高考数学试卷理科001
高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）设=（1，﹣2），=（﹣3，4），=（3，2）则=（）
A．（﹣15，12）B．0 C．﹣3 D．﹣11
2．（5分）若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则（）A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”必要条件
3．（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为
（）
A．B．C．D．
4．（5分）函数的定义域为（）
A．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）B．（﹣4，0）∪（0.1）C．[﹣4，0）∪（0，1] D．[﹣4，0）∪（0，1）
5．（5分）将函数y=sin（x﹣θ）的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则θ的一个可能取值是（）
A．B．C．D．
6．（5分）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）
A．540 B．300 C．180 D．150
7．（5分）若f（x）=﹣x2+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是
（）
A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1）8．（5分）已知m∈N*，a，b∈R，若，则a?b=（）
A．﹣m B．m C．﹣1 D．1
9．（5分）过点A（11，2）作圆x2+y2+2x﹣4y﹣164=0的弦，其中弦长为整数的共有（）
A．16条B．17条C．32条D．34条
10．（5分）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①a1+c1=a2+c2；②a1﹣c1=a2﹣c2；③c1a2＞a1c2；④．
其中正确式子的序号是（）
A．①③B．②③C．①④D．②④
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）设z1是复数，z2=z1﹣i1，（其中1表示z1的共轭复数），已知z2的实部是﹣1，则z2的虚部为．
12．（5分）在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3，b=4，c=6，则bccosA+cacosB+abcosC的值为．
13．（5分）已知函数f（x）=x2+2x+a，f（bx）=9x2﹣6x+2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f（ax+b）=0的解集为．
14．（5分）已知函数f（x）=2x，等差数列{ax}的公差为2．若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2[f（a1）?f（a2）?f（a3）?…?f（a10）]=．
15．（5分）观察下列等式：
，
，
，
，
，
，
…
，
可以推测，当k≥2（k∈N*）时，=ak﹣2=．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）已知函数f（t）
=．
（Ⅰ）将函数g（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；（Ⅱ）求函数g（x）的值域．
17．（12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．
（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若η=aξ+b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．
18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1．（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明．
19．（13分）如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|﹣|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C 过点P．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F．若△OEF的面积不小于，求直线l斜率的取值范围．
20．（12分）水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以i﹣1＜t＜i表示第i月份（i=1，2，…，12），同一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）．
21．（14分）已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，
，其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】先求出向量，然后再与向量进行点乘运算即可得到答案．
【解答】解：∵=（1，﹣2）+2（﹣3，4）=（﹣5，6），
=（﹣5，6）?（3，2）=﹣3，
故选C
【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算．属基础题．
2．（5分）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】找出A，B，C之间的联系，画出韦恩图
【解答】解：x∈A?x∈C，但是x∈C不能?x∈A，所以B正确．
另外画出韦恩图，也能判断B选项正确
