无理数的大小比较及估算

无理数的大小比较及估算

江苏省宝应县画川中学　朱月丹

自从“第一次数学危机”,即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来,人们对无理数的探究就从来没有停止过.而比较两个无理数的大小,则是其中重要内容之一.无理数是无限不循环小数,所以无法直接写出某个无理数,人们想到了用符号准确地表示一个无理数,如:π,2等等,但这给比较它们的大小带来了一定的困难.那么,究竟如何比较两个无理数的大小呢?要比较两个无理数的大小,首先应明确以前学过的有理数大小比较方法对于实数也适用,即:

(1)借助数轴:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;

(2)根据数的符号性质:①正数大于零和一切负数,零大于一切负数;②两个正数相比较,绝对值大的较大;③两个负数相比较,往往先求其绝对值,其中绝对值大的反而小.

其次,对于无理数常用的比较方法还有:用近似值代替无理数进行比较,或根据被开方数的大小确定一些无理数的大小.

下面以两个正无理数的大小比较为例,介绍一些常用的比较方法.

1.两个含有根号的无理数,若根指数相同,则被开方数大的这个数就大.

例1　比较32与23的大小.

分析　此题看似不能直接比较,但若将根号外的数平方后移入根号,问题就迎刃而解了.

解　∵32=32×2=18,　23=22×3=12,而18>12,∴32>23.

2.关联不大的无理数可借助计算器(机),用其近似值加以比较.

例2　比较22

3与

π

2

的大小.

分析　此题显然不能通过比较被开方数的大小来解决,我们可以用计算器求出其近似值加以比较.

解　∵22

3≈1.563472,

π

2

≈1.57079633,

而1.563472<1.57079633,　∴22

3<

π

2.

3.对于有些特殊的无理数,还有一些特殊的比较方法.

例3　比较6+1与2+3的大小.

解　∵(6+1)2=7+26, (2+3)2=7+43,而26<43(根据例1中的比较方法),

∴6+1<2+3.

评注　这种解法称为“平方法”.

例4　比较12-11与11-10的大小.

解　∵12-11=1

12+11

,11-10= 1

11+10

,　

显然12+11>11+10,故1

12+11<

1

11+10

,

∴12-11<11-10.

评注　这种解法称为倒数法.此题是将两个无理数从差

的形式转变成和的形式进行比较的.你思考过13-12与12-

11哪个大吗?14-13与13-12呢……你有什么发现?

在解题中发现规律,在解题中培养能力,这是具备数学素养的重要标志之一,只要善于思考,勤于归纳,你一定会有所得.

2004年有这样一道中考题:试通过计算器计算来探讨n n与n+1

n+1(n≥3)的大小关系.这道题咋看无从下手,题目没有给我们指明具体的探索方法,只是提出通过计算器的计算来探讨,这让我们想到:是否可以借助计算器计算出若干对特殊的值进行比较?如可先计算33,44,55,66等,从而我们发现并归纳出n n≤

n+1

n+1.　

4.有理数中比较两个数的大小,常用作差或作商的方法,对于无理数的比较这同样是常用的方法.

例5　设a=2-1,不计算a3与a5的值,比较a3与a5的大小.如果a=3-1或2-3,那么结论如何?

分析　我们可以把a3与a5相减,将结果与0相比较,就知道a3与a5的大小.这里可估计出a=2-1的范围,0

解　∵a3-a5=a3(1-a2),由00,1-a2>0,

∴a3-a5>0,即a3>a5.

同理可得,当a=3-1时,a3>a5.

请思考:当a=2-3时,结论如何?此题如果改成:设a= 2-1,试比较a2+2a+3与4a+2的大小,你能解决吗?

上题中无理数的大小比较用到了对无理数范围的估计.新课程提高了对同学们估算能力的要求,因为在不少情况下,并不需要知道其准确值.在涉及无理数的有关问题中尤为明显.

例6　估计5-1

与0.5哪个大.

2

分析　将0.5写成1

2,

故本题实际只需估计5-1与1哪个大,而2<5<3,因此1<5-1<2,

所以,5-1

2

>0.5.

在这里估计2<5<3是关键.请利用本题的思想解答:

已知10的整数部分为a,小数部分为b,试比较a+b与a-b 的大小.

其实,这种用“夹逼”的思想估计无理数大小的方法,其本质是利用了开平方与平方是互为逆运算的原理.

请尝试解答下列问题:

不用计算器解答:

下列各数最接近13.95的是( ).

A.3.5

B.3.6

C.3.7

D.3.8

(上接第16页)

解　设Rt△A B C的三边B C,CA,A B的长分别为a, b,c,则c2=a2+b2.

