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2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.6空间向量及运算学案理

7．6 空间向量及运算

[知识梳理]

1．空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式

①设点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |

②设点P (x ，y ，z )，则与坐标原点O 之间的距离为 |OP |(2)中点公式

设点P (x ，y ，z )为P 1

(x 1

，y 1

，z 1

)，P 2

(x 2

，y 2

，z 2

)的中点，则?????

x ＝x 1＋x 22，

y ＝y 1

＋y 2

2，z ＝z 1

＋z 2

2．空间向量的数量积

a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．

3．空间向量的坐标运算

a ＝(a 1，a 2，a 3)，

b ＝(b 1，b 2，b 3)(a ，b 均为非零向量)：

[诊断自测] 1．概念思辨

(1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同．( ) (2)在向量的数量积运算中(a·b )·c ＝a ·(b·c )．( )

(3)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (4)对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．( )

答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．教材衍化

(1)(选修A2－1P 97A 组T 2)如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1

的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →

相等的向量是( )

A ．－12a ＋1

2b ＋c

B.12a ＋1

2b ＋c C ．－12a －1

2b ＋c

D.12a －1

b ＋

c 答案 A

解析由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →

)＝c ＋12(b

－a )＝－12a ＋1

b ＋

c .故选A.

(2)(选修A2－1P 98T 4)如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：

①EF →·BA →； ②EF →·DC →； ③EG 的长．

解设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →

＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°.

①EF →＝12BD →＝12c －1

2a ，

BA →＝－a ，DC →

＝b －c ，

EF →

·BA →＝? ??

12c －12a ·(－a )

＝12a 2－12a ·c ＝14

. ②EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c )＝12(b ·c －a ·b －c 2

＋a ·c )＝－14.

③EG →＝EB →＋BC →＋CG →

＝12a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋12

c ， |EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →

|＝22.所以EG 的长为22.

3．小题热身

(1)在空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线

AB 与CD 的位置关系是( )

A ．垂直

B ．平行

C ．异面

D ．相交但不垂直

答案 B

解析由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)，∴A B →＝－3C D →，∴A B →与C D →

共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .故选B.

(2)O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →

，若P ，A ，B ，C

四点共面，则实数t ＝________.

答案 1

解析 ∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴34＋1

8＋t ＝1，

∴t ＝18

题型1 空间向量的线性运算

典例

如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →

＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：

(1)AP →； (2)A 1N →； (3)MP →＋NC 1→.

解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，

∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→

＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .

(2)∵N 是BC 的中点，

∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →

＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .

(3)∵M 是AA 1的中点，

∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →

＝－12a ＋( a ＋c ＋12

b )

＝12a ＋1

b ＋

c ，又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝1

2c ＋a .

∴MP →＋NC 1→＝? ????12a ＋12b ＋c ＋? ????a ＋12c ＝32a ＋12b ＋3

2c .

方法技巧

用已知向量表示某一向量的方法

1．用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． 2．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．

3．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．冲关针对训练

(2018·郑州模拟)如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为

OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →

＝2GN →

，若OG →

＝xOA →

＋yOB →

＋zOC →

，则x ＋y ＋z ＝______.

答案 5

解析设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c . 则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →

)－12OA →

＝12b ＋12c －1

2a ， OG →

＝OM →＋MG →

＝12OA →＋23

MN →

＝12a ＋23? ????1

2b ＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c ，又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16，y ＝13，z ＝1

，

x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56

题型2 共线向量与共面向量定理的应用

典例已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．

(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；

(2)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14

(OA →＋OB →＋OC →＋OD →

)．

证明 (1)如图，连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)

＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →，

由共面向量定理的推论知：

E ，

F ，

G ，

H 四点共面．

(2)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG ，如图所示，由(2)知EH →＝12BD →

，同

理FG →＝12

BD →，

所以EH →＝FG →

，即EH 綊FG ，所以四边形EFGH 是平行四边形．所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分．故OM →＝12(OE →＋OG →

)＝12OE →＋12

OG →

＝12??????12(OA →＋OB →)＋12??????12(OC →＋OD →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →

)．方法技巧

证明三点共线和空间四点共面的方法

为向量共线、共面来证明，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．

冲关针对训练

1．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →

)．

(1)判断MA →，MB →，MC →

三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．解 (1)由已知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →

， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →

共面．

(2)由(1)知，MA →，MB →，MC →

共面且MA ，MB ，MC 过同一点M ， ∴M ，A ，B ，C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内．

2．如图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 在PD 上，N 在AC 上，若DM MP ＝CN NA

，用向量法证明：直线MN ∥平面PAB .

