常微分方程教案(王高雄)第四章

目录

第四章高阶微分方程 0

内容提要及其它 (1)

4.1 线性微分方程的一般理论 (2)

4.1.1 引言 (2)

4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 (3)

4.1.3 非齐线性方程与常数变易法 (4)

4.2 常系数线性方程的解法 (7)

4.2.1 复值函数和复值解 (7)

4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程 (9)

1、常系数齐线性方程 (9)

2、欧拉（Euler）待定指数函数法 (9)

3、应用 (14)

4、欧拉方程 (15)

4.2.3 非齐次线性方程：比较系数法和拉普拉斯变换法——求特解 (17)

1. 比较系数法 (17)

2. 拉普拉斯变换法 (22)

4.2.4 质点振动 (25)

1. 无阻尼自由振动 (25)

2. 有阻尼自由振动 (26)

3. 无阻尼强迫振动 (27)

4. 有阻尼强迫振动 (29)

4.3高阶方程的降阶和幂级数解法 (31)

4.3.1可降阶的一些方程类型 (31)

1.方程不显含未知函数x (31)

t

2.方程不显含自变量的方程 (32)

3.齐线性方程 (34)

4.3.2二阶线性方程的幂级数解法 (35)

4.4.3 第二宇宙速度计算 (39)

本章小结及其它 (41)

第四章高阶微分方程内容提要及其它

授课题目

（章、节）

第四章：高阶微分方程

教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p120-185主要参考书

[1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005，

p164-223

[2]高等代数，北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组编，人民教

育出版社，1978，p102-156

[3]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p225-383

[4]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p149-164

目的与要求

掌握线性微分方程的解的性质和通解结构．掌握常系数齐次线性微分方程的解法和欧拉方程的解法．掌握常数变易法、比较系数法求特解．理解高阶常微分方程的降阶解法的思想，掌握二阶常微分方程的降阶解法．了解二阶齐线性微分方程的幂级数解法的思想．

教学内容与时间安排、教学方法、教学手段

教学内容

第1节线性微分方程的一般理论；

第2节常系数线性微分方程的解法；

第3节高阶微分方程的降阶和幂级数解法

时间安排：12学时

教学方法：讲解方法

教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合．

教学重点分析

方法上的重点：常数变易法、特征根法和比较系数法．

内容上的重点：线性微分方程解的结构理论是一个重点，它是求解高阶线性微分方程的理论基础，并从理论上给出了高阶线性微分方程求解的一般方法．另一个重点是常系数线性微分方程的解法，它把微分方程求解问题转化为一个代数问题进行讨论．

教学难点分析

方法上的难点：常数变易法、特征根法和比较系数法．

内容上的难点：第一个难点是非齐次线性微分方程的常数变易法，主要是学生理解上有一定难度，没有从理论上理解为何要构造这样一个方程组，从而求解．另一个难点是常系数线性微分方程的解法，因为把求解微分方程的问题转化为了一个代数方程来讨论，而代数方程的讨论相对来说要直观容易一些．

在前面的讨论中已经看出，在实际问题中除了已讨论的一阶微分方程外，还将遇到一些其它类型的非一阶的微分方程，即高阶微分方程．而在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究得十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术中也有着广泛的应用．所以本章着重讨论线性微分方程的基本理论和常系数微分方程的解法，对于高阶微分方程的降阶问题和二阶线性方程的幂级数解法也作适当地介绍和讨论．

4.1 线性微分方程的一般理论

4.1.1 引言

如下的n 线性阶微分方程

)()()()(1111t f x t a dt dx t a dt

x d t a dt x d n n n n n n =++++???L （4.1） 其中b t a t f n i t a i ≤≤=都是区间及)(),,2,1)((L 上的连续函数．

如果，则方程（4.1）变为

0)(≡t f 0)()()(11

11=++++???x t a dt dx t a dt x d t a dt x d n n n n n n L （4.2） 定义：（n 阶齐次线性微分方程，或齐线性方程）称（4.2）为n 阶齐线性微分方程，简称为齐线性方程

定义：（n 阶非齐次线性微分方程，或非齐线性方程）而一般的方程（4.1）称为n 阶非齐线性微分方程，或简称为非齐线性方程，并且通常把方程（4.2）叫做对应于方程（4.1）的齐线性方程．

对于高阶微分方程，同一阶微分方程一样，也存在着解的存在性和唯一性问题，即在什么条件下，高阶微分方程有解和唯一解．为此，先给出方程（4.1）的解存在唯一性定理． 定理 1 如果b t a t f n i t a i ≤≤=都是区间及)(),,2,1)((L 上的连续函数，则对于任一

及任意的，方程（4.1）存在唯一解],[0b a t ∈)1(0

)2(0)1(00,,,?n x x x x L )(t x ?=，定义在区间上，且满足初始条件：

b x a ≤≤1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dt

??????===L （4.3） 证明（略，具体在下一章讨论．）

注释；初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n =L 及()f t 连续的整个区间上有定义．

a t

b ≤≤

4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构

定理2（叠加原理）如果是方程（4.2）的k 个解，则它们的线性组合也是（4.2）的解，这里是任意常数． )(,),(),(21t x t x t x k L )()()(2211t x c t x c t x c k k +++L k c c c ,,,21L 证明：（详细过程略），基本思想：利用导数的性质进行简单的运算即可证明原命题．

特别地，当k =n 时，即方程（4.2）有解

)()()(2211t x c t x c t x c x n n +++=L （4.4）

它含有n 个任意常数，现在问：在什么条件下，表达式（4.4）能构成为n 阶齐次线性方程（4.2）的通解？它将具有什么特性？为了讨论的方便，先引进基本概念：函数线性相关与线性无关及伏朗斯基（Wronsky ）行列式．

考虑定义在区间上的函数，如果存在不全为零的常数使得恒等式

b t a ≤≤)(,),(),(21t x t x t x k L k

c c c ,,,21L 0)()()(2211≡+++t x c t x c t x c k k L

对于所有都成立，则称这些函数是线性相关的，否则就称这些函数在所给区间上线性无关的．

],[b a t ∈例：函数在任何区间上都是线性无关的；但函数在任何区间上都是线性相关的．又如函数在任何区间上都是线性无关的，因为恒等式

t t sin cos 和1sin cos 22?t t 和n

t t t ,,,,12L 02210≡++++n n t c t c t c c L （4.5）

仅当所有时才成立．如果至少有一个),,2,1(0n i c i L ==0≠i c ，则（4.5）的的左端是一个不高于n 次的多项式，它最多可有n 个不同的根．因此，它在所考虑的区间上不能多于n 个零点，更不可能恒为零．

由定义在区间],[b a t ∈上的k 个可微k-1次的函数所作成的行列式 )(,),(),(21t x t x t x k L )

()()()()

(')()

()()()

()](,),(),([)1()1(2)1(1'2'12121t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W t x t x t x W k k k k k k k ???≡≡L L

L L L L L L 称为这些函数的伏朗斯基（Wronsky ）行列式．

定理3 若函数在区间)(,),(),(21t x t x t x n L ],[b a t ∈上k-1次可微且线性相关，则在[a,b]

上它们的伏朗斯基（Wronsky ）行列式为零，即有：0)(≡t W

证明：（除教材上p123的证明方法外，还可以用反证法．

注：该定理的逆命题不一定成立．构造函数如下，得到说明：

)(),(21t x t x ???≤≤<≤?=10001)(21t t t t x 和． ?

