方向导数与梯度在工程和生活中的应用

方向导数与梯度

一、方向导数

1．概念 设是平面上以为始点的一条射线．是与

同方向的单位向量射线的参数方程为

设函数在点的某个邻域

内有定义，为上另一点，且,到的距离 若当沿着趋于即时的

极限存在，则称此极限为函数在点沿方向的方向导数．记作 即

有定义可知是在点沿方向的变化率． 若在点偏导数存在则

又若

则

但反之 若 存在．则不一定存在．如在点处沿

方向的方向导数，而偏导数不存在．

类似．对三元函数来说，它在空间一点沿方向的方向导数为

l xoy ()000,y x P ()cos ,cos l e αβ=l l αcos 0t x x +=βcos 0t y y +=()0≥t =

z ()

y x f ,()000,y x P ()0p U ()βαcos ,cos 000t y t x P ++l ()0p U p ∈p 0p t pp =0()()

t y x f t y t x f 0000,cos ,cos -++βαp l 0p ()

+

→0t ()y x f ,0p l ()

00,|y x l f

??()00,|y x l f

??()()t y x f t y t x f t 00000,cos ,cos lim

-++=+→βα()

00,|y x l f

??()y x f ,()000,y x P l ()y x f ,()000,y x P i e l

=()0,1=()00,|y x l

f

??()()t y x f y t x f t 00000,,lim

-+=+→()00,y x f x =l e j =()1,0=()00,|y x l f

??()()t y x f y t x f t 00000,,lim -+=+→()00,y x f y =i e l =()0,0|z l ??()

0,0|z

x ??22y x z +=()0,0i l =()00,|y x l z ??1=()00,|y x x z

??()z y x f ,,()0000,,z y x P ()

γβαcos ,cos ,cos =l e

()000,,|z y x l f

??()t t z t y t x f t γβαcos ,cos ,cos lim

0000+++=+→

2．方向导数的存在性及其计算方法 函数具备什么条件才能保证在点沿任一方向的方向导数存在？它和该点偏

导数又有什么关系？有如下定理

定理 若在点可微分，则函数在该点沿任一方向的方向导数存在

且有

其中是方向的方向余弦

证在点可微分

点

在以 为始点的射线上时应有

， ，

所以

这就证明了方向导数存在，且其值为

同样可以证明在点可微分，则函数在该点沿着方向

的方向导数

二、梯度

1． 二元函数梯度定义 设在区域内具有一阶连续导数，点

，则向量

称为在点的梯度，记作

，即

()000,y x P ()y x f ,()000,y x P l ()00,|y x l f

??()()β

αcos ,cos ,0000y x f y x f y x +=βαcos ,cos L ()y x f ,()00,y x ∴

()y y x x f ?+?+00,()

00,y x f -()()()()

2

2

00000,,y x y y x f x y x f y x ?+?+?+?=()y y x x ?+?+00,()00,y x l αcos t x =?βcos t y =?()()2

2y x ?+?t =()()

t

y x f t y t x f t 00000

,cos ,cos lim -+++

→βα()()β

αcos ,cos ,0000y x f y x f y x +=()00,|y x l f

??()()β

αcos ,cos ,0

000y x f y x f y x +=()z y x f ,,()000,,z y x ()

γβαcos ,cos ,cos =→

l e ()

()()()γ

βαcos ,,cos ,,cos ,,000000000,,000z y x f z y x f z y x f l

f

z y x z y x ++=??()y x f ,D ()D y x P ∈000,()()→

→+j

y x f i y x f y x 0000,,()y x f ,()000,y x P ()00,y x gradf

2． 二元函数梯度与方向导数的关系

若在点可微分，是与方向同向的单位向量，则

其中

当时，方向导数取得最大值，这个最大值就是梯度的模

．

由上知：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值．

在几何上表示一个曲面这曲面被平面（是常数）所截得曲线的方程为，在

面上的投影是一条平面曲线，它在平面直角坐标系

中的方程为，对上一切点，已给函数的函数值都是，称为的等值线．

若，不同时为零，则等值线上任一点处的一个单位法向

量为

这表明

的方向与等值线上这点的一个法线方向相同．

而沿这个方向的方向导数就等于于是

，

这一关系式表明函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同，它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线．梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数．

()()()→

→+=j

y x f i y x f y x gradf y x 000000,,,()y x f ,()000,y x P ()βαcos ,cos =→

l e l ()

()()()()()000000,000000,cos ,cos ,,cos ,cos x y x y l

l f

f x y f x y l gradf x y e gradf x y e gradf x y αβ

θθ

→

→

?=+?=?==()?

?? ??

=→

l e y x gradf ,,00θ0=θ()

00,y x l

f

??()

00,y x gradf ()y x f z ,=c z =c L ()???==c z y x f z ,L xoy L xoy ()c y x f =,L c L ()y x f z ,=x f y f ()c y x f =,()000,y x P ()()

()()()

002002

,,,,,1

y x f y x f y x f

y x f

n y

x

y

x

+

=

→

()00,y x gradf n f

??()00,y x gradf ()n f y x gradf ??=00,

3．三元函数梯度概念与方向导数关系 类似 设

在空间区域G 内具有一阶连续偏导数,则对于每一点

都可以定出一个向量，

为

在点的梯度，记做即

，

与二元函数类似，三元函数的梯度也是一个向量，它的方向与取得最大导数的方向一致，它的模为方向导数的最大值．

若曲面

=，为

的等量面，则在点

的梯度方向与过点的等量面=在这点的法

线的一个方向相同，它的指向为从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数．

()z y x f ,,()G z y x P ∈0000,,()()()κ

000000000,,,,,,z y x f z y x f z y x f y x Z ++()z y x f ,,()0000,,z y x p ()000,,z y x gradf ()=

000,,z y x gradf ()()()κ

000000000,,,,,,z y x f z y x f z y x f y x Z ++()z y x f ,,c

()z y x f ,,()z y x f ,,()0000,,z y x P ()0000,,z y x P ()z y x f ,,c

方向导数和梯度

§ 3 方向导数和梯度 附录：数量场，向量场 数量场：设D 是n R 中的一个区域，f 是定义在D 内的一个实值函数，即R D f →:。则称在D 内有一个数量场f ，或称f 是D 内的数量场。 例如：教室中每一点的温度、位置等；点电荷形成的电位切； 磁铁周围磁力的大小. 等值面：设f 是D 内的一个数量场，称})({C x f D x s =∈= （C 是常数）是数量场f 的等值面，即在S 内每一点x 处，f 所对应的数值是相同的，都等于C. 特别当D 是2R 中的区域时，称S 等值线. 例如：天气预报中的等温面，等压面；地势图上的等高线（海拔相同）. 向量场 一、 方向导数 1. 方向导数的定义 三元函数f 在点),,(0000z y x P 的三个偏导数，分别是函数f 在点),,(0000z y x P 沿着平行于坐标轴的直线方向（双向）上的变化率. 函数f 在点0P 沿射线l （单向）方向的变化率，即f 在点0P 沿方向l 的方向导数. 定义1（P124）设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域)(0P ?3R 内有定义 ， l 为从点0P 出 发的射线 . ),,(z y x P 为l 上且含于)(0P 内的任一点 , 以ρ表示P 与0P 两点间的距离 . 若极限 ρρρρf P f P f l ?=-++→→000lim )()(lim 存在 , 则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数 , 记为0P l f ?? 或)(0P f l 、),,(000z y x f l . 定义1' 设D 是3R 中的一个区域，f 是D 内的一个数量场，D P ∈0，l 是3R 中的一个单位向量，即,1=l 如果t P f tl P f t )()(lim 000-++ →，存在，则称此极限是数量场f 在点0P 沿方向l 的方向导数，记为)(0P l f ??，即t P f tl P f P l f t )()(lim )(0000-+=??+→。也称它是函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数，它表示数量场f 在点0P 沿方向l 的变化率。 易见，x f ??、y f ?? 和 z f ??是三元函数f 在点0P 分别沿X 轴正向、Y 轴正向和Z 轴正向的方向导数. 对二元函数),(y x f z =在点),(000y x P , 可仿此定义方向导数 . 根据定义计算方向导数 例1 （P125，有补充）),,(z y x f =32z y x ++. 求f 在点0P ) 1 , 1 , 1 (处沿l 方向的方向导数,

14方向导数与梯度

方向导数与梯度第六节 经常需要研究函数在某点沿某一固定方向的变化率问在实际问题中，z?),xyz?f(实际上就是点的偏导数题，例如我们所学习的函数x?x)x,yP(沿轴方向变化时函数的变化率，由此引入方向导数的概念。一、方向导数PQ方向的变不难看出函数沿我们以二元函数为例介绍方向导数。化率可以用如下极限表示)f(Pf(Q)?lim||PQ0|PQ|?l)f(x,yz?)(x,yP)UP(内有定义，设函数在点的某邻域为一000e),bai?bj?(ae?LP相引射线，方向与，自点向量，其单位向量为exOy),yP(xL为方向向量的直线，由解同，由于面上通过点是且以00L析几何知射线的参数方程为tax??x?0??t?0?。 ?tb??yy?0ta?x?x?0)x,y(QL，则上任意取一点。在 ?y?y?tb?0Qetb)?,(?)?,xx?PQ(?yytaP两点间的距，所以到由于001 t?|?|t|?|PQ||t(a,b)离为 y L Q

P x O )y?f(x,z)P(x,ye的变化率我们可以用函数则函数在点处沿方向 00Q)(P(fQ)?ftP增量到点的比值与点的距离)fy(x,,f(x?tay?tb)?)(P)f(Q?f0000? tt?0?tQlP）时的极限来表示，该极限为函数当趋于点沿直线（即e)?zf(x,yP处沿方向的变化率，称为方向导数。在点l)(xy,?zf)x,Py(的某个邻域内有定义，设函数定义是在点00)b,(?ea 为，如果极限一非零向量，其单位向量l2 )y(x,(x?ta,y?tb)?ff0000lim t?0?t l)yz?f(x,),Py(x的方向导在点处沿方向存在，则称此极限为函数00f?|数，记作，即)x(,y 00l?),yy?tb)?f(xtaf(x?,f?0000|lim?。)yx,( t00?l?0t?f?),yz?f(x|就是函数由方向导数的定义可知，方向导数),y(x00l?l)Py(x,处沿方向在点的变化率。00f?),0?(1e?i|则在地特别，如果，存取，且l)x,y(x?00f?f??f),1j?(0e?|?||则存在取，。如果且，l)yx)(x,y,(),xy(x?x?000000l?f??f|?|。注意，反之未然。))y,(x,(xy y?0000l?方向导数的计算本质上仍然是一元函数导数的计算，因为若令 ?)?tb?ta,y?(t)f(x，则00??)xf(,y)y?f(xta,?tb?)?0(t()0000limlim?， tt??00t?t?3

(整理)第七节方向导数与梯度

第七节 方向导数与梯度 要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。 重点：方向导数与梯度的计算。 难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。 作业：习题8－7（60P ）2,4,6,8,10 一．方向导数 问题提出：在许多实际问题中，常常需要知道函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任意方向或某个方向的变化率．例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题． 1．方向导数定义 设函数),(y x f z =在点(,)P x y 的某一邻域内有定义，自P 点引有向直线L ，x 轴正向与直线L 夹角为?，在L 上任取一点'(,)P x x y y +?+?，若'P 沿着L 趋近于P 时，即当0)()(22→?+?= y x ρ时，极限 ρ ρ) ,(),(lim y x f y y x x f -?+?+→ 存在 则称此极限值为函数在点P 沿着L 方向的方向导数．记作 ρ ρ),(),(lim 0y x f y y x x f L f -?+?+=??→． 说明 （1）规定逆时针方向旋转生成的角是正角0>?，顺时针方向旋转生成的角是负角 0

(整理)第七节方向导数与梯度讲课稿

(整理)第七节方向导 数与梯度

第七节 方向导数与梯度 要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。 重点：方向导数与梯度的计算。 难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。 作业：习题8－7（60P ）2,4,6,8,10 一．方向导数 问题提出：在许多实际问题中，常常需要知道函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任意方向或某个方向的变化率．例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题． 1．方向导数定义 设函数),(y x f z =在点(,)P x y 的某一邻域内有定义，自P 点引有向直线L ， x 轴正向与直线L 夹角为?，在L 上任取一点'(,)P x x y y +?+?，若'P 沿着L 趋 近于P 时，即当0)()(22→?+?=y x ρ时，极限 ρ ρ) ,(),(lim y x f y y x x f -?+?+→ 存在 则称此极限值为函数在点P 沿着L 方向的方向导数．记作 ρ ρ),(),(lim 0y x f y y x x f L f -?+?+=??→． 说明 （1）规定逆时针方向旋转生成的角是正角0>?，顺时针方向旋转生成的角是负角0

2．方向导数的计算 定理 若函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，那么函数),(y x f z =在点 (,)P x y 沿任一方向L 的方向导数都存在，且有计算公式 ??sin cos y f x f L f ??+??=??{},cos ,sin ,f f f f e x y x y ??????????=?=????????????? r ． 其中?为x 轴到方向L 的转角，e r 是与L 同方向的单位向量． 证明：因为函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，所以有 ()f f f x y o x y ρ???= ?+?+??， 上式两边同除以ρ，得 ()() cos sin f f x f y o f f o x y x y ρρ??ρ ρρρρ ???????= ++=++????，则 0lim cos sin f f f f L x y ρ??ρ→????==+??? 例1．求函数y xe z 2=在点(1,0)P 处沿从点(1,0)P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数． 解 这里方向L 即向量{}1,1PQ =-u u u r 的方向，因此x 轴到L 方向的转角4π?=, 又因为y e x z 2=??，y xe y z 22=??，所以在点)0,1(处，1=??x z ，2=??y z ， 于是方向导数为 2 2)4sin(2)4cos(1-=-+-?=??ππL z ． 另一方法．

第七节 方向导数与梯度

第七节 方向导数与梯度 ㈠本课的基本要求 理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法 ㈡本课的重点、难点 方向导数和梯度的概念为重点、其计算方法为难点 ㈢教学内容 一．方向导数 偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率。但许多物理现象告诉我们，考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的。例如，热空气是向冷的地方流动，气象学中就是确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率。因此我们有必要来讨论函数沿任一指定方向的变化率问题。 设l 是xoy 平面上以),(000y x P 为始点的一条射线，)cos ,(cos βα=l e 是与l 同方向的单位向量。射线l 的参数方程为)0(,cos ,cos 00≥+=+=t t y y t x x βα。设函数 ) ,(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域)(0P U 内有定义，)cos ,cos (00βαt y t x P ++为l 上另一点，且)(0P U P ∈。如果函数增量),()cos ,cos (0000y x f t y t x f -++βα与P 到0P 的距离 t PP =0的比值 t y x f t y t x f ),()cos ,cos (0000-++βα，当P 沿着l 趋于0P （即+ →0t ） 时的极限存在，则称此极限为函数),(y x f 在点0P 沿方向l 的方向导数，记作 ) ,(00y x l f ??，即 lim 0) ,(00+ →=??t y x l f t y x f t y t x f ) ,()cos ,cos (0000-++βα。 ⑴ 注意 在方向导数中，由于ρ总是正的，因此是单向导数，即方向导数是函数沿射线方向的变化率。而在偏导数中，x ?与y ?的值则可正可负，因此，如果函数),(y x f z =在点P 沿着x 轴正向}0,1{=i ，y 轴正向}1,0{=j 的方向导数存在，其值就是y x f f ,；如果函数 ),(y x f z =在点P 沿着x 轴负向}0,1{-=-i ，y 轴负向}1,0{-=-j 的方向导数存在，其 值就是y x f f --,。 从方向导数的定义可知，方向导数 ) ,(00y x l f ??就是函数),(y x f z =在点),(000y x P 处沿方向l 的变化率。若函数),(y x f z =在点),(000y x P 的偏导数存在，}0,1{==i e l ，则 lim 0) ,(00+ →=??t y x l f t y x f t y t x f ) ,()cos ,cos (0000-++βα),(00y x f x =；

导数-偏导数-方向导数-梯度及其关系

导数：()()()00' 00 0lim lim x x f x x f x y f x x x ? →?→+?-?==??,导数的意义为函数的变化率。由定义可知，导数是对应一元函数的。 偏 导 数 ： ()()() 0000000 ,,,lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=? ()()() 0000000 ,,,lim y y f x y y f x y f x y y ?→+?-=? 偏导数是对应于多元函数的。其意义是：偏 导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率。 方向导数：设l 为xOy 平面上以()000,P x y 为始发点的一条射线，()cos ,cos l αβ=e 是与l 同方向的单位向量。则该射线的参数方程为： 00cos cos x x t y y t αβ =+=+ ,那么，函数(,)f x y ,在 ()000,P x y 沿l 方向的方向导数为： () ()() 0000000 ,cos ,y cos ,lim t x y f x t t f x y f l t αβ+ →++-?=?。 从方向导数的定义可知，方向导数 () 00,x y f l ??就是函数(,)f x y 在点()000,P x y 沿方向l 的变 化率。方向导数也是对应于多元函数的。方向导数是一个标量值。 方向导数与偏导数的关系：如果函数(,)f x y 在点()000,P x y 可微分，那么函数在改点沿任意方向l 的方向导数存在，且有 () ()()000000,,cos ,cos x y x y f f x y f x y l αβ?=+? ,其中 ()cos ,cos l e αβ=为方向l 的方向余弦。 （若方向()1,0l =e 也就是x 轴方向，则() 0000,(,)x x y f f x y l ?=?，若方向()0,1l =e 也就是y 轴方向，则 () 0000,(,)y x y f f x y l ?=?） 梯度：设函数(,)f x y 在平面区域D 内有一阶连续偏导数，则对于每一个点()000,P x y D ∈都可以定出一个向量()()0000,,x y f x y f x y +i j ，这向量称为函数(,)f x y 在点()000,P x y 的梯度，即()()()000000 ,,,x y f x y f x y f x y =+grad i j 。

方向导数与梯度在工程和生活中的应用

方向导数与梯度 一、方向导数 1．概念 设是平面上以为始点的一条射线．是与 同方向的单位向量射线的参数方程为 设函数在点的某个邻域 内有定义，为上另一点，且,到的距离 若当沿着趋于即时的 极限存在，则称此极限为函数在点沿方向的方向导数．记作 即 有定义可知是在点沿方向的变化率． 若在点偏导数存在则 又若 则 但反之 若 存在．则不一定存在．如在点处沿 方向的方向导数，而偏导数不存在． 类似．对三元函数来说，它在空间一点沿方向的方向导数为 l xoy ()000,y x P ()cos ,cos l e αβ=l l αcos 0t x x +=βcos 0t y y +=()0≥t = z () y x f ,()000,y x P ()0p U ()βαcos ,cos 000t y t x P ++l ()0p U p ∈p 0p t pp =0()() t y x f t y t x f 0000,cos ,cos -++βαp l 0p () + →0t ()y x f ,0p l () 00,|y x l f ??()00,|y x l f ??()()t y x f t y t x f t 00000,cos ,cos lim -++=+→βα() 00,|y x l f ??()y x f ,()000,y x P l ()y x f ,()000,y x P i e l =()0,1=()00,|y x l f ??()()t y x f y t x f t 00000,,lim -+=+→()00,y x f x =l e j =()1,0=()00,|y x l f ??()()t y x f y t x f t 00000,,lim -+=+→()00,y x f y =i e l =()0,0|z l ??() 0,0|z x ??22y x z +=()0,0i l =()00,|y x l z ??1=()00,|y x x z ??()z y x f ,,()0000,,z y x P () γβαcos ,cos ,cos =l e ()000,,|z y x l f ??()t t z t y t x f t γβαcos ,cos ,cos lim 0000+++=+→

4.7—方向导数与梯度

第七节 方向导数与梯度 教学目的：(1) 理解方向导数和梯度的概念; (2) 掌握方向导数和梯度的计算方法。 教学重点：方向导数和梯度的计算 教学难点：方向导数和梯度的概念 教学方法：讲练结合 教学时数：2课时 一、问题的提出 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行． 二、方向导数 由偏导数的定义知,z x ??是),(y x f z =沿x 轴方向的变化率, z y ??是),(y x f z =沿y 轴 方向的变化率. 问题: 讨论函数),(y x f z =在一点0P 沿其他方向的变化率． 1、定义:设函数),(y x f z =在点0P 的某一邻域)(P U 内有定义，l 为非零向量,其方向 角为αβ和. 若极限 00000(cos ,cos )(,) lim f x y f x y ρραρβρ + →++-存在,则称 这极限为函数),(y x f z =在点0P 沿方向l 的方向导数。 记为 00000 (cos ,cos )(,) lim P f x y f x y f l ρραρβρ + →++-?=? 说明: (1). 方向导数的几何意义：方向导数 P f l ??就是函数),(y x f z =在点0P 沿方向l 的变化率. (2).依定义，函数),(y x f z =在点0P 处的偏导数存在时,则函数),(y x f 在点0P 沿着x 轴正向}0,1{1=e 、y 轴正向}1,0{2=e 的方向导数分别为y x f f ,；沿着x 轴负向、y 轴负向 o y x l (,) P x y ?? 000(,) P x y l e