(1)S1=S2+S3.

(2)S1=S2+S3.证明如下:

由于三个正三角形相似,故S2

S1=

b2

c2

,

S3

S1

=

a2

c2

,所以

S2+S3

S1

=

a2+b2

c2

=1,即S1=S2+S3.

(3)当所作的三个三角形相似时,S1=S2+S3,证明同(2).(答案不惟一,请自己思考.)

(4)分别以Rt△A B C三边为一边向外作相似图形,其面积分别用S1,S2,S3表示,则S1=S2+S3.

评注　例4为探索从特殊到一般的方法的开放性题.解题的关键是要类比特殊情况下的分析与解题方法,使之运用到一般情形中去.(本文特约编辑:胡鸿斌)

实数大小比较的常用方法

实数大小比较的常用方法【初二数学】 添加时间：2012年11月23日浏览：53次 顿悟教育数学培优训练营来自：顿悟教育网 实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本讲介绍几种比较实数大小的常用方法。 一【差值比较法】差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a－b﹥0时，得到a﹥b。当a－b﹤0时，得到a﹤b。当a－b＝0，得到a=b。 例1：（1）比较与的大小。（2）比较1－与1－的大小。 解∵－＝＜0 ，∴＜。 解∵（1－）－（1－）=＞0 ，∴1－＞1－。 二【商值比较法】商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b得商。当＜1时，a＜b；当＞1时，a＞b；当=1时，a=b。来比较a与b的大小。 例2：比较与的大小。 解：∵÷=＜1 ∴＜ 三【倒数法】倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当＞时，a＜b。来比较a与b的大小。

例3：比较－与－的大小。 解∵=+，=+ 又∵+＜+ ∴－＞－ 四【平方法】平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由＞得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。 例5：比较与的大小 解：，=8+2。 又∵8+2＜8+2∴＜。 五【估算法】 估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。 例4：比较与的大小 解：∵3＜＜4 ∴－3＜1 ∴＜ 六【移动因式法】（穿墙术） 移动因式法的基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

无理数的计算

无理数相关运算 一、知识点 1、1——20的平方 2、1——10的立方 3、1——10的平方根 4、运算规则 二、典例剖析 例1【“整数”型】例 === 例 === 例 === 例2【“分数”型】例 2 ==例 === 例 5 === 例 884 ===== 例3【“平法差”型】例 3-1 3) 22 3 -891 =-=- 例 2 935 4 9 -? ===- 例4【“完全平方”型】 例 4-1 )21 2 2 1 =+ 516 =+=+ 例 4-2 ( 22 2 45 22 + ===+ 例5【“倒数”型】 例 4 === 例 ( ) 22 222 25418 ?? + ===+=+） 例6【“混合”型】

例6-1 2 134 ==+-= 例6-2 2003 2003 2004 2003 2???=?=?=?? ））））（-1）） 三、 经典练习 1、 2、 2 = 2 = (2 = 3、4、2 x = 81 2 4x =25 2 x -16=0 5、 83 x +27=0 ()3 21x -=- ()2 219x -= 6、 23x -48=0 ()2 1160x --= 3 125729x = 7 8 9 102- 11

12、2 3- 13 14、 15、) 2 2 (2 22 16、( )) 2009 2010 2 2 17 18、()0 33ππ-+-+ 1913

20 四、巩固练习 （一）选择题 1、下列四个数中，比0小的数是 （ ） A ． 2 3 B ．π D ．1- 2、下列各数中，最大的数是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D 3、在实数0，1 0.1235中，无理数的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4、若x y ， 为实数，且20x +=，则2009 x y ?? ? ?? 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 5 2的值( ) A ．在1到2之间 B ．在2到3之间 C ．在3到4之间 D ．在4到5之间 6 、如图所示，数轴上表示2C 、B ，点C 是 AB 的中点，则点A 表示的数是（ ） A ． B ．2 C ．4 D 2 7下列计算正确的是（ ） A ．6 2 3 a a a ÷= B ．() 1 22 --= C ．() 236 326x x x -=-· D ．()0 π31-= 8、已知a ） A ．a B ．a - C ．1- D ．0 9、实数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误．． 的是（ ）C 第9题图

知识点035估算无理数大小(解答)