??≤≤<≤?=10010)(22t t t t x 定理4如果方程（2）的解在区间)(,),(),(21t x t x t x n L ],[b a t ∈上线性无关，则在[,的任何点上都不等于零，即有：)](,),(),([21t x t x t x W k L ]a b )(0)(b t a t W ≤≤≠．

证明：（反证方法）．

定理5 n 阶奇线性方程（4.2）一定存在n 个线性无关的解．

定理6（通解结构定理） 如果是方程（4.2）的n 个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为：

)(,),(),(21t x t x t x n L )()()(2211t x c t x c t x c x n n +++=L （4.11）

其中是任意常数．且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解．

n c c c ,,,21L 推论：方程（4.2）的线性无关解的最大个数等于n ．因此有：n 阶齐线性方程的所有解构成一个n 维线性空间．

方程（4.2）的一组n 个线性无关解称为方程的一个基本解组，显然，基本解组不唯一．

4.1.3 非齐线性方程与常数变易法

知道了齐线性方程通解的结构，很容易得到非齐线性高阶微分方程的通解结构了． 考虑n 阶非齐线性方程（4.1）

)()()()(11

11t f x t a dt dx t a dt x d t a dt x d n n n n n n =++++???L （4.1） 易见方程（4.2）是它的特殊情形，仿照一阶非齐线性微分方程的解法，两者之间解的性质和结构有着十分密切的联系．

性质 1 如果)(t x 是方程（4.1）的解，而是方程（4.2）的解，则也)(t x )()(t x t x +是方程（4.1）的解．

性质2 方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解．

定理7 设为方程（4.2）的基本解组，而)(,),(),(21t x t x t x n L )(t x 是方程（4.1）的某一个解，则方程（4.1）的通解可表为

)()()()(2211t x t x c t x c t x c x n n ++++=L （4.14）

其中为任意常数，而且这个通解（4.14）包括了方程（1）的所有解．

n c c c ,,,21L 证明：（略，仿定理6）

根据性质1易知（14）是（4.1）的解，它包含n 个任意常数，可以证明这些常数是相互独立的，因此，它是方程（4.1）的通解．现设是方程（4.1）的任一解，则由性质2，)(~t x )()(~t x t x ?是方程（4.2）的解，根据定理6，必有一组确定的常数，使得

n c c c ,,,21L )(~)(~)(~)()(~2211t x c t x c t x c t x t x n

n +++=?L 即

)()(~)(~)(~)(~2211t x t x c t x c t x c t x n

n ++++=L 这就是说，方程（4.1）的任一解可以由（4.14）表出，其中为相应的确定常数．由于地任意性，这就证明了通解表达式（14）包括了（4.1）的所有．

定理7告诉我们要求一个非齐线性方程的解，只需要先求出对应的齐线性方程的一个基本解组，然后再求非齐线性方程的一个特解，然后按照定理7就可以写出非齐线性方程的通解．通过分析，特别是一阶微分方程的求解方法，进一步还可以指出，只要知道对应齐线性方程的基本解组就可以利用常数变易方法求得非齐线性方程的解．

例1 求方程t

x x cos 1"=+的通解，已知它的对应齐线性方程的基本解组为：． t t sin ,cos 解：（常数变易方法）．

步骤：第一步，求对应齐线性方程的一个基本解组；已知对应齐线性方程的一个基本解组为：．

t t sin ,cos 第二步，用常数变易法求非齐线性方程的通解．令：

t t c t t c x sin )(cos )(21+=

将它代入原方程，则可得有关的方程组：

)(')('21t c t c 和??

???=+?=+t t tc t c t t t c t t c cos 1)('cos )('sin 0sin )('cos )('2121 解得：

1)(',cos sin )('21=?

=t c t

t t c 由此 2211)(,cos ln )(r t t c r t t c +=+=

然后求解得原方程的解

t t t t t r t r x sin cos ln cos sin cos 21+++=

其中是任意常数．

21,r r

例2 求方程于域2'"t x tx =?0≠t 上的所有解．

解：第一步，求对应齐线性方程的基本解组．

对应的齐线性方程为

0'"=?x tx

容易直接积分求得它的基本解组．事实上，将这个齐线性方程改写为

t

x x 1'"= 积分即得．所以At x ='B At x +=22

1，这里A ，B 为任意常数．易见有基本解组．为应用上面的结论（标准的非齐线性方程），也将原方程改写为：

2,1t t x t x =?'1" 第二步，把原方程变为标准的非齐线性方程的形式．令：

221)()(t t c t c x +=

代入原方程有：

0)(')('221=+t t c t c 及t t c t =)('22

于是

2221)(k t t c +=和1316

1)(k t t c +?= 故原方程的通解为 32213

1t t k k x ++=． 这里是任意常数．由定理知这个解包括了方程的所有解．

作业：P131：2、3、4、5、6

4.2 常系数线性方程的解法

通过前面的学习和讨论，关于线性微分方程的通解的结构问题，从理论上说，可以认为已经是完全解决了．但是，求方程通解的方法还没有具体给出．事实上，对于一般的线性微分方程是没有普遍的解法的．这里将介绍求解问题能够彻底解决的一类方程——常系数线性微分方程及可以化为这一类型的方程．同时将看到，为了求得常系数齐次线性方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算．对于某些特殊的非齐线性方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通解．

注：1、本节的内容可以用于解决实际问题：质点振动问题；2、在介绍求解方法时需要用到实变量的复值函数和复指数函数．

4.2.1 复值函数和复值解

如果对于区间中的每一实数t ，有复数b t a ≤≤)()()(t i t t z φ?+=与它对应，其中)(t ?和)(t φ是在区间上定义的实函数，i 是虚单位，就说在区间b t a ≤≤上给定了一个复值函数．如果实函数)(t z )(t ?,)(t φ当趋于时有极限，就称复值函数当趋于时有极限，并且定义

t 0t )(lim )(lim )(lim 0

00t i t t z t t t t t t φ?→→→+= 如果，就称在连续．显然，在连续相当于)()(lim 00

t z t z t t =→)(t z 0t )(t z 0t )(t ?，)(t φ在连续．当在区间上每一点都连续时，就称在区间0t )(t z b t a ≤≤)(t z b t a ≤≤上连续．如果极限00)()(lim 0t t t z t z t t ??→存在，就称在有导数（可微），且记此极限为)(t z 0t dt

t dz )(0或者．显然在处有导数相当于)('0t z )(t z 0t )(t ?，)(t φ在处有导数，且

0t dt

t d i dt t d dt t dz )()()(000φ+?= 如果在区间)(t z b t a ≤≤上每点都有导数，就称在区间)(t z b t a ≤≤上有导数，对于高阶导数可以类似地定义．

