正弦函数y=sinx的图象 性质

1.3.1 正弦函数的图象和性质

一. 教学内容：

二. 教学目的

1、掌握用几何法绘制正弦函数y sin x,x R =∈的图象的方法；掌握用五点法画正弦函数的简图的方法及意义；

2、掌握正弦函数y sin x,x R =∈的性质及应用；

3、掌握正弦型函数y A s i n (x ),x R =ω+?∈的图象（特别是用五点法画函数y A s i n (x ),x R =ω+?∈的图象）、性质及应用。

三. 教学重点、难点

重点：

1、用五点法画函数y Asin(x ),x R =ω+?∈的简图；

2、函数y Asin(x ),x R =ω+?∈的性质及应用；

3、函数y sin x,x R =∈与y Asin(x ),x R =ω+?∈的图象的关系。 难点：

1、正弦函数y sin x,x R =∈的周期性和单调性的理解；

2、函数y sin x,x R =∈与y Asin(x ),x R =ω+?∈的图象的关系。

四. 知识分析

1、正弦函数图象的几何作法

采用弧度制， x 、y 均为实数，步骤如下：

（1）在 x 轴上任取一点 O 1 ，以 O l 为圆心作单位圆； （2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；

（3）过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0、6π、3π

、、2π的正弦线； （4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～2π这段分成 12 等份；

（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合； （6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。

2、五点法作图

描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五

点起决定作用，它们是3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)

22ππ

π-π。描出这五点后，其图象的形状

基本上就确定了。

因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。

注意：

（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。

（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。

（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中。

（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。

（5）如果函数表达式不是y sin x =，则那五点就可能不是

3(0,0),(,1),(,0),(,1),

22ππ

π-

(2,0)π

如：用“五点法”作函数y 1sin x,x [0,2]=+∈π的简图，所用的五个关键点列表就是：

而用“五点法”作函数

y sin(2x )

3π

=+的简图，开始的一段图象所用的五个关键点列

定义域。

5、周期函数的定义

一般地，对于函数 y ＝f ( x ) ，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时， f(x ＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数 y = f(x)叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。

注意：( 1)定义应对定义域中的每一个 x 值来说，只有个别的 x 值或只差个别的 x 值满足f(x ＋T)＝f(x)或不满足都不能说 T 是 f(x)的周期。

例如：

4sin

)24sin(π=π+π 但是

3sin

)23sin(π≠π+π 就是说，2π不能对x 的定义域内的每一个值都有sin(x )sin x

2π+=, 因此2π

不是 sinx

的周期 。

（2）从等式f(x ＋T)＝f(x)来看，应强调的是与自变量 x 本身相加的常数才是周期，如

f (2x + T) = f (2x) , T 不是f(2x)的周期，而应写成 f(2 x + T)＝

T f[2(x )]

2+＝ f( 2x ) ，则T

2是 f ( 2x)的周期。

（3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期。

（4）并不是所有周期函数都存在最小正周期．例知，常数函数 f ( x ) = C ( C 为常数) , x ∈R ，当 x 为定义域内的任何值时，函数值都是 C ，即对于函数 f( x)的定义域内的每一个值 x ，都有 f ( x + T ) ＝ C ，因此 f (x)是周期函数，由于 T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以 f (x)没有最小正周期。

再如函数

??

?=)(0)(1)(是无理数是有理数x x x D 设 r 是任意一个有理数，那么当 x 是有理数时， x + r 也是有理数，当 x 为无理数

时， x + r 也是无理数，就是说 D ( x )与 D ( x + r )或者等于 1 或者等于 O ，因此在两种情况下，都有 D ( x + r ) ＝ D ( x ) ，所以 D ( x )是周期函数， r 是 D ( x )的周期，由于 r 可以是任一有理数，而正有理数集合中没有最小者，所以 D (x)没有最小正周期。

（5）“f ( x + T )＝f ( x ) ”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立， T 是非零常数，周期 T 是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值。

（6）周期函数的周期不只一个，若T 是周期，则 kT ( k ∈N * )一定也是周期。

（7）在周期函数 y ＝f （x ）中，T 是周期，若 x 是定义域内的一个值，则 x + kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集。

6、正弦函数的周期性

（1）从正弦线的变化规律可以看出，正弦函数是周期函数，2k (k Z k 0)π∈≠且是它的周期，最小正周期是 2π。

（2）正弦函数的周期也可由诱导公式 sin ( x + 2k π)＝sinx ( k ∈Z)得到。

7、正弦函数的奇偶性

正弦函数 y = sinx ( x ∈R )是奇函数。

（1）由诱导公式 sin （－x ） ＝－sinx 可知上述结论成立， （2）反映在图象上，正弦曲线关于原点 O 对称；

（3）正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心为（ k π, 0 ）。正弦曲线也是轴对

称图形，其所有的对称轴方程为x k ,x Z

2π

=π+∈。

注意：正弦曲线的对称轴一定是经过正弦曲线的最高点或最低点，此时正弦值为最大值

或最小值。

8、正弦函数的单调性

由正弦曲线可以看出：当x 由-

π2增大到π

2时，曲线逐渐上升，sinx 由－1增大到1；

当x 由π2增大到3

2π

时，曲线逐渐下降，sinx 由1减小到－1。

由正弦函数的周期性知道：

正弦函数y x =sin 在每一个闭区间［

-

++π

ππ

π

2

22

2k k ，

］（k Z ∈）上都从－1增

大到1，是增函数；在每一个闭区间［π

ππ

π2

2322++k k ，

］（k Z ∈）上，都从1减小到

－1，是减函数。也就是说正弦函数y x =sin 的单调区间是：［

-

++π

ππ

π

2

22

2k k ，

］及

［π

ππ

π2

2322++k k ，

］（k Z ∈）

9、函数图象的左右平移变换

如在同一坐标系下，作出函数y x =+

sin()π

3和

y x =-

sin()

π

4的简图，并指出它们

与y x =sin 图象之间的关系。 解析：函数y x =+

sin()

