一元函数积分学全国竞赛讲义2013
一元函数积分学全国竞赛讲义
一、不定积分
（一）主要内容
计算方法及类型：对被积函数的适当变形、第一换元积分法（凑微分法）、第二换元积分法、分部积分法、有理函数的不定积分、广义积分 1. 常见第一换元积分形式： ①
??-=)1()1(1)1(2x d x f dx x x f ； ②
??
=x d x f dx x
x f )(21)
(；
③??=)(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f (例5)； ④??=+)ln ()ln ()ln 1)(ln (x x d x x f dx x x x f ； ⑤??=)(sec )(sec tan sec )(sec x d x f xdx x x f ； ⑥??=)(tan )(tan sec
)(tan 2
x d x f xdx x f ；
⑦?
?++=-+)1()1()11)(1(2x x d x x f dx x
x x f ；
⑧
[]??++=-+)cos (sin )cos (sin )sin (cos )cos (sin x x d x x f dx x x x x f ；
⑨
??
=-)(arcsin )(arcsin 11)
(arcsin 2
x d x f dx x
x f
⑩
??
=+)(arctan )(arctan 11
)
(arctan 2
x d x f dx x x f 2. 常见第二换元形式：
3. 设)(x u 、)(x v 都是可导函数，则??
-=)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u 注意：①通常利用分部积分应使积分?vdu 较?
udv 容易计算；
②合理选择u 和v '是利用分部积分的关键：形如?axdx x P n sin )(，?
axdx x P n cos )(，
?dx e
x P ax
n
)(
（二）例题
例1 （1）计算
?
dx x
x
sin 2tan
ln ；（2）
?+dx e e x x )1(1
2
【分析】 本题主要利用三角恒等变形凑微分，凑成基本积分公式中有的形式。 解：
（1）原式2tan 2
tan
2tan
ln 22cos 2tan 2tan ln 22cos 2sin 2tan
ln 2cos 2sin 22
tan
ln 2x d x x
x d x x x x d x x x dx x x x ????==== C x x d x +??
?
??=??? ??=?2tan ln ln 212tan ln 2tan ln 2
（2）原式C e e dx e
e e dx dx e e e e x
x x x x x x
x x +--=+-=+-+-???arctan 1)1(12222
【评注1】有些题目积分时需要多次逐步的凑微分，才能得到基本积分公式的形式； 【评注2】本题也可以按照例5－例8的方法，对2
tan ln x
求导，看看和式中与其它函数的关系凑微分，读者可以自己做一做。
例2 (1)
dx x
x ?
+2cos 2cos ；
（2）?+x b x a dx
2222cos sin ；（3）?+dx e x 1
12 解：（1）由于x x 2
sin 212cos -=， 所以，原式C x x x d dx x
x +=
-=
-=
?
?3
sin 2arcsin
2
1)
sin 2(3)sin 2(2
1
sin 23cos 2
（2）原式C b x
a ab
b x a x a d a b x a xdx +=+=+=??tan arctan 1tan )tan (1tan se
c 2222222
（3）原式C e e de e dx e e x x x x
x
x +++-=+-=+=
------?
?
)1ln(111222
C e x x
+++-=)11ln(2 例3 计算不定积分
?-+2
1)
1(x
x dx
解： 法一 令,sin t x =则tdt dx cos =，所以，原式?-+=
dt t
t t 2
sin 1)
sin 1(cos
????+-=+=-=+=-C t t t td tdt dt t t t dt sec tan cos cos sec cos sin 1sin 12
22 C x
x
C x x x ++--
=+--
-=
111112
2
法二 设t x 11=
+，则2t dt dx -= 原式C x x C t t dt dt t t t ++--=+--=--=??
?
??---=??1112121111122
【评注】代换后再结合第一换元积分法计算，第二换元法结果一定要换元到原始的积分变量。 所以，原式C t t t t dt t t t +??
?
??+--=??? ??-+-=
?23221
1ln 21111121 (
)()C x x x x x +??
???
?
-++
++-=2
12
1
1ln 221
例4
计算不定积分ln(1(0)x +
>?
（2009－研）
t =得222
12,1(1)tdt
x dx t t -==-- 原式2222221
ln(1)
ln(1)(1)(1)(1)
t t dt t d t t t --=+=+---?
? 2221ln(1)11ln(1)().1111
t t d dt t t t t +=+=----+?? 222ln(1)111ln(1)111()ln 14(1)4(1)2(1)1412(1)
t t t dt C t t t t t t t +--++=
-++=+-+--++--+?
1ln(14x C =++-+
11
ln(122
x C =+
+-+ 例 5 设)(x F 为)(x f 的原函数，且当0≥x 时，2
)1(2)()(x xe x F x f x
+=，已知
0)(,1)0(>=x F F ，试求).(x f
【分析】本题主要根据)(x F 与)(x f 之间的关系，由题目中的等式，能够察觉到本质是求不定积分。
解：由)()(x f x F ='，可知)()()()(x F x F x F x f '=，所以对2
)
1(2)()(x xe x F x f x
+=变形再进行不定积分，即
??+=?+=?+=dx x xe dx x F x f x xe x F x f x xe x F x f x
x x 2
22)1()()(2)1()()(2)1(2)()(
而左边12
)()()(2C x F x dF x F +==?
，
右边21111C x e dx e x xe x d xe x x
x x
++=???
? ??-+-=+-=?? 所以)(1)(122
C C C C x
e x F x
=-++=
令 又因为1)0(=F ，解得0=C ，所以()0)(1)(>+=
x F x
e x F x
从而，2
32
)
1(2)()(x xe
x F x f x +=
'=
【评注】本题不光要有好的思路，同时应具备较强的计算基本功。 例 5 推导不定积分?
=dx x I n
n )(arcsin 的递推公式 解：令t x =arcsin ，则t x sin =，所以，
[]
???-----+=+==t d t n t t n t t t d t n t t t d t I n n n n n n n sin )1(cos sin cos sin sin 211 )2()1()(arcsin 1)(arcsin 212≥---+=--n I n n x x n x x n n n
C x dx I +==?0
C x x x xdx I +-+==?211arcsin arcsin
【评注】首先利用变量代换，再分部积分，这是容易想到的，关键能否观察出递推项。
例7 计算（1）?+--dx x x x x 1
1ln 122；（2）?
++dx x x x
x x 2)cos (sin cos 【分析】分部积分关键是把哪一部分看作u ，有时经常对u 求求微分，看看和被积函数中其
它部分有没有关系，也许会得到意外的收获，这也是一种技巧。
解：（1）令11ln +-=x x u ，则dx x du 1
2
2-=，而111122
2-+=-x x x 所以， 原式???
?+-+-+--+-=+--++-=11
ln
11ln 211
211ln 11ln 1111ln
22x x d x x dx x x x x x dx x x x dx x x C x x x x x x +??
