第三章 杆件横截面上的应力应变分析

第三章杆件横截面上的应力应变分析

利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果，仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。如用同一种材料制成粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力是相同的，当拉力增大时，细杆必定先被拉断。这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关，还与横截面面积有关，因此还必须引入内力集度的概，即应力的概念。本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律，导出了应力计算公式，为后面对杆件进行强度计算打下了基础。

第一节应力、应变及其相互关系

一、正应力、剪应力

观察图3-1a所示受力杆件，在截面上围绕K点取微小面积，其上作用有微内力，于是在上内力的平均集度为：

（3-1）

亦称为面积上的平均应力。一般来说截面上的内力并不均匀分布，因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。当ΔA趋向于零时，的大小方向都将逐渐趋于某一极限。

(3-2)

式中,p称为K点的应力，它反映内力系在K点的强弱程度。p是一个矢量，一般说既不与截面垂直，也不与截面相切。通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量(图3-1b)。称为正应力，称为切应力。

在国际单位制中，应力的单位是牛顿/米2（N/M2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）。由于这个单位太小，通常使用兆帕（MPa），1MPa = 106Pa。

二、正应变、切应变

杆件在外力作用下，其尺寸或几何形状将发生变化。若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体（当六面体的边长趋于无限小时称为单元体），六面体的棱边边长分别为Δx 、Δy 、Δz （图3-2 ）。把该六面体投影到xy平面（图3-2b）。变形后，六面体的边长和棱边夹角都将发生变化(图3-2c)。变形前长为Δx的线段MN，变形后长度为Δx+Δs。相对变形

(3-3)

表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短，称为平均应变。当Δx趋向于零，即点N趋向于M点时，其极限为

(3-4)

式中，ε称为M点沿x方向的线应变或正应变，ε为无量纲量。用完全相似的方法，还可讨论沿y和z方向的线应变。

弹性体的变形不但表现为线段长度的改变，而且正交线段的夹角也将发生变化，变形前MN 和ML正交，变形后变为∠LˊMˊNˊ，变形前后角度的变化是（π/2-∠LˊMˊNˊ）。当N和L趋于M点时，上述角度变化的极限值称为M点在xy平面内的切应变。

=(π/2-∠LˊMˊNˊ) (3-5)

ε为无量纲量；的单位为rad（弧度），它们是度量一点处变形程度的两个基本量。构件是由无数的点组成的，各点处应变的累积将形成构件的变形。

三、虎克定律

由正应力、切应力、正应变与切应变的定义可以看出，与线应变ε相对应的应力是正应力σ，与切应变相对应的是切应力τ。试验表明，对于工程中常用材料制成的杆件，在弹性范围内加载时（应力小于某一极限值），若所取微元只承受单方向正应力或只承受切应力，则正应力与线应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系：

σ=Eε(3-6)

τ=G(3-7)

其中，E和G为与材料有关的常数，分别称为弹性模量或杨氏模量和切变模量，其常用单位为吉帕（Gpa）,1Gpa= 109pa。上两式均称为虎克定律。

第二节直杆轴向拉压变形时横截面上的正应力

一、横截面上的正应力公式推导

由于应力是不可见的，而应变却是可见的，而且两者之间存在着关系，如式（3-6），（3-7）。因此为了推导杆件横截面上的应力，必须分析杆件的变形。变形前，在等直杆的侧面上画一些垂直于杆轴的直线（图3-3a）。拉伸变形后，发现这些直线仍然垂直于轴线，只是分别平移了一段距离（图3-3b）。根据这一现象，可以提出平截面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。

根据平截面假设，拉杆所有纵向纤维的伸长是相同的。由均匀性假设可知，材料是均匀的，所以纵向纤维的受力是相等的。从而推得，横截面上各点的正应力也是相等的，即正应力均匀分布于横截面上，所以

(3-8)

式中为轴向拉压杆横截面上的正应力，一般规定拉应力为正，压应力为负；FN为横截面上的内力；A为横截面的面积。

另外根据平截面假设可知横截面上不存在切应力。

虽然上述公式也可应用于FN为压力时的压应力计算，但要注意对于细长压杆受压时容易被压弯，属于稳定性问题，这一内容将在后面专门研究，因此这里所指的是受压杆未被压弯的情况。公式同样适用于杆件横截面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆，这时式（3-8）为

(3-9)

式中σ(x)、F N(x) 、A(x) 都是横截面位置x的函数。

在用公式（3-8）计算杆件横截面上的应力时，其轴力的大小往往仅取决于物体所受外力合力的大小，而很少考虑外力的分布方式。事实上，不同的外力作用方式对外力作用点附近区域内的应力分布有着很大的影响，至于该影响到底有多大，可由圣维南原理加以说明。圣维南原理：将原力系用静力等效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略远处（距离约等于截面尺寸），该影响就非常微小。

根据这一原理，杆件上复杂的外力系就可以用简单的力系取代。在离外力作用截面略远处，

仍然可用公式（3-8）计算应力。

二、应力集中的概念

由圣维南原理可知，等直杆受轴向拉伸或压缩时，在离开外力作用处足够远的横截面上的正应力是均匀分布的。但是，如果杆截面尺寸有突然变化，如杆上有孔洞、沟槽或制成阶梯形时，截面突变处局部区域的应力将急剧的增大（图3-4）。这种现象称为应力集中。

应力集中处的最大应力,与削弱以后横截面上的平均应力的比值，称为理论应力集中系数，用表示，即

理论应力集中系数与杆件的材料无关，它反映了应力集中的程度。实验及理论分析表明，截面尺寸改变愈急剧、孔愈小、圆角愈小，应力集中的程度就愈严重，因此在工程实际中要尽可能的避免这些情况。

例3-1 等截面直杆，已知F1=10kN，F2=40kN，F3=50kN，F4=20kN，截面直径d=16mm（图3-5 。试求杆内的最大应力

解（1）求各段的轴力。用截面法，可以求出杆三段的轴力，其大小及方向见图3-5 。（2）求最大应力。由轴力图可知，最大轴力发生在BC段，其数值为= 30kN，是压力。从而杆内的最大应力即发生在BC段，其大小为：

例3-2 试求图3-6a所示等截面的直钻井杆，在自重作用下杆横截面上的应力。已知杆件的密度为，横截面面积A ，杆长为l。

解分析可知，杆的内力是由其自重引起的，故杆的不同截面上的内力不同，是截面位置的函数F N=F N(x) 。在距离杆下端为任意位置x处，运用截面法将杆件沿x截开，取下面一部分为研究对象，脱离体的受力图见3-6b。

由平衡条件得：

第三节圆轴扭转时横截面上的切应力

一、实验现象和平面假设

为了确定圆轴扭转时横截面上的应力，同样必须要研究圆轴的变形，也就是说要对圆轴进行扭转变形试验，把观察到的变形现象进行分析，提出一些假设，从而进一步寻找变形的几何关系，再综合考虑物理和静力学方面，最后才能导出应力公式。

为了观察圆轴的扭转变形，在圆轴表面上画上几条纵向线和圆周线（图3-7a）。然后施加外力偶矩，使圆轴发生微小的弹性变形（图3-7b）。这时可以看到以下变形现象：

1．所有纵向线仍近似为直线，但都倾斜了同一角度，变形前圆周表面上的小矩形，变形后错动成菱形。

2．所有圆周线都相对地绕轴线转过了不同角度，且圆周线的大小、形状及其相互之间的距离均保持不变。

根据观察到的现象，作如下假设：圆轴扭转变形前为平面的横截面，变形后仍为大小相同的平面，其半径仍保持为直线；且相邻两横截面之间的距离不变。这就是圆轴扭转的平面假设。按照这一假设，可设想圆轴的横截面就像刚性平面一样绕轴线转过了一定的角度。以平面假设为基础导出的圆轴扭转的应力和变形计算公式，符合实验结果，且与弹性力学公式一致，从而说明该平面假设是正确的。根据平面假设，既然圆轴横截面的形状、大小及其相互之间的距离在变形后保持不变，说明圆轴无轴向线应变和横向线应变，因而可认为扭转圆轴横截面上无正应力，只可能存在切应力。同时由于圆轴的相对转动引起纵向线的倾斜，倾斜的角度就是圆轴表面处的切应变。