设是定义在上的可微函数，c 是复值常数，容易证明下列等式成立（复值函数的微分运算性质）：

)(,)(21t z t z b t a ≤≤

dt

t dz t z t z dt t dz t z t z dt dz dt

t dz c t z c dt dz dt

t dz dt t dz t z t z dt dz )()()()()]()([)()]([)()()]()([2

12121112

121?+?=?=?+=+ 在讨论常系数线性方程时，函数将起着非常重要的作用，这里是t K e K 复值常数．下面讨论它的定义，并且讨论其一些性质．

设是任一复数，而是实变量，于是定义：

β+α=i K t )sin (cos )(t i t e e e t t i t K β+β==αβ+α

于是有

)(21sin )(21cos t i t i t i t i e e i t e e t β?ββ?β?=β+=

β 如果以β?α=i K 表示复数K 的共轭复数，那么有：

?=?

t K Kt e e

函数有下面的重要性质．

t K e z

t K t K t K K e e e 2121)(=+z Kt t

K Ke dt

de =，其中是实变量． t z

Kt n t K n

e K e dt d =)( 定理8 如果方程（4.2）中所有系数),,2,1)((n i t a i L =都是实值函数，而)()()(t i t t z x φ+?==是方程（4.2）的复值解，则的实部)(t z )(t ?、虚部和共轭复值函数)(t φ)t z 也是方程（4.2）的解．

定理9 若方程

)()()()()(1111t iv t u x t a dt dx t a dt

x d t a dt x d n n n n n n +=++++???L 有复值解，这里)()(t iV t U x +=),,2,1)((n i t a i L =及都是实值函数，那么这个解的实部和虚部分别是

)(),(t v t u )(t U )(t V )()()()(1111t u x t a dt dx t a dt

x d t a dt x d n n n n n n =++++???L 和

)()()()(1111t v x t a dt dx t a dt

x d t a dt x d n n n n n n =++++???L 的解．

4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程

1、常系数齐线性方程

若齐线性方程（4.2）的所有系数都是常数，即原方程可以写为如下形式：

0][1111=++++=???x a dt dx a dt

x d a dt x d x L n n n n n n L （4.15） 其中是常数．此时，称（4.15）为n 阶常系数齐线性方程．

),,2,1(n i a i L =2、欧拉（Euler ）待定指数函数法

通过前面的一阶常系数齐线性方程的解的指数形式可以启示，对于n 阶齐线性方程是否也有类似形式的解．于是用试探法讨论n 阶齐线性方程（4.15）的解，假设形如

t a ce t e x λ= （4.16）

其中是待定常数，可以是实数，也可以是复数．

λ注意到：

t t n n n n t n t

n n t n n t n t

e F e a a a e a dt de a dt e d a dt e d e L λλ??λλ??λ?λλλ≡+λ++λ+λ=++++≡)()(][11111

11L L 其中是n n n n a a a F +λ++λ+λ≡λ??111)(L λ的n 次多项式．易知（4.16）为方程（4.15）的解的充要条件是：是代数方程

λ0)(111=+λ++λ+λ≡λ??n n n n a a a F L （4.17）

的根．因此，方程（4.17）将起着预示方程（4.15）的解的特性的作用，被称为（4.15）的特征方程，它的根被称为特征根．于是，下面根据特征根的情况分别进行讨论（由代数知识知道，特征方程的根由两种情况：单根、重根）．

z 特征根是单实根的情形

设是特征方程（4.17）的n 个彼此不相等等根，则相应地方程（4.16）有如下n 个解：

n λλλ,,,21L t t t n e e e λλλ,,,21L （4.18）

可以证明这n 个解在区间b t a ≤≤上线性无关，从而组成方程（4.15）的基本解组．事实上，此时，有

1

121121)(1121121111][1212121???λ++λλ?λ?λ?λλλλλλλλλλλλ=λλλλλλ≡n

n n

n

n t t n

n t n

t n

t n t t

t t t n n n n e e e e e e e e e e t W L L L L L L L L L L L L

L L L 而最后一个行列式是著名的范德蒙（Vandermonde ）行列式，它等于

．由

于假设，故此行列式不等于零，从而∏≤<≤λ?λn i j j i 1)()(j i j i ≠λ≠λ0][≠x W ，于是解组（4.18）线性无关，这就是所要证明的．

如果均为实数，则（4.18）是方程（4.15）的n 个线性无关的实值解，而方程（4.15）的通解可表示为

),,2,1(n i i L =λt n t t n e c e c e c x λλλ+++=L 2121

其中为任意常数．

n c c c ,,,21L 例1 求方程0452244=+?x dt

x d dt x d 的通解．

解：（单根的情形）．

特征方程为：

0454=+λ?λ由此得到特征根：2,2,1,14321=λ?=λ=λ?=λ，其对应的基本解组为：

t t t t e x e x e x e x 242321,,,====??

故通解为：

t t t t e c e c e c e c x 242321+++=??．

如果特征根有单复根的情形

),,2,1(n i i L =λ如果特征根有复根，则因方程的系数是实常数，由代数学基本定理，复根将成对共轭的出现．设β+α=λi 1是一特征根，则β?α=λi 2也是特征根，因而与对共轭复根对应的，方程（15）有两个复值解

)sin (cos )

sin (cos )()(t i t e e t i t e e t t i t t i β?β=β+β=αβ?ααβ+α

根据定理8，它们的实部和虚部也是方程的解．这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根，可求得方程（4.15）的两个实值解：

β±α=λi t e t e t t ββααsin ,cos

此时，方程（4.15）的基本解组为： t t t t n e e t e t e

λλααββ,,,sin ,cos 3L 例2 求方程的通解

010'18"156)3()4(=+?+?y y y y y 解：（单复根的情形）．

特征方程为：

010********=+λ?λ+λ?λ由此得到特征根：i i i i ?=λ+=λ?=λ+=λ2,2,1,14321，其对应的基本解组为：

x e y x e y x e y x e y x x x x sin ,cos ,sin ,cos 242321====

故通解为：

)sin cos ()sin cos (43221x c x c e x c x c e y x x +++=．

z 特征根是重根的情形

设特征方程有k 重根，则由代数学知识有

1λ=λ0)(,0)()(')(11)1(11≠λ=λ==λ=λ?k k F F F F L

先设，即特征方程有因子，于是

01=λk λ011====+??k n n n a a a L

也就是特征方程的形状为

011=λ++λ+λ??k k n n n a a L

而对应的方程（4.15）变为

0111=+++???k k k n n n n n dt

x d a dt x d a dt x d L 易见它有个解，而且它们是线性无关的，这样一来，特征方程的k 重

零根就对应于方程（4.15）的个线性无关的解． k 12,,,,1?k t t t L k 12,,,,1?k t

t t L 如果这个k 重根，作变换，注意到

0≠λt ye x 1λ=]!