?
??+-+--+-=2
211ln 411ln 11ln
（2）令x x u cos +=，则dx x du )sin 1(-= 所以，原式???+--+=++-+=
dx x x x x x x dx dx x x x x x x x 22)cos ()
sin 1(cos )cos (sin cos
C x
x x
x x dx x x x x x dx x x xd x x dx ++=+-+++=+++=???
?cos cos cos cos cos 1cos
【评注】第（2）小题，不但利用第（1）小题的技巧，同时还要对被积函数变形，添项，等等技巧，看到答案觉得很简单，但真正要做起来，并不容易。
例 8 计算dx x x x ?+-6
224)
1()
1(
解：令x x t 1+
=，则dx x dt ??
? ??
-=211， 所以，原式C t t dt dx x
x x dx x x x +-==+-=+-
=
???
5
6626
22651)
1(1
1)1()11(
C x x ++-=5
25
)
1(5 【评注】此题为有理函数的积分，若按有理函数的一般方法做，将会很繁琐，这是就会考虑一些特殊的变量代换（如二项式代换、倒代换等等），先将被积函数简化，本题采用的二项
式代换，即令x x t 1+
=，或者x x t 1
-=。 例 9 计算 ?-+=dx x
x x
x I cos sin 2cos 3sin 4
【分析】虽然本题的被积函数是形如)cos ,(sin x x R ，但不是关于变量x x cos ,sin 的奇偶函数，同时被积函数的分子，分母以及分母的导数中都含有x B x A cos sin +的形式，所以可以假设)cos sin 2()cos sin 2(cos 3sin 4'-+-=+x x b x x a x x ，求出b a ,，将
)cos sin 2()cos sin 2('-+-x x b x x a 带入到积分中，可将原积分化为
)cos sin 2(cos sin 2x x d x
x b
adx --+??
，问题迎刃而解。
解：设)cos sin 2()cos sin 2(cos 3sin 4'-+-=+x x b x x a x x ，比较等式两端x x cos ,sin 的系数，解得2,1==b a ， 所以)cos sin 2(cos sin 22
x x d x x dx I --+
=?
?C x x x +-+=cos sin 2ln 2
例10 计算不定积分?++dx x x
e x x 2
2)2(2 （赛．2010．津工大）
【分析】 本题是不定积分的综合题．首先将被积函数分成两部分，一部分利用分部积分，另一部分考察的是有理函数的积分．
解 ???++++-=+-=+=dx x e x x x e x x d e x dx x e x I x x x
x 2)2(2)21()
2(2222
21 122)1(2
2C e x x e x dx xe x e x x x x
x +-++-=++-
=?； 22
222
4
2ln 2)2(422)2(2C x x x dx x dx dx x x I ++++=+-+=+=
???；
所以，原式2122124
2ln 2)1(2C x x C e x x e x I I x x ++++++-++-=+=
C x x x e x x ++++++-=2
4
2ln 22)2(
二、定积分
（一）主要内容
1.利用定积分的定义求极限一般要将和式化成积分定义的形式再确定好上、下限。 即，?∑
=--+
=∞
→b a n
i n dx x f n
a
b i n a b a f )()(lim
1
。
特别地，?∑
==∞
→10
1
)(1
)(lim
dx x f n n i f n
i n 2.定积分性质
设函数],[)()(b a x g x f 在、上可积。 （1） 线性性质：
???
±=±b
a
b a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([βαβα。
（2） 对积分区间的可加性：不论c b a 、、的相对位置如何，有
???
+=b
c
c
a
b
a
dx x f dx x f dx x f )()()(。
（3） 保号性：①若0)(≥x f ，则
0)(≥?
b
a
dx x f ；
②若)(x f 连续，且0)(,0)(≠≥x f x f ，则0)(?
>b
a
dx x f ；
③若)(x f 连续，且0)(,
0)(=≥?
b
a
dx x f x f ，则0)(=x f
（4） 不等式性质：①若在],[b a 上)()(x g x f ≤，则
??
≤b
a
b
a
dx x g dx x f )()(；
②若)(x f 及)(x g 在],[b a 上)()(x g x f ≤，但)()(x g x f ≠则??
a b a dx x g dx x f )()( （5）带绝对值的不等式性质： ?? ≤b a b a dx x f dx x f )()( （6）估值定理：设m M 和分别是)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值，则 )()()(a b M dx x f a b m b a -≤≤-? （7）积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得 ) )(()(a b f dx x f b a -=? ξ （8）积分第一中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，)(x g 在],[b a 上可积且不变号，则至少 存在一点],[b a ∈ξ，使得?? =?b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ 3.积分上限函数 （1）积分上限函数及其导数：若)(x f 在],[b a 上连续，],[b a x ∈，则积分上限函数 ?=Φx a dt t f x )()(在],[ b a 上可导，且)()()(x f dt t f dx d x x a == Φ'? （2）变限函数求导公式：①)()(x f dt t f dx d x a =?，②)()(x f dt t f dx d b x -=? ③)()]([)()(x b x b f dt t f dx d x b a '=?，④)()]([)()(x a x a f dt t f dx d b x a '-=? ⑤)()]([)()]([)()()(x a x a f x b x b f dt t f dx d x b x a '-'=? ⑥)()()()()()()()(x f x g dt t f x g dt t f x g dx d dt x g t f dx d x a x a x a +'=??? ? ?=??? （3）原函数存在定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则? = Φx a dt t f x )()(是)(x f 在],[b a 上的 一个原函数。 4.计算定积分的若干技巧 定积分计算时，应注意多观察被积函数的特性（周期性、奇偶性）以及积分区间的对称性，用以简化计算。此外变量替换、分部积分等各种方法的综合运用，往往也能使计算化难为简。 以下是常用公式（其中)(x f 为连续函数）： （1）对称区间上的定积分： ①若)(x f 为偶函数，则?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)(； ②若)(x f 为奇函数，则0)(=? -a a dx x f ； ③??---=a a a a dx x f dx x f )()(； ④ []?? -+=-a a a dx x f x f dx x f 0 )()()(； （2）被积函数含有x x cos ,sin 的定积分： ⑤??=20 )(sin 2)(sin π π dx x f dx x f ⑥ ??=20 20 )(cos )(sin π π dx x f dx x f ⑦ ?? ? == 20 )(sin )(sin 2)(sin π π π ππ dx x f dx x f dx x xf ⑧??????????--?-???--?-==??为正奇数时 为正偶数时 n n n n n n n n n n dx x dx x n n 1322 3122123 1cos sin 20 20 ππ π （5） 周期函数的定积分：若被积函数)(x f 是以T 为周期的连续函数， ⑨ ? ?? -+==22 )()()(T T T T a a dx x f dx x f dx x f ⑩ ?? =T nT dx x f n dx x f 0 )()( （二）例题 例1 （1）求极限??? ? ??++++++∞→222221 2111lim n n n n n （2） 求极限????? ? ? ?++++++∞→n n n n n n n n n 1 sin 212sin 1sin lim πππ 【分析】本题是求和式的极限。