暑假预习江苏省九年级数学上册第19讲点与圆的位置关系讲义新版苏科版

第19讲点与圆的位置关系

新知新讲

问题探究

1. 观察图中点A, 点B, 点C与圆O的位置关系？

2. 设⊙O半径为r, 说出点A, 点B, 点C与圆心O的距离与半径的关系.

设⊙O的半径为r, 点P到圆心的距离OP=d, 则有：

例1：⊙O的半径10cm, A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm, 则点A、B、C与⊙O的位置关系是: 点A在__________；点B在__________；点C在__________.

例2：已知AB为⊙O的直径, P为⊙O上任意一点, 则点关于AB的对称点P’与⊙O的位置为( )

A 在⊙O内

B 在⊙O外

C 在⊙O上

D 不能确定

金题精讲

题一：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米, AD=4厘米

(1)以点A为圆心, 3厘米为半径作圆A, 则点B、C、D与圆A的位置关系如何？

(2)以点A为圆心, 4厘米为半径作圆A, 则点B、C、D与圆A的位置关系如何？

(3)以点A为圆心, 5厘米为半径作圆A, 则点B、C、D与圆A的位置关系如何？

题二：如图：在△ABC中, ∠ACB=90°, AC=3,BC=4, CM是中线, 以C为圆心, 以2.5为半径画圆, 则

A、B、C、M四点, 圆上的点有____________, 圆外的点有____________,

圆内的点有____________.

题三：爆破时, 导火索燃烧的速度是每秒0.9cm, 点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的的安全区域, 已知这个导火索的长度为18cm, 如果点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离, 那么是否安全？为什么？

第19讲点与圆的位置关系

新知新讲

例1：园内，圆上，圆外例2：C

金题精讲

题一：(1) B在圆上，C、D在圆外(2) B在圆内，C在圆外，D在圆上(3) B、D在圆内，C 在圆上

题二：圆上的点有M，圆外的点有A、B，圆内的点有C.

题三：安全，原因略

如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！

目录 本次培训具体计划如下，以供参考： 第一讲如何做几何证明题 第二讲平行四边形（一） 第三讲平行四边形（二） 第四讲梯形 第五讲中位线及其应用 第六讲一元二次方程的解法 第七讲一元二次方程的判别式 第八讲一元二次方程的根与系数的关系 第九讲一元二次方程的应用 第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式 第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形 第十二讲专题复习三：相似三角形 第十三讲结业考试（未装订在内，另发） 第十四讲试卷讲评

第一讲：如何做几何证明题 【知识梳理】 1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【例题精讲】 【专题一】证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 【例1】已知：如图所示，?A B C 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。 求证：DE ＝DF 【巩固】如图所示，已知?A B C 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。 求证：EC ＝ED F E D C B A

初三数学暑假班讲义第05讲一平行四边形综 合-学案 高效提分源于优学 第05讲平行四边形温故知新问题1你能利用手中两张全等的三角形纸板拼出平行四边形吗请同学将拼出的六种形状不同的四边形展示在黑板上问题2观察拼出的这个四边形的对边有怎样的位置关系说说你的理由结合拼出的这个特殊四边形，给出平行四边形定义定义的几何语言表述ABCDADBC四边形ABCD是平行四边形课堂导入知识要点一 一.平行四边形的性质（1）平行四边形的概念定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 表示方法用符号“”表示，平行四边形记作“”。 （2）平行四边形的边.角性质边的性质平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等。 角的性质平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补。 （3）两条平行线之间的距离两条平行线中，一条直线上任意一点到另外一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。 （4）平行四边形的对角线的性质平行四边形的对角线互相平分。.（5）平行四边形的周长与面积面积公式平行四边形的面积