2)1([)(1)2(21)1(1)()

()(11y y m m y m y e ye x m m m m t m t m λ++λ?+

λ+==??λλL 可得 t t n n n n n n t

e y L e y b dt dy b dt y d b dt y d ye L 121][)(][11111λλ???λ=++++=L 于是方程（4.15）化为

0][11111=++++≡???y b dt dy b dt

y d b dt y d y L n n n n n n L （4.19） 其中仍为常数，而相应的特征方程为

n b b b ,,,21L 0)(111=+μ++μ+μ≡μ??n n n n b b b G L （4.20）

直接计算易得

t t t t t e G e e L e L e F )(1)()(11111)()()()(λ+μλμλ+μλ+μμ===λ+μ

因此

)()(1μ=λ+μG F

从而

)()()(1)(μ=λ+μj j G F

可见（4.17）的根对应于（20）的根1λ=λ01=μ=μ，而且重数相同，这样，问题就化为前面已经讨论过的情形了．

因为，方程（4.20）的重根1k 01=μ对应于方程（4.19）的个解，

因而对应于特征方程（4.17）的重根1k 121,,,,1?=k t

t t y L 1k 1λ，方程（4.15）有个解： 1k t k t t t e t e t te e 11111,,,2λλλλL （4.21）

同样，假设特征方程（4.17）其它根m λλλ,,,32L 重数依次为（单

根相当于），而且1;,,,32≥i m k k k k L j λ1=j k i j m n k k k λ≠λ=+++,32L （当i j ≠）

，则方程（4.15）对应地有解：

?????λ?λλλλ?λλλt k t t t t

k t t t m m m m m e

t e t te e e t e t te e 1212,,,,,,,,22222L L L L L L L L （4.22） 下面要证明（4.21）和（4.22）全体n 个解构成方程（4.15）的基本解组．

假若这些函数线性相关，则有

0)()(2)(11)(1)(1)(01≡≡+++∑∑=λ?λ=λ??m

r t r m r t k r k r r r r r r e t P e t A t A A

L （4.23）

其中是常数，不全为零．不是一般性，假定多项式至少有一个系数不等于零，即．将恒等式（4.23）除以，然后对t 微分次，得到

)

(r j A )(t P m 0)(≠t P m t e 1λ1k 0)(2)(1≡∑=λ?λm r t r

r e t Q （4.24）

其中，为次数低于 的次数的多项式．因此，与次数相同，且)()()()(11t S t P t Q r r k

r r +λ?λ≡)(t S r )(t P r )(t Q r )(t P r 0)(≠t Q m ．恒等式（4.24）与（4.23）类似，但项数减少了．如果对（4.24）施行同上的手续（这时除以而微分次），于是有项数更少的类似的恒等式（4.23）．如此继续下去，经过m-1次后，得到恒等式：

t e )(12λ?λ0)()(1≡?λ?λt m m m e t R

这是不可能的，因为与有相同的次数，且)(t R m )(t P m 0)(≠t R m ．事实上，不难直接计算得到

)()()()()()(121121t W t P t R m m k m m k m k m m m +λ?λλ?λλ?λ≡??L

其中是次数低于的次数的多项式．

)(t W m )(t P m 于是证明了（4.21）和（4.22）全部个解线性无关，从而构成了（4.15）的基本解组． n 对于特征方程有复重根的情况，譬如假设β+α=λi 是k 重特征根，则β?α=λi 也是k 重特征根，仿1一样处理，将得到方程（4.15）的2k 个实值解：

t e t t e t t t e t e t

e t t e t t t e t e t k t t t t k t t t ββββββββα?αααα?αααsin ,,sin ,sin ,sin cos ,,cos ,cos ,cos 1212L L

3、应用

例3 求方程044=?x dt

x d 的通解 解：（单根的情形）．

例4 求方程033=+x dt

x d 的通解 解：（单根、有复根的情形）．

例5 求方程0332233=?+?x dt dx dt

x d dt x d 的通解 解：（重根的情形）．

例6 求方程022244=++x dt

x d dt x d 的通解 解：（复重根的情形）．

特征方程为：

01224=+λ+λ由此得到特征根：是2重根，其对应的基本解组为：

i ±=λ21、t t x t x t t x t x sin ,sin ,cos ,cos 4321====

故通解为：

t t c c t t c c x sin )(cos )(4321+++=．

4、欧拉方程

定义：形如

011111=++++????y a dx dy x a dx y d x a dx y d x n n n n n n n n n

L （4.25） 的方程被称为欧拉方程．其中),,2,1(n i a i L =是常数．此方程可以简单的变换变为常系数齐线性方程，因而求解问题很容易解决．

事实上，引进变换：

x t e x t ln ,==

经计算得到：

dt

dy e dx dt dt dy dx dy t

?== ()(22222dt

dy dt y d e dt dy e dt d e dx y d t t t ?==??? 用数学归纳法不难证明：对一切自然数k 均有关系式：

(11

11dt dy dt y d dt y d e dx y d k k k k k kt k k ????β++β+=L 其中都是常数．于是

11,,?ββk L

dt dy dt y d dt y d dx y d x k k k k k k k k

1111???β++β+=L 将上述关系式代入方程（4.25），就得到常系数齐线性方程

11110n n n n n n d y d y dy b b b dt dt dt

???++++L y = （4.26） 其中都是常数，因而可用上述讨论的方法求出（4.26）的通解，再带回原来的变量（注意：11,,?k b b L x t ln =）就可以求得方程（4.25）的通解．

由上述推演过程，知道方程（4.26）有形如的解，从而方程（4.25）有形如的解，因此可以直接求欧拉方程的形如的解．以代入（4.25）并约去因子，

就得到确定t e y λ=λ=x

y K x y =K x y =K x K 的代数方程：

0)2()1()1()1(1=+++??++??n a n K K K a n K K K L L L （4.27）

可以证明这正是（4.26）的特征方程．因此，方程（27）的m 重实根，对应于方程（4.25）的m 个解

0K K =x x x x x x x m K K K K 12ln ,,ln ,ln ,0000?L

而方程（27）的m 重复根β+α=i K ，对应于方程（4.25）的2m 个实值解

)ln sin(ln ,),ln sin(ln ),ln sin()

ln cos(ln ,),ln cos(ln ),ln cos(11x x x x x x x x x x x x x x x x m m ββββββ?ααα?αααL L ．

例5 求解方程0222

=+?y dx dy x dx y d x 解： 寻找方程的形式解，得到确定K

x y =K 的代数方程：或，，因此方程的通解为

01)1(=+??K K K 0)1(2=?K 121==K K x x c c y )ln (21+=

其中是任意常数．

21,c c

4.2.3 非齐次线性方程：比较系数法和拉普拉斯变换法——求特解

现在讨论常系数非齐线性方程

)(][1111t f x a dt dx a dt

x d a dt x d x L n n n n n n =++++=???L （4.28） 的求解问题．其中是常数，而为连续函数．

),,2,1(n i a i L =)(t f 其实，方程（4.28）的求解问题已经解决，因为在前面已经解决了（4.1）的求解问题，即比（4.28）更一般的微分方程（4.1）的通解问题是这样解决的：（常数变易法）用先求出对应齐线性方程（4.2）的一个基本解组，然后找出（4.1）的某一个解，根据前面的定理7就可以写出（4.1）的通解．于是也就完成了（4.28）的求解问题，只是用常数变易法来求解，求解步骤比较繁琐，并且要用到积分运算．（注：大家必须掌握常数变易法求解高阶微分方程，因为它带有普遍性．）但是，在解决实际问题时，往往要解决一些比较简单的微分方程，即带有特殊形式的微分方程，为此，在这里，我们介绍两种常用的比较系数法和拉普拉斯变换法，它们的共同特点是不需要通过积分而用代数运算方法即可求得非齐线性方程的特解．