π

3的周期为2π，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区

间上的简图。 设

x Z +

=π

3

，那么

sin()sin x Z +

=π

3

，

x Z =-

π

3

当Z 取0、ππππ2322、、、时，x 取-πππππ36237653、、、、

。所对应的五点是函数

y x =+sin()π3，x ∈-[]

ππ

353，图象上起关键作用的点。

类似地，对于函数

y x =-

sin()

π

4，可列出下表：

x

π

4

34

π

54π

74π

94π x -

π

4

π

2

π

32π

2π

sin()x -

π

4

1

－1

描点作图（如下）

利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得出y x =+

sin()

π

3，x R

∈及

y x =-

sin()

π

4，x R ∈的简图（图略）。

由图可以看出，

y x =+

sin()

π

3的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点向左

平行移动π3个单位而得到的，

y x =-sin()

π

4的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点向右平行移动π

4个单位得到的。

注意：一般地，函数y x =+≠sin()()??0的图象，可以看作是把y x =sin 的图象上

所有的点向左（当?>0时）或向右（当?<0时）平行移动||?个单位而得到的。 推广到一般有：

将函数y f x =()的图象沿x 轴方向平移||a 个单位后得到函数y f x a a =+≠()()0的图象。当a>0时向左平移，当a<0时向右平移。

10、函数图象的横向伸缩变换

如作函数y x =sin2及

y x

=sin 12的简图，并指出它们与y x =sin 图象间的关系。

解析：函数y x =sin2的周期T =

=22ππ

，我们来作x ∈[]0，π时函数的简图。

设2x Z =，那么sin sin 2x Z =，当Z 取0、ππππ2322、、、时，所对应的五点是

函数y Z Z =∈sin []，，02π图象上起关键作用的五点，这里

x Z =

2，所以当x 取0、π4、πππ234、、时，所对应的五点是函数y x x =∈sin []20，，π的图象上起关键作用的五

点。

列表：

x 0 π

4

π

2

34π

π

2x

0 π

2

π

32π

2π

sin 2x

1

－1

函数

y x

=sin 12的周期T =

=2124π

π，我们来作x ∈[]04，π时函数的简图。

列表：

x 0 π

2π

3π 4π 12x 0 π2

π

32π

2π

sin 12

x 0

1

－1

描点作图，如图：

利用这类函数的周期性，我们可以把上面的简图向左、右扩展，得出y x =sin2，x R

∈及y x

=sin 12，x R ∈的简图（图略）。

从上图可以看出，在函数y x =sin2的图象上横坐标为x 0

2（x R 0∈）的点的纵坐标同

y x =sin 上横坐标为x 0的点的纵坐标相同（例如，当x 02=π时，sin()sin 2221

0?==x π

，

sin sin

x 02

1

==π

）。因此，y x =sin2的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有点的横

坐标缩短到原来的1

2倍（纵坐标不变）而得到的。

类似地，

y x

=sin 12的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而得到的。

注意：一般地，函数y x =>≠sin ()ωωω01且的图象，可以看作是把y x =sin 的图

象上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当01<<ω时）到原来的1

ω倍（纵坐标

不变）而得到的。 推广到一般有：

函数y f x =>≠()()ωωω01，的图象，可以看作是把函数y f x =()的图象上的点的

横坐标缩短（当ω>1）或伸长（当01<<ω）到原来的1

ω倍（纵坐标不变）而得到。

11、函数图象的纵向伸缩变换

如在同一坐标系中作出y x =2sin 及

y x =

12sin 的简图，并指出它们的图象与

y x =sin 的关系。

解析：函数y x =2sin 及

y x =

12sin 的周期T =2π，我们先来作x ∈[]02，π时函数

的简图。 列表：

描点作图，如图：

利用这类函数的周期性，我们可以把上图的简图向左、向右扩展，得到

y x x R =∈2sin ，及

y x x R =

∈1

2sin ，的简图（图略）。

从上图可以看出，对于同一个x 值，y x =2sin 的图象上点的纵坐标等于y x =sin 的图象上点的纵坐标的两倍（横坐标不变），从而y x x R =∈2sin ，的值域为［－2，2］，最大值为2，最小值为－2。

类似地，y x =

12sin 的图象，可以看作是把y x =sin 的图象上所有点的纵坐标缩短到

原来的12倍（横坐标不变）而得到的，从而y x x R =∈12sin ，的值域是［-121

2，

］，最

大值为12，最小值为-

1

2。

注意：对于函数y A x =sin （A>0且A ≠1）的图象，可以看作是把y x =sin 的图象

上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0

函数y Af x =()（A>0且A ≠1）的图象，可以看作是把函数y f x =()图象上的点的纵坐标伸长（当A>1）或缩短（当0

12、函数y A x =+sin()ω?的图象

作函数y A x =+sin()ω?的图象主要有以下两种方法：

（1）用“五点法”作图

用“五点法”作y A x =+sin()ω?的简图，主要是通过变量代换，设z x =+ω?，由

z 取0，π2，π，3

2π

，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出

图象。

（2）由函数y x =sin 的图象通过变换得到y A x =+sin()ω?的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。 法一：先平移后伸缩 y x y x =?→???????=+>

()()

||向左或向右平移个单位

????00

横坐标变为原来的倍

纵坐标不变

1ωω??→??????

?=+y x sin()

纵坐标变为原来的倍

横坐标不变A y A x ?→???????=+sin()

ω?

法二：先伸缩后平移

y x =?→??????

?s i n 横坐标变为原来的

倍纵坐标不变

1

ω

y x y x =?→???????=+>

()()

||ωω????

ω向左或向右平移个单位

00

纵坐标变为原来的倍横坐标不变

A y A x ?→???????=+sin()

ω?

可以看出，前者平移||?个单位，后者平移|

|

?