底高；等底等高的平行四边形的面积相等；平行四边形的周长等于两邻边和的2倍。 二.平行四边形判定方法（1）从边看两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）从角看两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）从对角线看对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三.三角形的中位线（1）定义连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（2）中位线定理三角形的中位线平行于三角形的 第三边，并且等于第三边的一半。 典例分析例 1.如图，在平行四边形ABCD中，ABC的平分线交AD于E，BED150，则A的大小为（）A150B130C120D100例 2.如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD8，BD12，AC6，则OBC的周长为（）A13B17C20D26例 3.已知四边形ABCD是平行四边形，对角线A C.BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）AOEDCBOAOCCBOEOBADOBEOCE例 4.如图，在ABCD中，E为边CD上一点，将ADE沿AE折叠至ADE处，AD与CE交于点F若B52，DAE20，则FED的大小为例

专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当12 x += 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）

（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

第一单元：数与式………………………………………………………………………… 第一关：规律探究 (5) 第二关：数与式求值……………………………………………………………… 第三关：解方程与不等式（组）………………………………………………… 第四关：方程应用 (12) 第二单元：函数………………………………………………………………………… 第一关：利用图象求解相关题型 (16) 1-1 利用图象求值 (16) 1-2 利用图象判断式子的正误 (1) 1-3 双图象问题 (2) 第二关：函数解析式求法……………………………………………………… 第三关：函数与实际问题……………………………………………………… 第四关：函数综合………………………………………………………………第三单元：几何………………………………………………………………………… 第一关：三角形………………………………………………………………… 1-1 三角形三线…………………………………………………………… 1-2 等腰及直角三角形相关计算与证明…………………………… 1-3 全等三角形……………………………………………………………

1-5 解直角三角形 (56) 第二关：四边形 (60) 第三关：圆 (68) 第四单元：专题复习 (77) 专题一：新定义问题 (77) 专题二：动点问题 (88) 专题三：中考作图题 (103) 专题四：阅读理解问题 (108)

一、考点透视 1. 能结合实例理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小. 2. 能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数与绝对值. 3. 能利用数轴解决与实数有关的问题. 4. 能说出乘方的意义，能运用法则进行实数的混合运算，会用科学记数法表示一个大数. 5. 会求一个数的算术平方根、立方根、会估计一个无理数的大小. 6. 会分析简单问题中的数量关系(含探索规律),并能用代数式表示. 7. 会求代数式的值,知道代数式的值随其中字母取值的变化而变化. 8. 会进行整式的加,减运算,会进行整式乘法运算. 9. 能运用提取公因式法,公式法进行因式分解,体会数学中等值变形的方法. 10. 能正确运用两个乘法公式进行整式运算,并能解释两个公式的几何背景. 11. 了解分式的概念,能求出分式值为零时字母的值,知道分式无意义的条件. 12. 会利用分式的基本性质进行通分与约分,会进行分式加、减、乘、除运算;会进行分式的混合 运算与分式的化简求值. 13. 了解二次根式的概念、性质及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四 则运算. 14. 理解合并同类项与合并同类二次根式之间的关系. 15. 能举例说明一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程（组）及其根的概念，会将一元二 次方程化成一般形式. 16. 能正确观察利用一次函数的图象得到相应一元一次方程的近似解, 了解二元一次方程组的 图象解法感受它们的关系. 17. 理解配方法,会用因式分解、配方法、公式法求简单系数的一元二次方程. 第一章 数与式