解答题 1．写出所有适合下列条件的数： （1）大于小于的所有整数； （2）绝对值小于的所有整数． 考点：估算无理数的大小。 分析：（1）由于16＜17＜25，9＜11＜16．由此得到﹣5＜＜﹣4，3＜＜4．所以只需写出在﹣5和4之间的整数即可； （2）由于16＜18＜25，所以4＜＜5．只需写出绝对值小于5的所有整数即可． 解答：解：（1）∵16＜17＜25，9＜11＜16， ∴﹣5＜＜﹣4，3＜＜4， ∴大于小于的所有整数：﹣4，±3，±2，±1，0； （2）∵16＜18＜25， ∴4＜＜5， ∴绝对值小于的所有整数：±4，±3，±2，±1，0． 点评：此题主要考查了无理数的估算能力，能够对一个无理数正确估算出其大小在哪两个整数之间，同时理解整数、绝对值的概念． 2．（1）如图1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？ （2）若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数 之间． 考点：估算无理数的大小；平方根。 分析：（1）根据正方形的面积公式即可求得纸板的边长； （2）由于大正方形是由两个小正方形所拼成的，易求得大正方形的面积为18，边长为；因此大正方形的边长不是整数，然后估算出的大小，从而求出与相邻的两个整数． 解答：解：（1）边长=cm；（2分） （2）大的正方形的面积=32+32=18；（3分） 边长=，∴边长不是整数，（4分） ∵（5分） ∴4≤．（6分） 点评：本题主要考查了正方形的面积公式以及估算无理数的大小．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 3．设的小数部分为a，的倒数为b，求b﹣a2的值． 考点：估算无理数的大小。 分析：估计的大小，易得a的值；再由倒数的计算，可得b的值；将ab的值代入b﹣a2中即可得答案．解答：解：∵1＜＜2， ∴a=﹣1， ∵的倒数为b，

比较实数大小的八种方法

比较实数大小的八种方法 生活中，我们经常会遇到下面的问题：比较一个企业不同季度的产值，国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小，转化成数学问题，就是比较两个或多个实数的大小，比较实数大小的方法比较多，也比较灵活，现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。 例1 比较与的大小。 析解：由于，且，所以。 说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有：。 例2 比较与的大小。 析解：由于，而，所以。 说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。 析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点 画出来，容易得到结论： 四、估算法

用估算法比较实数的大小的基本思路是：对任意两个正实数a、b，先估算出a、b两数的取值范围，再进行比较。 例4 比较与的大小。 析解：由于，故，所以 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据是：对任意正实数a、b有： 例5 比较与的大小 析解：因为， 又因为， 所以 所以 说明：对于两个形如（，且k是常数）的实数，常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有： 例6 比较与的大小。 析解：设，

七下数学每日一练：估算无理数的大小练习题及答案_2020年填空题版

七下数学每日一练：估算无理数的大小练习题及答案_2020年填空题版答案答案答案答案答案答案答案答案答案答案2020年七下数学：数与式_无理数与实数_估算无理数的大小练习题 ~~第1题~~(2019. 七下期末) 任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[2]=2，[3.7]=3，现对72进行如下操作： ，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：对325只需进行________次操作 后变为 考点： 估算无理数的大小;定义新运算;~~第2题~~ (2019龙岩.七下期末) 请写出一个比2大且比4小的无理数：________. 考点： 估算无理数的大小;~~第3题~~ (2019滨州.七下期中) 写出一个比－2 小的无理数________． 考点： 估算无理数的大小;~~第4题~~(2019十堰.七下期末) 对于有理数a ，b ，定义min{a ，b}的含义为：当a ＜b 时，min{a ，b}＝a ，例如：min{1，－2}＝－2.已知min{ ，a}＝ ， min{ ，b}＝b ，且a 和b 为两个连续正整数，则a －b 的平方根为 ________.考点： 估算无理数的大小;代数式求值;~~第5题~~ (2019通化.七下期中) 是 的整数部分， 是 的小数部分。则 ________考点： 估算无理数的大小;~~第6题~~ (2019白城.七下期中) 已知5+ 小数部分为m ，11﹣ 为小数部分为n ，则 m+n ＝________．考点： 估算无理数的大小;~~第7题~~ (2019谢家集.七下期中) 规定用符号[m ]表示一个实数 m 的整数部分，例如[ ]＝0，[3.14] ＝3．按此规定 的值为________．考点： 估算无理数的大小;~~第8题~~ (2019贵池.七下期中) 设 的整数部分和小数部分分别是 、 ，则 ________， ________。考点： 估算无理数的大小;~~第9题~~(2019 博兴.七下期中) 已知a ，b 为两个连续整数，且a<

比较无理数大小的几种方法(第1讲)

