应力与强度计算

第三章 应力与强度计算

一.内容提要

本章介绍了杆件发生基本变形时的应力计算，材料的力学性能，以及基本变形的强度计算。

1．拉伸与压缩变形 1.1 拉（压）杆的应力

1.1.1拉（压）杆横截面上的正应力

拉压杆件横截面上只有正应力σ，且为平均分布，其计算公式为

N F

A

σ= (3-1)

式中N F 为该横截面的轴力，A 为横截面面积。

正负号规定 拉应力为正，压应力为负。 公式（3-1）的适用条件：

（1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件； （2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；

（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀；

（4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角0

20α≤时，可应用式（3-1）计算，所得结果的误差约为3%。

1.1.2拉（压）杆斜截面上的应力（如图3-1）

图3-1

拉压杆件任意斜截面（a 图）上的应力为平均分布，其计算公式为 全应力

cos p ασα= (3-2)

正应力 2

cos ασσα=（3-3）

切应力1

sin 22

ατα=

（3-4） 式中σ为横截面上的应力。

正负号规定：

α 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。

ασ 拉应力为正，压应力为负。

ατ 对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正，反之为负。

两点结论：

（1）当0

0α=时，即横截面上，ασ达到最大值，即()max ασσ=。当α=0

90时，即

纵截面上，ασ=0

90=0。

（2）当0

45α=时，即与杆轴成0

45的斜截面上，ατ达到最大值，即max ()2

αα

τ=

。

1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律 （1）变形及应变

杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。

图3-2

轴向变形 1l l l ?=- 轴向线应变

l l

ε?=

横向变形 1b b b ?=- 横向线应变 b b

ε?'=

正负号规定 伸长为正，缩短为负。 （2）胡克定律

当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即

E σε= （3-5）

或用轴力及杆件的变形量表示为

N F l

l EA

?=

(3-6) 式中EA 称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。

公式(3-6)的适用条件：

(a)材料在线弹性范围内工作，即p σσ?；

(b)在计算l ?时，l 长度内其N 、E 、A 均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即

1

n

i i

i i i

N l l E A =?=∑

(3-7) (3)泊松比

当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。即

ε

ν

ε

'

=(3-8)

1.3 材料在拉（压）时的力学性能

1.3.1低碳钢在拉伸时的力学性能

应力——应变曲线如图3-3所示。

图3-3 低碳钢拉伸时的应力－应变曲线

卸载定律:在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。如图3-3中dd’直线。

冷作硬化：材料拉伸到强化阶段后，卸除荷载，再次加载时，材料的比例极限升高，而塑性降低的现象，称为冷作硬化。如图3-3中d’def曲线。图3-3中，of’为未经冷作硬化，拉伸至断裂后的塑性应变。d’f’为经冷作硬化，再拉伸至断裂后的塑性应变。

四个阶段四个特征点，见表1-1。

表1-1 低碳钢拉伸过程的四个阶段

阶段图1-5

中线段

特征点说明

弹性阶段oab

比例极限

p

σ

弹性极限

e

σ

p

σ为应力与应变成正比的最高应力

e

σ为不产生残余变形的最高应力

屈服阶段bc

屈服极限

s

σ

s

σ为应力变化不大而变形显著增加时的最低

应力

强化阶段ce

抗拉强度

b

σ

b

σ为材料在断裂前所能承受的最大名义应力局部形变阶段ef 产生颈缩现象到试件断裂

主要性能指标，见表1-2。

性能性能指标说明

弹性性能弹性模量E

当

p

E

σ

σσ

ε

≤=

时，

强度性能

屈服极限

s

σ材料出现显著的塑性变形

抗拉强度b σ

材料的最大承载能力 塑性性能

延伸率1100%l l

l

δ-=

? 材料拉断时的塑性变形程度 截面收缩率1

100%A A A

ψ-=?

材料的塑性变形程度

图3-4 低碳钢压缩时的应力－应变曲线

应力——应变曲线如图3-4中实线所示。

低碳钢压缩时的比例极限p σ、屈服极限s σ、弹性模量E 与拉伸时基本相同，但侧不出抗压强度b σ

1.3.3铸铁拉伸时的力学性能

图3-5 铸铁拉伸时的应力－应变曲线

应力——应变曲线如图3-5所示。

应力与应变无明显的线性关系，拉断前的应变很小，试验时只能侧得抗拉强度b σ。弹性模量E 以总应变为0.1%时的割线斜率来度量。

1.3.3铸铁压缩时的力学性能

应力——应变曲线如图3-6所示。

图3-6 铸铁压缩时的应力－应变曲线

铸铁压缩时的抗压强度比拉伸时大4—5倍，破坏时破裂面与轴线成0

45~35。宜于做抗压构件。

1.3.4塑性材料和脆性材料

延伸率δ〉5%的材料称为塑性材料。 延伸率δ〈5%的材料称为脆性材料。

1.3.5屈服强度0.2σ

对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常用材料产生0.2%的残余应变时所对应的应力作为屈服强度，并以0.2σ表示。

1.4 强度计算

许用应力 材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。 塑性材料 [σ]=

s s n σ ； 脆性材料 [σ]=b b

n σ 其中,s b n n 称为安全系数，且大于1。

强度条件：构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力。

对轴向拉伸（压缩）杆件

[]N

A

σσ=

≤ （3-9） 按式（1-4）可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算。

2．扭转变形

2.1 切应力互等定理

受力构件内任意一点两个相互垂直面上，切应力总是成对产生，它们的大小相等，方向同时垂直指向或者背离两截面交线，且与截面上存在正应力与否无关。

2.2纯剪切

单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态，称为纯剪切应力状态。 2.3切应变

切应力作用下，单元体两相互垂直边的直角改变量称为切应变或切应变，用τ表示。 2.4 剪切胡克定律

在材料的比例极限范围内，切应力与切应变成正比，即

G τγ= (3-10)

式中G 为材料的切变模量，为材料的又一弹性常数（另两个弹性常数为弹性模量E 及泊松比ν）,其数值由实验决定。

对各向同性材料,E 、 ν、G 有下列关系

2(1)

E

G ν=

+ (3-11)