28 第一级（上）·第3讲·目标班·教师版 教师版说明：这里介绍打点计时器，主要是为了在处理纸带数据时，引出匀变速直线运动的两个推论，并不打算详细的讲实验操作和数据处理，因此，对数据只进行简单计算，没有讨论误差分析的事情，也没有讲逐差法。 **************************************************************************************** 1．用打点计时器研究匀变速直线运动的速度、加速度 ⑴ 电磁打点计时器原理 电磁打点计时器是一种能够按照相同的时间间隔，在纸带上连续打点的仪器。它使用交流电源，由学生电源供电，工作电压在6V 以下，电源的频率是50Hz 时，它每隔0.02s 打一个点。 电磁打点计时器的构造如图所示。通电之前，把纸带穿过限位孔，再把套在轴上的复写纸片压在纸带的上面。接通电源后，在线圈和永久磁铁的作用下，振片便振动起来，带动其上的振针上下振动。这时，如果纸带运动，振针就通过复写纸在纸带上留下一行小点。 如果把纸带跟运动的物体连在一起，即由物体带动纸带一起运动，纸带上各点之间的距离就表示相应时间间隔中物体的位移。由这些点的位置，我们可以了解物体的运动情况。 ⑵ 电磁打点计时器使用方法 ① 将纸带穿过限位孔，复写纸套在定位轴上，并压在纸带上。 ② 在打点计时器的两接线柱上分别接上导线，两根导线的另一端分别接低压交流电源（4~6V ）的两个接线柱。 ③ 先打开电源开关，再使纸带按实验需要运动，纸带上被打下许多小点。 ④ 取下纸带，从能看清楚的点算起，标出点数，根据不同实验的要求，取出计数点（一般以每 3.1 匀变速直线运动的两个推论 知识点睛 第3讲 匀变速直线 运动的应用 在前两讲，我们学习了一些运动学的概念和规律，下面我们介绍一种在实验室

九年级数学总复习讲义 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

九年级数学总复习讲义 班级： 姓名： 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．3-的倒数为（ ） A.3- B.31 C.3 D. 3 1- 2．下列运算正确的是（ ） A.623a a a =? B. 632)(a a -=- C. 33)(ab ab = D.428a a a =÷ 3． A.810305.4?亩 B. 610305.4?亩 C. 71005.43?亩 D. 710305.4?亩 4．下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（ ） A. B. C. D. 5．下列函数中，y 随x 增大而增大的是（ ） A.x y 3-= B. 5+-=x y C. x y 21-= D. )0(2 12<=x x y 6．下列命题：①正多边形都是轴对称图形；②通过对足球迷健康状况的调查可以了解我国公民的健康状况；③方程1 312112-=+--x x x 的解是0=x ；④如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等。其中真命题的个数有（ ） 个 个 个 个 7．一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要估做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边。截法有（ ） 种 B. 1种 C. 2种 D. 3种

8．已知m m Q m P 158,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为( ) A.Q P > B. Q P = C. Q P < D.不能确定 二、填空题（每小题3分，共30分） 9．数据-1，0，2， -1，3的众数为 ． 10．不等式642-y 成立的x 取值范围为 ． 14．已知点A 、B 的坐标分别为（2，0），（2，4），以A 、B 、P 为顶点有三角形与△ABO 全等，写出一个符合条件的点P 的坐标： ． 15．一个均匀的正方体各面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，这个正方体的表面展开图如图所示。抛掷这个正方体，则朝上一面所标数字恰好等于朝下一面所标数字的3倍的概率是 ． 16．观察等式：①4219?=-，②64125?=-，③86149?=-…按照这种规律写出第n 个等式： ． 三、解答题：(共8小题，66分) 17.（8分）计算(1)12)21(30tan 3)2 1(001+-+---； (2))212(112a a a a a a +-+÷-- 18.（8分）已知△ABC ，利用直尺各圆规，根据下列要求作图

锐角三角函数与解直角三角形 欧阳光明（2021.03.07） 【考纲要求】 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB 记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 sin A a A c ∠ == 的对边 斜边； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 cos A b A c ∠ == 的邻边 斜边； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即 C a b

tan A a A A b ∠ == ∠ 的对边 的邻边. 同理 sin B b B c ∠ == 的对边 斜边； cos B a B c ∠ == 的邻边 斜边； tan B b B B a ∠ == ∠ 的对边 的邻边． 要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA ＞0． 考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了