故选B．
【点评】此题较为简单，关键是要正确画出韦恩图，再结合选项进行判断．
3．（5分）
【考点】球的体积和表面积．
【分析】做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可．【解答】解：截面面积为π?截面圆半径为1，又与球心距离为1?球的半径是，
所以根据球的体积公式知，
故选B．
【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及学生对圆的性质认识，进一步求解的能力，是基础题．
4．（5分）
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【分析】函数的定义域要求分母不为0，负数不能开偶次方，真数大于零．
【解答】解：函数的定义域必须满足条件：
故选D．
【点评】不等式组的解集是取各不等式的解集的交集．
5．（5分）
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．
【分析】根据题设中函数图象平移可得F，的解析式为，进而得到对称轴方程，把
代入即可．
【解答】解：平移得到图象F，的解析式为，
对称轴方程，
把代入得，令k=﹣1，
故选A
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属基础题．
6．（5分）
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分析有将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案．
【解答】解：将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，
分成1、1、3时，有C53?A33种分法，
分成2、2、1时，有种分法，
所以共有种方案，
故选D．
【点评】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．7．（5分）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案．
【解答】解：由题意可知，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，
即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，
由于y=x（x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y（﹣1）=﹣1，所以b≤﹣1，
故选C
【点评】本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题．即导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．
8．（5分）
【考点】极限及其运算．
【分析】通过二项式定理，由可得
=b，结合极限的性质可知a=﹣1，b=m，由此可得a?b=﹣m．
【解答】解：∵，
∴=b，
结合极限的性质可知，
∴a=﹣1，b=m?a?b=﹣m
故选A．
【点评】本题考查二项式定理和极限的概念，解题时要认真审题，仔细解答．
9．（5分）
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】化简圆的方程为标准方程，求出弦长的最小值和最大值，取其整数个数．
【解答】解：圆的标准方程是：（x+1）2+（y﹣2）2=132，圆心（﹣1，2），半径r=13过点A（11，2）的最短的弦长为10，最长的弦长为26，（分别只有一条）还有长度为11，12，…，25的各2条，所以共有弦长为整数的2+2×15=32条．
故选C．
【点评】本题实际上是求弦长问题，容易出错的地方是：除最小最大弦长外，各有2条．10．（5分）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据图象可知a1＞a2，c1＞c2，进而根据基本不等式的性质可知a1+c1＞a2+c2；
进而判断①④不正确．③正确；根据a1﹣c1=|PF|，a2﹣c2=|PF|可知a1﹣c1=a2
﹣c2；
【解答】解：如图可知a1＞a2，c1＞c2，
∴a1+c1＞a2+c2；
∴①不正确，
∵a1﹣c1=|PF|，a2﹣c2=|PF|，
∴a1﹣c1=a2﹣c2；②正确．
a1+c2=a2+c1
可得（a1+c2）2=（a2+c1）2，
a12﹣c12+2a1c2=a22﹣c22+2a2c1，
即b12+2a1c2=b22+2a2c1，∵b1＞b2
所以c1a2＞a1c2
③正确；
可得，④不正确．
故选B．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
【分析】设出复数z1的代数形式，代入z2并化简为a+bi（a，b∈R）的形式，令实部为﹣1，可求虚部的值．
【解答】解：设z1=x+yi（x，y∈R），则z2=x+yi﹣i（x﹣yi）
=（x﹣y）+（y﹣x）i，故有x﹣y=﹣1，y﹣x=1．
答案：1
【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，是基础题．
12．（5分）
【考点】余弦定理．
【分析】利用余弦定理的变式化角为边，进行化简．
【解答】解：由余弦定理，bccosA+cacosB+abcosC
=bc×+ca×+ab×
=
故应填
【点评】考查利用余弦定理的变式变形，达到用已知来表示未知的目的．
13．（5分）
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】先通过f（x）的解析式求出f（bx），建立等量关系，利用对应相等求出a，b，最后解一个一元二次方程即得．
【解答】解：由题意知f（bx）=b2x2+2bx+a=9x2﹣6x+2
∴a=2，b=﹣3．
所以f（2x﹣3）=4x2﹣8x+5=0，
△＜0，所以解集为?．
故答案为?
【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，函数思想和方程思想密切相关，相辅相成，为解决数学综合问题提供了思路和方法．
14．（5分）
【考点】等差数列的性质；对数的运算性质．
【分析】先根据等差数列{ax}的公差为2和a2+a4+a6+a8+a10=2进而可得到
a1+a3+a5+a7+a9=2﹣5×2=﹣8，即可得到a1+…+a10=﹣6，
，即可求出答案．
【解答】解：依题意a2+a4+a6+a8+a10=2，所以a1+a3+a5+a7+a9=2﹣5×2=﹣8
∴
?log2[f（a1）?f（a2）?f（a3）?…?f（a10）]=﹣6
故答案为：﹣6
【点评】本题主要考查等差数列的性质和指数函数的运算法则．属基础题．
15．（5分）
【考点】归纳推理．
【分析】观察每一个式子当k≥2时，第一项的系数发现符合，第二项的系数发现都是，第三项的系数是成等差数列的，所以，第四项均为零，所以ak﹣2=0．
【解答】解：由观察可知当k≥2时，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，
所以，第四项均为零，所以ak﹣2=0，
故答案为，0．
【点评】本题考查了归纳推理，由特殊到一般．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）
【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域．
【分析】（1）将f（sinx），f（cosx）代入g（x），分子分母分别乘以（1﹣sinx），（1﹣cosx）去掉根号，再由x的范围去绝对值可得答案．
（2）先由x的范围求出x+的范围，再由三角函数的单调性可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）
=
∵，
∴
=sinx+cosx﹣2
=
（Ⅱ）由，得
∵sint在上为减函数，在上为增函数，
又（当
），
即，
故g（x）的值域为
【点评】本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力．
17．（12分）
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=k）=，可出分布列，再由期
望、方差的定义求期望和方差；
（2）若η=aξ+b，由期望和方差的性质Eη=aEξ+b，Dη=a2Dξ，解方程组可求出a和b．【解答】解：
（Ⅰ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4
分布列为：
ξ0 1 2 3 4
P
∴．
．
（Ⅱ）由Dη=a2Dξ，得a2×2.75=11，即
a=±2．又Eη=aEξ+b，所以
当a=2时，由1=2×1.5+b，得b=﹣2；
当a=﹣2时，由1=﹣2×1.5+b，得b=4．
∴或即为所求．
【点评】本题考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力．18．（12分）
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．
【分析】本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力．
（1）若要证明AB⊥BC，可以先证明AB⊥平面BC1，由线面垂直的性质得到线线垂直．（2）要判断直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1﹣BC﹣A的大小为φ的大小关系，可以先做出二面角的平面角，再根据三角函数的单调性进行解答．也可以根据（1）的结论，以以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系利用空间向量，求出两个角的正弦值，再根据三角函数的单调性解答．
【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，得
AD⊥平面A1BC，又BC?平面A1BC，
所以AD⊥BC．
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
则AA1⊥底面ABC，
所以AA1⊥BC．
又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，
又AB?侧面A1ABB1，故AB⊥BC．
（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，
∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA1=φ，
于是在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，
由AB＜AC，得sinθ＜sinφ，又，所以θ＜φ，
解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分
别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AA1=a，AC=b，
AB=c，则B（0，0，0），A（0，c，0），，于是，
．
设平面A1BC的一个法向量为n=（x，y，z），
则由．得．
可取n=（0，﹣a，c），于是与n的夹角β为锐角，则β与θ互为余角．，，所以，
于是由c＜b，得，
即sinθ＜sinφ，又，所以θ＜φ，
【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．
本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系?明确相关点的坐标?明确相关向量的坐标?通过空间向量的坐标运算求解．
19．（13分）
【考点】轨迹方程；双曲线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，由题意得|MA|﹣|MB|=|PA|﹣|PB|=﹣=2＜
|AB|=4．由此可知曲线C的方程；
（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6=0．由此入手能够求出直线l的斜率的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）解：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
则A（﹣2，0），B（2，0），D（0，2），P（），依题意得
|MA|﹣|MB|=|PA|﹣|PB|
=﹣
=2＜|AB|=4．
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c=2，2a=2，∴a2=2，b2=c2﹣a2=2．
∴曲线C的方程为．
（Ⅱ）解：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6=0．
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴?．
∴．②
设E（x1，y1），F（x2，y2），则由①式得
|x1﹣x2|=．③
当E、F在同一支上时
S△OEF=|S△ODF﹣S△ODE|=|OD|?||x1|﹣|x2||=|OD|?|x1﹣x2|；
当E、F在不同支上时
S△OEF=S△ODF+S△ODE=|OD|?（|x1|+|x2|）=|OD|?|x1﹣x2|．
综上得S△OEF=，于是由|OD|=2及③式，
得S△OEF=．
若△OEF面积不小于2，即，
则有?k2≤2，解得．④
综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为且k≠±1
【点评】本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力
20．（12分）
【考点】分段函数的应用；函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）分段求出水库的蓄求量小于50时x的取值范围，注意实际问题x要取整．（2）一年内该水库的最大蓄水量肯定不在枯水期，则V（t）的最大值只能在（4，10）内达到，然后通过导数在给定区间上研究V（t）的最大值，最后注意作答．
【解答】解：（Ⅰ）①当0＜t≤10时，，化简得t2﹣14t+40＞0，
解得t＜4，或t＞10，又0＜t≤10，故0＜t＜4．
②当10＜t≤12时，V（t）=4（t﹣10）（3t﹣41）+50＜50，化简得（t﹣10）（3t﹣41）＜0，