2.5 圆截面直杆扭转时应力和强度条件 2.5.1 横截面上切应力分布规律 用截面法可求出截面上扭矩，但不能确定切应力在横截面上的分布规律和大小。需通过平面假设，从几何、物理、平衡三方面才能唯一确定切应力分布规律和大小。 (1)沿半径成线性分布，圆心处0τ=，最大切应力在圆截面周边上。

(2)切应力方向垂直半径，圆截面上切应力形成的流向与该截面上扭矩转向相等，图3-7。

2.5.2切应力计算公式

横截面上某一点切应力大小为

p p

T I ρ

τ=

(3-12) 式中p I 为该截面对圆心的极惯性矩，ρ为欲求的点至圆心的距离。

圆截面周边上的切应力为

max t

T

W τ=

(3-13) 式中p t I W R

=

称为扭转截面系数，R 为圆截面半径。

2.5.3 切应力公式讨论

（1） 切应力公式（3-12）和式（3-13）适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆

截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用，其误差在工程允许范围内。 （2） 极惯性矩p I 和扭转截面系数t W 是截面几何特征量，计算公式见表3-3。在面积

不变情况下，材料离散程度高，其值愈大；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。因此，设计空心轴比实心轴更为合理。

2.5.4强度条件

圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值，否则将发生破坏。因此，强度条件为

[]max max

t T W ττ??

=≤

??? (3-14) 对等圆截面直杆

[]max

max t

T W ττ=

≤ （3-15） 式中[]τ为材料的许用切应力。

3．弯曲变形的应力和强度计算 3.1 梁横截面上正应力

3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系

1

z

M

EI ρ

=

(3-16) 式中，ρ是变形后梁轴线的曲率半径；E 是材料的弹性模量；E I 是横截面对中性轴Z 轴的惯性矩。

3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式

Z

M

y I σ=

(3-17) 式中，M 是横截面上的弯矩；Z I 的意义同上；y 是欲求正应力的点到中性轴的距离。 由式(3-17)可见，正应力σ的大小与该点到中性轴的距离成正比。横截面上中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。 在实际计算中，正应力的正负号可根据梁的变形情况来确定，位于中性轴凸向一侧的各点均

为拉应力，而位于中性轴凹向一侧的各点均为压应力。

最大正应力出现在距中性轴最远点处

max max max max z z

M M

y I W σ=

?= （3-18） 式中，max z z I W y =

称为抗弯截面系数。对于h b ?的矩形截面，2

16

z W bh =；对于直径为D 的圆形截面，332

z W D π

=

；对于内外径之比为d a D =

的环形截面，3

4(1)32

z W D a π=-。 若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对称轴，则最大

拉应力与最大压应力数值不相等。 3.2梁的正应力强度条件

梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为

[]max

max z

M W σσ=

≤ （3-19） 由正应力强度条件可进行三方面的计算：

（1）校核强度 即已知梁的几何尺寸、材料的容许应力以及所受载荷，校核正应力是否超过容许值，从而检验梁是否安全。

（2）设计截面 即已知载荷及容许应力，可由式[]

max

z M W σ≥

确定截面的尺寸

（3）求许可载荷 即已知截面的几何尺寸及容许应力，按式[]max z M W σ≤确定许可载荷。

对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如T 字形截面、上下不等边的工字形截面等），其强度条件应表达为

[]max

max 1l t z M y I σσ=

≤ （3-20a ） []max

max 2y c z

M y I σσ=

≤ （3-20b ） 式中，[][],t c σσ分别是材料的容许拉应力和容许压应力；12,y y 分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离。

若梁上同时存在有正、负弯矩，在最大正、负弯矩的横截面上均要进行强度计算。 3.3梁的切应力

z z QS I b

τ*

= （3-21） 式中，Q 是横截面上的剪力；z S *

是距中性轴为y 的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩；

z I 是整个横截面对中性轴的惯性矩；b 是距中性轴为y 处的横截面宽度。

3.3.1矩形截面梁

切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线分布。 切应力计算公式

2

2364Q h y bh τ??=- ???

（3-22）

最大切应力发生在中性轴各点处，max 32Q

A

τ=

。 3.3.2工字形截面梁

切应力主要发生在腹板部分，其合力占总剪力的95~97%，因此截面上的剪力主要由腹板部分来承担。

切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。计算公式为

()2222824z Q B b h H h y I b τ????=-+-?? ?????

(3-23)

式中各符号可参看。

另外，沿翼缘水平方向也有不大的切应力，计算公式为

'2z

QH

I τξ=

g （3-24） 翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分的竖向剪切应力形成所谓的剪应力流。由于这部分切应力较小，一般不予考虑，只是在开口薄壁截面梁的弯曲中才用到它。

3.3.3圆形截面梁

横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点，其竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线变化。

最大切应力发生在中性轴上，其大小为

2max

42483364

z z d d Q QS Q d I b A

d

ππτπ*??==

=? （3-25） 圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。

3.4切应力强度条件

梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即

[]max max max

z z Q S I b

ττ*=≤ (3-26)

式中，max Q 是梁上的最大切应力值；max z S *

是中性轴一侧面积对中性轴的静矩；z I 是横截面对中性轴的惯性矩；b 是max τ处截面的宽度。对于等宽度截面，max τ发生在中性轴上，对于宽度变化的截面，max τ不一定发生在中性轴上。

切应力强度条件同样可以进行强度校核、设计截面和求许可载荷三方面的计算。 在进行梁的强度计算时，应注意下述二个问题。 （1） 对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应力强度条件是次要的。一般仅需考虑正应力强度条件。对于较粗短的梁，当集中力较大时，截面上剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，需要校核切应力强度。

（2） 正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处的切应力为零；切应力的最大值一般发生在中性轴上，该处的正应力为零。对于横截面上其余各点，将同时存在正应力和切应力，这些点的强度计算，应按强度理论计算公式进行。

3.5提高弯曲强度的主要措施 3.5.1选择合理的截面形式

由公式(3-20)可知，梁所能承受的最大弯矩与抗弯截面系数z W 成正比。在截面面积相同的情况下，改变截面形状以增大抗弯截面系数z W ，从而达到提高弯曲强度的目的。

为了比较各种截面的合理程度，可用抗弯截面系数与截面面积的比值

z W A 来衡量，z W

A

比值愈大，截面就愈合理。

在选择截面形状时，还要考虑材料的性能。对于由塑料材料制成的梁，因拉伸与压缩的容许应力相同，以采用中性轴为对称轴的截面。对于由脆性材料制成的梁，因容许拉应力远小于容许压应力，宜采用T 字形或II 形等中性轴为非对称轴的截面，并使最大拉应力发生在离中性轴较近的的边缘处。