而定积分定义的本质就是一种合适的极限，所以当遇到求和式的极限时往往想到利用定积分。 解：（1）因为 ∑ ∑ ==?? ? ??+=+=++ +++ +n i n i n n i i n n n n n 1 21 2 22 22 221 11 11211 1 所以 )21ln()1ln(11211 1lim 102 10222222+=++=+=??? ? ??++ ++++?∞→x x x dx n n n n n （2）令n n n n n n n n x n 1sin 212sin 1 sin + +++++= πππ ，则有 ∑∑==+ <<+n i n n i n i n n x n i n 11sin 1 1sin 11ππ 而π πππ 2 sin 1 sin 111 lim sin 11lim 1 1 1 = =?+ =+? ∑∑=∞→=∞→xdx n n i n n i n n i n n i n 同理π πππ2 sin 1 sin 111 lim sin 11 lim 1 1 2 1 = =?+=+?∑∑=∞→=∞→xdx n n i n n i n n n i n n i n 由加逼准则，可得： ????? ? ? ? ++++++∞→n n n n n n n n n 1 sin 212sin 1sin lim πππ π2= 【评注】利用定积分的定义求极限的步骤为：首先要注意将和式化成 n a b i n a b a f n i -? -+∑ =)(1 或者n n i f n i 1)(1 ?∑=的形式，然后上述和式的极限利用定积分定义分别得到 ? b a dx x f )(和?1 )(dx x f ，最后计算定积分求出结果。 例2 lim n →∞ ） （A ） 2 21 ln xdx ?. （B ）2 1 2ln xdx ?. （C ）2 1 2 ln(1)x dx +?. （D ）2 21 ln (1)x dx +? 【分析】先将原极限变型，使其对应某一函数在某一区间上的积分和式。解： lim n →∞ 212lim ln (1)(1)(1)n n n n n n →∞? ?=+++??? ? 212lim ln(1)ln(1)(1)n n n n n n →∞??=++++++??? ? 1 1 lim 2 ln(1)n n i i n n →∞ ==+∑ 1 02 ln(1)x dx =+? 2 112 ln x t tdt +=? 2 12ln xdx =? 故选（B ）. 【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型，值得注意的是化为定积分后还必须作一变换,才能化为四选项之一. 例3 设?? ==40240 1tan ,tan π π dx x x I dx x x I ，则（） （2003－研） （A ） 121>>I I （B ）211I I >> （C ）112>>I I （D ）121I I >> 解：当2 0π < 2tan <，即 x x x x tan tan > ，由定积分不等式性质，显然21I I >，故（C ）、（D ）可排除。 又因为x x x x x x x x x x 2 222cos 22sin 22sin sec tan -=-=' ?? ? ??，当40π< ??x x ， x x tan 在?? ? ??4,0π内单调递增，π π π 44 4tan tan = ?? =<=404 114 tan π π πdx dx x x I ，所以11I >。 所以211I I >>，应选（B ）。 【评注1】在比较被积函数在某区间上的大小关系时，经常与函数的单调性相结合。 【评注2】简单讨论积分的大小时，一般方法为：若积分区间是相同的，主要讨论被积函数的大小，然后利用不等式性质得出结果；若被积函数相同，积分区间不同，一般根据被积函数的单调性以及几何意义得出结果（见例4），或者利用变量替换，换成积分区间相同的，再比较两个被积函数的大小。若是比较复杂的讨论积分的大小，方法很多，技巧性也比较强，涉及的知识点也比较多，在后边我们将会给出一个专题——积分不等式的证明，读者可参考 例4 判别下列各组定积分的大小 （1）dx e I x ? -= π 12 ，dx e I x ?-=π π 222 ； （2））xdx e I x 2 01cos 2 ?-=π ，dx x e I x ?-=π π 222cos 2 解：（1）函数2 x e y -=在),0[+∞上单调递减，且02 >-x e ，同时积分区间相同，画图可知， 由定积分的几何意义知道曲边梯形的面积1A 大于曲边梯形的面积2A ，即21I I >。 （2）两个积分的被积函数所在积分区间上非单调，利用变量替换，将积分区间化为相同的。 对于2I 令π+=t x ，则 dx x e dt t e dt t e dx x e I x t t x ????+-+-+--==+==π ππ ππ ππ π π0 2)(0 2 )(0 2 )(22 2cos cos )(cos cos 2 2 2 2 当π≤≤x 0时，因为x e x e x x 2 2 )(cos cos 2 2 -+-≤π，且x e x e x x 22 )(cos cos 2 2 -+-≠π，所以 21I I > 【评注】利用变量替换证明不等式，是证明积分不等式的常用方法，不仅适用于具体函数的定积分，在抽象函数定积分不等式时也常常用到。 例5设)(x f 为连续函数，? -= x dt t f t x x F sin 0 )()(sin )(，求)0(),(F x F '' 【分析】注意观察)(x F 的表达形式，先将积分变限函数变形，转化成可直接应用变限求导公式的形式。 解：? ? -=x x dt t tf dt t f x x F sin 0 sin 0 )()(sin )( '?? ? ??-'??? ??='??? ??-='????x x x x dt t tf dt t f x dt t tf dt t f x x F sin 0sin 0sin 0sin 0)()(sin )()(sin )( x x xf x x xf dt t f x x cos )(sin sin cos )(sin sin )(cos sin 0 -+=? ? =x dt t f x sin 0 )(cos 0)(1)0(00 =?='?dt t f F 【评注】变限积分函数求导公式是重点，要熟记。同时要灵活应用。 例 6 已知??-== -t t s ds s t y ds e x 02 )sin(,2 ，求22,dx y d dx dy 【分析】将x 、y 分别看作)(),(t y t x ψ?==，实质上就是参数方程所确定函数的导数。 解： 2 t e dt dx -=，另设ds du s t u -=-=则,， 所以du u du u ds s t y t t t ??? =-=-= 2020 2sin sin )sin(， 从而2 sin t dt dy =，故 22sin sin 22t e e t dt dx dt dy dx dy t t ===- () )cos (sin 2sin )(2222 22222t t te e t e dt dx dt dx dy d dx y d t t t +='==- 例7 设dy dt t t x F x y ? ???? ? ??+= 1 1421)(，求)(),(x F x F ''' 【分析】虽然是两层积分号，但我们要看清楚问题的本质，可将dt t t y ? +2 1 4 1看作成)(y f ，则dy y f x F x ? = 1 )()(，则有变限函数求导公式)()(x f x F ='，再还原即可。 解：令)(y f ＝ dt t t y ? +2 1 4 1，则dy y f x F x ?=1)()(，所以dt t t x f x F x ?+=='214 1)()(， x x x x x x F 8 2 81221)(+=?+='' 【评注】在计算无穷小阶数时，实际上就是求极限，用到了洛必达法则。 例8 函数)(x f 可导，且? -= =-x n n n dt t x f t x F f 0 1)()(,0)0(， 证明)0(21 )(lim 20 f n x x F n x '=→ （1994－研） 【分析】本题应首先考虑化简)(x F ，利用变量代换),(t x u ?=，将x 换到积分号外或者积分的上、下限中去，再求极限。 解： 作变量代换n n t x u -= 则??=-=n n x x du u f n du u f n x F 0 0)(1)(1)( 从而)()(1 n n x f x x F -=' 所以 )0(21)0()(21lim ) (21lim 2)(lim )(lim 00121020f n x f x f n x x f n nx x f x x x F n n x n n x n n n x n x '=-===→→--→→ 例9 设正值函数)(x f 在),1[∞+上连续，求?