二、横截面上的切应力计算公式推导

1．几何方面

从图3-7b所示受扭圆轴中取dx 微段并放大于图3-8a中,再从所取微段中任取半径为的圆柱（图3-8b）。横截面nn相对于mm转过的角度，称为相对扭转角。以为半径的圆柱表面处的切应变用表示。因为变形很小，故由图3-8b可知：

(a)

式中/dx表示扭转角沿轴线长度方向的变化率，在同一截面上它为一常数。所以切应变与成正比。

2．物理关系

设圆轴服从虎克定律。则由剪切虎克定律（3-7）可知，半径处的切应力为：

(b)

上式表明，横截面上任一点的切应力与该点到圆心的距离成正比。由于与半径垂直，所以切应力也与半径垂直。

3．静力学关系

由于式（b）中/dx未知，故必须利用静力学关系式求取。考察微面积d(A)上的微切力，如图3-9所示。它对圆心O的微内力矩为，其合力矩即为该截面上的内力

M X（由平衡条件可知：M（x）=T）。所以

(c)

将式（b）代入上式，则有

（d）

式中，称为圆截面对圆心的极惯性矩，是与圆截面的大小及形状有关的几何量，

它描述截面的一种几何性质，其常用单位为mm4或m4。

由（b）、（d）两式可得圆轴横截面上任一点的切应力为

(3-10)

式中Mx为所求横截面上的扭矩，Ip为截面极惯性矩，为所求点到圆心的距离。公式表明，距圆心为的一点处的切应力，与该点到圆心的距离成正比，与横截面上的扭矩成正比，与该截面对的极惯性矩成反比。对某一横截面而言，其上的扭矩Mx是常数，Ip也是确定的，故该横截面上的切应力仅仅是的线性函数。显然，在圆心处，=0 ，在圆轴表面处，=，且

max

（e）

其中，和均为几何量，令

称为圆截面的抗扭截面模量，单位为mm3或m3。于是式（e）可以写成

(3-11)

由上述分析可知，受扭圆轴横截面上切应力分布规律如图3-10a所示。

要运用以上公式计算横截面上的切应力大小，必须先计算截面的极惯性矩Ip和抗扭截面模量Wp。对于直径为D的实心圆截面（图3-11），取代入可得

（3-12）

从而（3-13）

若圆轴为空心圆截面（图3-12），该截面的内径为d，外径为D，则

（3-14）

（3-15）

其中，=d/D为截面内、外径之比。受扭空心圆截面上切应力分布规律如图3-10b所示。公式（3-10）可适用于任何实心或空心圆截面的受扭圆轴。若对于空心圆截面，当内、外径非常接近，特别是当时，空心圆轴可视为薄壁圆筒（图3-13）。

因为薄壁圆筒的壁很薄，故可认为横截面上的切应力均匀分布，此时

横截面上的切应力为

(3-16)

式中R 0为薄壁圆截面的平均半径，为壁厚，该公式可适用于任何受扭的闭合薄壁杆。三、切应力互等定理(纯剪切)

在图3-14a所示受扭圆轴中，A为圆轴表面处的任意一点。用四个平面和一个圆柱面围绕A点切出一瓦片状微块体（图3-14b）。因微块体尺寸很小，故可视为边长为dx、dy、dz 的正六面体（图3-14c），即单元体。

图3-14

因为单元体的左右两侧面是圆轴的部分横截面，所以这两个侧面上有切应力，且左侧面切应力方向向上，右侧面的方向向下。这一对在单元体左右两侧面上的合力组成一力偶，大小为。为使单元体保持平衡，必有另一等值反向的力偶作用在单元体上。因此，单元体的上下侧面上必存在切应力，它们的合力组成力偶，并与力偶

平衡，即

()dy =

从而

=

由此可见，在两个相互垂直的平面上，垂直于两平面交线的切应力必成对存在，其数值相等，其方向或同时指向交线，或同时背离交线。这一规律称为切应力互等定理。该定理具有普遍意义，即任何两个相互垂直的平面，只要一个面上有垂直于两平面交线的切应力，而不管该平面上是否同时存在正应力，另一个面上也必有切应力存在，其大小和方向均符合切应力互等定理的规定；反之，一个面上没有垂直于两平面交线的切应力，另一面上也没有相应的切应力。

图3-14c所示单元体，四个侧面上均只有切应力而无正应力。单元体的这种应力情况称为纯剪切应力状态，简称纯剪切。由于单元体的前后面上均没有应力，因此为方便起见，A点的纯剪切应力状态通常画成图3-14d所示的平面形式。圆扭转时横截面上的应力状态均为纯剪切应力状态。

例3-3一直径为D=50㎜的圆轴，受到扭矩Mx=2.15kNm的作用。试求在距离轴心10㎜处的切应力，并求轴横截面上的最大切应力。

解首先求截面的极惯性矩

根据公式（3-10）有

而＝87.7MPa

例3-4 如将上题中轴的实心圆截面改为内、外径之比为1：2的空心圆截面，要使两种情况产生相同的最大切应力，求此时空心截面的外径，并比较实心轴和空心轴的重量。

解由上题求得实心圆截面。设空心圆截面的内、外径分别为d和D,

=d/D=1/2，此时横截面上最大切应力为

= Pa ，

根据题意必须有，从而可求得D=51.1mm。

在两轴长度相等、材料相同的条件下，两轴重量之比等于横截面面积之比：

可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量只有实心轴的80%，说明空心截面比实心节省材料。如果将空心截面改为薄壁截面，可以发现节省材料更为明显。

第四节矩形截面杆扭转时横截面上的切应力

一、非圆截面杆扭转的概念

上一节讨论了圆形截面杆的扭转，但有些受扭杆件的横截面并非圆形。例如曲轴的曲柄承受扭转，而其横截面是矩形的。试验表明，非圆截面杆受扭转时横截面将成为曲面，产生所谓翘曲现象，如图3-15所示矩形截面杆的扭转。所以对于非圆截面杆，平面假设不再成立，

根据平面假设所建立的扭转应力公式显然不再适用。非圆截面杆的扭转问题只能用弹性力学的方法去研究。

非圆截面杆的扭转分为自由扭转（纯扭转）和约束扭转两种。等直杆受力偶作用发生扭转时，若各横截面可以自由翘曲，因而翘曲程度相同，此时杆的横截面上只有切应力而无正应力，这种扭转称为自由扭转。若横截面的翘曲受到某些限制，引起横截面的翘曲程度不同，这种情况将在横截面引起正应力，即横截面上既有切应力，又有正应力，这一种扭转称为约束扭转。对实心的矩形等截面直杆，约束扭转引起的正应力通常很小，可忽略不计。但对于工字钢、槽钢等薄壁杆件，约束扭转引起的正应力往往很大，需要考虑其影响。

可以证明，杆件扭转时，横截面上边缘各点的切应力都与截面边界相切。因为边缘各点的切应力如不与边界相切，总可分解为边界切线方向的分量和法线方向的分量（图3-16）。根据切应力互等定理，应与杆件自由表面上的切应力相等。但在自由表面上不可能有切应力。因此在边缘各点就只可能有沿边界切线方向的切应力。在横截面的凸角处，根据以上类似的分析可知，切应力为零

二、矩形截面杆扭转切应力计算简介

对于矩形截面杆扭转的切应力，这里不加推导地引用一些弹性力学的研究结果。

1．切应力的方向。周边处的切应力与周边平行；对称轴处的切应力与对称轴垂直（图3-17）

2．切应力大小。在矩形截面的四个角点A、B、C、D和矩形中心O处的切应力均为零，切

应力的最大值在矩形长边的中点，且按下列公式计算：

(3-17)