3.5.2用变截面梁

一般的强度计算是以危险截面的最大弯矩max M 为依据的，按等截面梁来设计截面尺寸，这显然是不经济的。如果在弯矩较大的截面采用较大的尺寸，在弯矩较小的截面采用较小的尺寸，使每个截面上的最大正应力都达到容许应力，据此设计的变截面梁是最合理的，称为等强度梁。

3.5.3改善梁的受力状况

合理布置梁上的载荷和调整梁的支座位置，使梁的最大弯矩变小，也可达到提高弯曲强度的目的。

4.剪切及其实用计算 4.1剪切的概念

剪切定义为相距很近的两个平行平面内，分别作用着大小相等、方向相对（相反）的两个力，当这两个力相互平行错动并保持间距不变地作用在构件上时，构件在这两个平行面间的任一（平行）横截面将只有剪力作用，并产生剪切变形。

4.2剪切的实用计算

名义切应力：假设切应力沿剪切面是均匀分布的 ，则名义切应力为

A

Q

=

τ （3-27） 剪切强度条件：剪切面上的工作切应力不得超过材料的 许用切应力[]τ,即

[]ττ≤=

A

Q

（3-28）

利用式（3-28）对构件进行剪切强度校核、截面设计和许可载荷的计算。 5.挤压及其实用计算 5.1挤压的概念

挤压 两构件接触面上产生的局部承压作用。 挤压面 相互接触压紧的面。

挤压力 承压接触面上的总压力，用bs P 表示。

5.2挤压的实用计算

名义挤压应力 假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的，则

[]bs

bs bs bs

P A σσ=

≤ （3-29） 式中，bs A 表示有效挤压面积，即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影。当挤压面为平面时为接触面面积，当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的 投影面积。

挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力

[]bs bs

bs A P

σσ≤=

（3-30） 利用式（3-29）对构件进行挤压强度校核、截面设计和许可载荷的计算。

二．基本要求

1.拉伸与压缩变形

1.1熟练掌握应力的计算，理解胡克定律。

1.2了解常用材料在拉伸和压缩时的机械性质及其测量方法。 1.3理解许用应力、安全系数和 强度条件，熟练计算强度问题。

2.扭转变形

2.1理解纯剪切的概念、切应力互等定理和剪切胡克定律。 2.2理解圆轴扭转时应力公式推导方法，并熟练计算扭转应力。 2.3理解圆轴扭转强度条件的建立方法，并熟练计算强度问题。

3.弯曲变形

3.1理解弯曲正应力的概念及其公式推导方法，熟练掌握弯曲正应力及强度问题。 3.2理解弯曲切应力的概念及其公式推导方法，掌握简单截面梁弯曲切应力的计算及弯曲切应力强度条件。

4.剪切与挤压变形：了解剪切和挤压的概念，熟练掌握剪切和挤压的实用计算方法。

5.熟练掌握常用截面的形心、静矩、惯性矩的计算及平行移轴公式。 三．补充例题

例1．杆系结构如图所示，已知杆AB 、AC 材料相同，[]160=σMPa ，横截面积分别为9.706=1A mm 2，

314=2A mm 2，试确定此结构许可载荷

[P ]。

解：（1）由平衡条件计算实际轴力，设AB 杆轴力为1N ，AC 杆轴力为2N 。

对于节点A ，由0=∑X 得

ο

ο

30sin 45sin 12N N = （a ）

由0=∑Y 得

P N N =+ο

ο

45cos 30cos 21 （b ）

由强度条件计算各杆容许轴力

[][]1.11310

101609.7066

6

11=???=≤-σA N kN （c ）

[][]3.5010

101603146

6

22=???=≤-σA N kN （d ）

由于AB 、AC 杆不能同时达到容许轴力，如果将[]1N ，[]2N 代入（2）式，解得

[]5.133=P kN

显然是错误的。 正确的解应由（a ）、（b ）式解得各杆轴力与结构载荷P 应满足的关系

P P N 732.03

121=+=

（e ）

P P N 518.03

122=+=

（f ）

（2）根据各杆各自的强度条件，即[]11N N ≤，[]22N N ≤计算所对应的载荷[]P ，由（c ）、（e ）有

[][]1.113111==≤σA N N kN

1.11373

2.0≤P kN

[]5.1541≤P kN （g ）

由（d ）、（f ）有

[][]3.50222==≤σA N N kN

3.50518.0≤P kN

[]1.972≤P kN （h ）

要保证AB 、AC 杆的强度，应取（g ）、（h ）二者中的小值，即[]2P ，因而得

[]1.97=P kN

上述分析表明，求解杆系结构的许可载荷时，要保证各杆受力既满足平衡条件又满足强

例2．如图 所示冲床，400max =P kN ，冲头[]400=σMPa ，冲剪钢板360=b τ MPa ，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。

解：（1）按冲头压缩强度计算d

[]σπσ≤==

4

2d

P

A P 所以 []4.34=≥

σπP

d cm

（2）按钢板剪切强度计算t

b dt

P A Q τπτ≥==

所以

04.1=≤

b

d P

t τπcm 例3． 2..53

m 挖掘机减速器的一轴上装一齿轮，齿轮与轴通过平键连接，已知键所受的力为P ＝12.1kN 。平键的尺寸为：b=28mm ，h=16mm,2l =70mm ，圆头半径R ＝14mm （如图 ）。键的许用切应力[]=τ87MPa ，轮毂的许用挤压应力取[]bs σ＝100MPa ，试校核键连接的强度。