这个方法的特点：比较简单，把求解微分方程的问题转化为某一个代数问题来处理．

1. 比较系数法

类型Ⅰ

设，其中t m m m m e b t b t b t b t f λ??++++=)()(1110L λ及),,2,1(m i b i L =为实常数，那么方程（28）有形如

t m m m m k e B t B t B t B t x λ??++++=)(~1110L （4.29） 的特解，其中k 为特征方程0)(=λF 的根λ的重数（单根相当于1=k ；当不是特征根时，取），而是待定常数，可以通过比较系数来确定．

λ0=k m B B B ,,,10L ①如果，则此时，

0=λm m m m b t b t b t b t f ++++=??1110)(L

现在再分两种情形讨论

z 在不是特征根的情形，即0=λ0)0(≠F ，因而0≠n a ，这时，取，以

0=k m m m m B t B t B t B x ++++=??1110~L 代入方程（4.28）

，并比较t 的同次幂的系数，得到常数必须满足的方程：

m m B B B B ,,,,110?L ?????????=+=?+?+=+???m

n m n n n n n n b a B b a B m m b a B m a B b a mB a B b a B L L L 2200112110100)1()1( （4.30）

注意到，这些待定常数可以从方程（30）唯一地逐个确定出来． 0≠n a m m B B B B ,,,,110?L z 在是特征根的情形，即，也

就是0=λ0)0(,0)0()0(')0()1(≠====?k k F F F F 而L 0,011≠====?+??k n k n n n a a a a L ，这时相应地，方程（28）将为

)(111t f dt

x d a dt x d a dt x d k k k n n n n n =+++???L （4.31） k k dt

x d z =，则方程（4.31）化为 )(111t f z a dt

z d a dt z d k n k n k n k n k n =+++???????L （4.32） 对方程（4.32）来说，由于0,0=λ≠?k n a 已不是它的特征根．因此，由前一种情况，

它有形如的特解，因而方程（31）有特解m m m m B t B t B t B z ~~~~~1110++++=??L x ~满足：

m m m m k k B t B t B t B z dt

x d ~~~~~~1110++++==??L 这表明x ~

是t 的次多项式，其中的幂次k m +t 1?≤k 的项带有任意常数．但因只需要知道一个特解就够了．特别地取这些任意常数均为零，于是得到方程（4.31）（或方程（4.28））的一个特解

)(~1110m m m m k t t t t x γ+γ++γ+γ=??L

这里m m γγγγ?,,,,110L 是已确定了的常数．

②如果，则此时可象前面的讨论一样，作变量变换，将方程（4.28）化为 0≠λt

ye x λ=m m n n n n n n b t b y A dt dy A dt

y d A dt y d ++=++++???L L 01111 （4.33） 其中都是常数．而且特征方程（4.17）的根n n A A A ,,,11?L λ对应于方程（4.33）的特征方程的零根，并且重数也相同．因此，利用上面的结果就有下面的结论：

在不是特征方程（4.17）的根的情形，方程（4.33）有特解λm m m B t B t B y +++=?L 110~，从而方程（28）有特解t m m m e B t B t B x λ?+++=)(~110L

在是特征方程（4.17）的重根的情形，方程（4.33）有特解

λk )(~110m m m k B t B t B t y +++=?L ，

从而方程（4.28）有特解

t m m m k e B t B t B t x λ?+++=)(~110L

例7 求方程133222+=??t x dt dx dt

dx 的通解． 解：先求对应的齐线性方程

03222=??x dt dx dt

dx 的通解．这里特征方程有两个根0322=?λ?λ1,321?=λ=λ．因此，通解为：，其中为任意常数，再求非齐线性方程的一个特解．这里

t t e c e c x ?+=23121,c c 13)(+=t t f 0=λ，并且不是特征根，故可取特解形如Bt A x +=~，其中为待定常数．为了

确定，将B A ,B A ,Bt A x +=~

代入原方程，得到 13332+=???t Bt A B

常微分方程四、五章作业答案 (1)

《常微分方程》第四、五章作业答案 第四章 1．证明：由题可知()t x 1，()t x 2分别是方程（1），（2）的解 则：()()() ()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 111 1111=+++--Λ （3） ()()() ()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 221 2112=+++--Λ （4） 那么由（3）+（4）得： ()()()()()()() ()()()()=++++++--t x t x t a dt t x t x d t a dt t x t x d n n n n n 211 211121Λ()t f 1+()t f 2 即()t x 1+()t x 2是方程是()()=+++--x t a dt x d t a dt x d n n n n n Λ111()t f 1+()t f 2的解。 2．（1）特征方程为：42540λλ-+= 特征根为12341,1,2,2λλλλ==-==- 原方程通解为：221234()t t t t x t c e c e c e c e --=+++ （2）特征方程为：5340λλ-= 特征根为1230,2,2λλλ===-，其中10λ=是三重根 原方程通解为：22212345()t t x t c c t c t c e c e -=++++ （3）特征方程为： 22100λλ++= 特征根为：1,213i λ=-± 通解为：12()(cos3sin 3)t x t c t c t e -=+ （4）原方程对应的齐线性方程的通解为： 123456*()()cos ()sin t t x t c e c e c c t t c c t t -=+++++ 下求原方程的特解. 设原方程的特解为：2()x t At Bt C =++ 代入方程有： 2243A At Bt C t -+++=- 故1,0A C B ===

2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.5 2．ydy x xdy ydx 2=- 。 解： 2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4． xy x y dx dy -= 解：两边同除以x ，得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=， 即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21

即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解：令 u x y = 则： 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10． 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解：令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解： y x xe dx dy +=+1

常微分方程第5章答案

1.给定方程组 x = x x= （*） a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解. b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数.解：a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又v(0)= = v (t)= = = v(t) 因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t) 因此w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2 b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0 c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1 解：a）令x ＝x, x = x , 得 即 又x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x ＝x(1)＝ 其中x＝. b) 令＝x ＝＝＝则得： 且(0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： = x(0)= , 其中x= . c) 令w ＝x，w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为： 且 即w w(0)= 其中w＝ 3. 试用逐步逼近法求方程组 ＝x x＝ 满足初始条件 x(0)= 的第三次近似解.

常微分方程第一章

第一章一阶微分方程 1、1学习目标: 1、理解微分方程有关得基本概念,如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等得定义与提法、掌握处理微分方程得三种主要方法: 解析方法, 定性方法与数值方法、 2、掌握变量分离法,用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程得猜测检验法, 常数变易法与积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解与掌握一阶线性方程得通解结构与性质、 3、能够大致描述给定一阶微分方程得斜率场, 通过给定得斜率场描述方程解得定性性质; 理解与掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单得近似计算、 4、理解与掌握一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解得存在性与唯一性并解决与之相关得问题, 了解解对初值得连续相依性与解对初值得连续性定理, 理解适定性得概念、 5、理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线得概念, 能够画出给定自治方程得相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解得渐近行为、 6、理解与掌握一阶单参数微分方程族得分歧概念, 掌握发生分歧得条件, 理解与掌握各种分歧类型与相应得分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族得分歧图解, 利用分歧图解分析解得渐近行为随参数变化得状况、 7、掌握在给定得假设条件下, 建立与实际问题相应得常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型得各种分析、 1、2基本知识: (一)基本概念 1.什么就是微分方程: 联系着自变量、未知函数及它们得导数(或微分)间得关系式(一般就是 指等式),称之为微分方程、 2.常微分方程与偏微分方程: (1)如果在微分方程中,自变量得个数只有一个,则称这种微分方程为常微分方程,例 如, 、 (2)如果在微分方程中,自变量得个数为两个或两个以上,则称这种微分方程为偏微 分方程、例如, 、 本书在不特别指明得情况下, 所说得方程或微分方程均指常微分方程、 3.微分方程得阶数: 微分方程中出现得未知函数最高阶导数得阶数、例如, 就是二阶常微分方程; 与就是二阶偏微分方程、 4.n阶常微分方程得一般形式: , 这里就是得已知函数,而且一定含有得项;就是未知函数,就是自变量、 5.线性与非线性: (1) 如果方程得左端就是及得一次有理式,则称为n阶线性微分方程、

