2019年高考数学总复习优编增分练：高考填空题分项练4不等式

高考填空题分项练4 不等式

1．(2018·江苏海安测试)关于x 的不等式x ＋a x

＋b ≤0(a ，b ∈R )的解集{x |3≤x ≤4}，则a ＋b 的值为________． 答案 5

解析 由题意可得?????

3＋a

3

＋b ＝0，4＋a

4＋b ＝0，

解得???

??

a ＝12，

b ＝－7

?a ＋b ＝5.

2．若变量x ，y 满足约束条件?????

y ≤x

2

＋1，y ≥x ，

x ≥－3，

且有无穷多个点(x ，y )使得目标函数z ＝λx

＋2y 取得最大值，则实数λ的值为________． 答案 －1

解析 约束条件表示的可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．

目标函数z ＝λx ＋2y 可化为y ＝－λ2x ＋z

2

，

因为有无穷多个点(x ，y )使得目标函数z ＝λx ＋2y 取得最大值，

分析可得，直线y ＝－λ2x ＋z 2与直线BC ：y ＝x

2＋1重合时目标函数取得最大值，

且有无穷多个点(x ，y )满足要求， 所以－λ2＝1

2

，解得λ＝－1.

3．已知实数x ，y 满足????

?

y ≥1，y ≤2x －1，

x ＋y ≤m ，

如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝

________. 答案 5

解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，

联立直线方程???

??

y ＝2x －1，

y ＝－x ＋m ，

可得交点坐标为A ?

??

??m ＋13，2m －13，

由目标函数的几何意义可知，目标函数在点A 处取得最小值， 所以

m ＋13－

2m －1

3

＝－1，解得m ＝5.

4．已知x ，y 满足不等式组????

?

2x ＋3y －5≥0，3x ＋2y －10≤0，

x －y ≤0，则x －2y 的最大值为________．

答案 －1

解析 画出不等式组????

?

2x ＋3y －5≥0，3x ＋2y －10≤0，

x －y ≤0表示的平面区域，如图阴影部分所示(包含边

界)，

平移直线z ＝x －2y ，由图可知，

目标函数z ＝x －2y 过点A 时取得最大值，

由?

??

??

2x ＋3y －5＝0，x －y ＝0，解得A (1,1)，

此时z ＝x －2y 取得最大值1－2＝－1.

5．设x ，y >0，且x ＋y ＝4，若不等式1x ＋4

y

≥m 恒成立，则实数m 的最大值为________．

答案 94

解析 1x ＋4y ＝? ????1x ＋4y ? ????x ＋y 4＝14? ????5＋y x ＋4x y

≥14?

????5＋2y x ·4x y ＝1

4

(5＋2×2)＝94，

当且仅当y ＝2x ＝8

3时等号成立．

6．设f (x )＝x 2

＋x ＋1，g (x )＝x 2

＋1，则

f (x )

g (x )

的取值范围是________． 答案 ????

??12，32 解析 f (x )g (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1

，

当x ＝0时，f (x )

g (x )

＝1； 当x >0时，

f (x )

g (x )＝1＋1x ＋1x

≤1＋12＝3

2

； 当且仅当x ＝1时取等号．

当x <0时，x ＋1x

＝－????

??(－x )＋? ????－1x ≤－2，

则

f (x )

g (x )＝1＋1x ＋1x

≥1－12＝1

2

. 当且仅当x ＝－1时取等号． ∴

f (x )

g (x )∈????

??12，32. 7．已知x ，y 满足约束条件?

??

??

x －y －1≤0，

2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条

件下取到最小值25时，a 2

＋b 2

的最小值是________． 答案 4

解析 方法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．

由?

??

??

x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得?

??

??

x ＝2，

y ＝1，

所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，

a 2＋

b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.

方法二 由满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.

又因为a 2

＋b 2

是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2

＋b 2

是原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12

＝2，所以a 2＋b 2

的最小值是4. 8．一批货物随17列货车从A 市以v km/h 的速度匀速到达B 市，已知两地铁路线长为400 km ，为了安全，两列货车的间距不得小于? ????v 202

km(货车的长度忽略不计)，那么这批货物全部运

到B 市，最快需要________ h. 答案 8

解析 这批货物从A 市全部运到B 市的时间为 t ＝400＋16? ???

?v 202

v ＝400v ＋16v

400≥2

400v ·16v

400

＝8(h)， 当且仅当v ＝100时，取等号．

9．(2018·江苏南京金陵中学期末)若对满足x ＋y ＋6＝4xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2

＋2xy ＋y 2

－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为________． 答案 ? ??

??－∞，103

解析 因为4xy ≤(x ＋y )2

，

又因为正实数x ，y 满足x ＋y ＋6＝4xy ， 解得x ＋y ≥3，

由x 2

＋2xy ＋y 2

－ax －ay ＋1≥0， 可求得a ≤x ＋y ＋

1

x ＋y

，

根据双勾函数性质可知，当x ＋y ＝3时，x ＋y ＋1x ＋y 有最小值10

3

， 所以a 的取值范围为?