ω个单位。原因在于相位变换和周期变换

都是针对变量x 而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则

必然会出现错误。

当函数y A x =+sin()ω?（A>0，ω>0，x ∈+∞[)0，）表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次

所需要的时间T =

2π

ω，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数f T =

=

12ω

π，它

叫做振动的频率；ω?x +叫做相位，?叫做初相（即当x ＝0时的相位）。

【典型例题】

例1. 作出函数

y x =-12

cos 的图象 分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象。

解析：

y x =-12

c o s 化为y x =|sin | 即

y x k x k x k x k =≤≤+-+<<+??

?sin ()sin ()22222πππππππ()k Z ∈ 其图象如图：

点评：画y x =|sin |的图象可分为两步完成，第一步先画出y x x =∈sin []，，0π和

y x =-sin ，x ∈()ππ，2的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的

曲线。

例2. 求下列函数的周期

（1）y x

=sin 12 （2）

y x =-236sin()

π

分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函

数去处理。

解析：（1）如果令m x =

12，则sin sin 12x m =是周期函数，且周期为2π

∴+=s i n ()s i n 12212x x

π 即

sin[()]sin 12412x x

+=π

∴s i n 12x

的周期是4π （2） 2362236sin()sin()

x x -+=-πππ

即

21366236sin[()]sin()

x x +-=-πππ

∴-236s i n ()

x π

的周期是6π。 点评：由上例我们可以看到函数周期的变换仅与自变量x 的系数有关。一般地，函数

y A x =+sin()ω?或y A x =+cos()ω?（其中A 、ω?、为常数，A ≠0，x ∈R ）的周期

T =

2πω||。

例3. 比较下列各组数的大小。 （1）sin194°和cos160°；（2）

sin

74和cos 5

3；

（3）

sin(sin

)38π和sin(cos )38π

分析：先化为同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。

解析：（1）sin sin()sin 1941801414

=+=- cos cos()cos sin 160180202070

=-=-=-

0147090<<<，∴

从而->-sin sin 1470

即sin cos 194160

>

（2）

cos sin()

5325

3=+π 又πππ

27425332<<+<

y x =s i n 在［ππ

232，］上是减函数

∴>+=s i n s i n ()cos

7425353π 即

sin cos 7453> （3）

cos sin

388ππ=

∴<<<<

0383812cos sin πππ

而y x =sin 在（0，π

2）内递增

∴

3838ππ

点评：

（1）比较同名的三角函数值的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小。

（2）比较不同名的三角函数的大小时，应先化为同名三角函数，然后再进行比较。

例4. 求下列函数的最大值和最小值

（1）y x =-

112sin

（2）

y x =++3223sin()

π

（3）

y x x =+

-

≤≤

22366sin()()

π

π

π

分析：可利用sinx 与cosx 的值域求解，求解过程中要注意自变量的取值范围。

解析：（1） 11

2011-≥-≤≤?????

sin sin x x

∴-≤≤11s i n

x ∴当sin x =-1时，

y max =

6

2 当sin x =1时，

y min =

22

（2） -≤+≤122

31

sin()x

∴当sin()23

1

x +

=π

时，y max =5；

当

sin()23

1

x +

=-π

时，y min =1。

（3） -

≤≤

π

π

6

6x ，

∴≤+

≤

023

23x π

π

∴≤+

≤023

1

s i n ()x π

∴当

sin()23

1

x +

=π

时，y max =2；

当sin()230

x +

=π

时，y min =0。

点评：求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要得利用sinx 与cosx 的有界性，以及复合函数的有关性质。

例5. 用两种方法将函数y x =sin 的图象变换为函数y x =+

sin()

23π

的图象。

分析1：x x x x →→+

=+

226

23()π

π

解法1：

y x

=?→???????

sin 横坐标缩短到原来的

纵坐标不变12 y x =?→

?????sin 26向左平移个单位π

y x x =+

=+

s i n [()]sin()

26

23π

π

分析2：

x x x →+

→+

π

π

3

23

解法2：y x =?→

?????sin 向左平移个单位

π

3

y x =+

?→???????

s i n ()

π

3

1

2横坐标缩短到原来的

纵坐标不变

y x =+

s i n ()

23π

点评：在解法1中，先伸缩，后平移；在解法2中，先平移，后伸缩，表面上看来，两

种变换方法中的平移是不同的（即6π和3π

），但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得

到的结果是一致的。

例6. 用五点法作出函数

y x =+

223sin()

π

的图象，并指出函数的单调区间。

分析：按五点作图法的要求找出五个点来，然后作图。 解析：（1）列表 列表时

23x +

π

π232π

2π

x

-

π

6

π

12

π

3

712π 56π 23

x +

π

0 π

2

π

32

π

2π

y

2

-2

（2）描点

（3）用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示：

利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到

y x =+

223sin()

π

，x R ∈的简图（图略）。

可见在一个周期内，函数在［ππ

12

712，］上递减，又因函数的周期为π，所以函数的递减区间为[++∈k k k Z ππππ12712，]()

。同理，增区间为

[]()

k k k Z ππππ

-+∈51212，。

点评：五点法作图，要抓住要害，即抓住五个关键点，使函数式中的ω?x +取0、π

2、

π、32π

、2π，然后求出相应的x ，y 值。

例7. 如图是函数y A x =+sin()ω?的图象，确定A 、ω、?的值。

解析：显然A ＝2

T =--=566ππ

π

() ∴===ωπππ222

T

∴=+y x 22

s i n ()? 解法1：由图知当

x =-

π

6时，y ＝0

故有2260x +=?-+=?π?()，

∴=

?π

3 ∴所求函数解析式为

y x =+

223sin()

π

解法2：由图象可知将y x =22sin 的图象向左移π

6

即得

y x =+226sin ()π，即y x =+223sin()

π

∴=

?π3 点评：求函数y A x =+sin()ω?的解析式难点在于确定初相?，一般可利用图象变换

关系和特殊值法。

【模拟试题】

1、已知f x x (sin )=，且

x ∈[]02，π，则f ()

1

2的值等于 A. sin 12 B. 12 C. -π6 D. π6

2、函数y x

a a =≠sin ()

0的定义域为

A. R

B. ［－1，1］

C. ［-13

1

3，

］ D. ［－3，3］

3、在［0，2π］上，满足

sin x

≥

1

2的x 取值范围是

A. []06，π

B. []

ππ656， C. []ππ623， D. []

56ππ，

4、如图所示，函数y x x =cos |tan |（

032≤

π

2）的图象是

5、若

x [,]63ππ

∈，则函数2

f (x)2cos x sin x 1=+-的值域是 A.

