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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.
12i
12i
+=- A .43i 55
--
B .43i 55
-+
C .34i 55
--
D .34i 55
-+
2.已知集合(){}
2
23A x y x
y x y =+∈∈Z Z ,≤,,,则A 中元素的个数为
A .9
B .8
C .5
D .4
3.函数()2
e e x x
f x x --=的图像大致为
4.已知向量a ,b 满足||1=a ,1?=-a b ,则(2)?-=a a b A .4
B .3
C .2
D .0
5.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为3,则其渐近线方程为
A .2y x =±
B .3y x =±
C .22
y x =±
D .3
2y x =± 6.在ABC △中,5
cos
25
C =,1BC =,5AC =,则AB = A .42
B .30
C .29
D .25
7.为计算11111
123499100
S =-+-++-…,设计了右侧的程序框图,
则在空白框中应填入 A .1i i =+ B .2i i =+ C .3i i =+ D .4i i =+
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 A .
112
B .
114
C .
1
15
D .
118
9.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15
B .
56
C .
55
D .
22
10.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数,则a 的最大值是
A .
π4
B .
π2
C .
3π4
D .π
11.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =,则
(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…
A .50-
B .0
C .2
D .50
12.已知1F ,2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>:的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率
为
3
6
的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=?,则C 的离心率为 A .
23
B .
12
C .13
D .
14
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________.
14.若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥??
-+≥??-≤?
,,, 则z x y =+的最大值为__________.
开始0,0
N T ==S N T =-S 输出1i =100
i <1
N N i =+11
T T i =+
+结束
是否
15.已知sin cos 1αβ+=,cos sin 0αβ+=,则sin()αβ+=__________. 16.已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为
7
8
,SA 与圆锥底面所成角为45°,若SAB △的面积为515,则该圆锥的侧面积为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考
生都必须作答。第22、23为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17.(12分)
记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-,315S =-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求n S ,并求n S 的最小值. 18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1217,
,…,)建立模型①:?30.413.5y t =-+;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为127,
,…,)建立模型②:?9917.5y t =+. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.学科*网 19.(12分)
设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ,B 两点,||8AB =. (1)求l 的方程;
(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程.
20.(12分)
如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点. (1)证明:PO ⊥平面ABC ;
(2)若点M 在棱BC 上,且二面角M PA C --为30?,求PC 与平面PAM 所成角的正弦值.
P
A O C
B
M
21.(12分)
已知函数2()e x f x ax =-.
(1)若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥; (2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点,求a .
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=??=?,
(θ为参数),直线l 的参数方程为
1cos 2sin x t αy t α=+??
=+?
,
(t 为参数). (1)求C 和l 的直角坐标方程;
(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率. 23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数()5|||2|f x x a x =-+--.
(1)当1a =时,求不等式()0f x ≥的解集; (2)若()1f x ≤,求a 的取值范围.
参考答案: 一、选择题 1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A 7.B
8.C
9.C
10.A
11.C
12.D
二、填空题 13.2y x =
14.9
15.1
2
-
16.402π
三、解答题 17. (12分)
解:(1)设{}n a 的公差为d ,由题意得13315a d +=-. 由17a =-得d =2.
所以{}n a 的通项公式为29n a n =-. (2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--. 所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16. 18.(12分)
解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
?30.413.519226.1y
=-+?=(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
?9917.59256.5y
=+?=(亿元). (2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下:
(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至
2016年的数据建立的线性模型?9917.5y
t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.学.科网
(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12分)
解:(1)由题意得(1,0)F ,l 的方程为(1)(0)y k x k =->. 设1221(,),(,)A y x y x B ,
由2(1),4y k x y x
=-??=?得2222(24)0k x k x k -++=. 2
16160k ?=+>,故1222
24
k x k x ++=.
所以1222
44
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=. 由题设知22
44
8k k +=,解得1k =-(舍去),1k =. 因此l 的方程为1y x =-.
(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--,即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ,则
00220005,
(1)(1)16.2
y x y x x =-+???-++=
+??解得003,2x y =??=?或0011,6.x y =??=-? 因此所求圆的方程为2
2
(3)(2)16x y -+-=或2
2
(11)(6)144x y -++=. 20.(12分)
解:(1)因为4AP CP AC ===,O 为AC 的中点,所以OP AC ⊥,且23OP =.
连结OB .因为2
2
AB BC AC ==,所以ABC △为等腰直角三角形, 且OB AC ⊥,1
22
OB AC =
=. 由222
OP OB PB +=知PO OB ⊥.
由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC .
(2)如图,以O 为坐标原点,OB uu u r
的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系O xyz -
.
由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),O B A C P AP -=u u u r
取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =u u u r
.
设(,2,0)(02)M a a a -<≤,则(,4,0)AM a a =-u u u r
.
设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n .
由0,0AP AM ?=?=u u u r u u u r n n 得2230(4)0
y z ax a y ?+=??+-=??,可取(3(4),3,)a a a =--n ,
所以22223(4)cos ,23(4)3a OB a a a
-=
-++uu u r
n .由已知得3
|cos ,|2OB =uu u r n .
所以
222
23|4|3
=
2
23(4)3a a a a --++.解得4a =-(舍去),43a =.
所以83434(,,)333=--n .又(0,2,23)PC =-u u u r ,所以3
cos ,4
PC =
uu u r n . 所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为3
4
. 21.(12分)
【解析】(1)当1a =时,()1f x ≥等价于2(1)e 10x x -+-≤.
设函数2()(1)e 1x g x x -=+-,则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--.
当1x ≠时,()0g'x <,所以()g x 在(0,)+∞单调递减. 而(0)0g =,故当0x ≥时,()0g x ≤,即()1f x ≥. (2)设函数2()1e x h x ax -=-.
()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.
(i )当0a ≤时,()0h x >,()h x 没有零点; (ii )当0a >时,()(2)e x h'x ax x -=-.
当(0,2)x ∈时,()0h'x <;当(2,)x ∈+∞时,()0h'x >. 所以()h x 在(0,2)单调递减,在(2,)+∞单调递增. 故2
4(2)1e a
h =-
是()h x 在[0,)+∞的最小值.学&科网 ①若(2)0h >,即2e
4a <,()h x 在(0,)+∞没有零点;
②若(2)0h =,即2e
4
a =,()h x 在(0,)+∞只有一个零点;
③若(2)0h <,即2e
4
a >,由于(0)1h =,所以()h x 在(0,2)有一个零点,
由(1)知,当0x >时,2e x x >,所以3334224
1616161
(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a
=-=->-=->. 故()h x 在(2,4)a 有一个零点,因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.
综上,()f x 在(0,)+∞只有一个零点时,2
e
4
a =.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为22
1416
x y +=.
当cos 0α≠时,l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=?+-, 当cos 0α=时,l 的直角坐标方程为1x =.
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=.①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为1t ,2t ,则120t t +=. 又由①得1224(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-
+,故2cos sin 0αα+=,于是直线l 的斜率tan 2k α==-.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
【解析】(1)当1a =时,24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-??
=-<≤??-+>?
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤. (2)()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥.
而|||2||2|x a x a ++-≥+,且当2x =时等号成立.故()1f x ≤等价于|2|4a +≥. 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥,所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞ .