量数量积的座标表示1习题课 1复习与小结 191两角和与差的余弦 2两角和与差的正弦 1习题课(补asinx+bcosx的内容) 1两角和与差的正切 201 习题课 2二倍角的三角函数,明确降幂公式1 习题课 1 几个三角恒等式 三角函数的化简、求值和证明 不等式解法15种典型例题 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或0)( 人教版高中数学教学计划:人教版高中数学 进度安排教 人教版高中数学教学计划高中数学教学计划(一): 新学期已经开始,在学校工作总体思路的指导下,现将本学期数学组工作进行规划、设想,力争使本学期的工作扎实有效,为学校的发展做出新的贡献。 一、指导思想以学校工作总体思路为指导,深入学习和贯彻新课程理念,以教育教学工作为重点,优化教学过程,提高课堂教学质量。结合数学组工作实际,用心开展教育教学研究活动,促进教师的专业发展,学生各项素质的提高,提高数学组教研工作水平。 二、工作目标1、加强常规教学工作,优化教学过程,切实提高课堂教学质量。 2、加强校本教研,用心开展教学研究活动,鼓励教师根据教学实际开展教学研究,透过撰写教学反思类文章等促进教师的专业化发展。 3、掌握现代教育技术,用心开展网络教研,拓展教研的深度与广度。 4、组织好学生的数学实践活动,以调动学生学习用心性,丰富学生课余生活,促进其全面发展。 三、主要工作1、备课做好教学准备是上好课的前提,本学期要求每位教师做好教案、教学用具、作业本等准备,以良好的精神状态进入课堂。备课是上好课的基础,本学期数学组仍采用年级组群众备课形式,要求教案尽量做到环节齐全,反思具体,有价值。群众备课时,所有教师务必做好准备,每个单元负责教师要提前安排好资料及备课方式,对于教案中修改或补充的资料要及时地在旁边批注,电子教案的可在旁边用红色批注(发布学校网数学组板块内),使群众备课不流于形式,每节课前都要做到课前的“复备”。 每一位教师在个人研究和群众备课的基础上构成适合自我、实用有效的教案,更好的为课堂教学服务。各年级组每月带给单元备课活动记录,在规定的群众备课时间,教师无特殊原因不得缺席。 提高课后反思的质量,提倡教学以后将课堂上精彩的地方进行实录,以案例形式进行剖析。对于原教案中不合理的及时记录,结合课堂重新修改和设计,同年级教师能够共同反思、共同提高,为以后的教学带给借鉴价值。数学教师每周反思不少于2次,每学期要有1-2篇较高水平的反思或教学案例,及时发布在向学校网上,学校将及时进行评审。 教案检查分平时抽查和定期检查两种形式,“推门课”后教师要及时带给本节课的教案,每月26号为组内统一检查教案时间,每月检查结果将公布在学校网数学组板块中的留言板中。 2、课堂教学课堂是教学的主阵地。教师不但要上好公开课,更要上好每一天的“常规课”。遵守学校教学常规中对课堂教学的要求。 1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 (一)核心素养 在回顾和复习不等式的过程中,对不等式的基本性质进行系统地归纳整理,并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论,使学生掌握相应的思想方法,以提高学生对不等式基本性质的认识水平. (二)学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义,建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质,并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. (三)学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假;代数证明. (四)学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 (一)课前设计 1.预习任务 (1)读一读:阅读教材第2页至第4页,填空: a b >? a b =? a b (2)判断:下列说法是否正确? ①,a b b c a c >>?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 (1)当x ∈ ,代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1] (2)若c ∈R ,则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >,得0c ≠,所以20c >;当,0a b c >=时,22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. (3)当实数,a b 满足怎样条件时,由a b >能推出 11a b 【知识点】作差比较法 【解题过程】11b a a b ab --=,因为a b >,所以当0ab >时,11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时, 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例,认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题,从特殊到一般,体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系,有以下基本事实: 如果a b >,那么a b -是正数;如果a b =,那么a b -等于零;如果a b <,那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-=-<,上面的符号“?”表示“等价于”,即可以互相推出. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与零的大小,这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法. 【设计意图】通过基本事实,加深对不等式的理解,突破重点. 2.4一元一次不等式 第1课时一元一次不等式的解法 1.理解一元一次不等式、不等式的解 集、解不等式等概念; 2.掌握一元一次不等式的解法.(重点, 难点) 一、情境导入 1.什么叫一元一次方程? 2.解一元一次方程的一般步骤是什 么?要注意什么? 3.如果把一元一次方程中的等号改为 不等号,怎样求解? 二、合作探究 探究点一:一元一次不等式的概念 【类型一】一元一次不等式的识别 下列不等式中,是一元一次不等 式的是() A.5x-2>0 B.-3<2+ 1 x C.6x-3y≤-2 D.y2+1>2 解析:选项A是一元一次不等式,选项 B中含未知数的项不是整式,选项C中含有 两个未知数,选项D中未知数的次数是2, 故选项B,C,D都不是一元一次不等式, 所以选A. 方法总结:如果一个不等式是一元一次 不等式,必须满足三个条件:①含有一个未 知数,②未知数的最高次数为1,③不等号 的两边都是整式. 【类型二】根据一元一次不等式的概 念求值 已知- 1 3x 2a-1+5>0是关于x的一 元一次不等式,则a的值是________. 解析:由- 1 3x 2a-1+5>0是关于x的一 元一次不等式得2a-1=1,计算即可求出a 的值,故a=1. 方法总结:利用一元一次不等式的概念 列出相应的方程求解即可.注意:如果未知 数的系数中有字母,要检验此系数可不可能 为零. 探究点二:一元一次不等式的解法 【类型一】一元一次不等式的解或解 集 下列说法:①x=0是2x-1<0的 一个解;②x=-3不是3x-2>0的解;③ -2x+1<0的解集是x>2.其中正确的个数 是() A.0个B.1个 C.2个D.3个 解析:①x=0时,2x-1<0成立,所 以x=0是2x-1<0的一个解;②x=-3时, 3x-2>0不成立,所以x=-3不是3x-2 >0的解;③-2x+1<0的解集是x> 1 2,所 以不正确.故选C. 方法总结:判断一个数是不是不等式的 解,只要把这个数代入不等式,看是否成 立.判断一个不等式的解集是否正确,可把 这个不等式化为“x>a”或“x<a”的形 式,再进行比较即可. 【类型二】解一元一次不等式 解下列一元一次不等式,并在数 轴上表示: (1)2(x+ 1 2)-1≤-x+9; (2) x-3 2-1> x-5 3. 解析:按照解一元一次不等式的基本步 高中数学-不等式的解法 若a<0时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解. 3高次不等式的解法 如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0, n € N *, n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1 川师大四中高二上学期数学教学工作计划 一、指导思想: 全面贯彻教育方针,深入实施素质教育,使学生在高一学习的基础上,进一步体会数学对发展自己思维能力的作用,体会数学对推动社会进步和科学发展的意义以及数学的文化价值,提高数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要。 二、学生情况分析: 高二文科班学生,学习数学的气氛不浓、基础比较差。由于学生对学过的知识内容不及时复习,致使对高二的数学学习有很大的影响,高一数学成绩充分反映没有尖子生,成绩特差的学生也有不少,有一批思维灵活的学生,但学习不够刻苦,学习成绩一般,但有较大的潜力,以后好好的引导,进一步培养他们的学习兴趣,从而带动全班同学的学习热情,提高学生的数学成绩。 三、本学期应达到的教学目标: 本学期本着从学生的实际出发,认真落实新课程的标准,认真体会新教材的要求,使自己的教学水平有长足的进步。本学期努力提高期末考试的优秀率和合格率,同时也重视培养学生的应试能力和对学科的兴趣,改善学生的学习习惯,全面落实基础,使学生的能力有较大的提高。达到以下目标: (1)通过分析问题的方法的教学,培养学生的学习的兴趣。 (2)提供生活背景,通过数学建模,让学生体会数学就在身边,培养学数学用数学的意识。 (3)在探究过程中,体验获得数学规律的艰辛和乐趣,在分组研究合作学习中学会交流、相互评价,提高学生的合作意识 (4)基于情感目标,调控教学流程,坚定学习信念和学习信心。 (5)还时空给学生、还课堂给学生、还探索和发现权给学生,给予学生自主探索与合作交流的机会,在发展他们思维能力的同时,发展他们的数学情感、学好数学的自信心和追求数学的科学精神。 四、教材分析和时间安排: 本学期教学内容为必修2第三章《直线与方程》、第四章《圆与方程》,必修3,选修1-2第一章《统计案例》,选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》。本学期课本内容多、难度大,又要迎接月考,期中和期末考试,正常的教学工作很难完成。针对这些具体情况,对本学期的教学进度安排如下: 《§3.4.1基本不等式》的教学设计 教材:人教版高中数学必修5第三章 一、教学内容解析 本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时,它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中,能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;培养学生形成数形结合的思想意识;在应用的过程中,通过对条件的转换和变式,有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯,进而形成严谨的思维方式。 二、教学目标设置 1.通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形,引导学生从几何图形中获得两个基本不等式,了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;培养学生形成数形结合的思想意识; 2.进一步让学生探究不等式的代数证明,加深对基本不等式的理解和认识,提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。 3.