解： （1）校核剪切强度 键的受力情况如图 c 所示，此时剪切面上的剪力（图 d ）

为

N 12100kN 1.12P Q ===

对于圆头平键，其圆头部分略去不计（图3－10e ），故剪切面面积为 ()R 2l b bl A 2P -==

()2

4

2

m

1076.11cm 76.114.1278.2-?==?-=

所以，平键的工作切应力为

410

76.1112100

A Q -?==

τ []MPa 87MPa 3.10Pa 103.106

=<=?=τ

满足剪切强度条件。

（2）校核挤压强度 与轴和键比较，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱。轮毂挤压面上的

P ＝12100N

挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂的接触高度为2

h

，则挤压面面积（图f)为 ()4.120.72

6

.1l 2h A P bs ?-=

?=

2

4

2

m 1036.3cm 36.3-?==

故轮毂的工作挤压应力为 4bs bs 10

36.312100

A P -?==

σ []MPa 100MPa 36Pa 1036bs 6

=<=?=σ

也满足挤压强度条件。所以，此键安全。

例4 AB 轴传递的功率为kW 5.7=N ，转速

min r/360=n 。如图 所示，轴AC 段为实心圆截面，CB 段为空心圆截面。已知cm 3=D ，cm 2=d 。试计算AC 以及CB 段的最大与最小

剪应力。

解：（1）计算扭矩 轴所受的外力偶矩为

m N 199360

5

.795509550?===n N m

由截面法

m N 199?==m T

（2）计算极惯性矩 AC 段和CB 段轴横截面的极惯性矩分别为

44

1cm 95.732

==

D I P π

()

444

2cm 38.632

=-=

d D I P π

（3）计算应力 AC 段轴在横截面边缘处的剪应力为

MPa 5.37Pa 105.372D

I T AC min 61P AC AC max ==?=?==τττ外

CB 段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为

MPa 2.31Pa 102.312

d

I T 62P CB

CB min =?=?=

=内ττ MPa 8.46Pa 108.462

D

I T 62P CB CB max =?=?=

=外ττ

工程力学第九章梁的应力及强度计算

工程力学第九章梁的应力 及强度计算 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

课时授课计划 掌握弯曲应力基本概念； 掌握弯曲正应力及弯曲剪应力的计算；掌握弯曲正应力的强度计算； 掌握弯曲剪应力强度校核。

教学过程： 复习：1、复习刚架的组成及特点。 2、复习平面静定刚架内力图的绘制过程。 新课： 第九章梁的应力及强度计算 第一节纯弯曲梁横截面上的正应力 一、纯弯曲横梁截面上的正应力计算公式 平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。 1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察 现象： （1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角； （2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。 2、假设 （1）平面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面，只是绕某一轴旋转了一个角度，且仍与变形后的梁轴曲线垂直。 中性层：梁纯弯曲变形后，在凸边的纤维伸长，凹边的纤维缩短，纤维层中必有一层既不伸长也不缩短，这一纤维层称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。 中性轴将横截面分为两个区域——拉伸区和压缩区。 注意：中性层是对整个梁而言的； 中性轴是对某个横截面而言的。 中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。 （2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。 3、推理 纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在剪应力。 二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律 由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由胡克定律可知 ρ εσy E E =?= 通过上式可知横截面上正应力的分布规律，即横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴之间的距离成正比，也就是正应力沿截面高度呈线性分布，而中性轴上各点的正应力为零。 三、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式 梁在纯弯曲时的正应力公式： Z I My = σ 式中：σ——梁横截面上任一点的正应力； M ——该点所在横截面的弯矩； Iz ——横截面对其中性轴z 的惯性矩；矩形Z I =123 bh ；圆形Z I =64 4D π

杆件的强度计算公式资料讲解

杆件的强度、刚度和稳定性计算 1.构件的承载能力，指的是什么？ 答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。 (1)足够的强度。即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。 (2)足够的刚度。即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。 (3)足够的稳定性。即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。 2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。 应力的单位为Pa。 1 Pa=1 N／m2 工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位 1 MPa=106Pa 1 GPa=109Pa 3.应力和内力的关系是什么？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 4.应变和变形有什么不同？ 答：单位长度上的变形称为应变。单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。 5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？ 答：（1）线应变 单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为 l l? = ε （4-2） 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。线应变是无量纲（无单位）的量。 （2）横向应变 拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为 a a a- = ? 1 横向应变ε/为

工程力学第九章梁的应力及强度计算

课时授课计划 掌握弯曲应力基本概念； 掌握弯曲正应力及弯曲剪应力的计算；掌握弯曲正应力的强度计算； 掌握弯曲剪应力强度校核。

（1）平面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面，只是绕某一轴旋转了一个角度，且仍与变形后的梁轴曲线垂直。 中性层：梁纯弯曲变形后，在凸边的纤维伸长，凹边的纤维缩短，纤维层中必有一层既不伸长也不缩短，这一纤维层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。 中性轴将横截面分为两个区域——拉伸区和压缩区。 注意：中性层是对整个梁而言的； 中性轴是对某个横截面而言的。 中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。 （2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。 3、推理 纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在剪应力。 二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律 由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由胡克定律可知

ρ εσy E E =?= 通过上式可知横截面上正应力的分布规律，即横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴之间的距离成正比，也就是正应力沿截面高度呈线性分布，而中性轴上各点的正应力为零。 三、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式 梁在纯弯曲时的正应力公式： Z I My = σ 式中：σ——梁横截面上任一点的正应力； M ——该点所在横截面的弯矩； Iz ——横截面对其中性轴z 的惯性矩；矩形Z I =123 bh ；圆形Z I =64 4D π y ——所求正应力点到中性轴的距离。 正应力的单位为：Pa 或MPa ，工程上常用MPa 。 公式表明：梁横截面上任一点的正应力σ与截面上的弯矩M 和该点到中性轴的距离成正比，而与截面对中性轴的惯性矩 IZ 成反比。

梁的强度和刚度计算.

