九年级下册三角函数教学案
课题：§7.1正切
一、教学目标：
1．理解并掌握正切的定义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值； 2. 了解计算一个锐角的正切值的方法. 二、自主学习：
1．下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？
2．思考与探索：
除了用∠A 的大小来描述倾斜程度，我们还可以
（1）可通过测量BC 与AC 的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度. （2）可通过测量B 1C 1与A 1C 1的长度，再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度.
总结：一般地，如果锐角A 的大小确定，我们可以作出无数个以A 为一个顶点的直角三形（如图），那么图中： 112212
B C B C BC AC AC AC ==成立吗？为什么？
结论： . 3．正切的定义：
.
三、释疑解难：
思考：当∠A 越来越大时，∠A 的正切值如何变化？
四、例题讲解：
1.根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A 、∠B 的正切值.
通过上述计算，你有什么发现？
2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的高，AC =3，AB =5，求∠ACD 、∠BCD 的正切值．
C
B
A
C
B
A 变式：如图，在Rt △ABC 中，∠AC
B ＝90°，CD 是斜边A B 上的高.
①tan A ＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿；②tan B ＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿； ③tan ∠ACD ＝＿＿＿＿；④tan ∠BCD ＝＿＿＿＿；
五：当堂检测： A 级（100分）
1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝ 5 ，求tan A 与tan B 的值．
2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12，tan A ＝4
3
，求AB 的值．
3．如图，在4×4的正方形网格中，tan α=__________.
4．在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－4,1)，
B (－1，3)，
C (－4,3)，则tan B =___________.（先画图再填空）
5．如图,在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =12，tan A =2，求AB 的值.
B 级（20分）
6．等腰三角形ABC 的腰长AB ，AC 为5，底边长为6，求tan C .
课题：§7. 2正弦、余弦(1)
一、教学目标：
1．理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值；
2. 能用函数的观点理解正弦、余弦和正切.
二、自主学习：
问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？
问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？
思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________．（根据是______________________．）
正弦的定义：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作________，
即：sin A＝________=________.
余弦的定义：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，
即：cos A=______=_____.
（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.
根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角
．．的正弦、余弦值.
三、释疑解难：
从sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？
____________________________________________________________.
从cos15°，cos30°，cos75°的值，你们得到什么结论？
____________________________________________________________.
B A
C 5
12 B C A
2
3 问题4：锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的__________
归纳与小结：sin A ＝ ；cos A ＝ ；tan A ＝
．
2．锐角A 的正弦，余弦和正切都是∠A 的_________________．
3．当锐角α越来越大时，α的正弦值越来___________，α的余弦值越来___________.
四、例题讲解：
1. 根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A 的三个三角函数值.
变式：如果方程x 2
－4x ＋3＝0的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，求sin A 的值.
五：当堂检测： A 级（100分）
1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，则sin A ＝_____，
cos A ＝_____，sin B ＝_____，cos B ＝_____.
2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则sin A ＝_ _，cos B =____，cos A =_______，sin B =____.
3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝9a ，AC ＝12a ，AB ＝15a ，tan B =____，cos B =____，sin B =_______.