常微分方程第四章考试卷

常微分方程第四章测试试卷(3) 班级 姓名 学号 得分 一、 填空（20分） 1．——————称为n 阶齐线性微分方程。 2．1x )(t 非零为二阶齐线性方程''x 1a +)(t 2'a x +x t )(≡0的解，这里 ()t a 1 和()t a 2于区间[]b a ,上连续，则()t x 2 是方程解的冲要条件是― ——————。 ３．常系数非齐线性方程中，若()()t m m m m e b t b t b t b t f λ++++=--1110 ， 其中λ与i b 为实常数，那么方程有形如————的特解。 ４．在n 阶常系数齐线性方程中，n a a a ,2,1 为常数，则它的特征方程为——————。 ５．若方程()()022=++y x q dx dy x p dx y d 中满足————条件，则方程有形 如∑∞ ==0 n n n x a y 的特解。 ６．微分方程03'2'''4=++y y xy 的阶数为——。 ７．设()01≠t x 是二阶齐线性方程()()0'''21=++x t a x t a x 的一个解,则方程的通解可表为________ ８．解线性方程的常用方法有____、_____、_____、_____ ９．若())2,1,0(n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为__________. １０.若()),,2,1(n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组,()t x 为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表___.

二． 计算（30分） １． 求通解y y y 2'1''2 += ２． 求特解x x e xe y y y -=+-'2''，()()11'1==y y ３． 设二阶非齐线性方程的三个特解为 x x y x x y x y cos ,sin ,321+=+== 求其通解 ４． 求解方程()()o y x y x xy =+++-2'12'' ()0≠x ５． 求方程2233'4'''''x xy y x y x =-+的通解 ６． 求方程0'''=--y xy y 的解、 三．设可导函数()x φ满足()()1sin 2cos 0+=+?x tdt t x x x φφ，求()x φ 四．证明题（20分） 1.若函数()()()t x t x t x n ,,,21 为n 阶齐线性方程的n 个线性相关解，则它们的伏朗斯基行列式()0=t w 2．试证n 阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。

常微分方程教案(王高雄)第二章

第二章目录 内容提要及其它 (1) 第二章一阶微分方程的初等解法（初等积分） (2) 第一节变量分离方程与变量变换 (2) 一、变量分离方程 (2) 二、可化为变量分离方程的类型 (6) 1、齐次方程 (6) 2、可化为变量分离方程 (7) 三、应用例题选讲 (10) 第二节线性方程与常数变易法 (11) 第三节恰当方程与积分因子 (15) 一、恰当方程 (15) 二、积分因子 (20) 第四节一阶隐含方程与参数表示 (23) 一、可以解出y（或x）的方程 (24) 二、不显含y（或x）的方程 (25) 本章小结及其它 (27)

内容提要及其它 授课题目 （章、节） 第二章：一阶微分方程的初等解法 教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p30-74 主要参考书： [1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005， p1-70 [2]常微分方程教程，丁同仁等编，高等教育出版社，1991，p1-20 [3]偏微分方程数值解法（第2版），陆金甫关治，清华大学出版社，2004， p1-12 [4]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p28-169 [5]微分方程模型与混沌，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，1999， p15-158 [6]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p38-124 目的与要求： 掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法．理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．掌握四类典型的一阶隐方程的解法． 能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程．领会变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程． 教学内容与时间安排、教学方法、教学手段： 教学内容： 第1节变量分离方程与变量变换； 第2节线性方程与常数变易法； 第3节恰当方程与积分因子； 第4节一阶隐方程与参数表示：可以解出（或 y x）的方程、不显含（或 y x）的方程．时间安排：8学时 教学方法：讲解方法 教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合。 教学重点分析： 熟悉各种类型方程的初等解法，并且能正确而又敏捷地判断方程的类型，从而用初等方法求解。 教学难点分析： 本章的教学难点是判断微分方程的类型，以及方程的转化（即把能转化为用初等方法求解的方程）。

常微分方程第五章微分方程组总结

一．线性微分方程组的一般理论 1. 线性微分方程组一般形式为： 1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 , ()()()(),n n n n n n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++??????'=++++? （） 记： 1112121 22212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ??????=?????? '????????????'??????'===????????????'?????? 非齐次线性方程组表示为： ()() x A t x f t '=+ 齐次线性方程组表示为： ()x A t x '= 2.齐次线性方程组的一般理论 (1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ? 是齐次方程组()x A t x '= 的k 个 解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++?+ 也是齐次方程组的解，这里 12,,,n c c c ?是任意常数 (2)向量函数线性相关性 定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ? ，如果存在不全为零的常数

常微分方程第4章习题答案

习 题 4—1 1．求解下列微分方程 1） 22242x px p y ++= )(dx dy p = 解 利用微分法得 0)1)( 2(=++dx dp p x 当 10dp dx +=时，得p x c =-+ 从而可得原方程的以P 为参数的参数形式通解 22 242y p px x p x c ?=++?=-+? 或消参数P ，得通解 )2(2 122x cx c y -+= 当 20x p +=时，则消去P ，得特解 2x y -= 2）2()y pxlnx xp =+； ??? ? ?=dx dy p 解 利用微分法得 (2)0dp lnx xp x p dx ??++= ??? 当0=+p dx dp x 时，得 c px = 从而可得原方程以p 为参数的参数形式通解： 2 ()y pxln xp px c ?=+?=? 或消p 得通解 2y Clnx C =+ 当20lnx xp +=时，消去p 得特解 21()4 y lnx =- 3）() 21p p x y ++= ??? ??=cx dy p 解 利用微分法，得 x dx p p p - =+++22 11 两边积分得 () c x P P P =+++2211

由此得原方程以P 为参数形式的通解： 21(p p x y ++= ，() .11222c x p p p =+++ 或消去P 得通解 222)(C C X y =-+ 1． 用参数法求解下列微分方程 1）45222=?? ? ??+dx dy y 解 将方程化为 2215 42=??? ??+dx dy y 令2sin y t = 2cos 5 dy t dx = 由此可推出 1 515(2sin )22cos 2 cos 5dx dy d t dt t t ===从而得 c t x +=25 因此方程的通解为 52x t c = + ，2sin y t = 消去参数t ，得通解 22sin ()5 y x C =- 对于方程除了上述通解，还有2±=y ， 0=dx dy ，显然 2=y 和2-=y 是方程的两个解。 2）223()1dy x dx -= 解：令u x csc =， u dx dy cot 31-= 又令tan 2 u t = 则t t u x 21sin 12+==