比较无理数大小的几种方法 比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。下面举例说明。 一、直接法 直接利用数的大小来进行比较。 例1.33380，- 解：因为393=>，所以33 > 因为89<，所以83< 所以380-> 二、隐含条件法 根据二次根式定义，挖掘隐含条件。 例2.a a --213 解：因为a -2成立 所以a -≥20，即a ≥2 所以11-≤-a 所以a a -≥-≤-20113， 所以a a ->-213 三、同次根式下比较被开方数法 例3.4554 解：因为4516580=?= 54254100=?= 所以80100<，即4554< 例4.323 解：因为3393266==

228 366== 所以9866>，即323> 四、作差法 若a b ->0 ，则a b > 例5.3662 -- 解：因为( )3662--- =--+=-3662 526 662525252<==... 所以5260-> 即3662 ->- 五、作商法 a b >>00，，若a b >1，则a b >。 例6.a a a a ++++1 2 23 解：因为a a a a ++÷++1223 = ++?++=++++，可找中间量c ，转证a c c b >>，。

例7.103 102252253 ++++ 解：因为10310211252253 ++>>++， 所以 103102252253 ++>++ 七、平方法 a b >>00 ，，若a b 22>，则a b >。 例8.511 610++ 解：因为()51152551116255 2+=++=+ ()610626010162602+= ++=+ 所以511610+< + 八、倒数法 若()1100a b a b >>>，，则a b <。 例9.322 32-- 解：因为()() 1322322322322322-=+-+=+ ()() 132********-=+-+=+ 所以32232+>+ 所以32232-<- 九、有理化法 可分母有理化，也可分子有理化。 例10. 165275--

浅析无理数的大小比较

浅析无理数的大小比较 数的大小比较对我们来说并不陌生,我们从一开始读书就对数的大小比较进行了认识,开始的认识是肤浅的、表皮的、无系统性；随着知识的不断增加，比较数的大小的难就越来越大了。在小学首先学整数、分数、小数的大小比较；到了七年级学有理数的大小比较，但这一切还比较简单，因为在七年级学了数轴，也及一切数都能在数轴上表示出来的特点，根据数轴的特点，右边的数总比左边的数大。但在八年级学了无理数，难度就大多了，它不光是单独的一个无理数进行比较，而是两个叠加，这样就不能从数轴上表示出来，学生拿到此题是无从着手，摸不到头。为了减轻学生的思想负担，更能有的放失的做好无理数的大小比较。我归纳了几点： 一、直接比较法 ①、同是正数 例、13与17的大小比较 分析：根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。 所以：13<17 ②、同是负数 例、－39与－40的大小比较 分析：根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。

所以：－39>－40 ③、 一正一负 例、5 3与－9的大小比较 分析：正数大于一切负数。 所以：5 3>－9 二、 分母有理化法 例、13151 -与15171-的大小比较 分析：15—13=2与17—15=2，2=2所以它们两个相等是吗？错了，如果它们没有带上帽子就正确了，那怎么办呢？只能用另一种方法分母有理化，首先找分母有理化因子， 1315-的分母有理化因子是1315+；而1517-的分母有理化因子是 1517+，从而把此式化成 )1315)(1315(1315+-+与)1517)(1517(1517+-+ 即：) 1315)(1315(13 15+-+=21315+ )1517)(1517(1517+-+=21517+ 因为分母都是2，分子大的那个就大。 所以：13151 -<15171- 三、 分子有理化法 例、6778--与的大小比较 分析：与上面相似，所以也只能找它们的有理化因子，

1.1.2.6用有理数估计无理数的大致范围

1. (2011 安徽省) 设1a =，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是 A ．1和2 Ｂ．2和3 Ｃ．3和4 Ｄ．4和5 答案：C 2. (2011 江苏省徐州市) 的值（ ） Ａ．在2到3之间 B ．在3到4之间 C ．在4到5之间 D ．在5到6之间 答案：B 3. (2011 安徽省芜湖市) 已知a 、b 为两个连续的整数，且a b < <，则a b += ． 答案：11 4. (2011 辽宁省本溪市) ） A ．2 B ．4 C ．15 D ．16 答案：B 5. (2011 辽宁省大连市) ） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 答案：B

6. (2011 福建省泉州市) 比较大小：>”或“<”号填空）． 答案：>； 7. (2011 山东省威海市) 在实数0，2-中，最小的是（ ） A ．2- B ． C ．0 D 答案：A 8. (2011 广西贺州市) 在22-__________. 答案：2 9. (2011 四川省凉州市) 已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5且 21amn bn +=，则2a b += 。 答案： 52 10. (2011 广西柳州市) 在0，2-，3 ） A ．0 B ．2- C ．3 D

答案：B 11. (2011 天津市) ） （Ａ）1到2之间 （Ｂ）2到3之间 （Ｃ）3到4之间 （Ｄ）4到5之间 答案：C 12. (2011 贵州省六盘水市) 一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数________与________之间． 答案：4与5或5与4 13. (2011 贵州省遵义市) a 、b 均为正整数，且a >b <则a b +的最小值．．．是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：B 14. (2011 河北省) π-40，，这四个数中，最大的数是 ． 答案：π 15. (2011 贵州省黔南州) 估计20的算术平方根的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 答案：C

初中数学中比较无理数大小的方法

初中数学中比较无理数大小的方法 比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。下面举例说明。 一、直接法 直接利用数的大小来进行比较。 例1.3 3380，- 解：因为393= >，所以33> 因为89<，所以83< 所以380- > 二、隐含条件法 根据二次根式定义，挖掘隐含条件。 例2.a a --213 解：因为a -2成立 所以a -≥20，即a ≥2 所以11-≤-a 所以a a -≥-≤-20113， 所以a a -> -213 三、同次根式下比较被开方数法 例3.45 54 解：因为4516580= ?= 54254100=?= 所以80100<，即4554< 例4.323 解：因为3393266==

228366== 所以9866>，即323> 四、作差法 若a b ->0，则a b > 例5.3662-- 解：因为()3662- -- =--+=-3662 526 662525252<==... 所以5260-> 即3662- >- 五、作商法 a b >>00，，若 a b >1，则a b >。 例6.a a a a ++++1 223 解：因为 a a a a ++÷++122 3 =++?++=++++，可找中间量c ，转证a c c b >>，。

例7.103 102252253 ++++ 解：因为103 10211252253++>>++， 所以 103102252253++>++ 七、平方法 a b >>00，，若a b 22>，则a b >。 例8.511610+ + 解：因为()511525511162552+=++=+ ()610626010162602+=++=+ 所以511610+< + 八、倒数法 若()1 1 00a b a b >>>，，则a b <。 例9.322 32-- 解：因为()()1 322 322322322322-=+-+=+ ()()1 3232323232-=+-+=+ 所以32232+>+ 所以32232-< - 九、有理化法 可分母有理化，也可分子有理化。 例10.1 65275--

比较实数大小的八种方法

生活中，我们经常会遇到下面的问题：比较一个企业不同季度的产值，国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小，转化成数学问题，就是比较两个或多个实数的大小，比较实数大小的方法比较多，也比较灵活，现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。 例1 比较与的大小。 析解：由于，且，所以。 说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有：。 例2 比较与的大小。 析解：由于，而，所以。 说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。 析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c 表示的点画出来，容易得到结论： 四、估算法 用估算法比较实数的大小的基本思路是：对任意两个正实数a、b，先估算出a、b两数的取值范围，再进行比较。 例4 比较与的大小。 析解：由于，故，所以 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据是：对任意正实数a、b有： 例5 比较与的大小 析解：因为， 又因为， 所以 所以

说明：对于两个形如（，且k是常数）的实数，常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有： 例6 比较与的大小。 析解：设， 则 所以 七、作商法 用作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有： 例7 比较与的大小。 析解：设， ，则 即 八、放缩法 用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。 例8 比较与198的大小。 析解：由于 所以 取n＝2，3，4…10000代入上式，并将所得的不等式相加得： 即 所以 两个实数大小的比较，方法多种多样，在实际操作时，根据要比较的数的特点来选择适当的方法进行比较，才能方便快捷地取得准确的结果。

无理数的大小比较

14．3实数（第一课时）导学案 一．学习目标： 1. 通过对实际问题的探究,使学生认识到数的扩充的必要性. 2. 了解无理数和实数的概念. 3．会判断一个数是有理数还是无理数. 二．重点与难点： 1.无理数概念的探索过程. 2.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断. 三．学习过程 (一)合作探究 活动一：动手操作 将两条直角边是2的等腰直角三角形，剪成两部分拼成一个正方形。 （1）这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等？面积是多少？ （2）如果设正方形的边长为x ，那么x 与这个正方形 的面积有怎样的关系？ 结论:正方形的边长为_____ 活动二：引导尝试 是什么数? 是整数吗? 对于整数—3，—2，—1，0，1，2，3的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的整数吗？ 是分数吗? 对于分数— 53，—23，—13 ， —12，12，13 ，23，53 的平方等于2吗? 你认为有平方后等于2的分数吗？_____ 结论1 既不是______数,又不是_______数. 2. =1.414213562373...... 我们知道的圆周率π=3. 1415926535...... 结论2 _________________数 3.把下面有理数写成小数形式，通过结论你能发现什么? -2= 0= 3= 3 5 -= 478= 911-= 1190= 59 -= 结论3：任何一个有理数总可以写成_______小数或________小数的形式。 4.（1） 通过以上分析有理数总可以写成有限小数或无限循环小数的形式 π是 无限不循环小数，我们把____________小数叫无理数。无理数包括______和________ （2） _______和_______统称为实数， 结论4 是_________________数 你能举出一些无理数吗？ （二）尝试应用 例1.判断下列说法正确与否。如果不正确，请说明理由。 （1）无限小数都是无理数（ ）（2）无限小数都是有理数（ ） （3）带根号的数是无理数（ ）（4）实数都是有理数（ ）（5）实数都是无理数（ ） 例2.判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？ 有理数： 无理数： （三）畅谈收获 （四）巩固提高 1.判断正误 (1)无理数都是无限小数 （ ）(2)-π 是负无理数 （ ） (3)有理数和无理数统称实数（ ） （ ） 2 (5)13 - 是无理数 （ ） 2.把下列各数填入相应的集合内： 有理数集合{ … } 无理数集合{ … } 正无理数集合{ … } 负无理数集合{ … } 整数集合{ … } 分数集合{ … } 实数集合{ … } 3.已知长方体的棱长分别为x ，2， x ，体积为20，根据长方体的体积公式，写出关于x 的方 程，并说明x 是有理数还是无理数。 )23(232232223.1之间依次多一个两个 36 ,722 ,32.1 ,2 4.8 ,6-??π

人教版数学七年级下册-实数比较大小的方法

实数比较大小的方法 一、平方法 当a ＞0，b ＞0时，a ＞b b a . 例1：比较515 与713 的大小. 分析：从表面上看，好象无从下手，但仔细观察发现，它们的被开方数之间存在关系15+5=13+7，因此可用“平方法”. 解: 752205152 ）（,912207132 ） （. ∴515 ＜713 说明:此种方法一般适用于四个无理数两两之和(或差)之间比较大小,且其中两个被开方数的和等于另两个被开方数的和. 二、移动因式法 利用）（02 a a a ,将根号外的因数移到根号内,再比较被开方数的大小. 例2：比较53 和34 的大小. 分析:负无理数之间比较大小,先比较它们绝对值的大小,因此可将根号外的因数移到根号内,也可以用“平方法”. 解: |53 |=4553 ,|34 |=4834 . 53 ＞34 . 三、求差法 000 例3：比较34与63的大小. 分析：此题可以用“平方法”或“移动因式法”，也可以用“求差法”. ∵34-630 ∴34＜63. 四、求商法 111

例4：比较53 4与11的大小. 分析: 此题可以用“平方法”或“移动因式法”，也可以用“求商法” 解:∵534÷111 ∴534＜11. 五、分母有理化法 0,0,0)m a b 例5：比较5 13与210的大小. 分析: 此题可以用“平方法”或“移动因式法”或“求商法”，还可以用分母有理化法. 解:，102601065256555513513 10 25010105210 . ∵1010 , ∴1010 5 13＞210. 六、倒数法 例6：比较13 n n a 与n n b 2的大小. 分析：观察发现，a,b 都是两个无理数的差，被开方数的差相同，因此可取这两个数的倒数，再进行分母有理化. 2131311 n n n n a ,2 2211n n n n b . ∴ 11a b ∴a ＜ b. 七、不等式的传递性 ,m m 例7：比较23和32大小. 解：∵4,4 ∴23＞32. 八、根指数不同的无理数大小的比较，可先化为同次根式，再比较被开方数的大小

2021年中考数学估算无理数的大小专题(附答案)

2021年中考数学估算无理数的大小专题（附答案） 一、单选题 1.估计的值应在（） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 2.已知a＝﹣1，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（） A. 1＜a＜2 B. 2＜a＜3 C. 3＜a＜4 D. 4＜a＜5 3.某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（） A. 2～3 B. 3～4 C. 4～5 D. 5～6 4.估计的值在（） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 5.下列各数中，比3大比4小的无理数是（） A. 3.14 B. C. D. 6.实数2 介于（） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7.无理数在（） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 8.估计的值在（） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 9.设，则x的取值范围是（） A. B. C. D. 无法确定 10.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图).以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于( ) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 二、填空题 11.若m＜2 ＜m+1，且m为整数，则m＝________.