梁的强度和刚度计算 1．梁的强度计算 梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《规范》规定的相应的强度设计值。 （1）梁的抗弯强度 作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下： 梁的抗弯强度按下列公式计算： 单向弯曲时 f W M nx x x ≤=γσ （5-3） 双向弯曲时 f W M W M ny y y nx x x ≤+=γγσ （5-4） 式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形和H 形截面，x 轴为强轴，y 轴为弱轴）； W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量； y x γγ,——截面塑性发展系数，对工字形截面，20.1,05.1==y x γγ；对箱形截面，05.1==y x γγ；对其他截面，可查表得到； f ——钢材的抗弯强度设计值。 为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于y f /23513 ，但不超过y f /23515时，应取0.1=x γ。 需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取0.1==y x γγ。 （2）梁的抗剪强度 一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。因此，设计的抗剪强度应按下式计算

v w f It ≤=τ （5-5） 式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值； S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩； I ——毛截面惯性矩； t w ——腹板厚度； f v ——钢材的抗剪强度设计值。 图5-3 腹板剪应力 当梁的抗剪强度不满足设计要求时，最常采用加大腹板厚度的办法来增大梁的抗剪强度。型钢由于腹板较厚，一般均能满足上式要求，因此只在剪力最大截面处有较大削弱时，才需进行剪应力的计算。 （3）梁的局部承压强度 图5-4局部压应力 当梁的翼缘受有沿腹板平面作用的固定集中荷载且该荷载处又未设置支承加劲肋，或受有移动的集中荷载时，应验算腹板计算高度边缘的局部承压强度。 在集中荷载作用下，翼缘类似支承于腹板的弹性地基梁。腹板计算高度边缘的压应力分布如图5-4c 的曲线所示。假定集中荷载从作用处以1∶2.5（在h y 高度范围）和1∶1（在h R 高度范围）扩散，均匀分布于腹板计算高度边缘。梁的局部承压强度可按下式计算

杆件的应力与强度

第3章杆件的应力与强度 判断 1、“轴向拉压杆件任意斜截面上的内力作用线一定与杆件的轴线重合” 2、“拉杆内只存在均匀分布的正应力，不存在剪应力。” 3、“杆件在轴向拉压时最大正应力发生在横截面上” 4、“杆件在轴向拉压时最大剪应力发生在与轴线成45度角的斜截面上” 5、“材料的延伸率与试件的尺寸有关。“ 6、“没有明显的屈服极限的塑性材料，可以将产生0.2％应变时的应力作为屈服极限。“ 7、“构件失效时的极限应力是材料的强度极限。” 8、“对平衡构件，无论应力是否超过弹性极限，剪应力互等定理均成立。” 9、“直杆扭转变形时，横截面的最大剪应力在距截面形心最远处。” 10、“塑性材料圆轴扭转时的失效形式为沿横截面断裂” 11、“对于受扭的圆轴，最大剪应力只出现在横截面上” 12、”圆轴受扭时，横截面的最大剪应力发生在距截面形心最远处。” 13、“圆轴受扭时，轴内各点均处于纯剪切状态“ 14、”薄壁圆管与空心圆管的扭转剪应力计算公式完全一样。” 15、”圆轴的扭转变形实际上是剪切变形。” 16、”圆轴扭转时，根据剪应力互等定理，其纵截面上也存在剪应力。” 17、“剪应力互等定理只适用于纯剪状态” 18、“传动轴的转速越高，则其横截面的直径应越大” 19、“受扭杆件的扭矩仅与杆件所受的外力偶矩有关，而与杆件的材料、横截面的大小以及横截面的形状无关” 20、“普通碳钢扭转屈服极限τs=120MPa，剪变模量G=80GPa，则由剪切虎克定律τ=Gγ得到剪应变为γ=1.5×10-3rad” 21、“一等直圆杆，当受到扭转时，杆内沿轴线方向会产生拉应变。” 22、“低碳钢圆柱试件受扭时，沿450螺旋面断裂。” 23、“铸铁圆柱试件受扭时，沿横截面断裂” 24、“弯曲时梁横截面的中性轴通过截面形心。” 25、“梁的截面如图，其抗弯截面系数为W Z＝BH2/6-bh2/6”

基本变形的应力和强度计算

教学课题基本变形的应力和强度计算【练习课】 教学目标或要求 1、理解各种基本变形的应力特点和分布规律； 2、掌握各种基本变形的应力和强度计算方法； 3、理解材料在拉伸和压缩时的机械性能指标的含义。 教学重点、难点 教学方法、手段讲练结合，以练为主 教学过程及内容 基本变形的应力和强度计算 强度是指材料在外力作用下对塑性变形和断裂的抵抗能力。强度问题事关重大，强度不足，就有可能酿成大祸。工程结构和机器零件必须具有足够的强度。强度是材料力学研究的一个主要问题。 第一节轴向拉伸与压缩的应力和强度计算 一、横截面的正应力 例1：如图a所示一变截面直杆，横截面为圆形，d 1＝200mm，d 2 ＝150mm，承受轴向 载荷F 1＝30kN，F 2 ＝100kN的作用，试求各段截面上的正应力。 图 a 图 b 解：1）计算轴力：AB段的轴力：N AB ＝－F 2 ＋F 1 ＝－70kN（压） BC段的轴力：N BC ＝F 1 ＝30kN（拉） 画出轴力图如图12.1.2b所示。2）求横截面面积 AB段的横截面积： BC段的横截面积： 3）计算各段正应力 AB段的正应力：

BC段的正应力： 负号表示AB上的应力为压应力。 二、强度问题 例2：气动夹具如图所示，已知气缸内径D=140mm，缸内气压p=0.6MPa，活塞杆材料为20钢，[σ]=80MPa,试设计活塞杆的直径， 解：活塞杆两端受拉力，发生轴向拉伸变形，轴力可以由气体的压强求出，再利用N、[σ]就可以设计截面。 1．计算轴力 6. 6231 140 4 6.0 4 2 2= ? ? = = π π D p N kN 2.设计截面 []4. 115 80 6. 9231 = = ≥ σ N A mm2 根据 2 4 d A π = ，得出 1. 12 4 = = π A d mm 因此，取d12 ≥mm 注意：在解题目过程中，应首先判断问题是要设计截面，然后设法去求轴力，轴力利用压强可以求出，问题得到解决。另外要注意物理量的单位换算，当轴力、长度用N和mm时，应力的对应单位是MPa.

关于梁的正应力强度计算.