第五章常微分方程习题

第五章 常微分方程 §1 常微分方程的基本概念与分离变量法 1. xy dx dy 2＝,并求满足初始条件：0,1x y ==的特解. 2．2(1)0y dx x dy ++=，并求满足初始条件：0,1x y ==的特解. 3．(1)(1)0x ydx y xdy ++-= 4．(ln ln )0x x y dy ydx --= 5． x y dy e dx -= 答案 1．通解2 x y ce =；特解2 x y e = 2．通解1ln 1y c x = ++；另有解0y =；特解11ln 1y x = ++ 3．ln ;0x y xy c y -+== 4．1ln y cy x += 5．y x e e c =+ §2 一阶线性微分方程 1．（1）（ ）是微分方程。 （A ） （B ） （C ） （D ） （2）（ ）不是微分方程。 （A ） （B ） （C ） （D ）

2.求微分方程的通解 ；（2）。 （1） 3.求微分方程的特解 （1）；（2） 4．解下列微分方程 ；（2）； （1） 答案1．(1)B；(2)C 2.(1)y=cx;(2)y4-x4=C。 3.(1)2/x3;(2)。 4．(1)； (2)y=Csinx； §3 二阶常系数线性微分方程 1.求下列微分方程的通解 ；（2）； （1） （3） （5） 2.求微分方程的特解 3.求下列微分方程的通解

（1） ； （2） ； （3） ； （4） 。 4．求方程2100y y y '''++=满足初始条件0 2x y ==和01x y ='=的特解 5．求方程221y y y x '''+-=+的一个特解 6．求方程22x y y y xe '''+-=的一个特解 7．求方程32(41)x y y y x e '''-+=-的一个特解 答案 1.(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) 。 2. 3.(1) ； (2) ； (3) ； (4) 。

常微分方程第四章考试卷1

常微分方程第四章测验试卷（1） 班级 姓名 学号 得分 一、 填空（30分） 1、如果),...,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这 一齐线性方程的所有解可表为————————————————。 2、形如————————————————的方程称为欧拉 方程。 3、如果),...,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x i 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为————————————。 4、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程021=+'+''x a x a x 的一个解，则方程的通解可表为—————————————————————。 5、微分方程t x x 3 sin 1 = +''的基本解组为——————————。 6、函数组t t t e e e 2,,-的伏朗基行列式为—————————。 7、若),...,2,1)((n i t x i =b t a ≤≤上线性相关，则伏朗基行列式满足——————。 8、解线性方程的常用方法有————、————、————、————。 9、n 阶齐线性方程的线性无关解的最大个数为————。 二、 计算（50分） 1、 求32254+=-'+''-'''t x x x x 的通解。 2、 求方程0)()(32='+'-''x x x x

3已知。的解，试求方程的通解是0sin 2=+'+''= x x x t t x t 4、求方程t t x x t x t ln 22=+'-''的通解。 5、的解。求方程1)0()0()0()0(,2)4(='''=''='==+x x x x e x x t 三、 证明题（20分） 1、 ),...,2,1)((n i t x i =是齐次线性方程组的n 个解，则有：当 )()......,(1t x t x n 在[a,b]上线性无关时，伏朗斯基行列式w(t)≠0, t ],[b a ∈. 2、若()(1,2)i x t i =是非齐次线性方程43sin x x x x ''''''++=的2个解，则 有：当12lim ()()n x t x t →∞ -存在。

常微分方程第1章教案

第一章 绪论 定义：指含有未知量的等式. 代数方程：2210x x -+ = 1=，3121x x x --=+ 超越方程：sin cos 1x x +=，221x e x x =+- 以上都是一元方程，一般形式可以写成()0F x = 二元方程2210x y +-=的一般形式可以写成(,)0F x y =，同理三元方程22210 x y z ++-=等等 根据对未知量施加的运算不同进行方程的分类，高等数学的运算主要是微分和积分运算 一、引例 例1：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程. 解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意 1d 2(1)d 2(2)x y x x y =?=???=? 由（1）得2d y x x =?，即2y x C =+ （3） 把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得221 C =+，1C ∴= 把1C =代入式（3），得所求曲线方程：21y x =+ 例2：列车在平直道路上以20m/s （相当于72km/h ）的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解：设列车在开始制动后t s 时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数()s s t =应满足关系式 00 220d 0.4(4) d d 20(5)d 0*t t t s t s v t s ===?=-???==???=??（） 把式（4）两端积分一次，得1d 0.4d s v t C t = =-+ （6）

【免费下载】常微分方程教程丁同仁李承治第二版第四章 奇解

第四章 奇解习题4-11．求解下列微分方程：（通解）特解）（特解）解：221222)(222222222 2)(2101.(42202..0)1)(2(0)2()2(2222);(,242).1(C Cx y x x C x y C x p b x x x x y x p x p a x p x p x p x x p p p x px y p x px p y x C x dx dp dx dp dx dp dx dp dx dp dx dp p dx dy ++-=?++-+=?+-=?-=?=+-=+-=?-=?=+=++?=+++?+++=++= =++=+-224ln 4ln 2ln 22ln 2ln 2ln 222ln )(ln 0x .)]([ln 2ln 02ln ..0))(2(ln 22)1(ln ln );(,)(ln ).2(222C x C y x x x y p p x b y x x x y p xp x xp x a p x xp x p x xp x p x x p p xp x px y x C x C x C dx dp x x x x x x x x x dx dp dx dp dx dp dx dy +=?+=?=?=+-=+-=?-+-=?-=?-=?=+=++?++++==+=（特解）解：dy dq q y q y y dy dq q y dy dx p y p p y q y q y q x q y x y p y xp 3222222cos 2)sin (cos 222cos 12cos 123sec tan ,tan ,,tan .cos tan 22).3(-++=+===+=+=-令解：y y y y x q q y b y C x y C q y q y q a y y q y q y q y y q y y y y t y y y y y q y C dy dq dy dq q y dy dq dy dq q y dy dq dy dq q y q y y dy dq 32323232sin 2cos 231313322323232 2sin sin sin tan 0tan .sin cos tan 0tan .0 )(tan tan (0)tan ()tan (tan 0tan tan 23212cos sin cos sin cos sin cos 3cos 21cos cos cos sin cos 2=+=+=?=?=?=-+=?=?-=?=+=-+?=+-+?=-++?-（通解） 2．用参数法求解下列微分方程：、接口不严等问题，合电气设备进行调试工作案。高中资料试卷保护装置调

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.

常微分方程王高雄第三版答案

习题2.2 求下列方程的解 1． dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2． dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3． dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解：s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为： dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy + 1212 --y x x =0 解：原方程可化为： dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 2 3 4xy x x += 解： dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 （*） 将 x y u =带入 （*）中 得：3 4 3 3cx x y =-是原方程的解.