证明建立如图所示的空间坐标系，设C (a,0,0)，

A (0，b,0)，P (m ，n ，p )，则 D (a ，b,0)，

∴BP →＝(m ，n ，p )，BA →

＝(0，b,0)， CA →

＝(－a ，b,0)，DP →＝(m －a ，n －b ，p )，DC →

＝(0，－b,0)，

∵DM MP ＝CN NA ，∴DM DP ＝CN

，

设DM DP ＝CN CA

＝λ，

则DM →＝λDP →

＝(m λ－a λ，n λ－b λ，p λ)，

CN →

＝λCA →

＝(－a λ，b λ，0)．

∴MN →＝－DM →＋DC →＋CN →

＝(－m λ，2b λ－n λ－b ，－p λ)， ∴MN →＝－λBP →＋(2λ－1)BA →.

∵BP ?平面PAB ，BA ?平面PAB ，MN ?平面PAB ，∴MN ∥平面PAB . 题型3 空间向量的数量积及应用

典例如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是

AB ，CD 的中点．

(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；

(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．

解 (1)证明：设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →

＝r .

由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°. MN →

＝AN →－AM →

＝12

(AC →＋AD →

)－12

AB →＝12

(q ＋r －p )，

∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2

)

＝12(a 2cos60°＋a 2cos60°－a 2

)＝0. ∴MN →⊥AB →

，即MN ⊥AB . 同理可证MN ⊥CD .

(2)设向量AN →与MC →

的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →

)＝12

(q ＋r )，

MC →

＝AC →－AM →

＝q －12

p ，

∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·? ????q －12p .

＝12? ??

??q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ＝12? ????a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60° ＝12?

????a 2－a 2

4＋a 2

2－a 2

4＝a

又∵|AN →|＝|MC →

|＝32

a ，

∴AN →·MC →＝|AN →||MC →

|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 2

∴cos θ＝2

，

∴向量AN →与MC →

的夹角的余弦值为23，

因此异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为2

方法技巧

利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题

1．a ≠0，b ≠0，a ⊥b ?a ·b ＝0. 2．|a |＝a 2

. 3．cos 〈a ，b 〉＝a ·b

|a ||b |

. 冲关针对训练

(2018·湛江期末)如图，在四面体S －ABC 中，E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是棱SA ，BC ，AB ，

SC ，AC ，SB 的中点，且EF ＝GH ＝MN ，求证：SA ⊥BC ，SB ⊥AC ，SC ⊥AB .

证明如图，设SA →＝r 1，SB →＝r 2，SC →＝r 3，则SE →，SF →，SG →，SH →，SM →，SN →

分别为12r 1，12(r 2

＋r 3)，12(r 1＋r 2)，12r 3，12(r 1＋r 3)，1

r 2.

由条件EF ＝GH ＝MN 得

? ????－r 1＋r 2＋r 322＝? ????r 1＋r 2－r 322＝? ??

??r 1－r 2＋r 322，展开得r 1·r 2＝r 2·r 3＝r 1·r 3， ∴r 1·(r 2－r 3)＝0， ∵r 1≠0，r 2－r 3≠0， ∴r 1⊥(r 2－r 3)，即SA ⊥BC . 同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB .

1.(2014·广东高考)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1) D ．(－1,0,1)

答案 B

解析经检验，选项B 中向量(1，－1,0)与向量a ＝(1,0，－1)的夹角的余弦值为12，

即它们的夹角为60°.故选B.

2．(2017·成都模拟)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2u －1,2λ)，若a ∥b ，则λ与u 的值可以是( )

A ．2，12

B ．－13，12

C ．－3,2

D ．2,2 答案 A

解析由题意知(λ＋1)·2λ＝2×6，可得λ＝－3或2，由0·2λ＝2(2u －1)得u ＝

.故选A. 3．(2018·西安质检)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →

的值为( )

A ．a 2

B.12a 2

C.14a 2

D.34

a 2 答案 C

解析

如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →

＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三个向量两两的夹角为60°.

