2015年全国高考文科数学试题及答案-新课标2

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试

文 科 数 学

注意事项：

1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|12}A x x =-<<，{|03}B x x =<<，则A

B =

A ．(1,3)-

B ．(1,0)-

C ．(0,2)

D ．(2,3)

2．若a 为实数，且

231ai

i i

+=++，则a = A ．-4

B ．-3

C ．3

D ．4

3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是

A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年

B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+?=a b a

A ．-1

B ．0

C ．1

D ．3

5．设S n 等差数列{}n a 的前n 项和。若a 1 + a 3 + a 5 = 3，则S 5 =

A ．5

B ．7

C ．9

D ．11

6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

A ．18

B ．

17

C ．

16

D ．15

7．已知三点(1,0)A ，B ，C ，则ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为

A ．53

B C D ．

43

8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a =

A ．0

B ．2

C ．4

D ．14

9．已知等比数列{}n a 满足11

4

a =，a 3a 5 = 44(1)a -，则a 2 =

A ．2

B ．1

C ．

12

D ．18

10．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB = 90°，C 为该球面上的动点。若三棱锥O —ABC 体积

的最大值为36，则球O 的表面积为

A ．36π

B ．64π

C ．144π

D ．256π

11．如图，长方形ABCD 的边AB = 2，BC = 1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠AOB = x 。将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为

12．设函数2

1

()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是

A ．1(,1)3

B ．1

(,)(1,)3-∞+∞

C ．11(,)33-

D ．1

1

(,)

(,)33

-∞-+∞ 第II 卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知函数3()2f x ax x =-的图象过点(1,4)-，则a = _________。

14．若x ，y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤??

--≥??-+≤?

，则2z x

y =+的最大值为__________。

15．已知双曲线过点，且渐近线方程为1

2y x =±，则该双曲线的标准方程为__________。

16．已知曲线ln y x x =+在点(1,1)处的切线与曲线2(2)1y ax a x =+++相切，则a = __________。 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD=2DC 。 （1）求

sin sin B

C

∠∠；

（2）若60BAC ∠=，求B ∠。 18．（本小题满分12分）

某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数

分布表。

A 地区用户满意度评分的频率分布直方图

B 地区用户满意度评分的频数分布表

（1）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；

B 地区用户满意度评分的频率分布直方图

（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

频率/50

60

70

80

90

100 满意度评分

40

50

60

70

80

90

满意度评分

100 频率/

估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由 19．（本小题满分12分）

如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1

C 1上，A 1E = D

1F = 4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。 20．（本小题满分12分）

已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>在C 上。

（1）求C 的方程；

（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。 21．（本小题满分12分）

已知函数()ln (1)f x x a x =+-。 （1）讨论()f x 的单调性；

（2）当()f x 有最大值，且最大值大于2a - 2时，求a 的取值范围。

请考生在第22、23、

24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号

22．（本小题满分10分）

选修4 - 1：几何证明选讲

如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ΔABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点。

（1）证明：EF ∥BC ；

（2）若AG 等于⊙O 的半径，且AE MN ==EBCF 的面积。

G

A

E

F

O N

D

B C

M D

D 1 C 1

A 1 E

F A B

C

B 1

23．（本小题满分10分）

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t α

α=??=?

（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。 （1）求C 2与C 3交点的直角坐标；

（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。 24．（本小题满分10分）

选修4 - 5：不等式选讲

设a ，b ，c ，d 均为正数，且a + b = c + d ，证明：

（1）若ab > cd

（2>||||a b c d -<-的充要条件。

参考答案

一．选择题 （1）A （2）D （3）D （4）C （5）A （6）D

（7）B

（8）B

（9）C

（10）C

（11）B

（12）A

二．填空题

（13）-2

（14）8

（15）2

214

x y -= （16）8

三．解答题 （17）解： （Ⅰ）由正弦定理得

,sin sin sin sin AD BD AD DC

B BAD

C CAD

==∠∠∠∠

因为AD 平分,2BAC BD DC ∠=，所以

sin 1

sin 2

B D

C C B

D ∠==∠

（Ⅱ）因为180(),60C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=，所以

1

sin sin()sin 2

C BAC B B B ∠=∠+∠=

∠+∠

由（Ⅰ）知2sin sin B C ∠=∠，所以tan 3

B ∠=，即30B ∠= （18）解： （Ⅰ）

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散。

（Ⅱ）A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。

记A C 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”； 记B C 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”。

由直方图得()A P C 的估计值为(0.010.020.03)100.6++?=

()B P C 的估计值为(0.0050.02)100.25+?=

所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大。 （19）解：

（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：

（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则1114,12,8AM A E EB EM AA =====

因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===

于是6,10,6MH AH HB =

===

因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97（7

9

也正确） （20）解：

（Ⅰ）由题意有2242

12a a b

=+=，

解得2

2

8,4a b ==

所以C 的方程为22

184

x y +=

（Ⅱ）设直线1122:(0,0),(,),(,),(,)M M l y kx b k b A x y B x y M x y =+≠≠

将y kx b =+代入22

184

x y +=得 222(21)4280k x kbx b +++-=

故12222,22121

M M M x x kb b x y kx b k k +-=

==+=++ 于是直线OM 的斜率1

2M OM M y k x k

=

=-，即12OM k k =-

所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。 （21）解：

（Ⅰ）()f x 的定义域为1

(0,),()f x a x

'+∞=

- 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增

若0a >，则当1

(0,)x a ∈时，()0f x '>；当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '<。所以()f x 在1(0,)a

单调递增，在1(,)a

+∞单调递减。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞无最大值；当0a >时，()f x 在1

x a

=取得最大值，最大值为111()ln()(1)ln 1f a a a a a a

=+-=-+-

因此1()22f a a

>-等价于ln 10a a +-<

令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在(0,)+∞单调递增，(1)0g = 于是，当01a <<时，()0g a <；当1a >时，()0g a > 因此，a 的取值范围是(0,1) （22）解：

（Ⅰ）由于ABC ?是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线

又因为O 分别与AB ，AC 相切于点E ，

F ，所以AE AF =，

故AD EF ⊥

从而//EF BC

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =，AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为O 的弦，所以O 在AD 上

连结,OE OM ，则OE AE ⊥

由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以30OAE ∠=，因此ABC ?和AEF ?都是等边

三角形

因为AE =4,2AO OE ==

因为12,2OM OE DM MN ===

=1OD =

，于是5,AD AB == 所以四边形EBCF

的面积为

2211(232223

??-??=

（23）解：

（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C

的直角坐标方程为220x y +-=.

联立2

2

22

20,0

x y y x y ?+-=??+-=?? 解得0,0,x y =??=?

或3.2

x y ?

=??

??=??

所以2C 与3C 交点的直角坐标为(0,0)

和3(

)22

（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<

因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B

的极坐标为,)αα

所以|||2sin |4|sin()|3

AB π

ααα=-=-

当56

π

α=

时，||AB 取得最大值，最大值为4 （24）解：

（Ⅰ）因为22a b c d =++=++