九年级数学总复习讲义 班级：姓名： 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．3 -的倒数为（） A.3 - B.3 1 C. 3 D. 3 1 - 2．下列运算正确的是（） A. 6 2 3a a a= ? B. 6 3 2) (a a- = - C. 3 3 ) (ab ab= D.4 2 8a a a= ÷ 3．据新华社2010年2月报到：受特大干旱天气影响，我国西南地区林地受灾面积达到43050000亩。用科学计数法可表示为（） A.8 10 305 .4?亩 B. 6 10 305 .4?亩 C. 7 10 05 . 43?亩 D. 7 10 305 .4?亩 4．下面四个几何体中，主视图与其它几何体的主视图不同的是（） A. B. C. D. 5．下列函数中，y随x增大而增大的是（） A.x y 3 - = B. 5 + - =x y C. x y 2 1 - = D. )0 ( 2 1 2< =x x y 6．下列命题：①正多边形都是轴对称图形；②通过对足球迷健康状况的调查可以了解我国公民的健康状 况；③方程 1 3 1 2 1 1 2- = + - -x x x 的解是0 = x；④如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等。其中真命题的个数有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7．一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要估做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边。截法有（） A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 8．已知m m Q m P 15 8 ,1 15 7 2- = - =（m为任意实数），则P、Q的大小关系为( ) A.Q P> B. Q P= C. Q P< D.不能确定 二、填空题（每小题3分，共30分） 9．数据-1，0，2， -1，3的众数为． 10．不等式6 4 2-

数与式 知识结构 模块一：实数与运算 知识精讲 一、数的整除 1、整数的意义和分类： 自然数：零和正整数统称为自然数； 整数：正整数、零、负整数，统称为整数． 2、整除： (1)整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a． (2)整除的条件(两个必须同时满足)： ○1除数、被除数都是整数；○2被除数除以除数，商是整数且余数为零． 3、除尽与整除的异同点： 相同点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除； 不同点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零； 除尽中被除数、除数和商不一定为整数，余数为零． 4、因数和倍数：

整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(也称为约数)． 注意：(1)在整除的条件下，才有因数和倍数的概念； (2)倍数和因数是相互依存的，不能单独存在． 5、求一个数的因数的方法： (1)列乘法算式：根据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是 该数的因数． (2)列除法算式：用此数除以任意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商就是该数的因数． 6、求一个数的倍数的方法： 求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数． 7、因数和倍数的性质(规律总结)： 1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数； 0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数； 一个正整数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数． 8、2的倍数的特征： 个位数字是0，2，4，6，8的数． 9、偶数、奇数的意义以及它们的运算性质： 在自然数中，是2的倍数的数是偶数(即个位是0，2，4，6，8的数)； 在自然数中，不是2的倍数的数是奇数(即个位是1，3，5，7，9的数) 注：最小的偶数是0，没有最大的偶数；最小的奇数是1，没有最大的奇数； 一个整数不是奇数就是偶数，奇数的个位上的数是奇数． 10、5的倍数的特征： 个位数字是0或5的整数，都是5的倍数． 11、3的倍数的特征： 一个整数各个数位上的数字相加的和是3的倍数的数是3的倍数． 注：(1)既能被2整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0的数(或者说是10的倍数的整数)；(2)既能被3整除又能被5整除的整数的特征：个位上数字是0或5，且各个位上数字相加之和是3的倍数 (或者说是15的倍数的整数)； (3)既能被2整除又能被3整除的整数的特征：个位上数字是0，2，4，6，8且各个位上数字相加之和是3 的倍数(或者说是6的倍数的整数)； (4)既能被2整除又能被3和5整除的整数的特征：个位上数字是0，且各个位上数字相加之和是3的倍数 (或者说是30的倍数的整数)．

第一讲一元二次方程及其解 第1节一元二次方程一般形式 一、课堂学习 （一）根据题意列方程： （1）有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个盖方盒。如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形? （2）我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度。 （3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？ （二）探索新知： （１）问题：上述４个方程是不是一元一次方程？有何共同点？ ①；②；③。（2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是_____，只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是___的方程叫做一元二次方程。 （3）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 (a，b，c为常数，）的形式，我们把它称为一元二次方程的一般形式。a为，b为，c为。 （三）注意点： (1)一元二次方程必须满足三个条件：a ；b ； c 。 (2)任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：。二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。