AE →＝12(a ＋b )， AF →

＝12

c ，

∴AE →·AF →＝1

2(a ＋b )·12c

＝1

(a ·c ＋b ·c ) ＝14(a 2cos60°＋a 2

cos60°)＝14

a 2.故选C. 4. (2017·包头模拟)如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中

点，cos 〈DP →，AE →

〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标

系，则点E 的坐标为________．

答案 (1,1,1)

解析由已知得D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，设P (0,0，a )(a >0)，则E ?

???

1，1，a 2，

所以DP →＝(0,0，a )，AE →＝?

???－1，1，a 2，|DP →|＝a .

|AE →

|＝

(－1)2

＋12

＋? ??

??a 22

＝

2＋a 2

4＝8＋a

又cos 〈DP →，AE →

〉＝33

，所以

?????0×(－1)＋0×1＋a 2

8＋a

＝

，解得a 2

＝4，即a ＝2，所以E (1,1,1).

[基础送分提速狂刷练]

一、选择题

1．已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →

－OC →

，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( )

A.OA →

B.OB →

C.OC →

D.OA →或OB →

答案 C

解析根据题意得OC →＝12(a －b )，所以OC →

，a ，b 共面．故选C.

2．有4个命题：

①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →

，则P ，M ，A ，B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →

. 其中真命题的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案 B

解析 ①正确；②中，若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立；③正确；④中，若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →

不正确．故选B.

3．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′→＝xAB →＋2yBC →－3zCC ′→

，则x ＋y ＋z ＝( )

A ．1 B.76 C.56 D.23

答案 B

解析 ∵AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AD →＋AB →＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝xAB →＋2yBC →－3zCC ′→

， ∴x ＝1，y ＝12，z ＝－1

3，

∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝7

.故选B.

4．已知四边形ABCD 满足AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →

>0，则该四边形为( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．平面四边形 D ．空间四边形

答案 D

解析由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．故选D.

5. (2018·北京东城模拟)如图所示，已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则|PC →

|等于( )

A ．6 2

B ．6

C ．12

D ．144

答案 C

解析 ∵PC →＝PA →＋AB →＋BC →

， ∴PC →2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →，

∴|PC →|2

＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144， ∴|PC →

|＝12.故选C.

6．(2017·舟山模拟)平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→

两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→

|等于( )

A ．5

B ．6

C ．4

D ．8 答案 A

解析设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ，|AC 1→|2＝a 2＋b 2＋c 2

＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25，因此|AC 1→

|＝5.故选A.

7．(2017·南充三模)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，下列命题： ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2

； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →

)＝0；

③向量AD 1→与向量A 1B →

的夹角为60°；

④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →

|，其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．①②③ C ．①④ D ．①②④ 答案 A

解析设正方体边长为单位长为1，建立空间直角坐标系，如图．

A 1A →＝(0,0,1)，A 1D 1→＝(1,0,0)，A 1

B 1→＝(0,1,0)，A 1

C →＝(1,1,1)，A

D 1→

＝(1,0，－1)，

所以对于①，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝(1,1,1)·(1,1,1)＝3＝3A 1B 1→2

，故①正确；对于②，A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →

)＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，故②正确；

对于③，因为AD 1→·A 1B →＝(1,0，－1)·(0,1,1)＝－1，向量AD 1→与向量A 1B →

的夹角为120°，故③错误；

④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →||AA 1→|·|AD →|，但是|AB →·AA 1→·AD →

|＝0，故④错误．故选A.

8．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

(x ，y ，z ∈R )，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的( )

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

答案 B

解析当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，即OP →＝2OA →－3OB →＋2OC →，

则AP →－AO →＝2OA →－3(AB →－AO →)＋2(AC →－AO →

)，即 AP →

＝－3AB →＋2AC →

，根据共面向量定理，知P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C

四点共面时，根据共面向量定理AP →＝mAB →＋nAC →

，

即OP →－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →

)，即OP →＝(1－m －n )OA →＋mOB →＋nOC →，

即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2. 故是充分不必要条件．故选B.

9．(2018·福州质检)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12

MC 1→

，N 为

B 1B 的中点，则|MN →

|为( )

A.216a

B.66a

156

a D.

153

答案 A

解析以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，

N ? ??

??a ，a ，a 2.

设M (x ，y ，z )，

∵点M 在AC 1上且A M →＝12

MC 1→，

∴(x －a ，y ，z )＝1

2(－x ，a －y ，a －z )，

∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3

∴M ? ??