[]1,2-

B.

[]2,0-

C. 1

9(31),28??????

D. 131),12

??

???? 6、已知函数y A x =+sin()ω?在同一周期内，当

x =

π

12时，y 最大=2，当

x =

712π

时，

y 最小=-2，那么函数的解析式为（ ）

A.

y x =+223sin()

π B. y x =-226sin()

π C.

y x =+

226sin()

π

D.

y x =-

223sin()

π

7、下列命题正确的是

A. y x =sin 的图象向右平移π

2得y x =-cos 的图象

B. y x =sin 的图象向右平移π

2得y x =cos 的图象

C. 当?<0时，y x =sin 向左平移||?个单位可得y x =+sin()?的图象

D.

y x =+

sin()

23π

的图象由y x =sin2的图象向左平移π

3个单位得到

8、函数y x =+

323sin()

π

的图象，可由函数y x =sin 的图象经过下述_________变换而

得到

A. 向右平移π3个单位，横坐标缩小到原来的1

2，纵坐标扩大到原来的3倍

B. 向左平移π3个单位，横坐标缩小到原来的1

2，纵坐标扩大到原来的3倍

C. 向右平移π6个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的1

3

D. 向左平移π6个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标缩小到原来的1

3

9、若

sin x m m =

-+21

32，且x R ∈，则m 的取值范围是___________ 10、函数

y x =-3124sin()

π

的最小正周期是_________ 振幅是_________，当x =_________时，y max =__________ 当x =___________时，y min =__________

11、函数

y x =+

sin()

252π

的图象的对称轴方程为____________ 12、若函数y a bsin x =-的最大值为32，最小值为1

2-

，求函数y 4a sin bx =-的最值

和最小正周期。

13、求函数

y sin(4x )

6π

=+的振幅、周期、相位和单调区间。 14、如图为某三角函数图象的一段：

（1）用正弦函数写出其解析式；（2）求与这个函数关于直线x 2=π对称的函数解析式。

【试题答案】

1～8：DABCDAAB 9、

1m 3,m 5≤-≥-或

10

、344k (k Z),4k (k Z),2

2π

π

ππ+

∈π-

∈11、

k x (k Z)2π

=

∈

12、由题意，得：3a |b |21a |b |2?

+=???

?-=-??，解得1a ,|b |12==，所以y 4a sin bx =-的最大值是2，

最小值是－2，最小正周期T ＝2π

13、振幅是1，周期是2π，相位是4x 6π+，单调增区间是k k [,](k Z)

26212ππππ-+∈,单

调减区间是k k [,](k Z)

21223ππππ

++∈ 14、（1）

1y 3sin(x )26π=- （2）1y 3sin(x )

26π

=-+

必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质

必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质 例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练：求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。 例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ，求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈

例5 设1 sin sin 3x y +=，求2sin cos M x y =-的最小值和最大值 例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图象不可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性 例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性

例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间 提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是（ ） .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是（ ） 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3．下列函数中是奇函数的是（ ） .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是（ ） 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6．函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8．函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________

正弦函数、余弦函数的图象和性质教案

正弦函数、余弦函数的图象和性质 一、学情分析: 1、学习过指数函数和对数函数； 2、学习过周期函数的定义； 3、学习过正弦函数、余弦函数[]π2,0上的图象。 二、教学目标： 知识目标： 1、正弦函数的性质； 2、余弦函数的性质； 能力目标： 1、能够利用函数图象研究正弦函数、余弦函数的性质； 2、会求简单函数的单调区间； 德育目标： 渗透数形结合思想和类比学习的方法。 三、教学重点 正弦函数、余弦函数的性质 四、教学难点 正弦函数、余弦函数的性质的理解与简单应用 五、教学方法 通过引导学生观察正弦函数、余弦函数的图象，从而发现正弦函数、余弦函数的性质，加深对性质的理解。（启发诱导式）

六、教具准备 多媒体课件 七、教学过程 1、复习导入 (1) 我们是从哪个角度入手来研究指数函数和对数函数的？ (2) 正弦、余弦函数的图象在[]π2,0上是什么样的？ 2、讲授新课 （1）正弦函数的图象和性质（由教师讲解） 通过多媒体课件展示出正弦函数在[]ππ2,2-内的图象，利用函数 图象探究函数的性质： ⅰ 定义域 正弦函数的定义域是实数集R ⅱ 值域 从图象上可以看到正弦曲线在[]1,1-这个范围内，所以正弦函数的值域是[]1,1- ⅲ 单调性 结合正弦函数的周期性和函数图象，研究函数单调性，即： ⅳ 最值 观察正弦函数图象，可以容易发现正弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论： 上是增函数；在)(22,22Z k k k ∈??????+-ππππ上是减函数；在)(232,22Z k k k ∈????? ?++ππππ1,22max =∈+=y Z k k x 时，当ππ1,2 2min -=∈-=y Z k k x 时，当ππ