§7-2 梁的正应力强度计算 一、最大正应力 在强度计算时，必须算出梁的最大正应力。产生最大正应力的截面，称为危险截面。对于等直梁，弯矩最大的截面就是危险截面。危险截面上的最大应力处称为危险点，它发生在距中性轴最远的上、下边缘处。 对于中性轴是截面对称轴的梁，最大正应力的值为： max max max z M y I σ= 令z z max I W y = ，则 max max z M W σ= 式中z W 称为抗弯截面系数，是一个与截面形状和尺寸有关的几何量。常用单位是m 3 或mm 3。z W 值越大，max σ就越小，它也反映了截面形状及尺寸对梁的强度的影响。 对高为h 、宽为b 的矩形截面，其抗弯截面系数为： 32 z z max /12/26 I bh bh W y h === 对直径为d 的圆形截面，其抗弯截面系数为： 43 z z max /64/232 I d d W y d ππ=== 对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如图7-9所示的T 形截面梁，在正弯矩M 作用下 梁下边缘处产生最大拉应力，上边缘处产生最大压应力，其值分别为： +1max z My I σ= 2max z My I σ-= 令z 11I W y = 、z 22 I W y =，则有： + max 1 M W σ= max 2 M W σ-=

max σ- 图7-9 二、正应力强度条件 为了保证梁能安全地工作，必须使梁截面上的最大正应力max σ不超过材料的许用应力，这就是梁的正应力强度条件。现分两种情况表达如下： 1、材料的抗拉和抗压能力相同，其正应力强度条件为： max max z []M W σσ= ≤ 2、材料的抗拉和抗压能力不同，应分别对拉应力和压应力建立强度条件： +max max 1[]M W σσ+= ≤ max max 2 []M W σσ--=≤ 根据强度条件可解决有关强度方面的三类问题： 1）强度校核：在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸（即已知[]σ、z W ）以及所受荷载（即已知max M ）的情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。 2）设计截面：当已知荷载和所用材料时（即已知max M 、[]σ），可根据强度条件，计算所需的抗弯截面系数 max z []M W σ≥ 然后根据梁的截面形状进一步确定截面的具体尺寸。 3）确定许用荷载：如已知梁的材料和截面形状尺寸（即已知[]σ、z W ），则先根据强度条件算出梁所能承受的最大弯矩，即： max z [] M W σ≤ 然后由max M 与荷载间的关系计算许用荷载。 例7-2 如图7-10所示T 形截面外伸梁。已知材料的许用拉应力[]32MPa σ+ =，许用 压应力[]70MPa σ- =。试校核梁的正应力强度。

杆件强度,刚度,稳定性计算

建筑力学问题简答（五）杆件的强度、刚度 和稳定性计算 125．构件的承载能力，指的是什么？ 答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。 (1)足够的强度。即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。 (2)足够的刚度。即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。 (3)足够的稳定性。即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。 126．什么是应力、正应力、切应力？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。 127．应力的单位如何表示？ 答：应力的单位为Pa。 1 Pa=1 N／m2 工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位 1 MPa=106Pa 1 GPa=109Pa 128．应力和内力的关系是什么？

答：内力在一点处的集度称为应力。 129．应变和变形有什么不同？ 答：单位长度上的变形称为应变。单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。 130．什么是线应变？ 答：单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为 l l ?= ε 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。线应变是无量纲（无单位）的量。 131．什么是横向应变？ 答：拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。设杆件变形前的横向尺寸为a ，变形后为a 1，则横向变形为 a a a -=?1 横向应变ε/为 a a ?= / ε 杆件伸长时，横向减小，ε/为负值；杆件压缩时，横向增大，ε/为正值。因此，拉(压)杆的线应变ε与横向应变ε/的符号总是相反的。 132．什么是泊松比？ 答：试验证明，当杆件应力不超过某一限度时，横向应变ε/与线应变ε的绝对值之比为一常数。此比值称为横向变形系数或泊松比，用μ表示。 ε εμ/ = μ是无量纲的量，各种材料的μ值可由试验测定。

《工程力学》第5次作业(杆件的应力与强度计算).

《工程力学》第5次作业（杆件的应力与强度计算） 2009－2010学年第2学期3系、5系各班 班级学号姓名成绩 一、填空题 1．杆件轴向拉压可以作出平面假设：变形前为平面的横截面，变形后，由此可知，横截面上的内力是分布的。 2．低碳钢拉伸可以分成：阶段、阶段、阶段、阶段。 3．如果安全系数取得过大，许用应力就；需用的材料就；反之，安全系数取得太小，构件的就可能不够。 4．和是衡量材料塑性性能的两个重要指标。工程上通常把的材料称为塑性材料，的材料称为脆性材料。 5．在国际单位制中，应力的单位是帕，1帕= 牛/米2，工程上常以、、 为应力的单位。 6．轴向拉伸和压缩强度条件的表达式是：，用该强度条件可解决的三类强度问题是：、、。 7．二根不同材料的等直杆，承受相同轴力，且它们的截面面积及长度都相等，则：（1）二根杆横截面上的应力；（2）二根杆的强度； （3）二根杆的绝对变形。（填相同或不相同） 8．在承受剪切的构件中，发生的截面，称为剪切面；构件在受剪切时，伴随着发生作用。 9．构件在剪切变形时的受力特点是 ；变形特点是 。剪切变形常发生在零件上，如螺栓、键、销钉等。 10．剪切面在两相邻外力作用线之间，与外力。 11．圆轴扭转时，横截面上的切应力与半径，在同一半径的圆周上各点的切应力，同一半径上各点的切应力按规律分布，轴线上的切应力为，外圆周上各点切应力。 12．圆轴扭转时的平面假设指出：扭转变形后，横截面本身的形状、大小，相邻截面间的距离，各截面在变形前后都保持为，只是绕轴线，因此推出：横截面上只存在应力，而不存在应力。 13．梁在弯曲变形时，梁内梁在弯曲变形时，梁内有一层纵向纤维，叫做中性层，它与的交线称为中性轴。 14．一般情况下，直梁平面弯曲时，对于整个梁来说的正应力为零；对于梁的任意截面来说的正应力为零。 二、选择题 1．以下关于图示AC杆的结论中，正确的是（）。 A．BC段有变形，没有位移；B．BC段没有变形，有位移； C．BC段没有变形，没有位移；D．BC段有变形，有位移。 2．经过抛光的低碳钢试件，在拉伸过程中表面会出现滑移线的阶段是（） A．弹性阶段；B．屈服阶段；C．强化阶段；D．颈缩阶段。 3．两个拉杆轴力相等、截面积相等但截面形状不同，杆件材料不同，则以下结论正确的是（）。