+-+= x dt t f t t x x x F 1)()]ln 2 (ln 2[)(的最小值。 【分析】讨论函数最大最小值，经常用到的就是在第三章导数的应用学过的知识，最大最小值容易在端点处、驻点、导数不存在的地方取到。 解： ??+-+=x x dt t f t t dt t f x x x F 11)()ln 2()()ln 2 ( )( ??-=+-+++-='x x dt t f x x x f x x x f x x dt t f x x x F 1 212)(2) ()ln 2 ()()ln 2()()12()( 由题意，当1>x 时，0)(>x f ，所以 0)(1 >? x dt t f 令0)(='x F ，得唯一驻点2=x ， 又因为当21< 所以)(x F 在2=x 处取得极小值，又因为驻点唯一，所以2=x 为最小值点。 例10 ? += 20 2009tan 11 π dx x I 【分析】应该注意到??+=+2020cot 11tan 11π π dx x dx x n n ，并且1cot 11tan 11=+++x x n n 解：因为??+=+202009202009cot 11tan 11π πdx x dx x 所以421cot 11tan 1121202020092009π π π==+++=??dx dx x x I 【评注】这道题技巧性很强，平时应该多积累像该题类似的等式。例如： 4 )(s i n )(c o s )(c o s )(c o s )(s i n )(s i n 2020 π π π ?? =+=+dx x f x f x f dx x f x f x f 例11 已知2 )1sin()(-='x x f ，且0)0(=f ，求 ? 1 )(dx x f 【分析】本题不能求出)(x f 的具体表达式再积分，因为2 )1sin(-x 的原函数不能用初等函数表示。只能暂时采用积分上限函数表示出)(x f 解：已知? '= x dt t f x f 0 )()(，根据分部积分法，得 []?? '-=10 1 01 )()()(dx x f x x xf dx x f ) 1cos 1(2 1 )1()1sin(21)1sin()1()()1()()(10221 21 1 1 -=---=--='-='-'=?????x d x dx x x dx x f x dx x f x dt t f 例12 设()()1 f x t t x dt = -?，01x <<，求()f x 的极值、单调区间和凹凸区间. 【分析】首先去绝对值符号，将)(x f 的表达式写出来，在讨论)(x f 的性态。 解： 11 2 20 ()()()()()x x x x f x t x t dt t t x dt tx t dt t tx dt =-+-=-+-???? 23323333 11()()()()()023******** x t t t t x x x x x x x x =-+-=-+--- 3316326 x x x =+-+ 31 323x x =-+. 21 ()2 f x x '=- ,令()0f x '= ，得1(263f -= +2x =± . ()0f x '>，得 22x x > <- ()0f x '>，得 22 x - << 因此，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞ ；单调减区间是(. 由()2f x x ''=，可知(,0)-∞为凸区间，(0,)+∞为凹区间. 由(0,(0,f f '''=< 知1 (3 f =+为极大值. 由( 0,(0,22f f '''=> 知1(263 f =-+为极小值. 例13 计算 dx x ? -π sin 1 【分析】首先利用三角公式将根号去掉，同时考虑去掉根式后符号变化与区间的关系。 解： )12(42cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 22000 2 -=??? ? ?-+??? ?? -=-=??? ? ? -???? πππ ππ dx x x dx x x dx x x x x 原式＝ 【评注】在定积分计算中，要注意)()(2x f x f =，而不是)()(2x f x f =。同时要注 意去绝对值符号分段积分。 例14 计算 ? 4 ,][dx x x 其中][x 表示不超过x 的最大整数。 【分析】根据积分区间按整数分成若干积分区间，求出][x 在不同积分区间的数值，再进行 积分。 解： 173210][4 3 312 21 10 4 =??+??+??+??=????? dx x dx x dx x dx x dx x x 【评注】实际上不管被积函数是分段函数、带绝对值符号、最值函数、还是带有其它定义的函数，都是将被积函数根据积分区间写出具体的在不同区间的表达式，再根据定积分的积分区间的可加性进行计算。 例15 计算 () ???+?π40 810 4sin 2sin sin cos sin dx x x x x x 【分析】观察被积函数是以π2为周期的周期函数，且只与x sin 、x cos 有关，同时积分区间为]4,0[π，注意应用有关公式。 解：原式() ??--?=??+?=π π π π xdx x dx x x x x x 810810 cos sin 44sin 2sin sin cos sin 2 14 620860 87 2086208 8 208102081020810208102 81020 8100 8 10 2 3522143658721sin 21sin 21 2sin 21cos sin 4sin cos cos sin 42sin cos cos sin 4cos sin 4cos sin 4cos sin 4ππππ π π ππππ ππ ππ π =?????====?=??? ? ???+?=? ?? ? ? -=???? ???+?=?+?=?=?? ?????????udu udu xdx xdx x xdx x xdx x x t tdt t xdx x xdx x xdx x xdx x 其中 【评注】本题用的技巧性很强，读者可以仔细研究一下本题解法用了哪些公式和技巧。 例16 设函数dt t x S x ? = cos )(， （1）当n 为正整数，且ππ)1(+<≤n x n 时，证明)1(2)(2+<≤n x S n ； （2）求x x S n ) (lim +∞→ （2000—研） 【分析】通过要证明得结论，应该想到不等式的两端也应该是定积分的值，再根据已给的x 的范围，可构造出 ? ? +<≤π π )1(0 cos )(cos n n dx x x S dx x 是关键。 解：（1）因为0cos ≥x ，且ππ)1(+<≤n x n ，所以 ? ? +<≤π π )1(0 cos )(cos n n dx x x S dx x ， 又因为x cos 是以π为周期的周期函数，在每个周期上积分值相等，所以， )1(2cos , 2cos cos )1(0 +===? ?? +n dx x n dx x n dx x n n π π π ，因此 当ππ)1(+<≤n x n 时，证明)1(2)(2+<≤n x S n 。 （2）由（1）知，当ππ)1(+≤≤n x n 时，有)1(2)(2+≤≤n x S n 有 π πn n x x S n n ) 1(2)()1(2+< ≤+ 令+∞→n ，则π ππ2 )1(2lim )1(2lim =+=++∞→+∞→n n n n n n ，由夹逼准则得， π2)(lim =+∞→x x S n 例17 设?? ++=2 1 0)()(2)(dx x f dx x f x e x f x ，求)(x f 解：令 a dx x f =? 1 )(，b dx x f =?2 )(，利用题目中的等式分别在区间]2,0[],1,0[上积分， 则有，?????? ++=++= 2 20 20 10 10 1 2,2dx b xdx a dx e b dx b xdx a dx e a x x ， 两式联立解得：e b e e a -=-=1,42，所以， e x e e e x f x -+-+=12 )(2 例18 计算积分 ? -232 12 x x dx 【分析】注意到被积函数内有绝对值且1=x 是其无穷间断点。 解：因为1=x 为瑕点，且去绝对值，则， 原式? ? -+-= 1 2 1231 2 2 x x dx x x dx 而 2 1arcsin )12arcsin()2 1(411 2 11 2 11 2 1 22 π = =-=--=-? ?x x dx x x dx 2 3 12231 2231 2]41)21()21ln[(4 1)21(????? ?--+-=- -=-? ? x x x dx x x dx )32ln(+= 例19证明 ?? ??? ? ??+=???? ??+a a x dx x a x f x dx x a x f 121 222 【分析】通过观察比较等式两端的表达式，应该利用变量代换。 证明：对等式左端作变量代换，令2 x t =，得 ?? ? ??????? ? ?