12.与最接近的自然数是________． 13.的整数部分是________. 14.估算：________.（结果精确到） 15.如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是________． 16.写出一个大于1且小于2的无理数________． 17.写一个比大的整数是________ 18.若的值在两个整数a与a+1之间，则a=________． 19.任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1．现对72进行如下操作：72 [ ]=8 [ ]=2 [ ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行________次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 20.5﹣的小数部分是 ________． 三、计算题（共2题；共10分） 21.先化简÷（﹣x+1），然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 22.先化简，再求值：，其中x为0＜x＜的整数．

无理数与实数(基础)

学习目标 1. 了解无理数和实数的意义； 2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 要点梳理 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 要点诠释： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R表示. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能

类型一、实数概念 出下列各数中的有理数和无理数： 【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数. 【答案与解析】 有理数有 无理数有…… 【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，. 【变式】下列说法错误的是（） ①无限小数一定是无理数；②无理数一定是无限小数； ③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数. A．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④

初一数学下册知识点《估算无理数的大小》150题和解析

初一数学下册知识点《估算无理数的大小》150题和解析 初一数学下册知识点《估算无理数的大小》150题及解析 副标题 一、选择题（本大题共77小题，共231.0分） 1.估计√7+1的值()． A. 在1和2之间 B. 在2和3之间 C. 在3和4之间 D. 在4和5之间【答案】C 【解析】【分析】 此题主要考查了估算无理数大小，正确得出√7的取值范围是解题关键．直接利用已知无理数得出√7的取值范围，进而得出答案． 【解答】 解：∵2<√7<3， ∴3<√7+1<4， ∴√7+1在3和4之间． 故选C． 2.若√3

【答案】B 【解析】【分析】 此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√10的取值范围是解题关键．首先得出√10的取值范围，进而得出答案． 【解答】 解：∵3<√10<4， ∴4<√10+1<5． 故选B． 5.估计√13+1的值在() A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了估算无理数的大小，能估算出√13的范围是解此题的关键． 先估算出√13的范围，即可得出答案． 【解答】 解：∵3<√13<4， ∴4<√13+1<5， 即√13+1在4和5之间． 故选C． 6.估计√6+1的值在() A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】解：∵2=√4<√6<√9=3， ∴3<√6+1<4， 故选：B． 利用”夹逼法“得出√6的范围，继而也可得出√6+1的范围． 此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用． 7.估计5√6?√24的值应在() A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】C 【解析】解：5√6?√24=5√6?2√6=3√6=√54， ∵7<√54<8， ∴5√6?√24的值应在7和8之间， 故选：C． 先合并后，再根据无理数的估计解答即可． 本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出无理数的大小． 8.估计√38的值在() A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】解：∵√36<√38<√49， ∴6<√38<7， ∴√38的值在整数6和7之间． 故选：C． 第2页，共45页

初中数学实数大小进行比较的10种方法大全解析

实数比较大小常见10中方法大全讲解 实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，供同学们参考。 模块一：比较大小会用到的一些基本事实和方法： 模块二：方法讲解与举例 方法一.运用方根定义法 例1、 比较5-m 和34m -的大小 解：根据平方根的定义可知：m －5≥0，即m ≥5，则4-m <0，34m -<0，又因为5-m ≥0， 由此可得：5-m >34m -．（注：实质上此题是运用了一个基本事实，即正数>负数） 小结：该法适用于被开方数中含有字母的二次根式和三次根式的大小比较，解答时要注意二次根式中的隐含条件． 方法二：差值比较法 差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。当a-b ＝0，得到a=b 。

例2：（1）比较513-与5 1的大小。 （2）比较1-2与1-3的大小。 解 ∵513-－51＝523-＜0 ， ∴513-＜5 1。 解 ∵（1-2）-（1-3）=23- ＞0 ， ∴1-2＞1-3。 方法三：商值比较法 商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。当 b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当b a =1时，a= b 。来比较a 与b 的大小。 例3：比较 513-与51的大小。 解：∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜5 1 方法四：倒数法 倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当a 1＞b 1时，a ＜b 。来比较a 与b 的大小。 例4：比较2004-2003与2005-2004的大小。 解∵200320041 -=2004+2003 ， 200420051 -=2005+2004 又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004-2003＞2005-2004 方法五：中间值法： 基本思路是：要比较的两个数都接近于一个中间数，其中一个数大于中间数，另一个数小于中间数，就可以比较出两个数的大小 例5： 比较 456998和7481084的大小 解：456998＜12 ， 7481084＞12 所以：456998＜7481084

初中无理数100道计算题

初中无理数100道计 算题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

无理数计算题 1. 计算： () 1 ()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b ()5()6?÷ ? (7) (() 2 771+-- (8) (231 ? ++ ? (10) ((((2 2 2 2 1111+- (11) ))((36163--?- (12) 633 1 2??