4.4.1正弦函数图像与性质练习题.doc

正弦、余弦函数的图像及性质习题 一、选择题 1、若[]π2,0∈x ，函数x x y cos sin -+=的定义域是 A ．[]π,0 B ．???? ??23,2ππ C ． ?? ?? ??ππ,2 D ．?? ? ? ??ππ2,23 2、函数x y sin 1-=的最小值是 A ．1- B ．0 C ．2- D ．1 3、若cosx=0，则角x 等于( ) A ．k π（k ∈Z ） B ． 2π+k π（k ∈Z ） C ．2 π +2k π（k ∈Z ） D ．－ 2 π +2k π（k ∈Z ） 4、使cosx=m m -+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．m ≤0 C ．－1＜m ＜1 D ．m ＜－1或m ＞1 5、已知函数f(x)=2sin x(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于（ ）A. B. C.2 D.3 6.若函数的图象相邻两条对称轴间距离为 ，则等于 ． A ． B ． C ．2 D ．4 7．函数y=3cos （ 52x －6 π ）的最小正周期是( ) A ． 5 π2 B ． 2 π 5 C ．2π D ．5π 8．下列函数中，同时满足①在（0， 2 π ）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y=tanx B ．y=cosx C ．y=tan 2 x D ．y=|sinx| 9、函数??? ?? ?- ∈=32,6,sin ππx x y 的值域是 ??3π- 4 π ?322 3 cos()3 y x π ω=+ (0)ω>2 π ω12 12

正弦函数的图像和性质

1 定义编辑数学术语 正弦函数是三角函数的一种. 定义与定理 定义：对于任意一个实数x 都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数) ，而这个角又对应 着唯一确定的正弦值Sin X ,这样，对于任意一个实数X都有唯一确定的值Sin X与它对应， 按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin X ,叫做正弦函数。 正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/Sin A=b/Sin B=c/Sin C 在直角三角形ABC中，/ C=90 ，y为一条直角边，r为斜边，X为另一条直角边(在坐标 系中，以此为底)，贝U Sin A=y∕r,r= √( x^2+y^2) 2 性质 编辑图像 图像是波形图像(由单位圆投影到坐标系得出) ，叫做正弦曲线(Sine curve) 正弦函数X∈& 定义域 实数集R 值域 [-1，1] (正弦函数有界性的体现) 最值和零点 ①最大值：当X=2k ∏+ ( ∏/2) , k ∈Z 时，y(max)=1 ②最小值：当X=2k ∏+ (3∏/2), k∈Z 时，y(min)=-1 零值点：( kπ ,0) ，k∈Z 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形。 1) 对称轴：关于直线X= ( π /2) +kπ , k∈Z 对称 2) 中心对称：关于点(k ∏ , 0), k∈Z对称 周期性最小正周期：y=SinX T=2 π 奇偶性 奇函数（其图象关于原点对称） 单调性 在[-∏∕2+2k ∏ , ∏∕2+2k ∏], k∈Z 上是单调递增. 在[∏∕2+2k ∏ , 3∏∕2+2k ∏], k ∈Z 上是单调递减. 3 正弦型函数及其性质 编辑 正弦型函数解析式：y=Asin （ω x+ φ ）+h

正弦函数的图像和性质(一)

正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数的图像的画法： 描点法 步骤：列表→描点→连线 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出的图像。 几何法 阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出的图像。 五点法

观察的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与轴的交点和图像的最高点及最低点： ______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出的图像。 2、 因为正弦函数是以为周期的周期函数，所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状完全一样，只是位置不同，因此我们只需将函数的图像向左、向右平行移动（每次移动个单位）就可以得到的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 3、 合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间上的简图。 （1） （2） 例2、在上，利用的图像求满足下列不等式的的取值范围。 （1） （2）

正弦函数的图像和性质(一)

x y 等分圆 平移三角函数线作正弦函数的图像 三角函数线 圆 O O 正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：x y sin =图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数x y sin =的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同 角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像的画法： 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ②几何法阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出 ] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ③五点法 观察] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与x轴的 交点和图像的最高点及最低点：______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然 后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 2、因为正弦函数是以π2为周期的周期函数，所以函数x y sin =在区间 )0 ] )1 2, 2[≠ ∈ +k Z k k k且 （ （π π上的图像与在区间] 2,0[π上的图像形状完全一样，只是位置 不同，因此我们只需将函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像向左、向右平行移动（每次移动π2 个单位）就可以得到R sin∈ =x x y，的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 三、合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间] 2,0[π上的简图。 （1）x y sin 3 =（2）x y sin -1 =

正弦函数和余弦函数图像与性质

6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T 、 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α= ===; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的 角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点()x x sin ,; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。 【方案2】——五点法 步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标;

1.5正弦函数的图像与性质基础练习题

1.5正弦函数的图像与性质基础练习题 一、单选题 1．已知函数()sin 022f x x ππ??????=+<< ???????的图象过点0,2? ?? ，则()f x 图象的一个对称中心为（ ） A ．1,03?? ??? B ．()1,0 C ．4,03?? ??? D ．()2,0 22sin 0x -≥成立的x 的取值集合是（ ） A ．()32244x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? B ．()72244x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? C ．()52244x k x k k Z π πππ?? -≤≤+∈???? D ．()572244x k x k k Z π πππ?? +≤≤+∈???? 3．函数π ()sin(2)3f x x =+的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．π 2 4．函数sin 26y x π?? =+ ???的最小正周期是（ ） A ．2π B ．π C ．2π D ．4π 5．函数1sin y x =-的最大值为（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．1- 6．已知函数()()sin 2f x x ?=+的图像关于直线3x π =对称，则?可能取值是( ). A ．2π B ．12π - C ．6π D ．6π- 7．函数sin 26y x π? ? =+ ???的一条对称轴是（ ） A ．6x π =- B ．0x = C ．6x π = D ．3x π =

8．函数2sin y x =的最小值是（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 9．已知集合{}20M x x x =-≤， {}sin ,N y y x x R ==∈，则M N =（ ） A ．[]1,0- B ．()0,1 C ．[]0,1 D ．? 10．已知函数()sin()()2f x x x R π =-∈，下面结论错误的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 在区间0, 2π??????上是增函数 C ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称 D ．函数()f x 是奇函数 11．函数()sin 4f x x π? ?=+ ??? 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．4πx =- B ．4x π = C ．2x π = D ．x π= 12．函数12sin()24y x π=+ 的周期，振幅，初相分别是( ) A ．,2,44ππ B ．4,2,4π π-- C ．4,2,4π π D ．2,2,4π π 二、填空题 13．函数sin 2y x =的最小正周期为_____________ 14．函数1sin 223y x π??=+ ?? ?的最小正周期是_______ 15．y ＝3sin 26x π??- ???在区间0,2π?? ????上的值域是________. 三、双空题 16．设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是 32，最小值是12-，则A =_____，B =_____. 17．函数sin 24y x π??=+ ???的对称轴为_________，对称中心为_____________. 四、解答题 18．已知函数2sin 23y x π? ?=+ ??? .