++???? ? ?+=??? ? ??+=??? ? ??+???? a a a a a t dt t a t f t dt t a t f t dt t a t f x dx x a x f 1 2 2 121 2222 22121 对上式右端第2项作倒代换，令t a u 2 =，得，????? ? ??+=???? ??+a a a u dt u a u f t dt t a t f 122 2， 代入上式即得所证等式。 【评注】令变量代换2 x t =，不要急于求出x ，dx 进行替换，而要看看他们与dt t ,的关系。 例20 )(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)(2 1 )(,)(22a b dx x f a a f b a -==? ，证明： 在),(b a 内至少存在一点ξ，使得1)()(+-='ξξξf f 【分析】（1）根据第三章所学知识，很容易构造函数[]x x f e x F x -=-)()(，且知0)(=a F ， 再寻找),(b a ∈η，使得0)(=ηF ，利用罗尔定理可证之。（2）在寻找),(b a ∈η时，要结合已知条件 )(2 1 )(22a b dx x f b a -=? 证明：令[]x x f e x F x -=-)()( 因为)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，所以)(x F 在],[b a 上连续，在),(b a 内也可导，且a a f =)(，所以0)(=a F ， 又因为 )(21)(22a b dx x f b a -=? ，)(2 12 2a b xdx b a -=?，可得[]?=-b a dx x x f 0)( 由积分中值定理，),(b a ∈?η，使得[]()?=--=-b a a b f dx x x f 0)()()(ηη 所以0)(=-ηηf ，即0)(=ηF ， 从而0)()(==ηF a F 所以),(),(b a a ?∈?ηξ，使得0)(='ξF ，即[]0)(1)(=+--'-ξξξξ f f e ， 即1)()(+-='ξξξf f 。 例21 设函数)(x f 在],[b a 上具有二阶连续导数，证明：在),(b a 内至少存在一点ξ，使 )()(24 1 )2( )()(3ξf a b b a f a b dx x f b a ''-++-=? 【分析】（1）构造? =x a dt t f x F )()(，采用泰勒公式，在 2 b a +处展开。（2）在),( b a ∈ξ时要利用介值定理。 证明：令? = x a dt t f x F )()(，则?==b a dx x f b F a F )()(,0)(， 且)()(),()(),()(x f x F x f x F x f x F ''=''''=''=' 将)(x F 在 2 b a +处进行泰勒展开， ()()3 23 2 2!3122212222!3122!21222)(? ? ? ?? +-''+??? ??+-??? ??+'+??? ??+-??? ??++??? ??+=? ?? ?? +-'''+??? ??+-??? ??+''+??? ??+-??? ??+'+??? ??+=b a x f b a x b a f b a x b a f b a F b a x F b a x b a F b a x b a F b a F x F ηη （η介于x 与2 b a +之间） ()) 1(2!312221222)(3 12 ?? ? ??-''+??? ??-??? ??+'+??? ??-??? ??++??? ??+=b a f b a b a f b a b a f b a F a F η （1η介于a 与 2 b a +之间） ()) 2(2!312221222)(3 22 ?? ? ??-''+??? ??-??? ??+'+??? ??-??? ??++??? ??+=a b f a b b a f a b b a f b a F b F η （2η介于2 b a +与 b 之间） （2）－（1）得：()() 2 )()(241)2( )()(123ηηf f a b b a f a b a F b F ''+'' -++-=- 又因为)(x f 在],[b a 上具有二阶连续导数，所以存在实数m M ,，使得M x f m ≤''≤)(， 所以M f f m ≤''+''≤ 2 ) ()(12ηη，由介值定理存在[][]b a ,,21?∈ηηξ，使得 2 ) ()()(12ηηξf f f ''+''= ''，而?=-b a dx x f a F b F )()()( 所以 ()())(24 1)2( )(3 ξf a b b a f a b dx x f b a ''-++-=? 【评注】一般情况下，当题目中已知条件较少，且高阶可导时，往往考虑泰勒公式。 例22设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且有) (2 x f e ?πarctanxdx=1/2， f(1)=0，则至少存在一点ξ∈(0,1)，使得(1+2ξ)arctan 1)(' -=?ξξf 。（天津市竞赛－2007） 【分析】根据所证结果，可构造函数x e x x f arctan )() (=?，已知4 )1(π ?= ，再利用积分中 值定理寻找)2 , 0(π η∈，使得0)(=η?；利用罗尔定理证明结论。 证明：由积分中值定理知，存在)2 , 0(π η∈，使 4 2121arctan )(ππ ηη=?= f e 又4 1arctan )1(π = f e ，故若设x e x x f arctan )() (=?，]1,0[]1,[?∈ηx ，显然)(x ?满足罗尔 定理的各个条件，从而至少存在一点)1,0()1,(?∈ηξ使0)(' =ξ?。而 2 ) (' ) (1arctan )()('ξ ξξξ?ξξ++=f f e f e ， 从而有1)(arctan )1(' 2-=?+ξξξf 【评注】此类题目一般构造的函数的方法有两种：（1）从结论出发寻找原函数；（2）题目已知等式中定积分的被积函数就是所要构造的函数，或差个常数。 例23 证明:(1)积分中值定理； (2)已知()x ?在[1,3]上连续且可导，,3 2 (2)(1),(2)()x dx ????>> ?，证明至少存在 一点(1,3)ξ∈，()0?ξ'=使得. （2009－研） 【证明】：(1) 略 （2）证明：由积分中值定理，则至少存在一点(2,3)c ∈，使得3 2 ()()x dx c ??=?，由 题得 (2)(1),(2)()c ????>> 若(1)()c ??=，则由罗尔定理存在点(1,)(1,3)c ξ∈?，使得()0?ξ'=； 若(1)()c ??≠，不妨设(1)()c ??>，由()x ?连续与介值定理存在点η，使()(1) ?η?=，在区间[1,]η上应用罗尔定理，存在点(1,)(1,3)ξη∈?，使得()0?ξ'=； 若(1)()c ??<，同理可得存在点(1,3)ξ∈，()0?ξ'=使得. 例24 设函数)(x f 在],0[π上连续，且 ? ?==π π 0cos )(,0)(xdx x f dx x f ， 试证：在),0(π内至少存在两个不同的点21,ξξ，使得0)()(21==ξξf f 第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理 第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左 第三章 一元函数积分学 一．不定积分 例1：设2 ln )1(22 2 -=-x x x f ，且x x f ln )]([=?，求?dx x )(?（答案： C x x +-+1ln 2） 例2：已知 x x sin 是)(x f 的一个原函数，求?dx x f x )('3（答案： C x x x x x +--cos 6sin 4cos 2） 例3：设???>≤=0 ,sin ,)(2x x x x x f ，求?dx x f )( 例4：设)(x F 是)(x f 的一个原函数，π4 2 )1(= F ，若当0>x 时，有) 1(arctan )()(x x x x F x f += ，求)(x f 。（答案：) 1(21)(x x x f += ） 例5：求? dx x x )1,,max(23 例6：求?dx e e x x 2arctan 二．定积分 例1：求极限?? ? ??+++++∞→n n n n 212111lim 例 2：设)(x f 在]1,0[上连续，且 )(1 =?dx x f ，试证明存在 0)1()()1,0(=-+∈ξξξf f 使。 例3：已知)0()1ln()(1 >+= ?x dt t t x f x ，求??? ??+x f x f 1)(（答案：x 2ln 21） 例4：设函数)(x f 连续，且,arctan 21)2(2 0x dt t x tf x =-?