常微分方程第一章初等积分法

第一章 初等积分法 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的，在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等.这些方程都是要把研究的问题中的已知量和未知量之间的关系找出来，列出包含一个未知量或几个未知量的一个或者多个方程式，然后求取方程（组）的解.这里，方程（组）的解为常数. 然而在实际生活中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题.比如：求物体在一定条件下运动的规律（比如某物体做匀速直线运动，速度为5，求其位移变化的规律）；求满足一定条件（比如在某曲线任意点处的斜率为该点横坐标的2倍）的曲线的方程等等. 物体运动规律、曲线方程在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数.也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求出一个或者几个未知的函数. 在数学上，解决上述问题也需要建立方程，不过建立的是含有未知函数自变量、未知函数及未知函数的导数的方程（比如上述两个问题建立的方程为： 5=dt ds ，x dx dy 2=） ，这类方程就叫做微分方程. 本章主要介绍微分方程的基本概念及几类简单的微分方程的解法. 1.1 微分方程的基本概念 300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现.而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为：微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系.而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一

常微分方程考研讲义第四章 高阶微分方程

第四章高阶微分方程 [教学目标] 1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与 结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。 2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。 3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。 4.掌握高阶方程的应用。 [教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。难点是待 定系数法求特解。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时 [教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性 方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。[考核目标] 1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。 2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。 3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。 4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。 §4.1线性微分方程的一般理论 4.1.1引言 讨论n阶线性微分方程

1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数 如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为： 1111()() ()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。 定理1 如果()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一 []0,t a b ∈ (1)(1) 000 ,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ?=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件： 1(1)(1)0000001 ()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dt ???---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。 4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 讨论齐线性方程 1111()() ()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （4.2） 定理2（叠加原理）如果12(),(),,()k x t x t x t 是方程（4.2）的k 个解，则它们的线性组合1122()()()k k c x t c x t c x t +++ 也是（4.2）的解，这里12,,,k c c c 是任意常数。 特别地，当k n =时，即方程（4.2）有解 1122()()()n n x c x t c x t c x t =+++ （4.4） 它含有n 个任意常数。在什么条件下，表达式（4.4）能够成为n 阶齐线性方程（4.2）的通解？为了讨论的需要，引进函数线性相关与线性无关及伏朗斯基()Wronsky 行列式等概念。 设12(),(),,()k x t x t x t 是定义在区间a t b ≤≤上的函数，如果存在不全为零的常数 12,,,k c c c ，使得恒等式 1122()()()0k k c x t c x t c x t +++≡

常微分方程第五章测试题及参考答案

常微分方程第五章测试题 班级__________姓名__________学号________得分__________ 一、 填空（３０分） 1、 在用皮卡逐步逼近法求方程组η=+=')(),()(0t x x f x t A x 的近似解时，若取η?=)(0t ，则=)(t k ?（ ）。 2、 如果)(t A 是n n ?矩阵，)(t f 是n 维列向量，则它们在b t a ≤≤上满足（ ）时，方程组)()(t f x t A x +='满足初始 条件η=)(0t x 的解在b t a ≤≤上存在唯一。 3、 若)(),(),(21t f t a t a 是[b a ,]上的连续函数，)(),(21t x t x 是方程0)()(21=+'+''x t a x t a x 的两个线性无关解，则的通解为 ( )。 4、 若)(t Φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则)(t Φ与)(t ψ具有关系（ ）。 5、 若A 是n n ?常数矩阵，则矩阵指数exPA=( )。 6、若A 矩阵具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,21，她们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ=（ ）是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。 7、 若)(t Φ是x t A x )(=' 的基解矩阵，则)()(t f x t A x +='满足的解=)(t ?（ ）。 8、 若)(t Φ是x t A x )(=' 的基解矩阵，则向量函数=)(t ?（ ）是)()(t f x t A x +='的满足初始条件 0)(0=t ?的解；向量函数=)(t ?（ ）是)()(t f x t A x +='的满足初始条件η?=)(0t 的解。

常微分方程第四章考试卷4

常微分方程第四章测验试卷（4） 班级 姓名 学号 得分 一． 填空（30分） 1．———————————————————称为n 阶齐线性微分方程。 2．函数组e e e t t t 2,,-的伏朗斯基行列式为———————————。 3．若()()n i t x i ,......2,1=为n 阶齐线性方程的解，则它们线性无关的充要条件——————————————————。 4．若()()n i t x i ,......2,1=为n 阶齐线性方程的解，则()t w 为其伏朗斯基行列式，则()t w 满足一阶线性方程——————————————。 5．设()01≠t x 是二阶齐线性方程021=+'+''x a x a x 的一个解，则方程的通解可表示为——————————————————————。 6．形如———————————————————称为欧拉方程。 7．解线性方程的常用方法有———————————`—————————————`————————————————`——————————————————。 8．．若()()n i t x i ,......2,1=为齐线性方程的n 个线性无关的解，则这一齐线性微分方程的所有解可表示为——————————————————。 二． 计算（70分） 1. 求方程t x x cos 1 = +''的通解，已知它对应的齐线性方程的基本解组为t t sin ,cos 。

2．2t x x t ='-'' 0≠t 3．求方程t t x dt x d 2sin 422=+的通解，已知它对应的齐线性方程的基本解 组为t t 2sin ,2cos 4． 求033=-+''-'''x x x x 的解。 5．求0532 22 =++y dx dy x dx y d x 的解。

常微分方程第5章答案

习题 1.给定方程组 x = x x= （*） a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解. b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数. 解：a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又 v(0)= = v (t)= = = v(t) 因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. & b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t) 因此 w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2 b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0 ; c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1 解：a）令 x ＝x, x = x , 得 即 又 x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x ＝ x(1)＝ 其中 x＝ . b) 令＝x ＝＝＝则得： / 且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： = x(0)= , 其中 x= . c) 令w ＝x， w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为： 且 即 w w(0)= 其中 w＝ 3. 试用逐步逼近法求方程组 】

常微分课后答案第一章

第一章 绪论 §1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型 §1.2 基本概念 习题1.2 1．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的： （1） y x dx dy -=24； （2）0122 2 2=+??? ??-xy dx dy dx y d ； （3）0322 =-+? ? ? ??y dx dy x dx dy ； （4）x xy dx dy dx y d x sin 352 2=+-； （5） 02cos =++x y dx dy ； （6）x e dx y d y =+??? ? ??22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程． 2．试验证下面函数均为方程02 2 2=+y dx y d ω的解，这里0>ω是常数． （1）x y ωcos =； （2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =； （4）22(sin C x C y ω=是任意常数)； （5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．

解 （1）y x dx y d x dx dy 2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以02 2 2=+y dx y d ω，故x y ωcos =为方程的解． （2）y x C y x C y 2 2 11cos , sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dx y d ω，故 x C y ωcos 1=为方程的解． （3）y x dx y d x dx dy 2 222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以022 2=+y dx y d ω，故x y ωsin =为方程的解． （4）y x C y x C y 2 2 22sin , cos ωωωωω-=-=''='，所以022 2=+y dx y d ω，故x C y ωsin 2=为方程的解． （5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos , cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='， 所以022 2=+y dx y d ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 2 2 )sin(, )cos(ωωωωω-=+-=''+='，故02 2 2=+y dx y d ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解． 3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）x x y sin = ，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2 =+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-； （5）x y sin =，0cos sin sin 22 2 =-+-+'x x x y y y ； （6）x y 1- =，12 22++='xy y x y x ； （7）12 +=x y ，x y x y y 2)1(2 2 ++-='；