解得，又10＜t≤12，故10＜t≤12．
综合得0＜t＜4，或10＜t≤12；
故知枯水期为1月，2月，3月，4，11月，12月共6个月．
（Ⅱ）（Ⅰ）知：V（t）的最大值只能在（4，10）内达到．
由V′（t）=，
令V′（t）=0，解得t=8（t=﹣2舍去）．
当t变化时，V′（t）与V（t）的变化情况如下表：
t （4，
8）8 （8，
10）
V′（t）+ 0 ﹣
V（t）极大值
由上表，V（t）在t=8时取得最大值V（8）=8e2+50=108.32（亿立方米）．
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米
【点评】本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力．
21．（14分）
【考点】等比关系的确定．
【分析】（1）这种证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．
（2）用数列an构造一个新数列，我们写出新数列的第n+1项和第n项之间的关系，发现λ的取值影响数列的性质，所以要对λ进行讨论．
（3）根据前面的运算写出数列的前n项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意n的奇偶情况要分类讨论．
【解答】解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，即
，矛盾．
所以{an}不是等比数列．
（Ⅱ）解：因为bn+1=（﹣1）n+1[an+1﹣3（n+1）+21]=（﹣1）n+1（an﹣2n+14）
=（﹣1）n?（an﹣3n+21）=﹣bn
又b1=﹣（λ+18），所以
当λ=﹣18，bn=0（n∈N+），此时{bn}不是等比数列：
当λ≠﹣18时，b1=（λ+18）≠0，由上可知bn≠0，
∴（n∈N+）．
故当λ≠﹣18时，数列{bn}是以﹣（λ+18）为首项，﹣为公比的等比数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当λ=﹣18，bn=0，Sn=0，不满足题目要求．
∴λ≠﹣18，故知bn=﹣（λ+18）?（﹣）n﹣1，于是可得
Sn=﹣，
要使a＜Sn＜b对任意正整数n成立，
即a＜﹣（λ+18）?[1﹣（﹣）n]＜b（n∈N+）
得
①
当n为正奇数时，1＜f（n）≤；当n为正偶数时，，
∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，．
于是，由①式得a＜﹣（λ+18）＜．
当a＜b≤3a时，由﹣b﹣18≥=﹣3a﹣18，不存在实数满足题目要求；
当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b，且λ的取值范围是（﹣b﹣18，﹣3a﹣18）
【点评】这道题目的难度要高于高考题的难度，若函数题是一套卷的压轴题，可以出到这个难度，否则本题偏难，本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力．
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（附详细答案）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1.（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为.
2.（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=.
3.（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是.
4.（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是.
5.（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为
的交点，则φ的值是.
6.（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm.
7.（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是.
8.（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面
积相等，且=，则的值是.
9.（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为.
10.（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是.
11.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是.
12.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则
?的值是.
13.（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是.
14.（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是.
二、解答题（本大题共6小题，共计90分）
15.（14分）已知α∈（，π），sinα=.
（1）求sin（+α）的值；
（2）求cos（﹣2α）的值.
16.（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC.
17.（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；
（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.
18.（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O 正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=.
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
19.（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数.
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论.
20.（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.
（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；
（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn （n∈N*）成立.
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修41：几何证明选讲】
21.（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D.
【选修42：矩阵与变换】
22.（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值.
【选修43：极坐标及参数方程】
23.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为.
【选修44：不等式选讲】
24.已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy.
(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）
25.（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）.
26.（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*. （1）求2f1（）+f2（）的值；
（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立.
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参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）