已知1)1(=f ，求?2 1 )(dx x f 的 值。（答案： 4 3 ） 例5：已知22110,1,ln ,sin )(>≤<≤≤?? ? ??=x x x x x x x f 求?=x dt t f x I 0)()( 例6：求积分?≥-= x x dt t x g t f x I 0 )0()()()(，其中当0≥x 时x x f =)(，而 ?? ?? ? ≥ <≤=220,0,sin )(π πx x x x g 例7：设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，证明 ? b a dx x f )(2)() (1 a b dx x f b a -≥? 例8：设)('x f 在]1,0[上连续，求证 ? ??? ?? ? ??≤1 1 010)(,)('max )(dx x f dx x f dx x f 例9：设)(x f 在]1,0[上连续，且0)(≥x f ，0)1(=f ，求证： 存在?= ∈ξ ξξ0 )()()1,0(dx x f f 使 例10：设)(x f 是在),(+∞-∞内的周期函数，周期为T ，并满足 )),,(,()()()1(为常数其中L y x y x L y f x f +∞-∞∈?-≤-； 0)()2(0 =?T dx x f 求证：LT x f T x 2 1 )(max ] ,0[≤ ∈ 例11：设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得 )('')(24 12)()(3 ξf a b b a f a b dx x f b a -+??? ??+-=? 第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤ 习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微， 则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。 第四章 一元函数积分学 不定积分部分 一．原函数的概念 例1.下列等式成立色是（ ） ()()().;A f x dx f x '=? ()()().;B df x dx f x =? ()()(). ;d C f x dx f x dx =? ()()()..D d f x dx f x =? 例2．下列写法是否有误，为什么？ ()1 .ln c dx e e x x +=?（c 为任意正常数） ()2 ).0(1 3 3 2 ≠+=?c c dx x x ()3 .arccos arcsin 12 c x c x dx dx x +-=+=-? 例3.下列积分结果正确吗？ ()211sin .cos sin ;2x xdx x C =+?√ ()21 2sin .cos cos ;2x xdx x C =-+?√ ()1 3sin .cos cos 2.2 x xdx x C =-+?√ 例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。 二.直接积分法 利用不定积分的性质及基本积分表，我们就可以计算较简单的函数的积分，这种方法称做直接积分法. 例4．求().arctan 3 1111113 2 2 24 2 4 c x x dx dx dx dx x x x x x x x ++-= + +-= ++-= +???? 例5．求.sin 21 2cos 212cos 12sin 2 c x x xdx dx dx x dx x +-=-=-=???? 例6．求.tan 44422csc sin cos sin 2 222c x c xdx x dx x x dx +-===??? 例7．已知某个函数的导数是x x cos sin +，又知当2 π=x 时，这函数值为2，求 此函数. 解：因为() .sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+?， 所以，可设().sin cos c x x x f ++-= 一元函数积分学的应用 一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态，一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。 一元积分主要分为不定积分 ?dx x f )(和定积分? b a dx x f )(。化为函数 图像具体来说，不定积分是已知导数求原函数，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C 的导数也是f(x)（C 是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间，所以本文主要研究定积分的各种应用。 积分的应用十分巧妙便捷，能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。 微元法建立积分表达式 在应用微积分于实际问题时，首先要建立积分表达式，一般情况下，只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述（以下的讨论都是建立在这两个条件下，因此不再提示此条件）。 而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。其分为两个步骤：（1）任意分割区间[]b a ,为若干子区间，任取一个子区间[]dx x x +,，求Q 在该区间上局部量的Q ?的近似值dx x f dQ )(=；（2）以dx x f )(为被积式，在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值 ??==b a b a dx x f dQ Q )(。（分割，近似，求和，取极限） 在实际应用中，通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点，用乘法所求得的近似值就可以作为Q ?所需要的近似值，即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(= 。 定积分在几何中的应用 在几何中，定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。下面我们来分类讨论： 一、 平面图形的面积 求图形面积是定积分最基本的应用，因为定积分的几何意义就是在给定区间内函数曲线与x 轴所围成图形的面积。而求面积时会出现两种情况：直角坐标情形和极坐标情形。 1、直角坐标情形 在求简单曲边图形（能让函数图像与之重合）的面时只要建立合适的直角坐标系，再使用微元法建立积分表达式，运用微积分基本公式计算定积分，便可求出平面图形的面积。如设曲 y O 第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。 1 2006级 微积分《一元函数积分学》检测题（三） 班级__________________ 学号______ 姓名_____________ 成绩________ (3,15) 1.()()arcsin _________________________________. 一、填空题每小题分共分设则f x f x xdx '==? 2._____________________________.= 4 1 3.____________________.-=? 740 4.sin 2__________________.xdx π =? ()2 05. sin ____________________.x d x t dt dx -=? ()()()()()()()()()()( )()()()()15sin 000 (3,15) sin 1.,1,0,. ;; ; 2.(),(),. ; ;; 二、选择题每小题分共分设则当时是的高阶无穷小低阶无穷小同阶但不等价的无穷小等价无穷小. 设连续则下列结论中正确的是是和的函数是的函数是的函数是常数. x x t s t t x dt x t dt x x x t A B C D f x I t f tx dx A I s t B I s C I t D I αβαβ==+→=??? ( )( )()()()5 226 0023.. cos ;0;11111 (2)();()22下列运算正确的是. x A xdx B dx x C f x dx f x C D d C x x x π π +∞ -∞ ==+'=+=+????? 884 4444 444 tan 4.(),sin ln(,1(tan cos cos ),,,( ).() () () ()设则的大小关系是x x x M x dx N x x dx x P x e x e x dx M N P A M N P B N M P C P M N D M P N π π πππ π----??=+=++??+=+->>>>>>>>??? 2sin 5.()sin ,() ( ). () () () ()设则为正常数;为负常数;恒为零;不为常数. x t x F x e tdt F x A B C D π +=? 一元函数积分相关问题 前言： 考虑到学习的效率问题，我在本文献中常常会让一个知识点在分隔比较远的地方出现两次。这种方法可以让你在第二次遇到同样的知识点时顺便复习下这个知识点，同时第二次出现这个知识点时问题会稍微升华点，不做无用的重复。 一．考查原函数与不定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系，知道求不定积分与求微分是互逆的关系，理解不定积分的线性性质。 问题1： 若)(x f 的导函数是x sin ，则所有可能成为)(x f 的原函数的函数是_______。 二．考查定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握定积分的定义与几何意义，了解可积的充分条件和必要条件，掌握定积分的基本性质。 定积分的基本性质有如下七点： 1、线性性质 2、对区间的可加性 3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值 4、比较定理（及其三个推论） 5、积分中值定理 6、连续非负函数的积分性质 7、设)(x f 在],[b a 上连续，若在],[b a 的任意子区间],[d c 上总是有 ? =d c dx x f 0)(，则当 ],[b a x ∈时，0)(≡x f 问题2： 设? = 2 )sin(sin π dx x M ，?=20 )cos(cos π dx x N ，则有（） （A ）N M <<1 （B ）1< 分的关系，了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来，需要重点掌握牛顿—莱布尼兹公式及其推广。 其中变限积分的求导方法为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x ?和)(x ψ在],[βα上可导，当],[βα∈x 时， b x x a ≤≤)(),(ψ?，则? =) () ()(x x dt t f y ?ψ在],[βα上可以对x 求导，且 )('))(()('))((x x f x x f dx dy ψψ??-= 牛顿—莱布尼兹定理为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3： 已知 ? +=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ，求)('x f )0(≥x 四．考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。 问题4： 设)(x f 在]1,0[上连续， A dx x f =? 2 )cos (π ，则==? π 20 )cos (dx x f I _______。 五．利用定积分的定义求某些数列极限 讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有： ∑? =∞ →--+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑? =∞ →---+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5： 求∑ =∞ →+=n i n i n n i n w 1 2tan lim 六．考察基本积分表 讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。 七．考察分项积分方法 [考研类试卷]考研数学一（一元函数积分学）历年真题试卷汇编1 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 (2011年试题，一)设则I，J，K的大小关系是( )． （A）I （D）I213 4 (2008年试题，1)设函数则f'(x)的零点个数是( )．（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 5 (1998年试题，二)设f(x)连续，则tf(x2一t2)dt=( )． （A）xf(x2) （B）一xf(x2) （C）2xf(x2) （D）一2xf(x2) 6 (1997年试题，二)设则F(x)( )． （A）为正常数 （B）为负常数 （C）恒为零 （D）不为常数 7 (2010年试题，一)设m，n为正整数，则反常积分的收敛性( )． （A）仅与m有关 （B）仅于n有关 （C）与m，n都有关 （D）与m，n都无关 8 (2009年试题，3)设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形如图1一3—3所示，则函数435的图形为( )．436 （A） （B） （C） （D） 9 (2007年试题，一)如图1一3—4，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]的图形分别是直 径为2的上、下半圆周，设则下列结沦正确的是( )。 （A） 第三章 一元函数积分学 §3-1 不定积分 不定积分是计算定积分、重积分、线面积分和解微分方程的基础，要求在掌握基本积分法的基础上，更要注重和提高计算的技巧。 一、基本概念与公式 1. 原函数与不定积分的概念 2. 不定积分与微分的关系（互为逆运算） 3. 不定积分的性质 4．基本积分表 2222 22 312 22 3 2max{1}d .,1 max{1,}1,11, , 111max{1,}d d 3 11max{1,}d 1d 11 max{1,}d d . 3x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x C x x x x x x C ?<-? =-≤≤??>?<-==+-≤≤==+>==+???????1求，因 当时 ；当时 ； 当时 例解 ()()3111321 11232 31lim lim 3,1lim lim 323 ,232 133 max{1,}d 1 1.2 1 33 x x x x x C x C x C x C C C C C x C x x x x C x x C x -+ - +→-→-→→??? +=+ ????? ? ???+=+ ?????? =-+??? ?=+?? ?-+<-???=+-≤≤???++>?? ? 由原函数的连续性,有 得 故 ，，， 二、不定积分的基本方法 1. 第一类换元法（凑微分法） ()d ()[()]d []d [].f u u F u C f x x x f x x F x C ?????=+'()=()()=()+???若，则 2. 第二类换元法 ()10[]()()d []d ()[]. x t t x x t t f t t G t f x x f t t t G t C G x C ?????????-1=() =-''=()()≠()()'()()=+()+? ? 令代回 若是单调可导函数，且，又具有原函数，则有换元公式 3. 分部积分法 ()()d ()()()()d d d . u x v x x u x v x u x v x x u v uv v u ''=-=-????或 4. 有理函数的积分法 化有理真分式为部分分式. 5. 三角函数有理式的积分 (sin cos )d ()tan 2 R x x x R u v u v x t =?对于，(其中，表示关于，的有理函数)，可用“万能代换”化为有理函数的积分. 三、题解示例 一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质） 第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 0x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？ 第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图 二、本章重点及难点 本章需要重点掌握以下几个方面容： ● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数 与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式. ● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法. 三、本章的基本知识要点 (一)平面点集与多元函数 1.任意一点A 与任意点集E 的关系. 1) 点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?，则称点A 是点集E 的点。 2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?=?