??2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →

|＝ ? ????a －23a 2＋? ????a －a 32＋? ??

??a 2－a 32 ＝

a .故选A. 10．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )

A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直

B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直

C ．存在某个位置，使得直线A

D 与直线BC 垂直

D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直答案 B

解析如图所示，在图1中，

易知AE ＝CF ＝

63，BE ＝EF ＝FD ＝33

在图2中，设AE →＝a ，EF →＝b ，FC →

＝c ，

则〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝90°，设〈a ，c 〉＝θ，则AC →＝a ＋b ＋c ，BD →

＝3b ，故AC →·BD →＝3b 2

＝1≠0，故AC 与BD 不垂直，A 不正确； AB →

＝AE →＋EB →

＝a －b ，CD →＝CF →

＋FD →

＝b －c ，

所以AB →·CD →＝－a ·c －b 2

＝－23cos θ－13

当cos θ＝－12，即θ＝2π3

时，AB →·CD →

＝0，故B 正确，D 不正确；

AD →

＝AE →＋ED →＝a ＋2b ，BC →＝BF →＋FC →

＝2b ＋c ，

所以AD →·BC →＝a ·c ＋4b 2

＝23cos θ＋43＝23(cos θ＋2)，

故无论θ为何值，AD →·BC →

≠0，故C 不正确．故选B. 二、填空题

11．(2017·银川模拟)已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP →＝2PB →，则|PD →

的值是________．

答案

773

解析设P (x ，y ，z )，∴AP →

＝(x －1，y －2，z －1)． PB →

＝(－1－x ，3－y ，4－z )，由AP →＝2PB →，得点P 坐标为? ??

??－13，8

，3，又D (1,1,1)，

∴|PD →

|＝773

12．如图，已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰

好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，若PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →

，则x ＋y ＝________.

答案 0

解析 PA →－PD →＝DA →＝OA →－OD → ＝－OC →－OD →＝－(OC →＋OD →)

＝－2OQ →＝－2(PQ →－PO →)＝2PO →－2PQ →.

∵PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →，∴PA →－PD →＝xPO →＋yPQ →， ∴2PO →－2PQ →＝xPO →＋yPQ →.

∵PQ →与PO →

不共线，∴x ＝2，y ＝－2，∴x ＋y ＝0.

13．已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →

取最小值时，点Q 的坐标是________．

答案 ? ??

??43，43，83

解析由题意，设OQ →＝λOP →，即OQ →

＝(λ，λ，2λ)，

则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →

＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，

∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2

－16λ＋10＝6? ????λ－432－23，当λ＝43时有最小值，此时Q 点坐标为? ??

??43，43，83. 14．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段

PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大

值为________．

答案 25

解析以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AQ 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设正方形ABCD 和ADPQ 的边长为2，则E (1,0,0)，F (2,1,0)，M (0，y,2)(0≤y ≤2)．所以AF →＝(2,1,0)，EM →

＝(－1，y,2)．

所以AF →·EM →＝－2＋y ，|AF →|＝5，|EM →|＝5＋y 2

. 所以cos θ＝|AF →·EM →||AF →||EM →|＝|－2＋y |5·5＋y 2＝2－y

5·5＋y 2

. 令2－y ＝t ，

则y ＝2－t ，且t ∈[0,2]．所以cos θ＝

t 5·5＋(2－t )2＝t

5·9－4t ＋t

2. 当t ＝0时，cos θ＝0. 当t ≠0时，cos θ＝

5·

t 2－4t

＋1

＝

5·

9? ????1t －292＋59

，

由t ∈(0,2]，得1t ∈??????12，＋∞，所以

9? ????1t －292＋5

9≥ 9×? ????12－292＋5

9＝52

. 所以0

三、解答题

15．(2018·唐山模拟)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →

，

b ＝AC →

(1)求a 和b 夹角的余弦值； (2)设|c |＝3，c ∥BC →

，求c 的坐标．

解 (1)因为A B →＝(1,1,0)，AC →

＝(－1,0,2)，所以a ·b ＝－1＋0＋0＝－1，|a |＝2，

|b |＝ 5.

所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12×5

＝－10

10.

(2)BC →

＝(－2，－1,2)，设c ＝(x ，y ，z )，因为|c |＝3，c ∥BC →

，

所以x 2＋y 2＋z 2

＝3，存在实数λ使得c ＝λBC →，

即????

x ＝－2λ，y ＝－λ，z ＝2λ，

联立解得?????

x ＝－2，

y ＝－1，

z ＝2，

λ＝1

或?????

x ＝2，

y ＝1，z ＝－2，λ＝－1，

所以c ＝±(－2，－1,2)．

16．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.

(1)求线段AC 1的长；

(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)证明：AA 1⊥BD .

空间向量与立体几何(整章教案)

空间向量与立体几何一、知识网络：二．考纲要求：（1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教

材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。第一课时空间向量及其运算一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合四、教学过程（一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。（二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与

空间向量和立体几何练习题及答案.

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；（2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；（2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，

高考数学第二轮备考指导及复习建议

2019年高考数学第二轮备考指导及复习建议首先，我们应当明确为什么要进行高考第二轮复习？也就是高考数学复习通常要分三轮（有的还是分四轮）完成，对于第二轮的目的和意义是什么呢？第一轮复习的目的是将我们学过的基础知识梳理和归纳，在这个过程当中主要以两个方面作为参考。第一个是以教材为基本内容，第二个以教学大纲以及当年的考试说明，作为我们参考的依据，然后做到尽量不遗漏知识，因为这也是作为我们二轮三轮复习的基础。对于高三数学第二轮复习来说，要达到三个目的：一是从全面基础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和把握；二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去，将已经把握的知识转化为实际解题能力；三是要把握各题型的特点和规律，把握解题方法，初步形成应试技巧。高三数学第二轮的复习，是在第一轮复习的基础上，对高考知识点进行巩固和强化，是考生数学能力和学习成绩大幅度提高的关键阶段，我们学校此阶段的复习指导思想是：巩固、完善、综合、提高。就大多数同学而言，巩固，即巩固第一轮单元复习的成果，把巩固三基(基础知识、基本方法、基本技能)放在首位，强化知识的系统与记忆；完善，就是通过此轮复习，查漏补缺，进一步建立数学思想、知识规律、方法

运用等体系并不断总结完善；综合，就是在课堂做题与课外训练上，减少单一知识点的试题，增强知识点之间的衔接，增强试题的综合性和灵活性；提高，就是进一步培养和提高对数学问题的阅读与概括能力、分析问题和解决问题的能力。因此，高三数学第二轮的复习，对于课堂听讲并适当作笔记，课外训练、自主领悟并总结等都有较高要求，有“二轮看水平”的说法！是最“实际”的一个阶段。要求学生就是“四个看与四个度”：一看对近几年高考常考题型的作答是否熟练，是否准确把握了考试要求的“度”--《考试说明》中“了解、理解、掌握”三个递进的层次，明确“考什么”“怎么考”；二看在课堂上是否紧跟老师的思维并适当作笔记，把握好听、记、练的“度”；三看知识的串连、练习的针对性是否强，能否使模糊的知识清晰起来，缺漏的板块填补起来，杂乱的方法梳理起来，孤立的知识联系起来，形成系统化、条理化的知识框架，控制好试题难易的“度”；四看练习或检测与高考是否对路，哪些内容应稍微拔高，哪些内容只需不降低，主次适宜，重在基础知识的灵活运用和常用数学思想方法的掌握，注重适时反馈的“度”。在高考一轮复习即将结束、二轮复习即将开始这样一个承上启下的阶段，时间紧，任务重，往往是有40天左右时间（我们学校是3月中旬到4月底）。如何做到有条不紊地复习呢？现结合我最近的学习及多年的做法谈下面几点意见，供同行们参考。

利用空间向量求空间角教案设计

利用空间向量求空间角一、高考考纲要求：能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．二、命题趋势：在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角；难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程（一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ，m

2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a r 为l 的方向向量，n r 为平面α的法向量，θ为 l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式：设1n r ，2n r 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r （需要根据具体情况判断相等或互补），其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a

（二）典例分析如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=o ，SO ⊥面OABC ，且 1,2OS OC BC OA ====.求：（1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值；（2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值；（3）二面角B AS O --的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ， (2,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)S ，于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，(1,1,0)OB =u u u r ，(0,0,1)OS =u u u r ，（1）cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r ，所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . （2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r ，则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ，即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =r ， sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . （3）由（2）知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r ，又OC ⊥Q 平面AOS ，OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量，令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ，则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S

空间向量在立体几何中的应用教案

空间向量在立体几何中的应用教学目标: （1）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。（2）能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直（3）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题重点与难点: 用向量方法解决线面角、二面角问题教学过程： 1.利用空间向量求两异面直线所成的角的方法及公式为: 异面直线所成角设分别为异面直线的方向向量，则 2.利用空间向量求直线与平面所成的角的方法及公式为: 线面角设是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3.利用空间向量求二面角的方法及公式为: 二面角)1800(00≤≤θθ 设分别为平面的法向量，则θ与互补或相等，注意：运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：（1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。例1：已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=1 2AB ，N 为AB 上一点， AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点. （1）证明：CM ⊥SN ；（2）求SN 与平面CMN 所成角的大小. 分析：本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。解：设PA ＝1，以A 为原点，射线AB 、AC 、AP 分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标

系，如图。则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, 12)，N(12,0,0)，S(1,1 2,0) （1） 111(1,1,),(,,0), 222 11 00 22 1 (II)(,1,0), 2 (,,)CMN 022,(2,1,2) 1021 -1-22|cos |= 22 32 SN CMN CM SN CM SN CM SN NC a x y z z x y x a x y a SN =-=--=-++=⊥=-=?-+=??==-??-+=??<>=? 因为所以设为平面的一个法向量，则令得因为所与平面所成的o 45角为例2：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥， 2AB EF =，90BFC ∠=?，BF FC =，H 为BC 的中点。 (1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。分析：本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。解： ,,//,,,,,,,. ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥ 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面 A E F B C D H G X Y Z

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距离.(易错点，建系后，关于N点的坐标的设法，也是自己的弱项)

3. 如图，在长方体 ABCD-ABCD 中，AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明：DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时，求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时，二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点：在找平面DEC 的法向量的时候，本来法向量就己经存在了，就不必要再去找，但是我认为去找应该没有错吧，但法向量找出来了，和那个己经存在的法向量有很大的差别，而且，计算结果很得杂，到底问题出在哪里?) 4. 如图，直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面ABCD 是等腰梯形，AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点，F 为AB 的中点，/ DAB = 60° (1)求证：EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N ： 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角，求AD 与BC 所成角的大小。 (1) (2) (3) A B

立体几何空间向量练习

立体几何空间向量练习 1．在边长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．（1）求EF的长（2）证明：EF∥平面AA1D1D；（3）证明：EF⊥平面A1CD． 2．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A 1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与平面A1BA所成的锐二面角（是指不超过90°的角）的余弦值．

3．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设P A＝1，AD＝2．（1）求平面BPC的法向量；（2）求二面角B﹣PC﹣A的正切值． 4．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知 BM＝2，CD＝3，AD＝4，AA1＝5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．

5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB的中点．（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线P A与平面EAC所成角的正弦值． 6．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AC的中点．（1）证明：AB1∥平面BC1D；（2）证明：BD⊥平面AA1C1C；（3）若AA1＝AB，求直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值．

7．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面P AD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，QB＝，求PB与平面QCD所成角的正弦值． 8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面AD1E；（Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．

利用空间向量立体几何(完整版)

向量法解立体几何引言立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。基本思路与方法一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系线线平行?两线的方向向量平行线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直线面垂直?线与面的法向量平行面面垂直?两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离 1.点点距离点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+- 2.点线距离求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离：方法：在直线上取一点(),Q x y ，则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ?= 0022 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离求点()00,P x y 到平面α的距离：方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ，计算平面α的法向量n ，计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面）线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角求线面夹角的步骤：

空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ 平行于b ρ，记作b a ρ?//。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ （b ρ≠0ρ）， a ρ b ρa ρb ρλ=)1(=++=y x y x 其中 a ± 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量 p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组 (,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z) （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r 表示。空间中任一向量k z j y i x a ++==（x,y,z ）（3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，

2019-2020年高考数学二轮复习综合提升训练(V)

2019-2020年高考数学二轮复习综合提升训练(V) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合A ＝{x |y ＝x ＋1x －2 }，B ＝{x |x ＞a }，则下列关系不可能成立的是( ) A ．A ?B B ．B ?A C ．A B D ．A ??R B 解析：选D.由????? x ＋1≥0x －2≠0，可得A ＝[－1,2)∪(2，＋∞)，选项A ，B ，C 都有可能成立，对于选项D ，?R B ＝(－∞，a ]，不可能有A ??R B . 2．(xx·高考山东卷)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i 解析：选B.法一：利用复数相等的定义及共轭复数的概念求解．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则2z ＋z ＝2a ＋2b i ＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i.由复数相等的定义，得3a ＝3，b ＝－2，解得a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i. 法二：利用共轭复数的性质求解．由已知条件2z ＋z ＝3－2i ①，得2z ＋z ＝3＋2i ②，解①②组成的关于z ，z 的方程组，得z ＝1－2i.故选B. 3．“不等式x (x －2)＞0”是“不等式2x ＜1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选C.2x ＜1?2x －1＜0?x (x －2)＞0. 4．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i 2 是实数，则a ＝( ) A ．1 B.12 C.15 D ．－15 解析：选A.a 1＋i ＋1＋i 2＝a －＋－＋1＋i 2 ＝a ＋＋－a ＋ 2，由于该复数为实数，故－a ＋1＝0，即a ＝1.

高中数学空间向量与立体几何的教学反思

空间向量与立体几何的教学反思本部分是高三理科数学复习的一个重要部分，是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，努力使学生将运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。向量是一个重要的代数研究对象，引入向量运算，使数学的运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式到向量，运算也从一元到多元。向量又是一个几何对象，本身既有方向，又有长度；是沟通代数与几何的一个桥梁，是一个重要的数学与物理模型，这些也为进一步学习向量和研究向量奠定了一定的基础。利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系一、现将原大纲目标与新课程目标进行简单的比较：

《标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的

过程，目的是让学生体会数学的思想方法（类比与归纳），体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题。同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求，是后续学习的前提。新老课程相比，该部分减少了大量的综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间概念，运用向量方法解决计算问题，这样的调整，将使得学生把精力更多地放在理解数学的细想方法和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习，或工作、生活中应用数学，打下更好的基础。二、教学要求本章从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。这是“由此及彼，由浅入深”的认识发展过程。本章以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想。主要要思想方法是：（1）类比、猜想、归纳、推广（让学生经历由平面向空间推广的过程）；（2）能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题。

2019年高考数学(文科)二轮复习对点练：七解析几何专题对点练25(含答案)

专题对点练257.1~7.3组合练 (限时90分钟,满分100分) 一、选择题(共9小题,满分45分) 1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为() A.B.C.4D.3 2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=() A.- B.- C. D.2 3.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是() A.18 B.6 C.5 D.4 4.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|为() A.4 B.2 C.4 D.3 5.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为() A.B.C.D.5 6.已知点P(x,y)是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是() A.B.C.2 D.2 7.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为() A.B.2 C.D.2 8.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为() A.=1 B.=1 C.-y2=1 D.x2-=1 9.已知离心率为的双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线C的实轴长是() A.32 B.16 C.8 D.4 二、填空题(共3小题,满分15分) 10.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为. 11.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为. 12.(2018浙江,17)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大. 三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分) 13.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4. (1)求动点A的轨迹M的方程; (2)P为轨迹M上动点,△PBC的外接圆为☉O1(O1为圆心),当P在M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值. 14.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.

用空间向量解决空间中“夹角”问题

利用空间向量解决空间中的“夹角”问题学习目标： 1.学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法； 2.能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.提高分析与推理能力和空间想象能力。重点：利用空间向量解决空间中的“夹角” 难点：向量夹角与空间中的“夹角”的关系一、复习引入 1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） 2．向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：><=?,cos |||| （2）两向量夹角公式：| |||,cos b a >= < （3）平面的法向量：与平面垂直的向量二、知识讲解与典例分析知识点1：异面直线所成的角（范围：]2 , 0(π θ∈）（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a′与b′，那么直线a′与b′ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角设两异面直线a 、b 的方向向量分别为和，问题1：当与的夹角不大于90 的角θ与和的夹角的关系？问题 2：a 与b 的夹角大于90°时，，异面直线a θ与a 和b 的夹角的关系？结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为| ||||,cos |cos n m = ><=θ a

例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则 )2,,0(),0,21,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A -- ∴ )2,21,23(1a a a AC -=，)2,21 ,23(1a a a CB = 即21 323||||,cos 22 111111==>=<,与θ的关系？例2、如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值. 分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量 3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则),0,,0(),2,0,0(1a a AA ==)2,21 ,23(1a a a AC -= 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x n = x y