在横截面短边中点处，切应力为：

(3-18)

上两式中,、是一个与比值h/b有关的系数，其数值见表3-1。

当时，截面成为狭长矩形，这时。表中的值是计算矩形截面杆的相对扭转角时用的，这将在后面的章节中讨论。

例3-5某矩形截面轴，截面高h=100mm ，宽b=45mm ，传递的扭转力偶矩T=2kNm。试求矩形截面轴的最大切应力。

解因为h/b=100/45=2.2,从表中查得h/b=2.0时，=0.246；h/b=2.5时，=0.258，用线性插入法求得

该截面的扭矩，于是，求得矩性截面轴的最大切应力为

第五节梁平面弯曲时横截面上的正应力

一、纯弯曲

上一章详细讨论了梁横截面上的剪力和弯矩。一般情况下，这两种内力同时存在。很显然，弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；

剪力是相切于横截面的内力系的合力。所以，弯矩M只与横截面上的正应力有关，而剪力只与横截面上的切应力有关。本节研究相应于弯矩和剪力的正应力和切应力的分布规律。

首先考察图3-18a所示的矩形截面简支梁。梁上有两个外力F对称地作用于梁的纵向对称面内。其计算简图、剪力图和弯矩图分别表示于图3-18b、c、和d中。由图可见，在梁的AC 和DB两段内，梁横截面上既有弯矩又有剪力，因而同时存在正应力和切应力。这种情况称为横力弯曲。在CD段内，梁横截面上剪力为零，弯矩为常数，从而梁的横截面上就只有正应力而无切应力，这种情况称为纯弯曲。

由于梁横截面上应力分布各点不同，所以应力计算公式推导过程与圆轴扭转时应力公式的推导一样，需综合考虑几何、物理和静力学三个方面的关系。为此，先来观察一下纯弯曲时梁的变形情况，并根据变形情况作出分析和假设。

1．实验观察

考虑具有纵向对称面的等直梁，在梁侧面画上几条纵向线和横向线（图3-19a），然后在梁的两端施加力偶矩M，使梁产生微小弯曲变形（图3-19b），可观察到下列变形现象：

纵向线都弯成弧线，且梁上部纵向线缩短，下部伸长。横向线仍为直线，但相对转过了一个角度，且仍与纵向线正交。

2．假设和结论

根据上述变形现象，经过分析和推理，作如下平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，且仍与变形后的轴线正交。

设想梁由无数平行于轴线的“纵向纤维”组成。发生弯曲变形后，假定轴线发生如图3-20所示凸向下的弯曲，则必然要引起靠近底面的纤维伸长，靠近顶面的纤维缩短。又因为横截面保持为平面，所以沿截面高度，纤维应由底面的伸长连续地变为顶面的缩短，中间必然有一层纤维的长度不变。这一层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，显然横截面绕中性轴转动。

除了平面假设以外，我们还假定梁的纵向纤维间无挤压，也即纵向纤维间无正应力。

在纯弯曲情况下，由于横截面保持为平面，且处处与纵向线正交，说明横截面各点处无切应变，也就不存在切应力，横截面上只可能有正应力。根据以上假设得到的理论结果，在长期工程实践中，符合实际情况，与弹性力学的结果也一致。

二、纯弯曲时的正应力计算公式推导

1．几何关系

设从纯弯曲梁中沿轴线取dx的微段，放大画于图3-21。设为中性层曲率半径，对某一截面而言，为常量；为左右两横截面的相对转角。又设横截面的对称轴为y轴，中性轴为z轴（图3-22）。距离中性轴为y的任一纤维，变形前长为=dx=，变形后长为=(+y)，所以的线应变为

（a）

上式表明，距中性层为y的任一纵向纤维的线应变，与y成正比，与成反比。

2．物理关系

因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。当应力小于比例极限时，由虎克定律知

将式（a）代入上式，得

（b）

这表明，任一纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。也就是说沿截面高度，正应力按直线规律变化。

3．静力学关系

图3-22中，微面积dA上的微内力组成一与梁轴线平行的空间平行力系。因横截面上只有弯矩M，故

N=（c）

（d）

（e）

将式（b）代入式（c），得

式中E/为常量，不等于零，故必须有，即横截面对z轴的静矩等于零，

从而可知,z轴（中性轴）通过截面形心（见附录I）。这样就完全确定了中性轴的位置。将式（b）代入式（d）得

式中积分是横截面对y轴和z轴的惯性积。由于y轴是横截面的对称轴，必

然有I yz=0 。所以（d）式是自然满足的。

将式（b）代入式（e），得

式中积分是横截面对z轴（中性轴）的惯性矩,关于各种截面I Z的计算详见附录Ι于是上式可以写成

（f）

其中1/为梁轴线变形后的曲率，反映梁弯曲变形的程度，而且EI Z越大，则曲率1/越小，故EI Z称为梁的抗弯刚度。由式（f）和式（b）消去1/，得

(3-19)

这就是梁纯弯曲时横截面上的正应力计算公式。对某一截面而言，M和I Z都是确定的，当横截面上的弯矩为正时，(y)沿截面高度的线性分布规律如图3-23所示。

在用公式计算任一点的正应力时，可以不考虑M以及离中性轴的距离y的正负，一律以绝对值代入。正应力的正负由梁的变形判定：梁的纵向纤维受压时，正应力为负（压应力）；纤维受拉时，正应力为正（拉应力）。也可以由弯矩的正负来判定正应力的正负：为正，说明梁的下边纤维受拉，故中性轴以下部分均为正的正应力，而中性轴以上部分均为负的正应力；M为负时，应力正负号则相反。

公式是在矩形截面梁的情况下进行推导的，但推导过程并未使用任何关于矩形的几何性质，所以只要梁有一纵向面，且载荷作用在这个平面内，公式就可适用。

由正应力计算公式可知，某一横截面上的最大应力发生在距离中性轴的最远处，即

(3-20)

其中，称为截面系数或抗弯截面模量。对实心矩形截面（图3-24 ）

对于实心圆截面（图3-24 ）

有关型钢的相关数据可查附录Ⅱ。

例3-6 把直径为d=1mm的钢丝绕在直径为2m的卷筒上，试计算钢丝中产生的最大应力。设E=200GPa 。

解取钢丝作为研究对象，由纯弯曲正应力的推导过程可知，钢丝中的最大正应力发生在钢丝横截面的最外侧。此时，钢丝横截面的中性轴曲率半径为，故

第六节梁横力弯曲时截面上的应力

一、横力弯曲时横截面上的正应力

梁在横力弯曲时，横截面上不仅有弯矩而且有剪力。弯矩为横截面上法向分布内力系对中性轴的合力矩，而剪力为与横截面相切的分布内力系的合力。因此，在横力弯曲情况下，横截面上不仅有正应力，而且还有切应力。

纯弯曲梁横截面上的正应力是在平面假设的前提条件下推导出来的。在横力弯曲下，此时横截面将不再保持为平面，而且往往也不能保证纵向纤维之间没有挤压。虽然说横力弯曲和纯弯曲之间存在这些差异，但进一步分析表明，用纯弯曲梁的正应力计算公式计算细长梁横力弯曲时的正应力，并不会引起很大的误差，其计算结果能够满足工程问题的精度要求。横力弯曲时，梁横截面上的弯矩随截面位置的不同而变化。一般情况下，等截面梁的最大正应力发生在弯矩最大的横截面上，且离中性轴最远处，即发生在危险截面的危险点处，于是

(3-21)

对于变截面梁，最大弯曲正应力不一定在弯矩最大的横截面上，其大小应为：

(3-22)