应力与强度计算

第三章 应力与强度计算 一.容提要 本章介绍了杆件发生基本变形时的应力计算，材料的力学性能，以及基本变形的强度计算。 1．拉伸与压缩变形 1.1 拉（压）杆的应力 1.1.1拉（压）杆横截面上的正应力 拉压杆件横截面上只有正应力σ，且为平均分布，其计算公式为 N F A σ= (3-1) 式中N F 为该横截面的轴力，A 为横截面面积。 正负号规定 拉应力为正，压应力为负。 公式（3-1）的适用条件： （1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件； （2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面； （3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀； （4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角0 20α≤时，可应用式（3-1）计算，所得结果的误差约为3%。 1.1.2拉（压）杆斜截面上的应力（如图3-1） 图3-1 拉压杆件任意斜截面（a 图）上的应力为平均分布，其计算公式为 全应力 cos p ασα= (3-2) 正应力 2 cos ασσα=（3-3） 切应力1 sin 22 ατα= （3-4） 式中σ为横截面上的应力。 正负号规定： α 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。 ασ 拉应力为正，压应力为负。

α τ对脱离体一点产生顺时针力矩的 α τ为正，反之为负。 两点结论： （1）当00 α=时，即横截面上， α σ达到最大值，即() max α σσ =。当α=0 90时，即 纵截面上， α σ=0 90=0。 （2）当0 45 α=时，即与杆轴成0 45的斜截面上， α τ达到最大值，即 max () 2 α α τ= 。 1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律 （1）变形及应变 杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。 图3-2 轴向变形 1 l l l ?=- 轴向线应变 l l ε ? = 横向变形 1 b b b ?=- 横向线应变 b b ε ? '= 正负号规定伸长为正，缩短为负。 （2）胡克定律 当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即 E σε =（3-5） 或用轴力及杆件的变形量表示为 N F l l EA ?=(3-6) 式中EA称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。 公式(3-6)的适用条件： (a)材料在线弹性围工作，即 p σσ?； (b)在计算l?时，l长度其N、E、A均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即 1 n i i i i i N l l E A = ?=∑(3-7) (3)泊松比 当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。即

梁的强度与刚度

第八章梁的强度与刚度 第二十四讲梁的正应力截面的二次矩 第二十五讲弯曲正应力强度计算（一） 第二十六讲弯曲正应力强度计算（二） 第二十七讲弯曲切应力简介 第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚度

第二十四讲纯弯曲时梁的正应力常用截面的二次矩 目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。 教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。 教学难点：平行移轴定理及其应用。 教学内容： 第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算 §8-1 纯弯曲时梁的正应力 一、纯弯曲概念： １、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。 ２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。 二、纯弯曲时梁的正应力： １、中性层和中性轴的概念： 中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。 ２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律： 以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。

３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式： （１）、任一点正应力的计算公式： （２）、最大正应力的计算公式： 其中：M---截面上的弯矩；I Z---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。 说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。

§8-2 常用截面的二次矩平行移轴定理 一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数： １、矩形截面： ２、圆形截面和圆环形截面： 圆形截面 圆环形截面 其中：

应力与强度计算

第三章应力与强度计算 一.内容提要 本章介绍了杆件发生基本变形时的应力计算， 材料的力学性能，以及基本变形的强度计 算。 1 ?拉伸与压缩变形 1.1拉（压）杆的应力 1.1.1拉（压）杆横截面上的正应力 拉压杆件横截面上只有正应力 ■:「，且为平均分布，其计算公式为 (3-1) 式中F N 为该横截面的轴力， A 为横截面面积。 正负号规定 拉应力为正，压应力为负。 公式（3-1 ）的适用条件： （1） 杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件； （2） 适用于离杆件受力区域稍远处的横截面； （3） 杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不 均匀； （4） 截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角 :.<20°时，可应用式（3-1）计算, 所得结果的误差约为 3%。 1.1.2拉（压）杆斜截面上的应力（如图 3-1） 式中二为横截面上的应力。 正负号规定： :-由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。 -:.拉应力为正，压应力为负。 全应力 p . - cos : (3-2) 正应力 2 ；「. - ■：." cos 二 (3-3) 切应力 1 sin 2 二 (3-4) 拉压杆件任意斜截面（ a 图）上的应力为平均分布，其计算公式为 图3-1

对脱离体内一点产生顺时针力矩的为正，反之为负。 两点结论： (1)当口=0°时，即横截面上，%达到最大值，即(CT ^h ax =CT。当a = 90 0时，即纵截面上，：_- . = 90 ° =0。 (2)当，..=45°时，即与杆轴成45°的斜截面上，…达到最大值，即(….)max三。 1.2拉(压)杆的应变和胡克定律 (1)变形及应变 杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。 如图3-2。 RilT——————— 1 J ] ｛匚- _ _____ _ ■ -r* 一 -」丄一-T I 图3-2 轴向变形轴向线应变 .'■■: l = l ■ J z =一 l -l 横向变形L b = b _b 横向线应变 b 正负号规定伸长为正，缩短为负 (2)胡克定律 当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即 - E ; ( 3-5) 或用轴力及杆件的变形量表示为 .M =F N^(3-6) EA 式中EA称为杆件的抗拉(压)刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。 公式(3-6)的适用条件： (a)材料在线弹性范围内工作，即; (b)在计算时，I长度内其N、E、A均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即 n NJ i ‘I 亠(3-7) i ± E i A i (3)泊松比 当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。即

有效应力强度指标与总应力强度指标之间的换算关系

有效应力强度指标与总应力强度指标之间的换算关系第23卷第2期重庆建筑大学学报Vol. 23 No. 2 文章编号:1006-7329(2001) 02-0022-04 有效应力强度指标与 总应力强度指标之间的换算关系 程相华 (铁道部第十四局二处, 山东泰安271000) 摘要:通过理论分析, 建立有效应力强度指标和总应力强度指标之间的换算关系, 并编制 了两强度指标之间的实用换算系数表。 关键词:有效应力; 总应力; 强度指标; 换算系数中图分类号:T U432文献标识码:A 由于勘察单位的常规试验报告不提供有效应力强度指标, 所以目前大部分开挖工程的设计, 都 cu 。但是在地下水位以下, 采用总应力强度指标c cu , h cu 进行土压力计算, 是采用总应力强度指标c cu 、h 往往造成较大的误差, 设计人员对工程的安全度难以把握。必要时, 需用有效应力强度指标c ′, h ′对 水压力和土压力分别进行计算。 既然最基本的土性指标c ′, h ′不被勘察单位的常规试验所提供, 那么就十分有必要从理论上加以推导两种指标之间的换算关系。 1 换算关系的理论基础 土体在天然状态(见图1):有效自重应力为p 0′, 静止孔隙水压力u 0, 则 图1 p 0′/S u 公式的推导 收稿日期:2000-04-08 :() , 男, , , 。