(3)二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉，为什么？ （四）自我尝试： 1、下列列方程中，哪些是关于x 的一元二次方程？ （1）2 50x -= （22 x -= （3） 212 30x x +-= （4）3 30x x -= （5）2 30x xy +-= 2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 2351x x =- (2) (2)(1)6x x +-= (3) 2 470x -= 二、达标训练： 1、下列方程中，是关于X 的一元二次方程的是（ ） A 3= B 。2221x x x +=- C 。2 0ax bx c ++= D 。2 3(1)2(1)x x +=+ 2、方程2(1)4(1)x x x -=-的一次项是（ ） A 。 2x B 。 4x C 。 6- D 。 6x - 3、将方程2 (21)(3)(21)6x x x -+--=化成一般形式为___________，它的二次项系数为_____，一次项系数为_____，常数项为______。 4、当a_______时，关于X 的方程（a －1）x 2+3x －5=0是一元二次方程。 第2节 一元二次方程的解 一、课堂学习： （一）复习引入： 1、解方程，并说出方程解的定义：3x=2(x+5) 2一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？

第02课 韦达定理及应用 知识点： 一元二次方程根的判别式 ： 当△>0时?方程有 ， 当△=0时?方程有 ， 当△<0时?方程 . 韦达定理的应用： 1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值 3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值 4.已知两数的和与积，求这两个数 例1.关于x 的一元二次方程0483222=-+--m m mx x .求证：当m>2时,原方程永远有两个实数根. 例2.已知关于x 的方程01)1(22=-++-k x x kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围; (2)是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值;若不存在，说明理由. 例3.已知关于x 的方程014)3(222=--+--k k x k x . (1)若这个方程有实数根，求k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为1，求k 的值;

例4.已知关于x 的一元二次方程0321)2(2=-+ -+m x m x (1)求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 (2)若这个方程的两个实数根21,x x 满足1221+=+m x x ，求m 的值。 例5.当m 为何值时，方程07)1(82=-+--m x m x 的两根： (1)均为正数; (2)均为负数; (3)一个正数，一个负数; (4)一根为零; (5)互为倒数; (6)都大于2. 例6.已知a,b,c,是△ ABC 的三边长，且关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x c ax x b 有两个相等的实根， 求证：这个三角形是直角三角形。 例7.若0>n ，关于x 的方程04 1)2(2=+--mn x n m x 有两个相等的正的实数根，求n m 的值。

专题10 最优化 阅读与思考 数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有： 1．配方法 由非负数性质得()02 ≥±b a ． 2．不等分析法 通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质 对二次函数()02 ≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为： （1）当0>a ，a b x 2-=时，a b ac y 442-=最小值 ； （2）当0

A. 719 B. 3 C. 7 27 D. 13 （太原市竞赛试题） 解题思路：待求式求表示为关于x (或y )的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x 、y 的隐含限制． 【例3】()2 13 22+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论． 【例4】（1）已知2 11- + -=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求2 2b a +的值． （“《数学周报》杯”竞赛试题） （2）求使()168422 +-+ +x x 取得最小值的实数x 的值． （全国初中数学联赛试题） （3）求使2016414129492 2 2 2 +-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值． （“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题） 解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等． 【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？ （河南省竞赛试题）