即弯矩最大的截面不一定是危险截面。上式表明：梁的最大正应力不仅与M有关，而且与截面的形状和尺寸有关。

二、横力弯曲时矩形截面梁的切应力

以图3-25a所示矩形截面梁为例，来推导其横截面上的切应力。首先必须作如下两个基本假设：

（1）截面上任一点的切应力的方向与该截面上的剪力F Q方向平行。

（2）切应力沿宽度均匀分布，即的大小只与距离中性轴的距离有关。

按照上述两个假设，矩形截面上切应力分布规律和方向如图3-25（b）所示。

从图3-25a所示的梁中切取长为dx的微段，放大后见图3-26a。在ac截面上有剪力F Q和弯矩M，在bd截面上有剪力F Q和弯矩（M=dM)。微段两侧面上的应力分布如图3-26b,切应力方向与剪力方向一致，中性层上方正应力为压应力，下方则为拉应力。由于截面和截面的弯矩值不同，故两个截面同一高度上的正应力不同，截面上正应力大于ac截面上正应力。

应力-应变曲线

混凝土是一种复合建筑材料，内部组成结构非常复杂。它是由二相体所组成，即粗细骨料被水泥浆所包裹，靠水泥浆的粘接力，使骨料相互粘接成为整体。如果考虑到带气泡和毛细孔隙的存在，混凝土实际是一种三相体的混合物，不能认为是连续的整体。[2] 1. 普通高强度混凝土只能测出压应力-应变曲线的上升段，因为混凝土一旦出现出裂缝，承力系统在加压过程中积累的大量弹性能突然急剧释放，使得裂缝迅速扩展，试件即刻发生破坏，无法测得应力-应变曲线的下降段。[1] 2. 拟合本文的高强混凝土和纤维与混杂纤维增强高强混凝土的受压本构方程的参数结果 图3和图4为掺杂了纤维与混杂纤维的纤维增强高强混凝土的压缩应力一应变全曲线，由曲线可以看出，纤维与混杂纤维增强高强混凝土则能够准确地测出

完整的压应力．应变曲线．纤维增强高强混凝土和混杂纤维增强高强混凝土的这两种曲线具有相同的形状啪，都由三段组成：线性上升阶段、初裂点以后的非线性上升阶段、峰值点以后的缓慢下降阶段．[2] 3.[3]再生混凝土设计强度等级为C20，C25，C30，C40，再生骨料取代率100%。标准棱柱体试件150mm*150mm*300mm，28天强度测试结果。

“等应力循环加卸载试验方法”测定再生混凝土的应力-应变全曲线，即每次加载至预定应力后再卸载至零，再次进行加载，多次循环后达不到预定应力而自动转向包络线时，进行下一级预定应力的加载。 再生粗骨料来源的地域性和差异性使再生骨料及再生混凝土的力学性能有较大差别。 4.通过对普通混凝土和高强混凝土在单轴收压时的应力应变分析发现，混凝土的弹性模量随混凝土的强度的提高而提高，混凝土弹性段的范围随混凝土强度的提高而增大，混凝土应力应变曲线的下降段，随混凝土强度的提高而越来越陡，混凝土的峰值应变与混凝土的抗压强 度无正比关系。

杆件受力变形及其应力分析

第三章　杆件受力变形及其应力分析 §３－１　概 述 一、构件正常工作的基本要求 为了保证机器或工程结构的正常工作，构件必须具有足够的承受载荷的能力（简称承载能力）。为此，构件必须满足下列基本要求。１畅足够的强度例如，起重机的钢丝绳在起吊不超过额定重量时不应断裂；齿轮的轮齿正常工作时不应折断等。可见，所谓足够的强度是指构件具有足够的抵抗破坏的能力 。它是构件首先应满足的要求。图３－１　构件刚度不够产生的影响２畅足够的刚度在某些情况下，构件受载后虽未破裂，但由于变形过量， 也会使机械不能正常工作。图３－１所示的传动轴，由于变 形过大，将使轴上齿轮啮合不良，轴颈和轴承产生局部磨损， 从而引起振动和噪声，影响传动精度。因此，所谓足够的刚 度是指构件具有足够的抵抗弹性变形的能力。 应当指出，也有某些构件反而要求具有一定的弹性变形 能力，如弹簧、仪表中的弹性元件等。３畅足够的稳定性例如千斤顶中的螺杆等类似的细长直杆，工作时当压力较小时，螺杆保持直线的平衡形式；当压力增大到某一数值时，螺杆就会突然变弯。这种突然改变原有平衡形式的现象称为失稳。因此，所谓足够的稳定性是指构件具有足够的保持原有平衡形式的能力。 上述的基本要求均与构件的材料、结构、截面形状和尺寸等有关。所以，设计时在保证构件正常工作的前提下，还应合理地选择构件的材料和热处理方法，并尽量减小构件的尺寸，以做到材尽其用，减轻重量和降低成本。 二、变形固体及其基本假设 自然界中的一切物体在外力作用下或多或少地总要产生变形。在本书第二章中，由于物体产生的变形对所研究的问题影响不大，所以在该章中把所有物体均视为刚体。而在图３－１中，如果轴上任一横截面的形心，其径向位移只要达到０畅０００５l （l 为轴的支承间的距离），尽管此时构件变形很小，但该轴已失去了正常工作的条件。因为这一微小变形是影响构件能否正常工作的主要因素。因此，在本章中所研究的一切物体都是变形固体。 在对构件进行强度、刚度和稳定性的计算时，为了便于分析和简化计算，常略去变形固体的 · 75·

材力第4章弹性杆件横截面上的切应力分析

第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析 4－1 扭转切应力公式p /)(I M x ρρτ=的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。 （A ）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B ）等截面圆轴； （C ）等截面圆轴与椭圆轴； （D ）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。 正确答案是 A 。 解：p )(I M x ρρτ=在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。 4－2 两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为max 1τ和max 2τ，切变模量分别为G 1和G 2。试判断下列结论的正确性。 （A ）max 1τ＞max 2τ； （B ）max 1τ＜max 2τ； （C ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＞max 2τ； （D ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＜max 2τ。 正确答案是 C 。 解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即γγγ==21由剪切胡克定律γτG =知21G G >时，max 2max 1ττ>。 4－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d 1的实心圆轴与内、外径分别为d 2、)/(222D d D =α的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（W 1/W 2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。 （A ）234)1(α-； （B ）)1()1(2234αα--； （C ）)1)(1(24αα--； （D ）)1/()1(2324αα--。 正确答案是 D 。 解：由max 2max 1ττ=得 ) 1(π16π164 323 1 α-= D M d M x x 即 314 2 1)1(α-=D d （1） ) 1(2 2 22 1 2 12 1α-= = D d A A W W （2） （1）代入（2），得 23 2 42 11)1(α α--= W W 4-4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G 1和G 2，且G 1 = 2G 2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。 正确答案是 C 。 解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等21γγ=，因212G G =，由剪切胡克定律得交界面上：212ττ=。 4-5 图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN ·m 。试求： 习题4-4图

应力-应变曲线

应力-应变曲线 MA 02139，剑桥 麻省理工学院 材料科学与工程系 David Roylance 2001年8月23日 引言 应力-应变曲线是描述材料力学性能的极其重要的图形。所有学习材料力学的学生将经 常接触这些曲线。这些曲线也有某些细微的差别，特别对试验时会产生显著的几何变形的塑 性材料。在本模块中，将对表明应力-应变曲线特征的几个点作简略讨论，使读者对材料力 学性能的某些方面有初步的总体了解。本模块中不准备纵述“现代工程材料的应力-应变曲 线”这一广阔的领域，相关内容可参阅参考文献中列出的博依（Boyer ）编的图集。这里提 到的几个专题——特别是屈服和断裂——将在随后的模块中更详尽地叙述。 “工程”应力-应变曲线 在确定材料力学响应的各种试验中，最重要的恐怕就是拉伸试验1 了。进行拉伸试验时， 杆状或线状试样的一端被加载装置夹紧，另一端的位移δ是可以控制的，参见图1。传感器 与试样相串联，能显示与位移对应的载荷)(δP 的电子读数。若采用现代的伺服控制试验机， 则允许选择载荷而不是位移为控制变量，此时位移)(P δ是作为载荷的函数而被监控的。 图1 拉伸试验 在本模块中，应力和应变的工程测量值分别记作e σ和e ε， 它们由测得的载荷和位移值，及试样的原始横截面面积和原始长度按下式确定 0A 0L 1 应力-应变试验及材料力学中几乎所有的试验方法都由制定标准的组织，特别是美国试验和材料学会 (ASTM)作详尽的规定。金属材料的拉伸试验由ASTM 试验E8规定；塑料的拉伸试验由ASTM D638规定； 复合材料的拉伸试验由ASTM D3039规定。