(13) )(102 132531 -?? (14) z y x 10010101??- (15) 20 245- (16) 14425081 010??.. (17) 521312321 ?÷ (18) )(b a b b a 1223÷? (19) 221+-()()2 12-- (21) 22＋(－1)4＋(5－2)0－|－3| (22) 332)1(0 +-+- (23) ()()03 32011422 - --+-÷ (24) |－5|＋22－＋1)0

(25) 2×(－5)＋23－3÷1 2 (26) |﹣2|+ ﹣（π﹣5）0﹣ (27) (28) |﹣3|+（﹣1）2011×（π﹣3）0﹣ + (29) |﹣3|+（ ﹣1）0﹣（）﹣1 (30) (31) |﹣2|﹣ (32) (33) (34) (35) |﹣|﹣ +（3﹣π）0 (36)

(37) +|﹣2|++（﹣1）2011 (38) (39) (40) 22+|﹣1|﹣ (41) (42) 20110﹣+|﹣3| (43) (44) (45) 计算：|﹣3|﹣（﹣π）0++（﹣1）3 (46) (47) (48) |﹣3|﹣﹣（）0+32 (49) (50) 2﹣2+|﹣1.25|﹣（﹣x）0+

八上数学每日一练：估算无理数的大小练习题及答案_2020年填空题版

八上数学每日一练：估算无理数的大小练习题及答案_2020年填空题版答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析2020年八上数学：数与式_无理数与实数_估算无理数的大小练习题 1. (2020偃师.八上期中) 若 ，且a ，b 是两个连续的整数，则a+b 的值为________考点： 估算无理数的大小; 2. (2020石景山.八上期末) 写出一个满足 的整数a 的值为：________.考点： 估算无理数的大小;3. (2020辽阳.八上期末) 的小数部分是________．考点： 估算无理数的大小;4. (2020辽阳.八上期中) 若a ，b 为两个连续的正整数a ＜2 ＜b ，则a+b ＝________.考点： 估算无理数的大小;5. (2020辽阳.八上期末) 的小数部分是________ .考点： 估算无理数的大小 ;6. (2019皇姑.八上期末) 小于 的最大整数是________.考点： 估算无理数的大小;7. (2020凤翔.八上期中) 写出一个比3大且比4小的无理数：________. 考点： 估算无理数的大小;8. (2019黔西.八上期中) 写出一个大于3且小于4的无理数：________. 考点： 无理数的认识;估算无理数的大小;9.(2019 高邮.八上期末) 若m 为整数，且 ＜m ＜ ，则m=________.考点： 估算无理数的大小;10. (2017丹东 .八上期末) 若|a ﹣2|与 互为相反数，那么 的整数部分为________． 考点： 绝对值的非负性;估算无理数的大小;非负数的性质：算术平方根;非负数之和为0; 2020年八上数学：数与式_ 无理数与实数_ 估算无理数的大小练习题答案1.答案： 2.答案： 3.答案：

初中无理数100道计算题

无理数计算题 1. 计算： () 1 ()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b f f ()5 ()6?÷ ? (7) (() 2 771+-- (8) (9) (231 ? + ? (10) ((((2 2 2 2 1111+- (11) ))((36163--?- (12) 633 1 2??

(13) )(102 132531-?? (14) z y x 10010101??- (15) 20 245- (16) 14425081 010??.. (17) 521312321?÷ (18) )(b a b b a 1 223÷? (19) 221+- (20) ()()20 12-- (21) 22＋(－1)4＋(5－2)0－|－3| (22) 332)1(0 +-+- (23) ()()03 32011422 ---+-÷ (24) |－5|＋22－＋1)0

(25) 2×(－5)＋23－3÷1 2 (26) |﹣2|+﹣（π﹣5）0﹣ (27) (28) |﹣3|+（﹣1）2011×（π﹣3）0﹣+ (29) |﹣3|+（﹣1）0﹣（）﹣1 (30) (31) |﹣2|﹣ (32) (33) (34) (35) |﹣|﹣+（3﹣π）0 (36)

(37) +|﹣2|++（﹣1）2011(38) (39) (40) 22+|﹣1|﹣ (41) (42) 20110﹣+|﹣3| (43) (44) (45) 计算：|﹣3|﹣（﹣π）0++（﹣1）3(46) (47) (48) |﹣3|﹣﹣（）0+32 (49) (50) 2﹣2+|﹣1.25|﹣（﹣x）0+