e c 1=p 0′+u 0e c 2=K 0p 0′+u 0 在荷载作用下达到破坏时总应力增量Δe 1, Δe 3 e 1=e c 1+Δe 1=p 0′+u 0+Δe 1e 3=e c 3+Δe 3=K 0p 0′+u 0+Δe 3 Δe 1=e 1-p 0′-u 0Δe 3=e 3-K 0p 0′-u 0 3+1-Δ3) u =u 0+Δu Δu =Δe A (Δe e e 1′=e 1-u =p 0′+Δe 1-〔Δe 3+A (Δe 1+Δe 3) 〕=p 0′+(1-A ) (Δe 1-Δe 3) e 3′=e 3-u =p 0′-A (Δe 1-Δe 3) Δe 1-Δe 3=e 1-e 3-p 0′+K 0p 0′=2S u -p 0′(1-K 0) e 1′=p 0′+(1-A ) 〔2S u -p 0′(1-K 0) 〕e 3′=K 0p 0′-A 〔2S u -p 0′(1-K 0) 〕 S u = 13 =bb ′=(0b +c ′ctg h ′) sin h ′=0b sin h ′+c ′cos h ′=2 (1) (e 1′+e 3′) sin h ′+c ′cos h ′2 将 (1) 式代入得: S u =p 0′sin h 〔K 0+A (1-K 0) 〕+(1-2A ) S u sin h ′+c ′cos h ′ 对于正常固结的粘土, c ′=0, 因而得 0=S u 〔K 0+A (1-K 0) 〕sin h ′以强度路径的观点(见图2) (2) 图2 c cu =0时的极限应力圆图3 c cu ≠0时的极限应力圆 11u ===+1-S u S u S u S u S u 1-e 3) =2A S u u =A (e e 1′=S u S u +1-2A

材料的屈服强度 刚度 与各种应力的关系

许用应力和安全系数 在前面我们已经研究了杆内的应力，通过以上几节我们又了解了材料的力学性能，在 此基础上我们就可以讨论杆件的强度汁算问题。先从杆的拉压(单向成力状态)时的强度问题开始研究。 由前面分析，已知杆在拉压时横截面上的应力为/N A σ=，此应力又称工作应力，它是杆件在工作时由载荷所引起的应力。当杆件的尺寸已给定的情况下，它是随载荷的增大而增长的，但这种工作应力的增长将受到材料力学性能的限制。如对塑性材料来讲，当杆内应力达到材料的屈服点 s σ(或屈服强度0.2σ)时，杆内将发生明显的塑性变形；而对脆性材 料来说，当杆件内的应力达到材料的强度极限 b σ时，杆将发生破坏。这些过度的塑性变 形(将使另件不能正常工作)和破坏当然是工程上所不允许的。因此，为了保证杆件在工作时不出现上述两种情况，就必须使杆内的最大正应力max σ低于材料达到此两种情况时的极 限应力 jx σ值（ s σ或b σ），最多只能等于该材料极限应力值jx σ的若干分之一。这种把材料的极限应力值 jx σ除以某一大于1的系数 n 而得到的应力值，通常就称为材料的许用应 力值。并用符号[]σ来表示，即 []0/n jx σσ= 式中， jx σ为材料的极限应力。在常温静荷时：对塑性材料 jx s σσ=，；对脆性材料， jx b σσ=。 n 为规定的安全系数。 构件安全系数 0n 的大小和一系列因素有关，例如和载荷估计的是否精确、材料的性质是否 均匀及计算时所作的某些简化等等都有关。凡构件实际的工作条件和设计时的主观设想不一致而偏于不安全的方面，都要通过安全系数来加以考虑；此外，为了保证构件有足够的强度储备，也要适当地加大安全系数。尤其是对那些因破坏要造成严重后果的构件，更要加大其安全系数。安全系数的确定不仅仅是个力学问题，故不赘述。 在一般强度计算中，通常对塑性材料可取 0 1.5 2.0 n =:；对脆性材可取 0 1.5 2.0 n =:，甚至更大。

应力与强度计算

第三章 应力与强度计算 一.内容提要 本章介绍了杆件发生基本变形时的应力计算，材料的力学性能，以及基本变形的强度计算。 1．拉伸与压缩变形 1.1 拉（压）杆的应力 1.1.1拉（压）杆横截面上的正应力 拉压杆件横截面上只有正应力σ，且为平均分布，其计算公式为 N F A σ= (3-1) 式中N F 为该横截面的轴力，A 为横截面面积。 正负号规定 拉应力为正，压应力为负。 公式（3-1）的适用条件： （1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件； （2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面； （3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀； （4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角0 20α≤时，可应用式（3-1）计算，所得结果的误差约为3%。 1.1.2拉（压）杆斜截面上的应力（如图3-1） 图3-1 拉压杆件任意斜截面（a 图）上的应力为平均分布，其计算公式为 全应力 cos p ασα= (3-2) 正应力 2 cos ασσα=（3-3） 切应力1 sin 22 ατα= （3-4）

式中σ为横截面上的应力。 正负号规定： α 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。 ασ 拉应力为正，压应力为负。 ατ 对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正，反之为负。 两点结论： （1）当0 0α=时，即横截面上，ασ达到最大值，即()max ασσ=。当α=0 90时，即 纵截面上，ασ=0 90=0。 （2）当0 45α=时，即与杆轴成0 45的斜截面上，ατ达到最大值，即max ()2αατ= 。 1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律 （1）变形及应变 杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2。 图3-2 轴向变形 1l l l ?=- 轴向线应变 l l ε?= 横向变形 1b b b ?=- 横向线应变 b b ε?'= 正负号规定 伸长为正，缩短为负。 （2）胡克定律 当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即 E σε= （3-5） 或用轴力及杆件的变形量表示为 N F l l EA ?= (3-6) 式中EA 称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。 公式(3-6)的适用条件： (a)材料在线弹性范围内工作，即p σσ?； (b)在计算l ?时，l 长度内其N 、E 、A 均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。即