初三数学辅导讲义 班级__________姓名__________ 1．顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数2 12 y x = 的图象相同的抛物线的函数是( ) A ．()2122y x =- B ．()2 122y x =+ C ．()2122y x =-- D ．()2 122 y x =-+ 2．已知正三角形的边长为a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则r ：a ：R 等于 ( ) A ．1：23：2 B ．1：3：2 C ．1：2：3 D ．1：3：23 3．已知P 是⊙O 内一点，⊙O 的半径为15，P 点到圆心O 的距离为9，则通过P 点且长度 是整数的弦的条数是（） A ．5 B ．7C ．10 D ．12 4．如图所示的四个二次函数的图象所对应的函数分别是①y=ax 2； ②y=bx 2；③y=cx 2；④y=dx 2，则a ，b ，c ，d 的大小关系为 ( ) A ．a>b>c>d B ．a>b>d>c C ．b>a>c>d D ．b>a>d>c 5．关于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题:①当c ＝0时,函数的图象经过原点;②当c ＞0且函数的图象开口向下时,方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等的实根;③函数图象最高点的纵坐标是4ac-b 24a ;④当b ＝0时,函数的图象关于y 轴对称.其中正确的命题的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6．已知函数y=x 2+bx －c 的图象经过点(1，2)，则b －c 的值为_________． 7．抛物线y ＝2x 2－8x ＋2的顶点为C ，已知y ＝－kx ＋3的图象经过点C ，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为_______． 8．如图，已知直线3 34 y x =-交x 轴、y 轴于点A 、B ，⊙P 的圆心 从原点出发以每秒1个单位的速度向x 轴正方向移动，移动时间为t (s)，半径为 2 t ，则t =s 时⊙P 与直线AB 相切． 9．如图，A 1、A 2、A 3是抛物线y= 14 x 2 的图象上的三点，若A 1、A 2、A 3三点的横坐标从左至右依次为1，2，3．△ A B x O y P

暑假班培训初三数学学习资料 目录 本次培训具体计划如下，以供参考： 第一讲如何做几何证明题 第二讲平行四边形（包括矩形，菱形和正方形）的性质和判定 第三讲平行四边形的提高篇（涉及中考的压轴题） 第四讲梯形的辅助线和中考解题思路 第五讲三角形和梯形中位线及其在中考中的解题技巧 第六讲一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法）第七讲一元二次方程的判别式及其在中考题中的专项训练 第八讲一元二次方程根与系数的关系（涵盖压轴题5种关系） 第九讲一元二次方程的应用题（必讲章节） 第十讲因式分解 第十一讲分式的运算 第十二讲分式的化简求值 第十三讲分式方程及其应用 第十四讲二次根式的运算专题 第十五讲二次根式的化简求值 第十六讲代数式的恒等变形 第十七讲相似三角形 第十八讲相似三角形（提高篇）

第一讲：如何解决中考图形类证明题 【知识梳理】 1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【例题精讲】 【专题一】证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 【例1】已知：如图所示，?A B C 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。 求证：DE ＝DF 【巩固】如图所示，已知?A B C 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、 DE 。 求证：EC ＝ED F E D C B A E

第 6讲 旋转 1 旋转 旋转的概念 把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A ′),如果图形上的点A 经过旋转变为点A ′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应 点. 旋转旋转 中心对称 设计图案

要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； '''). (3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C 要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 【例题精选】 例1（2019秋?无为县期末）下列图形中，绕某个点旋转72度后能与自身重合的是（）A．B． C．D． 例2 （2019秋?滦南县期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将△ABC绕旋转中心旋转90°后得到△A′B′C′，其中点A，B，C的对应点分别是点A′，B′、C′，那么旋转中心是（） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【随堂练习】 1．（2020?桥西区模拟）如图△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是（）

A．∠BAD B．∠BAC C．∠BAE D．∠CAD 2．（2019秋?玉田县期末）如图，用左面的三角形连续的旋转可以得到右面的图形，每次旋转（）度． A．60B．90C．120D．150 3．（2020?新宾县二模）把图形绕O点顺时针旋转90°度后，得到的图形是（） A．B．C．D． 4．（2019秋?潮州期末）如图，将△ABC就点C按逆时针方向旋转75°后得到△A′B′C，若∠ACB＝25°，则∠BCA′的度数为（） A．50°B．40°C．25°D．60° 2中心对称图形