????－∞，103. 10．在R 上定义运算×：A ×B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )×(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．

答案 ?

?????

???

?a ???

－12

3

2 解析 (x －a )×(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )] ＝－x 2

＋x ＋a 2

－a ， ∴－x 2

＋x ＋a 2

－a <1，

即x 2

－x －a 2

＋a ＋1>0对x ∈R 恒成立． ∴Δ＝1－4(－a 2

＋a ＋1)＝4a 2

－4a －3<0， ∴(2a －3)(2a ＋1)<0，即－12

2

.

11．设函数g (x )＝x 2

－2(x ∈R )，f (x )＝???

??

g (x )＋x ＋4，x

g (x )－x ，x ≥g (x )，

则f (x )的值域是________．

答案 ????

??－94，0∪(2，＋∞)

解析 由x

－2，则x <－1或x >2； 由x ≥g (x )，得x ≥x 2

－2，则－1≤x ≤2.

因此f (x )＝?

????

x 2

＋x ＋2，x <－1或x >2，

x 2

－x －2，－1≤x ≤2，

即f (x )＝???

??

? ????x ＋122

＋74

，x <－1或x >2，? ????x －122

－94

，－1≤x ≤2.

∵当x <－1时，f (x )>2；当x >2时，f (x )>8，

∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数f (x )的值域是(2，＋∞)． ∵当－1≤x ≤2时，－9

4

≤f (x )≤0，

∴当x ∈[－1,2]时，函数f (x )的值域是????

??－94，0.

综上可知，函数f (x )的值域是????

??－94，0∪(2，＋∞)． 12．设正实数x ，y ，z 满足x 2

－3xy ＋4y 2

－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2

z

的最大值为________． 答案 1

解析 z ＝x 2

－3xy ＋4y 2

(x >0，y >0，z >0)， ∴xy z ＝

xy x 2－3xy ＋4y 2＝

1

x y ＋4y

x

－3≤1

2x y ·4y

x

－3

＝14－3＝1. 当且仅当x y

＝4y

x

，即x ＝2y >0时等号成立，

此时z ＝x 2

－3xy ＋4y 2

＝4y 2

－6y 2

＋4y 2

＝2y 2

， ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y

＝－? ??

??1y

－12

＋1，

∴当y ＝1时，2x ＋1y －2

z

取得最大值1.

13．(2018·江苏扬州树人学校模拟)已知函数f (x )＝x 2

＋2ax －b ＋1(a ，b 为正实数)只有一个零点，则1a ＋2a

b ＋1的最小值为________．

答案 52

解析 ∵函数f (x )＝x 2

＋2ax －b ＋1(a ，b 为正实数)只有一个零点， ∴Δ＝4a －4()－b ＋1＝4a ＋4b －4＝0， ∴a ＋b ＝1.

∴1a ＋2a b ＋1＝1a ＋2a 2－a ＝2a 2

－a ＋2－a 2＋2a ＝2a 2

－4a ＋3a ＋2－a 2

＋2a ＝－2＋3a ＋2－a 2＋2a . 令t ＝3a ＋2(t >2)，则a ＝

t －2

3

，

∴－2＋3a ＋2－a 2＋2a ＝－2＋t －? ????t －232＋2? ????t －23＝－2－9t t 2－10t ＋16＝－2－9t ＋16t －10

≥－2－92

t ·16

t

－10

＝52，当且仅当t ＝16t ，即t ＝4时等号成立，此时a ＝23，b ＝13

.

∴1a ＋2a b ＋1的最小值为52

. 14．若关于x 的不等式(ax －1)(ln x ＋ax )≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________．

答案 ?

?????

???

?a ???

a ≤－1

e 或a ＝e

解析 令f (x )＝ax －1，g (x )＝ln x ＋ax ， 则M (x )＝f (x )·g (x )(x >0)，

当a ≠0时，令g ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x ＝0，则x ＝－1

a

.

(1)当a ＝0时，M (x )＝－ln x ，不符合题意；

(2)当a >0时，f (x )在?

??

??0，1a 上恒为负，在? ??

??1a ，＋∞上恒为正；g (x )在(0，＋∞)上单调递增，

则需g ? ??

??1a ＝－ln a ＋1＝0，此时a ＝e ，符合题意；

(3)当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上恒为负；g (x )在? ????0，－1a 上单调递增，在? ??

??－1a ，＋∞上单

调递减，故g (x )在x ＝－1a

处取得极大值也是最大值，g (x )≤g ? ????－1a ＝ln ? ??

??－1a －1≤0，解得

a ≤－1

e

.

综上所述，实数a 的取值范围是??????

????a ?

??

a ≤－1

e 或a ＝e

.