正弦函数的图像与性质教案

《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案） 神木职教中心 数学组 刘伟 教学目标：1、理解正弦函数的周期性； 2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图； 3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质； 4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间； 5、初步理解“数形结合”的思想； 6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等 教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像； 2、利用函数图像观察正弦函数的性质； 3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想 教学难点：正弦函数性质的理解和应用 教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程： Ⅰ 知识回顾 终边相同角的诱导公式： )(sin )2sin(Z ∈=+k k απα 所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2 Ⅱ 新知识 1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象 x y sin =，[]π2,0∈x （1）、列表

（2）、描点 （3）、连线 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…， [][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相 同 2、正弦函数的奇偶性 由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=- 所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在??????++- ππ ππ k k 22, 22 是增函数，在?? ? ???++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-

正弦函数的图像和性质教学设计

正弦函数的图象和性质 教师行为 学生学习活动 设计意图 (一) 提出问题，引入新课 教师引导学生复习：1、三角函数的定义及实质；2、三角函数线的作法和作用。 提问：根据以往学习函数的经验，你准备采取什么方法作出正弦函数的图象？ 在作图过程中有什么困难？ 学生根据教师的提问，思考并回答问题。根据经验，画函数的图象，应该列表、描点。可是，感觉到困难。 把问题作为教学的出发点，引起学生的好奇，激发学生求知欲，为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境，关注学生动手能力培养。 (二) 初步探索，展示内涵 提出问题一：你是如何精确描出点 呢？ 问题二：什么是正弦线？我们怎样找的正弦线？ 学生讨论，问题一引导他们想到 的正弦值是 学生回答问题二：由单位圆的正弦线知识，只要已知角x 的大小，就可以由几何法作出相应的正弦值 来。 由浅入深、由易到难,帮助学生体会从三角函数线出发，“以已知探求未知”的数学思想方法,培养 学生的思维能力。 通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。 数形结合，扫清了学生的思维障 碍，更好地突破了教学的重难点。 (三) 合作交流，联想探究 1、 介绍正弦函数图象的几何作 图法 学生分组讨论研究，总结交流成果。一方面分组合作探究，展示动手结果，上台板演，同时回答同学们提出的问题。 使学生掌握探究问题的方法，发展他们分析问题和解决问题的能力，老师的点拨，学生探究实践，进一步加深学生对几何法作正弦函数图象的理解。

2、介绍“五点作图法” 让学生亲自动手实践，体会数与形的完美结合。 (四) 循序渐进，延伸探究 例1 画出函数 的 简图 思考：若从函数 的图像变换分析 的图象可由的图象怎 样得到？ 大家是否能用同样方法来解决变式题呢？ 变式：画出函数 的简 图 逐步掌握“五点法”作图。 学生思考、小结。 归纳得到，函数y=1+sinx 的图象可由y=sinx 的图象向上平移1个单位得到。 学生独立完成，上台板演，进一 步巩固“五点法”作图。 突出学生的主体性，通过协作讨论区，同学之间互相配合、互相帮助、各种观点互相补充，增强合作意识。 (五) 归纳总结，内化知识 1、正弦曲线 2、注意与三角函数线等知识的联系 3、思想方法：“以已知探求未知”、类比、从特殊到一般 学生讨论，相互补充后进行回答。 让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这是一个重组知识的过程，是一个 多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程，这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络， 养成良好的学习习惯

正弦函数和余弦函数图像与性质

6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 （1）函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作 ()x f y =，D x ∈。 （2）三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值； 当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值； 当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： sin 1 y y y MP r α====； cos 1 x x x OM r α====； tan y MP AT AT x OM OA α= ===； 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定 的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由． 1、正弦函数、余弦函数的定义 （1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 （1）[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法

正弦函数的图像和性质

1定义 编辑 数学术语 正弦函数是三角函数的一种. 定义与定理 定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin x，叫做正弦函数。 正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sin A=b/sin B=c/sin C 在直角三角形ABC中，∠C=90°，y为一条直角边，r为斜边，x为另一条直角边（在坐标系中，以此为底），则sin A=y/r,r=√（x^2+y^2） 2性质 编辑 图像 图像是波形图像（由单位圆投影到坐标系得出），叫做正弦曲线(sine curve) 正弦函数x∈& 定义域 实数集R 值域 [-1，1] （正弦函数有界性的体现） 最值和零点 ①最大值：当x=2kπ+（π/2），k∈Z时，y(max)=1 ②最小值：当x=2kπ+（3π/2），k∈Z时，y(min)=-1 零值点：（kπ,0) ，k∈Z 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形。 1）对称轴：关于直线x=（π/2）+kπ，k∈Z对称 2）中心对称：关于点（kπ，0），k∈Z对称 周期性 最小正周期：y=sinx T=2π 奇偶性

奇函数（其图象关于原点对称） 单调性 在[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增. 在[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减. 3正弦型函数及其性质 编辑 正弦型函数解析式：y=Asin（ωx+φ）+h 各常数值对函数图像的影响： φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减） ω：决定周期（最小正周期T=2π/|ω|） A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数） h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减） 作图方法运用“五点法”作图 “五点作图法”即当ωx+φ分别取0，π/2，π，3π/2，2π时y的值. 单位圆定义 图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于sinθ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了sin θ=y/1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1 查看无限数目的三角形的一种方式。即sinθ=AB，与y轴正方向一样时正，否则为负 sina 对于大于2π或小于0 的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为2π的周期函数。[1] 4诱导公式 编辑 sin cos tαn cot sec csc π/2（90°）-α cos sin cot tαn csc sec π/2（90°）+α