，则称点A 是点集E 的外点。 3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。 4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()o U A 部都含有E 中的点，则称点A 是点集E 的 聚点。 5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集. 1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的点，则称E 为开集。 2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。 3) 开域. 若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 得有限折线相连接，则称E 为开域。 4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。 5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。 3.2 R 上的完备性定理. 1) 点列收敛定义：设{}2 n P R ?为平面点列，2 0P R ∈为一固定点。若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有()0,n P U P ε∈，则称点列{}n P 收敛于点0P ，记作 0lim n n P P →∞ = 或 ()0,n P P n →→∞. 一元函数积分学 【知识要点】 1、理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质。 2、熟练掌握不定积分的基本公式。 3、熟练掌握不定积分第一换元法,掌握第二换元法(仅限三角代换与简单的根式代换。 4、熟练掌握不定积分的分部积分法。 5、掌握简单有理函数不定积分的计算。 6、理解定积分的概念及其几何意义,了解函数可积的条件 7、掌握定积分的基本性质 8、理解变上限积分是变上限的函数,掌握对变上限积分求导数的方法。 9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 11、 . 理解无穷区间的广义积分的概念,掌握其计算方法。 12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 1不定积分 定义函数 (x f 的全体原函数称为函数 (x f 的不定积分 , 记作?dx x f (, 并称?微积分号, 函数 (x f 为被积函数, dx x f (为被积表达式, x 为积分变量。因此 ? +=C x F dx x f ( (, 其中 (x F 是 (x f 的一个原函数, C 为任意常数(积分常数。基本积分公式(要求熟练记忆 (1 ?=C dx 0 (2 1(1 11 -≠++=+?a C x a dx x a a . (3 C x dx x +=? ln 1. (4 C a a dx a x x += ?ln 1 1, 0(≠>a a (5 C e dx e x x +=? (6 ?+-=C x xdx cos sin (7 ?+=C x xdx sin cos (8 C x x +=?tan cos 1 2 . (9 C x x +-=?cot sin 1 高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y 第六章 多元函数微积分学 §6.1空间解析几何 习题 6-1 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限: (2,2,3);(6,2,4);(1,5,3);(3,2,4);A B C D ------ (4,3,2); (2,3,1); (3,3,5); (1,2,3).E F G H ------ 2.写出坐标面上和坐标轴上的点的坐标的特征，并指出下列各点的位置: (2,0,3);(0,2,4);(0,0,3);(0,2,0);A B C D --- 3.求点(,,)M a b c 关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标. 4.求以点(1,3,2)O -为球心，且通过坐标原点的球面方程. 5.求与原点和0(2,3,4)M 的距离之比为1:2的点的全体所构成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？ 6. 指出下列方程组所表示的曲面 222(1)4x y z ++=； 7.指出下列方程组所表示的曲线: 22225(1)3 x y z x ?++=?=?； 22(2)20x y z +-=； 22(3)0x y -=； 22(4)0x y +=； 2 2(5)1916x y +=； 2 2 (6)125 y x -=； (7)0y -=； 2 (8)430y y -+=； 2(9)4x y =； 222(10)0z x y --=. §6.2 多元函数的基本概念 习题 6-2 1.设22,y f x y x y x ? ?+=- ?? ?，求(,)f x y . 2.已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy -+. 3.求下列各函数的定义域: 2 (1)ln(21)z y x =-+ ; (2)z = 22(3)z = ; (4)z = ; (5)ln()z y x =- ; (6)u =4.求下列各极限 : 10 (1)y x y →→ (,)(0,0)(2) lim x y →; 22() (3)lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞ +; 222200 (4)lim x y x y x y →→+ ; 00(5)x y →→;22222200 1cos() (6)lim ()x y x y x y x y e →→-++. 5.证明下列极限不存在: 2222(,)(0,0)2(1)lim 32x y x y x y →-+; 1 00 (2)lim(1)x y x y xy +→→+ ; (,)(0,0)(3)lim x y →6.研究下列函数的连续性: 222(1)(,)2y x f x y y x +=-; 22(2)(,)ln()f x y xy x y =+. 第四章 不定积分 一、是非题： １．已知()211 arcsin x x -='π+，则?π+=-x dx x arcsin 112． 错 2. 连续函数的原函数一定存在． 对 3. ()()?? =dx x f d dx x f dx d ． 错 4. ax y ln =和x y ln =是同一函数的原函数． 对 ()2x x e e y -+=和()2x x e e y --=是同一函数的原函数． 对 5. ()()??=dx x f k dx x kf （k 是常数） 错 二、填空题： １．()()? ='dx x f x f （C x f +)(ln ）． ２．()?=''dx x f x （()C x f x f x x f xd +-'='? )()( ）． ３．知()()?+=C x F dx x f ，则()?=+dx b ax f （C b ax F a ++)(1），b a ,为常数． ４．已知 ()?+=C e dx x f x ，则()=??dx x x f sin cos （ C e x +-cos ）． ５．已知()[]x dx x f sin ='?，则()=x f （x sin ）． 6. 设()x f 、()x f '连续，则() ()[]=+'?dx x f x f 21（[]C x f +)(arctan ）． 7. 设()x f 的一个原函数为x e -，则()ln f x dx x =?（ 1C x + ）． 8. 函数（21ln(1)2x C ++）是2 1x x +的原函数． 9. 设()x f x e =，则()ln f x dx x '=?（x C +）． 三、选择填空： 1．已知()x F 是()x f 的一个原函数，C 为任意常数，下列等式能成立的是（ a ） a ．()()?+=C x F x dF b ．()()? ='x F dx x F多元函数微分学知识点梳理
一元函数微分学教案
第三章 一元函数积分学
一元函数微分学综合练习题
多元函数微分学及应用(隐函数反函数)
专升本-一元函数积分学
一元函数积分学的应用
多元函数微分学及其应用
电子科技大学 一元函数积分学检测题(三)
一元函数积分知识点完整版
[考研类试卷]考研数学一(一元函数积分学)历年真题试卷汇编1.doc
第三章-一元函数积分学
一元函数微分学练习题(答案)
多元函数微分学习题
一元函数微积分基本练习题及答案
《数学分析》多元函数微分学
成人高考一元函数积分学整理.
多元函数微分学复习(精简版)
多元函数微积分学
高数一元函数积分学习题及答案