通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。 三、学生学情分析 对于高一的学生,不等式并不陌生,前面学习了不等式及不等式的性质,能够进行简单的数与式的比较,本节所学内容就用到了不等式的性质,所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式,接受上是容易的,争取让学生真正意义上理解基本不等式。 四、教学策略分析 在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件,因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。在运用过程中生成的规律,在学生做题时能灵活运用是难点,因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点 五、教学过程: (一)情景引入 下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。 2.4 一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式的解法 1.理解一元一次不等式、不等式的解 集、解不等式等概念; 2.掌握一元一次不等式的解法.(重点,难点) 一、情境导入 1.什么叫一元一次方程? 2.解一元一次方程的一般步骤是什么?要注意什么? 3.如果把一元一次方程中的等号改为不等号,怎样求解? 二、合作探究 探究点一:一元一次不等式的概念 【类型一】 一元一次不等式的识别 下列不等式中,是一元一次不等 式的是( ) A .5x -2>0 B .-3<2+1 x C .6x -3y ≤-2 D .y 2+1>2 解析:选项A 是一元一次不等式,选项B 中含未知数的项不是整式,选项C 中含有两个未知数,选项D 中未知数的次数是2,故选项B ,C ,D 都不是一元一次不等式,所以选A. 方法总结:如果一个不等式是一元一次不等式,必须满足三个条件:①含有一个未知数,②未知数的最高次数为1,③不等号的两边都是整式. 【类型二】 根据一元一次不等式的概念求值 已知-13 x 2a - 1+5>0是关于x 的一 元一次不等式,则a 的值是________. 解析:由-13x 2a - 1+5>0是关于x 的一 元一次不等式得2a -1=1,计算即可求出a 的值,故a =1. 方法总结:利用一元一次不等式的概念列出相应的方程求解即可.注意:如果未知数的系数中有字母,要检验此系数可不可能为零. 探究点二:一元一次不等式的解法 【类型一】 一元一次不等式的解或解集 下列说法:①x =0是2x -1<0的 一个解;②x =-3不是3x -2>0的解;③-2x +1<0的解集是x >2.其中正确的个数是( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 解析:①x =0时,2x -1<0成立,所以x =0是2x -1<0的一个解;②x =-3时,3x -2>0不成立,所以x =-3不是3x -2>0的解;③-2x +1<0的解集是x >1 2,所 以不正确.故选C. 方法总结:判断一个数是不是不等式的解,只要把这个数代入不等式,看是否成立.判断一个不等式的解集是否正确,可把这个不等式化为“x >a ”或“x <a ”的形式,再进行比较即可. 【类型二】 解一元一次不等式 解下列一元一次不等式,并在数 轴上表示: (1)2(x +1 2)-1≤-x +9; (2)x -32-1>x -53 . 解析:按照解一元一次不等式的基本步 高中数学不等式的分 类、解法 精品文档 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型:一元一次、二次不等式, 分式不等式,高次不等式,指数、对数不等 式,三角不等式,含参不等式,函数不等式, 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时,将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式,再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系: 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一:转化为不等式组;法二:化为整式不等式;法三:数轴标根法 5.高次不等式解法 法一:转化为不等式组;法二:数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>; 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0; ) ()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <> 7.三角不等式解法 利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法 根据解题需要,对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法 利用函数的单调性求解,化为基本不等式 (有时还会结合奇偶性) 10.绝对值不等式解法(后面详细讨论) 二、练习: (1)23440x x -++>解集为 (2 23x -<< )(一化二算三写) (2)213 022 x x ++>解集为 (R ) (变为≤,则得?)(无实根则配方) 三、例题与练习 例1已知函数)()1()(b x ax x f +?-= ,若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-,则不等式 0)2(<-x f 的解集为 ),2 1 ()23,(+∞--∞Y 解法一:由根与系数关系求出3,1-=-=b a ,得32)(2++-=x x x f ,再得出新不等式,求解必修五 3.1不等式与不等关系(第一课时)教案
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