正弦函数的性质与图像

北师大版必修4§1.5《正弦函数的性质与图像》第一课时 设计者：江西省南康中学 邱小伟 一、教学目标 1.知识与技能 (1)理解正弦线的概念和函数sin ,[0,2]y x x p =?的性质。 (2)了解正弦函数图像的画法，掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。 2.过程与方法 通过利用单位圆研究正弦函数性质的过程，增强学生自主分析问题、解决问题的能力。 3.情感态度价值观 通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二、教材分析 1.教材的地位与作用 《正弦函数的图像与性质》是高中《数学》必修4（北京师范大学版）第一章第五节的内容，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦函数的图像，为今后余弦函数、正切函数的图像与性质、函数 的图像的研究打好基础，起到了承上启下的作用。因此，本节的学习有着极其重要的地位。 本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出 sin ,[0,2]y x x p =?的图象，考察图象的特点，介绍“五点作图法”。 2.教学重、难点 重点：函数sin ,[0,2]y x x p =?的性质；正弦函数图像的五点作图法。 难点：正弦函数值的几何表示；正弦函数sin y x =图像的画法。 难点突破：在正弦函数定义的基础上，给出正弦函数值的几何表示（正弦线），再运用几何画板软件，带领学生一起直观形象地去探索正弦函数的图像，在清楚了正弦曲线的基本形状基础上，让学生通过练习动手实践掌握正弦曲线的五点作图法。 三、教法分析 根据上述学习目标分析和教材分析，贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本课主要的教法为： 1.计算机辅助教学 借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示优美的函数图象，给人以美的享受。 2.讨论式教学

最全三角函数的图像与性质知识点总结

三角函数的图像与性质 一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质 二、正切函数的图象与性质 定义域 {|,}2 x x k k Z π π≠ +∈ 函数 y ＝sin x y ＝cos x 图 象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 递增区间：2,2() 2 2k k k Z ππππ??-+∈??? ? 递减区间：32,2()2 2k k k Z ππππ??++∈??? ? 递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) 最 值 x ＝2k π＋π 2(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π－π 2(k ∈Z )时，y min ＝－1 x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 对称性 对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点） 对称轴：x ＝k π＋π 2，k ∈Z 对称中心：(k π＋π 2，0)(k ∈Z ) 对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴） 最小正周期 2π 2π

三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换 1. 由x y sin =的图象得到)sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的图象 注意：定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。 2. )sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的性质 （1）定义域、值域、单调性、最值、对称性： 将?ω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当?取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性： )sin(?ω+=x A y ，当π?k =时为奇函数，当2 ππ?±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ω π2=T

正弦函数图像与性质练习(1)

1、求函数2()cos sin ,[,]44 f x x x x ππ=-∈- 的最大值； 2、判断下列函数的奇偶性： （1）3()cos(2)sin f x x x x π=--； （2）21sin cos ()1sin x x f x x +-=+； 3、比较下列各组值的大小： （1）317cos ,sin ,cos 2104-； （2）33sin(sin )sin(cos )88 ππ和 4、作出函数y = 5、作出函数33sin(2),3 y x x R π=+∈的简图： （1）说明它与sin y x =图像之间的关系； （2）求此函数的周期、振幅和初相； （3）求此函数的对称轴、对称中心和单调区间。 6、已知函数sin()(0,0,)2y A x A π ω???=+>><的图像的一个最高点为，由 这个最高点到相邻最低点，图像与x 轴交于点(6,0)，试求函数的解析式。 7、函数sin()(0)y x ??π=+≤≤是R 上的偶函数，则?等于（ ）。 8、函数5sin(2)2y x π=+ 的图像的对称轴是（ ）。 9、函数sin 2 x y =的最小正周期是（ ）。 10、设函数()sin()()3 f x x x R π=+∈，则下列结论正确的是（ ）。 A 、()f x 的图像关于点(,0)3π对称 B 、()f x 的图像关于直线3 x π=对称 C 、把()f x 的图像向右平移3 π个单位，得到一个奇函数的图像 D 、()f x 的最小正周期为2π，且在[0,]3 π 上为增函数 11、若将函数2sin(3)y x ?=+的图像向右平移4π个单位后得到的图像关于点(,0)3π对

正弦函数y=sinx的图象和性质

【本讲教育信息】 一. 教学内容： 1.3.1 正弦函数的图象和性质 二. 教学目的 1、掌握用几何法绘制正弦函数y sin x,x R =∈的图象的方法；掌握用五点法画正弦函数的简图的方法及意义； 2、掌握正弦函数y sin x,x R =∈的性质及应用； 3、掌握正弦型函数y Asin(x ),x R =ω+?∈的图象（特别是用五点法画函数 y Asin(x ),x R =ω+?∈的图象）、性质及应用。 三. 教学重点、难点 重点： 1、用五点法画函数y Asin(x ),x R =ω+?∈的简图； 2、函数y Asin(x ),x R =ω+?∈的性质及应用； 3、函数y sin x,x R =∈与y Asin(x ),x R =ω+?∈的图象的关系。 难点： 1、正弦函数y sin x,x R =∈的周期性和单调性的理解； 2、函数y sin x,x R =∈与y Asin(x ),x R =ω+?∈的图象的关系。 四. 知识分析 1、正弦函数图象的几何作法 采用弧度制， x 、y 均为实数，步骤如下： （1）在 x 轴上任取一点 O 1 ，以 O l 为圆心作单位圆； （2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份； （3）过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0、6π、3π 、L 、2π的正弦线； （4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～2π这段分成 12 等份； （5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合； （6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。 2、五点法作图 描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五