锐角三角函数与解直角三角形 【考纲要求】 １.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题,多以中、低档题出现; 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形,建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示,在Rt △A ＢＣ中，∠C ＝90°,∠Ａ所对的边B Ｃ记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠Ｂ的邻边，∠B 所对的边A Ｃ记为b,叫做∠B 的对边,也是∠A 的邻边,直角C 所对的边AB 记为c,叫做斜边．? 锐角Ａ的对边与斜边的比叫做∠Ａ的正弦,记作ｓinA,即sin A a A c ∠= =的对边斜边; 锐角Ａ的邻边与斜边的比叫做∠Ａ的余弦,记作ｃos Ａ,即cos A b A c ∠= =的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边;cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠= =∠的对边的邻边. 要点诠释:? （1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的,反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值.角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时,比值也随之变化. (2)sinA ，co ｓＡ，tanA 分别是一个完整的数学符号,是一个整体,不能写成 , ， B a b c

?，不能理解成sin与∠A，cｏs与∠A，tａn与∠A的乘积.书写时习惯上省略∠A的角的记 号“∠”，但对三个大写字母表示成的角（如∠AEF),其正切应写成“ｔan∠ＡEF”,不能写成“t ａｎAEF”;另外,、、常写成、、.?(3)任何一个 锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在.?(４)由锐角三角函数的定义知: 当角度在0°＜∠Ａ＜90°之间变化时，,,tanA＞0. 考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出０°、３０°、45°、６0°、90°角的各三角函数值，归纳如下: 要点诠释:?（1）通过该表可以方便地知道0°、30°、４5°、6０°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数,例如:若 ，则锐角.?（2)仔细研究表中数值的规律会发现:?sin0?、、、、sin90?的值依次为０、、、、1,而cos0?、、、、 cos90?的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为: 当角度在０°<∠A＜90°之间变化时， ①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大(或减小) ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大）. 考点三、锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中,∠Ｃ＝90°． (1)互余关系：,； (２）平方关系：；

九年级数学 同步培优讲义 （人教版） [培优目标] 巩固加强学生对基本概念、性质、定理的理解掌握；提升学生的运算能力、分析能力、综合能力和创新能力；拓宽学生思路，开拓学生视野，培养学生学习兴趣。 [课时分析] 每周两个课时。第一课时以讲为主，讲练结合；第二课时以练为主，即时批阅反馈，个别辅导。 [课堂模式] 20人以内的小班模式，精讲精练，力求每个学生掌握全部知识要点。讲课过程注重对学生的引导，从“怎么做”提升到“为什么这么做”，把握题目核心要点，实现触类旁通；鼓励学生从讨论中相互学习；培养学生独立解决问题的能力，尤其是独立分析解决新题、难题的能力。 [讲义模块] 讲义主要包含三个模块：章节知识结构、典型例题分析、精品练习巩固。章节知识结构帮助学生梳理基本概念、性质、定理及相互间的联系；典型例题分析通过一题多解、一题多变等方式实现重难点突破；精品练习巩固以创新题目为主，在典型例题的基础上增加创新内容。

1、下列各式中，不是二次根式的是（） A B 2、二次根式 4 1 2 2- - x x 有意义时的x的取值范围是。 3、已知：1 2 2+ - - + + =x x y，则2001 ) (y x+= 。 类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简） 4、代数式2 4 3x - -的最大值是。 5、实数在数轴上的位置如图1所示，化简|a-1|+2)2 (- a= 。 6、把3 4 -的根号外的因式移到根号内得；6 2 5-的平方根是。 7、化简：= - - x x1；= - + - + -2 2 2)7 2( )5 7 ( 2 )7 3(。类型三：考查同类二次根式与最简二次根式（化简） 8、把 3 1 3，3 2，27 2 1，75 2 1按由大到小的顺序排列为： 类型四：考查二次根式的运算（加减乘除混合运算、分母有理化）9 、若3 2+ = a ，3 2- = b，则a与b的关系是（） A．互为相反数；B．互为倒数；C．互为负倒数；D．以上均不对。 10、已知：， 1 2 （ 1 x + 1 y ）的值。（想一想：有几种解法？）11、计算：100 99 1 4 3 1 3 2 1 2 1 1 + + + + + + + + （图1）