钢板杆单元应力应变分析

题目：求钢板杆单元的应力应变分析： 一．启动ANSYS。 选择使用菜单Main Menu：File > Change Jobname…打开change jobname对话框，在文本框中输入“lvban”作为新的工作名，然后按OK。 二．设定单元类型相应选项。 选择主菜单Main Menu：Preprocessor > Element Type > Add / Edit / Delete。选择Beam，选择2D elastic 3。 三．定义材料属性。 选择主菜单Main Menu：Preprocessor > Real Constants > Add / Edit / Delete。选择Add，按OK，AREA填横截面积0.0008m^2，IZZ填转动惯量2e-7 kg·m^2，HEIGHT填板的高度0.07m。

选择主菜单Main Menu：Preprocessor > Material Props > Material Models，选择Material Model Number 1，单击Structural，Linear，Elastic，Isotropic，在EX框填弹性模量2e11 Pa，在PRXY填泊松比0.3. 选择主菜单Main Menu：Preprocessor > Material Props > Material Models，选择Material Model Number 1，单击Structural，Density，在DENS框填密度7850 kg/m^3.单击Material，选择Exit.

四．创建基本模型。 选择主菜单Main Menu：Preprocessor > Modeling > Create > Nodes > In Active CS. 选择Apply 选择主菜单Main Menu：Preprocessor > Modeling > Create > Nodes > Fill between Nds，选取点1和点5，点OK，

混凝土斜截面承载力

影响混凝土斜截面承载力的因素 及计算公式探讨 杜斌2011202100045 摘要：对于受弯构件，截面上除了作用有正应力外，通常还伴随着剪应力。绝大多数钢筋混凝土构件都无法避免抗剪的问题。剪力很少单独作用于结构构件，更多的是与弯矩、轴向力或者扭矩共同作用。因此，除了要确定剪力单独作用时的效应外，还需探讨它与结构上的其他作用之间可能存在的影响。 关键词：钢筋混凝土；斜截面；受剪承载力 引言：绝大多数钢筋混凝土构件都无法避免抗剪的问题。剪力很少单独作用于结构构件，更多的是与弯矩、轴向力或者扭矩共同作用。因此，除了要确定剪力单独作用时的效应外，还需探讨它与结构上的其他作用之间可能存在的影响。特别是对受弯构件，抗剪机理与混凝土与埋入钢筋之间的粘结力以及钢筋的锚固都是密切联系着的。钢筋混凝土梁中的剪力传递在很大程度上依赖于混凝土的抗拉和抗压强度，因此，受剪破坏通常都是非延性的，必须避免这种破坏。 1 斜截面承载力 钢筋混凝土梁在主要承受弯矩的区段内产生竖向裂缝，如果正截面受弯承载力不够，将沿着竖向裂缝发生正截面受弯破坏。另一方面，钢筋混凝土受弯构件还有可能在剪力和弯矩共同作用的支座附近区段内，沿斜裂缝发生斜截面受剪破坏或者受弯破坏。因此，在保证正截面受弯承载力的同时，还要保证斜截面承载力，即斜截面受剪承载力和斜截面受弯承载力。 混凝土构件的受弯承载力是指斜截面上的纵向受拉钢筋、弯起钢筋、箍筋等在斜截面破坏时，他们各自所提供的拉力对抵抗破坏的弯矩。通常单纯的斜截面受弯承载力是不用进行计算的。只需要将梁内纵向钢筋弯起、截断、锚固及箍筋的间距等构造措施来保证即可。 相比于斜截面的受弯承载力问题，受剪破坏的情况则要复杂的多。在实际的工程中，剪力很少单独作用于结构构件，大多数情况是剪力与弯矩，或者剪力和弯矩、轴力或扭矩共存于结构构件，构件因剪力发生斜截面发生斜裂缝破坏时必然受到弯矩作用的影响。

梁弯曲时横截面上的正应力

梁弯曲时横截面上的正应力 在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。 1、纯弯曲与横力弯曲 从火车轴的力学模型为图2-53a所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b、 同时存在，故梁在这些段内c）,在其AC、BD段内各横截面上有弯矩M和剪力F Q 发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯 ，梁的这种弯曲称为纯弯曲。曲。在其CD段内各段截面，只有弯矩M而无剪力F Q 2、梁纯弯曲时横截面上的正应力 如图2-54a所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m和n—n，再画两条纵向线a—a和b—b，然后在其两端外力偶矩M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象： ⑴横向线m—m和n—n任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 ⑵纵向线a—a和b—b弯成了曲线，且a—a线缩短，而b—b线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵

向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b 中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c ）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必相等。 ⑶在图2-54b 所示的受力情况下，中性轴上部分各点正应力为压应力（即负值），中性轴下部分各点正应力为拉应力（即正值）。 ⑷横截面上的正应力沿y 轴呈线性分布，即ky =σ（k 为特定常数），如图2-55、图2-56所示。最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处。 由于距离中性层上、下的纵向纤维的线应变与到中性层的距离y 成正比，当其正应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律可知 y E y E E ?=?=?=ρρεσ 2-24 对于指定的横截面，ρE 为常数（即为上述k 的值）看，由于此时梁轴线的曲率 半径ρ还是一个未知量，通过静力学平衡关系∑z F )(=0，可得

如何用Origin画应力应变曲线

如何用Origin画应力应变曲线 edited by: jsphnee,2011-11-22 本文是作者从小白开始一步一步学着用excel和origin作应力应变曲线的经验分享，只适于初学者，有不对的地方还请高手多多指教。在此也一并感谢网上提供origin及excel相关技巧解答的同志们。 一、数据导出 1.用Access打开数据库，并将OriginalData导出到excel中（97-03版，否则ori打不 开）； 2.打开导出的OriginalData.xls文件和试验报告文件（实验结果中另一个以日期命名的 excel文件，Tip：为方便统一打开与存放，可将试验报告文件复制到OriginalData的新工作表sheet中，可命名为report）； 3.保存，并更改文件名，（Tip：每次更改后都点一下保存，以免程序卡死时丢失数 据。） 4.新建以试样编号命名的sheet，有几组试样就建几个sheet；

二、数据处理 1.筛选各个试样的拉伸数据 在OriginalData中，选中TestNo列，再点数据工具栏中的筛选。 点击列标题旁的下拉箭头，出现下面左图中的对话框。 取消全选，依次选中一个TestNo后确定，便能筛选出各次拉伸试验的数据，如上图中右边的对话框所示。（一个试样对应一个TestNo）

（虽然一组试样对应多个TestNo，但为后续处理的方便，个人认为此处还是一个一个筛选比较好。） 2、复制LoadValue及ExtendValue值 选中LoadValue及ExtendValue列，并将其复制到相应试验组的sheet中。 然后按照相同的步骤依次筛选该组的各个拉伸试样的数据拷贝到该sheet中。如下图：