正弦函数的图象和性质教案

正弦函数的图像和性质 作课人 邵荣良 教学目标： 1、 知识与技能目标 通过研究正弦函数图像及其画法, 理解并掌握正弦函数的性质，运用其性质解决相关问题 2、 过程与方法目标 通过主动思考，主动发现，亲历知识的形成过程，使学生对正弦函数的性质有深刻的理解， 培养学生的观察、分析、归纳和表达能力以及数形结合和化归转化的数学思想方法 3、 情感态度与价值观 用联系的观点看待问题，善于类比联想，直观想象，对数形结合有进一步认识，激发学习数学的兴趣，养成良好的数学品质。 教学重点： 正弦函数的性质 教学难点： 正弦函数性质的理解与应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有 MP r y ==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线， 2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象（几何法）：

把y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 叫做正弦曲线 3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： (0,0) (2 π ,1) (π,0) (2 3π,-1) (2π,0) 二、讲解新课： (1)定义域： 正弦函数的定义域是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， (2)值域 因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度， 所以｜sin x ｜≤1， 即 －1≤sin x ≤1， 也就是说，正弦函数的值域是［－1，1 其中正弦函数y = sin x ,x ∈R ①当且仅当x ＝2π ＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2 π ＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1 (3)周期性 由sin(x ＋2k π)＝sin x ，知： 一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的 由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2k π(k ∈Z 且k ≠0) 对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期 注意：

正弦函数的图象及性质教学设计

1.3.1 正弦函数的图象与性质教学设计 一. 教材分析 《正弦函数的图象与性质》是高中新教材人教B版必修第四册1.3.1的容，作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数的图象的知识基础和方法准备。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。 本节共分三个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出 的图象，考察图象的特点，用“五点作图法”画正弦函数图象简图，并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换；再利用图象研究正弦函数的部分性质（定义域、值域等）。 二. 学情分析 本课的学习对象为高二下学期的学生，他们经过近一年半的高中学习，已具有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，思维活跃、想象力丰富、乐于尝试、勇于探索，学习欲望强的学习特点。 三. 教学目标 根据《高中数学教学大纲》的要求和教学容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：

（一）知识目标 学会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。 （二）能力目标 1. 会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象； 2. 掌握正弦函数图象的“五点作图法”； 3. 掌握与正弦函数有关的简单图象平移变换和对称变换； 5. 培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力； 6. 培养数形结合和化归转化的数学思想方法。 （三）情感目标 1. 培养学生合作学习和数学交流的能力； 2. 培养学生勇于探索、勤于思考的科学素养； 3. 渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，培养辩证唯物主义观点。 四. 教学重点、难点

作业2：正弦函数的图像与性质

5．1 正弦函数的图像 1．对于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．向左右无限伸展 B ．关于原点对称 C ．与x 轴有无数个交点 D ．关于y 轴对称 2．点M ????π2，－m 在函数y ＝sin x 的图像上，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 3．已知f (x )＝sin ????x ＋π2，g (x )＝cos ??? ?x －π2，则f (x )的图像( ) A ．与g (x )的图像相同 B ．与g (x )的图像关于y 轴对称 C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图像 D ．向右平移π2 个单位，得g (x )的图像 4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的大致图像是( ) 5．不等式sin x ＞0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0，π] B ．(0，π) C.????π2，3π2 D.????π2，3π2 6．方程sin x ＝x 10 的根的个数是( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 7．已知函数y ＝2sin x (π2≤x ≤5π2 )的图像与直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．4π D ．2π 8．在区间[0,2π]上，满足sin x ≥32 的x 的取值范围是( ) A ．[0，π3] B ．[π3，53π] C ．[π3，23 π] D ．[56π，π] 9．函数f (x )＝sin x ＋116－x 2 的定义域为________________． 10.当x ∈[－π，π]时，y ＝12 x 与y ＝sin x 的图像交点的个数为________． 11．已知函数f (x )＝????? sin x ，x ≥0，x ＋2，x ＜0，则不等式f (x )＞12的解集是________________． 12．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围_________. 13．用“五点法”作出函数y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图像，写出满足下列条件的x 的区间．①y >1；②y <1. (2)若直线y ＝a 与y ＝1－2sin x ，x ∈[－π，π]有两个交点，求a 的取值范围．

正弦函数的图像与性质教案

《正弦函数的图像与性质》(第一课时)(教案) 神木职教中心 数学组 刘伟 教学目标:1、理解正弦函数的周期性; 2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图; 3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质; 4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域与单调区间; 5、初步理解“数形结合”的思想; 6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力与表达能力等 教学重点:1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像; 2、利用函数图像观察正弦函数的性质; 3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想 教学难点:正弦函数性质的理解与应用 教学方法:多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程: Ⅰ 知识回顾 终边相同角的诱导公式: )(sin )2sin(Z ∈=+k k απα 所以正弦函数就是周期函数,即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都就是它的周期,其中π2就是它的最小正周期,也直接叫周期,故正弦函数的周期为π2 Ⅱ 新知识 1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象 x y sin =,[]π2,0∈x (1)、列表

x0 6 π 3 π 2 π 3 2π 6 5ππ 6 7π 3 4π 2 3π 3 5π 6 11π π2 y0 2 1 2 3 1 2 3 2 1 0 - 2 1 -2 3 -1 - 2 3 -2 1 (2)、描点 (3)、连线 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…,[][][][]π π π π π π4, 2 , 2,0 ,0, 2 , 2 , 4- - -,…与x y sin =,[] π 2 ,0 ∈ x的图像相同 2、正弦函数的奇偶性 由诱导公式x x sin ) sin(- = -,R x∈得: ①定义域关于原点对称②满足) ( ) (x f x f- = - 所以,正弦函数为奇函数(观察上图,图像关于原点对称) 3、正弦函数单调性、值域 由图像观察可得: 正弦函数在? ? ? ?? ? + + -π π π π k k2 2 , 2 2 就是增函数,在? ? ? ?? ? + +π π π π k k2 2 3 , 2 2 就是减函数 得到最大值为1,最小值为-1,所以值域为[]1,1-