一、横截面上的切应力

一、横截面上的切应力 实心圆截面杆和非薄壁的空心圆截面杆受扭转时，我们没有理由认为它们在横截面上的切应力象薄壁圆筒中那样沿半径均匀分布 导出这类杆件横截面上切应力计算公式，关键就在于确定切应力在横截面上的变化规律。即横截面上距圆心τp任意一点处的切应力p与p的关系 为了解决这个问题，首先观察圆截面杆受扭时表面的变形情况，据此做出内部变形假设，推断出杆件内任意半径p处圆柱表面上的切应变γp，即γp与p的几何关系利用切应力与切应变之间的物理关系，再利用静力学关系求出横截面上任一点处切应力τp的计算公式 实验表明：等直圆杆受扭时原来画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状均不变，而且在小变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不变 图8-56 扭转时的平面假设：等直圆杆受扭时它的横截面如同刚性圆盘那样绕杆轴线转动显然这就意味着：等直圆杆受扭时，其截面上任一根沿半径的直线仍保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度φ 图8-57 现从等直圆杆中取出长为dx的一个微段，从几何、物理、静力学三个方面来具体分析圆杆受扭时的横截面上的应力

图8-58 1.几何方面 小变形条件下 dφ为dx长度内半径的转角，γ为单元体的角应变 图8-59 或 因为dφ和dx是一定的，故越靠近截面中心即半径R越小，角应变γ也越小且γ与R成正比例(或线性关系) 由平面假设：对同一截面上各点 θ表示扭转角沿轴长的变化率，称为单位扭转角，在同一截面上其为常数

所以截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离p成正比 p为圆截面上任一点到轴心距离，R为圆轴半径 图8-60 上式为切应力的变化规律 2.物理方面(材料在线性弹性范围内工作)由剪切胡克定律 由于G和为常数，所以 上式表明受扭等直圆杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径p 的圆周上各点处大小相同，但它们随p做线性变化 同一横截面上的最大切应力在横截面的边缘处。这些切应力的方向均垂直于各自所对应的半径，指向与扭矩对应 3.静力学方面 前面已找出了受扭等直圆杆横截面上的切应力τp随p变化的规律，但还没有把与扭矩T联系起来。所以一般情况下还不能计算τp的大小 现利用静力学关系求T

几个基本常数弹性模量-泊松比-应力应变曲线

全应力-应变曲线 测量岩石的应力应变曲线一般可以有两中试验机：一种是，柔性试验机，使用这种试验机测量时，容易发发生“岩爆”现象，导致试验中不能得到峰值以后的应力应变信息。另种是，刚性试验机，这种试验机刚度比较高，有“让压”的特点，就不会有“岩爆”现象发生，可以得到全应力-应变曲线用以研究岩石破裂的性质。 刚度矩阵的物理意义： 单元刚度矩阵的物理意义，一句话概括说来就是各个节点在广义力的作用下节点的位移变化量。 强度是零件的抗应力程度，反映的是什么时候断裂，破损等 刚度反映的是变形大小，就是零件受力后的变形。 刚度矩阵和柔度矩阵的物理意义: 一般将刚度矩阵记为[D]，柔度矩阵为[C]，二者互为逆矩阵。 [C]矩阵中任一元素Cij的物理意义为：当微小单元体上仅作用有j方向的单位应力增加，而其他方向无应力增量时，i方向的应变增量分量就等于Cij。 [D]矩阵中任一元素Dij的物理意义为：要使微小单元体只在j方向发生单位应变，而其他方向不允许发生应变，则必须造成某种应力组合，在这种应力组合中，i方向应力分量为Dij。 对于各向异性材料，[D]和[C]都是非对称矩阵，从机理上来说是合理的，然而它给数学模型带来复杂性，也增加了有限元计算的困难。从工程实用的角度来考虑，往往忽略这种非对称性，而处理为对称矩阵。 物理概念：杨氏模量和泊松比 在弹性范围内大多数材料服从虎克定律，即变形与受力成正比。纵向应力与纵向应变的比例常数就是材料的弹性模量E，也叫杨氏模量。而横向应变与纵向应变之比值称为泊松比μ，也叫横向变性系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。 杨氏模量(Young's modulus)是表征在弹性限度内物质材料抗拉或抗压的物

混凝土受压应力-应变全曲线方程(描述)

混凝土受压应力－应变 全曲线方程

混凝土受压应力－应变全曲线方程 混凝土的应力－应变关系是钢筋混凝土构件强度计算、超静定结构力分析、结构延性计算和钢筋混凝土有限元分析的基础，几十年来，人们作了广泛的努力，研究混凝土受压应力－应变关系的非线性性质，探讨应力与应变之间合理的数学表达式，1942年，Whitney 通过混凝土圆柱体轴压试验，提出了混凝土受压完整的应力应变全曲线数学表达式，得出了混凝土脆性破坏主要是由于试验机刚度不足造成的重要结论，这一结论于1948年由Ramaley 和Mchenry 的试验研究再次证实，1962年，Barnard 在专门设计的具有较好刚性且能控制应变速度的试验机上，试验了一批棱柱体试件以及试件两靖被放大的圆柱体试件，试验再次证明，混凝土的突然破坏并非混凝土固有特性，而是试验条件的结果，即混凝土的脆性破坏可用刚性试验机予以防止，后来由很多学者（如M.Sagin ，P.T.Wang ，过镇海等）所进行的试验，都证明混凝土受压应力－应变曲线确实有下降段存在，那么混凝土受压应力与应变间的数学关系在下降段也必然存在，研究这一数学关系的工作一刻也没有停止。 钢筋混凝土结构是目前使用最为广泛的一种结构形式。但是，对钢筋混凝土的力学性能还不能说已经有了全面的掌握。近年来，随着有限元数值方法的发展和计算机技术的进步，人们已经可以利用钢筋混凝土有限元分析方法对混凝土结构作比较精确的分析了。由于混凝土材料性质的复杂性，对混凝土结构进行有限元分析还存在不少困难，其中符合实际的混凝土应力应变全曲线的确定就是一个重要的方面。 1、混凝土单轴受压全曲线的几何特点 经过对混凝土单轴受压变形的大量试验大家一致公认混凝土单轴受压变过程的应力应变全曲线的形状有一定的特征。典型的曲线如图1所示，图中采用无量纲坐标。 s c c E E N f y x 0,,=== σ εε 式中，c f 为混凝土抗压强度；c ε为与c f 对应的峰值应变；0E 为混凝土的初始弹性模量；s E 为峰值应力处的割线模量。 此典型曲线的几何特

(完整word版)低碳钢和铸铁在拉伸和压缩时的力学性能

低碳钢和铸铁在拉伸和压缩时的力学性能根据材料在常温，静荷载下拉伸试验所得的伸长率大小，将材料区分为塑性材料和脆性材料。它是由试验来测定的。工程上常用的材料品种很多，下面我们以低碳钢和铸铁为主要代表，分析材料拉伸和压缩时的力学性能。 1.低碳钢拉伸实验 在拉伸实验中，随着载荷的逐渐增大，材料呈现出不同的力学性能：（1）弹性阶段 在拉伸的初始阶段，σ-ε曲线为一直线，说明应力与应变成正比，即满足胡克定理，此阶段称为线形阶段。线性段的最高点则称为材料的比例极限（σp），线性段的直线斜率即为材料的弹性摸量E。线性阶段后，σ-ε曲线不为直线，应力应变不再成正比，但若在整个弹性阶段卸载，应力应变曲线会沿原曲线返回，载荷卸到零时，变形也完全消失。卸载后变形能完全消失的应力最大点称为材料的弹性极限（σe），一般对于钢等许多材料，其弹性极限与比例极限非常接近。（2）屈服阶段 超过弹性阶段后，应力几乎不变，只是在某一微小范围内上下波动，而应变却急剧增长，这种现象成为屈服。使材料发生屈服的应力称为屈服应力或屈服极限（σs）。当材料屈服时，如果用砂纸将试件表面

打磨，会发现试件表面呈现出与轴线成45°斜纹。这是由于试件的45°斜截面上作用有最大切应力，这些斜纹是由于材料沿最大切应力作用面产生滑移所造成的，故称为滑移线。 （3）强化阶段 经过屈服阶段后，应力应变曲线呈现曲线上升趋势，这说明材料的抗变形能力又增强了，这种现象称为应变硬化。若在此阶段卸载，则卸载过程的应力应变曲线为一条斜线，其斜率与比例阶段的直线段斜率大致相等。当载荷卸载到零时，变形并未完全消失，应力减小至零时残留的应变称为塑性应变或残余应变，相应地应力减小至零时消失的应变称为弹性应变。卸载完之后，立即再加载，则加载时的应力应变关系基本上沿卸载时的直线变化。因此，如果将卸载后已有塑性变形的试样重新进行拉伸实验，其比例极限或弹性极限将得到提高，这一现象称为冷作硬化。 在硬化阶段应力应变曲线存在一个最高点，该最高点对应的应力称为材料的强度极限（σb），强度极限所对应的载荷为试件所能承受的最大载荷Fb。 （4）局部变形阶段 试样拉伸达到强度极限σb之前，在标距范围内的变形是均匀的。当应力增大至强度极限σb之后，试样出现局部显著收缩，这一现象称为颈缩。颈缩出现后，使试件继续变形所需载荷减小，故应力应变曲

杆件的应变能及其应用分析

第十四章杆件的应变能及其应用 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 让学生掌握杆件弹性应变能的有关概念。 理解和掌握在工程力学有广泛应用的能量方法。 掌握功能原理、功的互等定理、位移互等定理、卡氏定理。 能够熟练地计算基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能。 对于简单结构应变能，也能够完成应变能的计算。 能够较为熟练地应用卡氏第二定理，完成杆件的位移计算，并可以求解简单超静定问题。为进一步在结构力学等后续课程中，学习和应用能量方法奠定基础。 2．教学内容 介绍能量法的有关概念。例如，外力的功、应变能、比能等等。 介绍基本变形杆件应变能计算和组合变形杆件应变能计算。 讲解功能原理、功的互等定理和位移互等定理。 讲解余能概念和卡氏定理。 二、重点难点 重点：建立应变能等有关概念。 基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能的计算。 卡氏第二定理及其应用。 难点：杆件应变能计算中的可否叠加问题。 对于广义力和相应广义位移的正确理解和认识。 应用卡氏第二定理求位移时，如何正确地选取或设定与位移相应的广义力。 能否正确写出内力方程，灵活地进行先求偏导数再积分的运算。三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 6学时 五、讲课提纲 1、弹性应变能与功能原理 弹性体在荷载作用下将发生变形，外力作用点要产生位移．因此，在弹性体的变形过程中，外力沿其作用方向做了功，称为外力功。对于弹性体，因为变形是可逆的，外力功将以一种能量形式积蓄在弹性体内部。当将荷载逐渐卸除时，该能量又将重新释放出来作功，使弹性体恢复到变形前的形状。例如钟表里的发条在被拧紧的过程中，发生了弹性变形而积蓄了能量，在它放松的过程中可带动指针转动，从而发条就作了功。弹性体伴随弹性变形积蓄了能量，从而具有对外界作功的潜在能力，通常把这种形式的能量称为弹性应变能（Dlastic strain

斜截面

第五章受弯构件斜截面的承载力计算 一、本章教学目的 （1）了解斜截面破坏的主要形态，影响斜截面抗剪承载力的主要因素。 （2）掌握无腹筋梁和有腹筋梁斜截面受弯承载力的计算公式及适用条件，防止斜压破坏和斜拉破坏的措施。（3）能熟练进行斜截面抗剪承载力的计算。 （4）掌握受弯承载力图的作法，会确定弯起钢筋的弯起位置和纵向受力钢筋的截断位置。 （5）掌握纵向受力钢筋伸入支座的锚固要求和箍筋构造要求。 二、本章教学内容 （1）无腹筋梁的抗剪性能。 （2）有腹筋梁的抗剪性能。 （3）无腹筋梁和有腹筋梁斜截面受剪承载力计算。 （4）连续梁的抗剪性能及斜截面受剪承载力计算。 （5）保证受弯构件斜截面受剪承载力的构造措施。 三、本章教学重点：斜截面抗剪承载力的计算。 四、本章教学难点：弯矩包罗图。 五、课时安排：12学时。 六、学习建议 （1）本章主要讨论构件在正截面强度得到保证后，如何使钢筋混凝土构件的斜截面强度也得保证，从而使其不致比垂直截面更早出现破坏。 （2）钢筋混凝土受弯构件的斜截面破坏分为：斜压、剪压和斜拉三种主要破坏形态，各自发生的场合是不同的，要注意这一点。在规范中，通过限制最小配筋率控制发生斜拉破坏，通过限制最小截面尺寸来控制发生斜压破坏。这与正截面强度计算时，必须满足公式的知用条件的物理意义相仿。所以箍筋及弯起钢筋的计算是针对剪压破坏这种常见的斜截面破坏形态进行的，这点要切记。 （3）斜截面抗剪强度计算公式，不是Vcs和Vsb的二项值相加，而是二者结合一起考虑的，这点要特别注意。学习时着重理解公式的来由和物理力学意义，其推导过程了解即可。 （4）抗剪配筋计算时，要根据剪力包络图进行，则应熟练地掌握运用此图。 （5）承载能力图的作图过程，也就是对钢筋布置进行图解设计的过程。承载能力图代表构件正截面抗弯能力，因此，要求每个截面上都要求承载能力图必须将弯矩包络图在内，两图越贴近，说明钢筋利用越充分，这是设计中力求作到的一点，但也要照顾到施工便利，构造要求等，不要片面追求钢筋利用率，以致使钢筋的构造复杂而繁锁。 （6）斜截面抗弯强度是以构造措施来保证的。即：在弯起钢筋时，必须将钢筋伸过其充分利用点，至少 h0/2的地方才能弯起。在截断纵向钢筋时，必须将钢筋伸过其不需要点，且延长一定固长度的地方才能切断。 第一节概述 一、斜截面强度计算原因： 在弯曲正应力和剪应力（shearing stress）的共同作用下，受弯构件中会产生与纵轴斜交的主拉应力

扭转时横截面上的应力

第三节扭转时横截面上的应力 一、应力分布规律 为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形。下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。 取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图。在轴的两端施加转向相反的力偶矩m A、m B，在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点： 1．变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变； 2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度γ，原来的矩形变成平行四边形。两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度?，叫做相对扭转角，见下图。观看动画，理解微元体的获得。

通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果： ★各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生； ★圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力； ★变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。 由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直。 下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。 为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动d?，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角γ，而经过半径O2D上任意点H的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度γρ，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。应该注意，上述剪应变都是在垂直于半径的平面内的。设H点到轴线的距离为ρ，由于构件的变形通常很小，即 所以 (a) 由于截面O2DC象刚性平面一样地绕杆轴线转动，图上△O2HH'与△O2DD'相似，得 (b) 将式(b)代入(a)式得(1-40)

机械零件的应力应变分析

§3－3机械零件的应力应变分析 一、拉（压）杆应力应变分析 （一）应力分析 前面应用截面法，可以求得任意截面上内力的总和，现在进一步分析横截面上的应力情况，首先研究该截面上的内力分布规律，内力是由于杆受外力后产生变形而引起的，我们首先通过实验观察杆受力后的变形现象，并根据现象做出假设和推论；然后进行理论分析，得出截面上的内力分布规律，最后 确定应力的大小和方向。 现取一等直杆，拉压变形前在其表面上画垂直于杆轴的直线和（图3-28）。拉伸变形后，发现 和仍为直线，且仍垂直于轴线，只是分别平行地移动至和。于是，我们可以作出如下假设： 直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。根据这个“平面假设”可知，杆件在它的任意两个横截面之间的伸长变形是均匀的。又因材料是均匀连续的，所以杆件横截面上的内力是均匀分布的，即在横截面上各点处的正应力都相等。若杆的轴力为，横截面积为,,于是得： ???????????????????????? (3－2) 这就是拉杆横截面上正应力的计算公式。当为压力时，它同样可用 于压应力计算。规定拉应力为正，压应力为负。 例3－3? 图3-29（a）为一变截面拉压杆件，其受力情况如图示，试确定其危险截面。 解? 运用截面法求各段内力，作轴力图[图3-29（b）]： 段：????????? 段： 段：???????? 段： 根据内力计算应力，则得： 段：????????? 段：

段： 最大应力所在的截面称为危险截面。由计算可知，段和段为 危险截面。 （二）、拉（压）杆的变形 杆件受轴向拉力时，纵向尺寸要伸长，而横向尺寸将缩小；当受轴 向压力时，则纵向尺寸要缩短，而横向尺寸将增大。 设拉杆原长为，横截面面积为(图3-30)。在轴向拉力P作用下， 长度由变为，杆件在轴线方向的伸长为, 。 实验表明，工程上使用的大多数材料都有一个弹性阶段，在此阶段范围内，轴向拉压杆件的伸长或缩短量，与轴力和杆长成正比，与横截面积成反比。即，引入比例常数则得到： ??????????????????? （3－3） 这就是计算拉伸（或压缩）变形的公式，称为胡克定律。比例常数称为材料的弹性模量，它表征材料抵抗弹性变形的性质，其数值随材料的不同而异。几种常用材料的值已列入表3－1中。从公式（3－3）可以看出，乘积越大，杆件的拉伸（或压缩）变形越小，所以称为杆件的抗拉（压） 刚度。 上式改写为： 其中，而表示杆件单位长度的伸长或缩短，称为线应变(简称应变)，即。是一个无 量纲的量，规定伸长为正，缩短为负。 则（3－3）式可改写为：????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????? （3-4）式（3-17）表示，在弹性范围内，正应力与线应变成正比。这一关系通常称为单向胡克定律。 杆件在拉伸（或压缩）时，横向也有变形。设拉杆原来的横向尺寸为，变形后为（图3-30），则 横向应变为： 实验指出，当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值是一个常数。即 称为横向变形系数或泊松比，是一个无量纲的量。和弹性模量E一样，泊松比也是材料固有的弹 性常数。 因为当杆件轴向伸长时，横向缩小；而轴向缩短时，横向增大，所以和符号是相反的。

第三章 杆件横截面上的应力应变分析

第三章杆件横截面上的应力应变分析 利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果，仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。如用同一种材料制成粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力是相同的，当拉力增大时，细杆必定先被拉断。这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关，还与横截面面积有关，因此还必须引入内力集度的概，即应力的概念。本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律，导出了应力计算公式，为后面对杆件进行强度计算打下了基础。 第一节应力、应变及其相互关系 一、正应力、剪应力 观察图3-1a所示受力杆件，在截面上围绕K点取微小面积，其上作用有微内力，于是在上内力的平均集度为： （3-1） 亦称为面积上的平均应力。一般来说截面上的内力并不均匀分布，因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。当ΔA趋向于零时，的大小方向都将逐渐趋于某一极限。 (3-2) 式中,p称为K点的应力，它反映内力系在K点的强弱程度。p是一个矢量，一般说既不与截面垂直，也不与截面相切。通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量(图3-1b)。称为正应力，称为切应力。 在国际单位制中，应力的单位是牛顿/米2（N/M2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）。由于这个单位太小，通常使用兆帕（MPa），1MPa = 106Pa。 二、正应变、切应变

杆件在外力作用下，其尺寸或几何形状将发生变化。若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体（当六面体的边长趋于无限小时称为单元体），六面体的棱边边长分别为Δx 、Δy 、Δz （图3-2 ）。把该六面体投影到xy平面（图3-2b）。变形后，六面体的边长和棱边夹角都将发生变化(图3-2c)。变形前长为Δx的线段MN，变形后长度为Δx+Δs。相对变形 (3-3) 表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短，称为平均应变。当Δx趋向于零，即点N趋向于M点时，其极限为 (3-4) 式中，ε称为M点沿x方向的线应变或正应变，ε为无量纲量。用完全相似的方法，还可讨论沿y和z方向的线应变。 弹性体的变形不但表现为线段长度的改变，而且正交线段的夹角也将发生变化，变形前MN 和ML正交，变形后变为∠LˊMˊNˊ，变形前后角度的变化是（π/2-∠LˊMˊNˊ）。当N和L趋于M点时，上述角度变化的极限值称为M点在xy平面内的切应变。 =(π/2-∠LˊMˊNˊ) (3-5) ε为无量纲量；的单位为rad（弧度），它们是度量一点处变形程度的两个基本量。构件是由无数的点组成的，各点处应变的累积将形成构件的变形。 三、虎克定律 由正应力、切应力、正应变与切应变的定义可以看出，与线应变ε相对应的应力是正应力σ，与切应变相对应的是切应力τ。试验表明，对于工程中常用材料制成的杆件，在弹性范围内加载时（应力小于某一极限值），若所取微元只承受单方向正应力或只承受切应力，则正应力与线应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系： σ=Eε(3-6) τ=G(3-7)

梁弯曲时横截面上的正应力

# 梁弯曲时横截面上的正应力 在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。 1、纯弯曲与横力弯曲 从火车轴的力学模型为图2-53a所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b、 同时存在，故梁在这些段内c）,在其AC、BD段内各横截面上有弯矩M和剪力F Q 发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯曲。在其CD段内各段截面，只有弯矩M而无剪力F ，梁的这种弯曲称为纯弯曲。 Q 2、梁纯弯曲时横截面上的正应力 如图2-54a所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m和n—n，再画两条纵向线a—a和b—b，然后在其两端外力偶矩M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象： ⑴横向线m—m和n—n任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 》 ⑵纵向线a—a和b—b弯成了曲线，且a—a线缩短，而b—b线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必

拉压杆横截面上的应力应变及胡克定律

机械工业出版社 https://www.wendangku.net/doc/e83615305.html, 用同一材料制成而横截面积不同的两杆，在相同拉力的作用下，随着拉力的增大，横截面小的杆件必然先被拉断。这说明，杆的强度不仅与轴力的大小有关，而且还与横截面的大小有关，即杆的强度取决于 内力在横截面上分布的密集程度。分布内力在某点处的集度，即为该点处的应力。 第二节 拉、压杆横截面上的应力、应变及胡克定理 一、杆件在一般情况下应力的概念

m F 2 F 1 O 点 ?F 微内力 ?A 微面积 A F p ??= m 研究图示杆件。在截面m-m 上任一点O 的周围取一微小面积?A ，设在?A 上分布内力的合力为?F ，?F 与?A 的比值称为?A 上的平均应力，用p m 表示，即

m F 2 F 1 m F 2 F 1 O 点?F 微内力 ?A 微面积 p m A F p ??= m 全应力 一般情况下，内力在截面上的分布并非均匀，为了更真实的描述内力的实际分布情况，应使?A 面积缩小并趋近于零，则平均应力p m 的极限值称为m-m 截面上O 点处的全应力，并用p 表示，即 O A F A F p A d d lim 0= ??=→?

m F P2 F P1 m F P2 F P1 K 点 ?F 微内力 ?A 微面积 p 全应力K 全应力p m 的方向即?F 的方向。通常将应力分解成 垂直于截面的法向分量σ和相切于截面的切向分量τ。 σ称正应力，τ称为切应力。 σ τ 正应力 切应力

m F P2 F P1 m F P2 F P1 K 点 ?F 微内力 ?A 微面积 p 全应力 K 在我国的法定计量单位中，应力的单位为Pa （帕），1Pa=1N/m 2。在工程实际中，这一单位太小， 常用兆帕（MPa ）和吉帕（GPa ），其关系为1MPa=106Pa ，1GPa=109Pa 。 σ τ 正应力 切应力