4．已知：如图，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D
sin A ＝( )
AC
＝
BC ( )；sin B ＝CD
( )
＝
( )
AB
cos ∠ACD ＝CD ( ) ；cos ∠BCD ＝( )
BC
tan A ＝
CD
( )＝( )AC ；tan B ＝( )BD ＝AC
( )
5．如图，已知Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B =40°，则直角边BC 的长是（ ） A ．m ·sin40°
B ．m ·cos40°
C ．m ·tan40°
D ． m
tan40°
B 级（20分）
A 3 C 2
B
6．在△ABC 中，∠C =90°，如果sin A ＝2
3
，求sin B ，tan B 的值．
课题：§7. 2正弦、余弦(2)
一、教学目标：
1．能够根据直角三角形的边角关系进行计算；
2. 能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角. 二、自主学习：
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，分别写出∠A 的三角函数关系式： sin A ＝___ __，cos A =____ _，tan A ＝___ __．
∠B 的三角函数关系式______________ ___________．
2．比较上述中，sin A 与cos B ，cos A 与sin B ，tan A 与tan B 的表达式，你有什么发现？
3．基础训练
①如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8，则sin A =_____，cos A =_____，tan A =_____． ②如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，则sin B =_____，cos B =_____，tan B =_____． ③在Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =2BC ，则sin C =_____．
④如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin A =3
5，则BC =_____．
⑤在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin B =4
5，则AC =_____．
⑥如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =15，sin C =3
5，则AB =_____．
⑦在Rt △ABC 中，∠C =90°，cos A =2
3
，AC =12，则AB =_____，BC =_____．
三、释疑解难： 四、例题讲解：
例1．小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m ，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m ，求风筝此时的高度．（精确到1m ） （参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002）
第①题 第②题 第④题 第⑥题
例2．工人师傅沿着一块斜靠在车厢后部的木板往汽车上推一个油桶（如图），已知木板长为4m ，车厢到地面的距离为1.4m ． （1）你能求出木板与地面的夹角吗？
（2）请你求出油桶从地面到刚刚到达车厢时的移动的水平距离．（精确到0.1m ） （参考数据：sin20.5°≈0.3500，cos20.5°≈0.9397，tan20.5°≈0.3739）
五：当堂检测： A 级（100分）
1．在Rt △ABC 中，∠C =90o，且锐角∠A 满足sin A =cos A ，则∠A 的度数是__ __. 2. 比较大小：(用＞，＜或＝表示)
①sin40° cos40° ②sin80° cos30° ③sin45° cos45°. 3. 在Rt △ABC 中，∠B =90o，AC =15，sin C =35，则BC =_______________.
4.已知α为锐角：
（1） sin α= 1
2，则cos α=______，tan α=______.
（2） cos α= 1
2，则sin α=____ __，tan α=______.
（3） tan α= 1
2
，则sin α=___ ___，cos α=______.
5. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE =α，且 cos α= 4
5
，AB = 4， 则AD 的长为
________. B 级（20分）
6. 如图，AB 表示地面上某一斜坡的坡面，BC 表示斜面上点B 相对于水平地面AC 的垂直高度，∠A =14o， AB =240m. 求点B 相对于水平地面的高度(精确到1m). （友情提示：sin14o=0.24, cos14o=0.97, tan14o=0.25）
第5题
课题：§7.3特殊角的三角函数
一、教学目标：
1．能通过推理得30°、45°、60°角的三角函数值，进一步体会三角函数的意义；
2. 会计算含有30°、45°、60°角的三角函数的值；
3. 能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小.
二、自主学习：
【温故知新】
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别写出∠A的三角函数关系式：
sin A＝___ __，cos A=____ _，tan A＝___ __．
2．如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若BC＝a，请你在图上分别写出三边长度．
图1 图2
如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，若BC＝a，请你在图上分别写出三边长度．3．根据以上探索完成下列表格：
三、释疑解难：
四、例题讲解：例1．求下列各式的值．
（1）2sin30°－cos45°（2）sin60°·cos60°（3）sin230°＋cos230°
练习：计算.
（1）cos45°－sin30°（2）sin260°＋cos260°（3）tan45°－sin30°·cos60°（4）cos245°
tan230°
2．求下列各式的值
（1)tan45°－sin30°·cos60° （2） 0
0045tan 260tan 1
60sin --
3．在Rt △ABC 中，∠C=90°,若sinA=
2
1
,则BC ∶AC ∶AB 等于（ ） A ．1∶2∶5 B.1∶3∶ 5 C. 1∶3∶ 2 D.1∶2∶3 4．已知α为锐角,当a
tan 12
-无意义时,求tan(α+15°)-tan(α-15°)的值.
5．已知：如图，在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为D,BC=2,BD=3.分别求出 △ABC 、△ACD 、△BCD 中各锐角.
五：当堂检测： A 级(100分)
1.计算下列各式的值.
(1)2sin30°＋3cos60°－4tan45° (2)cos30°sin45°＋sin30°cos45° (3) sin60°－1
tan60°－2tan45°
(4)3cos30°＋2sin45° (5)
tan45°－cos60°
sin60°
·tan30° (6)2cos45°＋
|
|2－3
A
B
C
D
B 级（20分）
5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，求：（1）cos A （2）当AB ＝4时，求BC 的长.
课题：7.4由三角函数值求锐角
一、教学目标：
1会根据锐角的三角函数值。2能够解决含三角函数值计算的实际问题
二、自主学习：
1.问题：如图，小明沿斜坡AB 行走了10cm 。他的相对位置升高了5cm ， 你能知道这个斜坡的倾斜角A 的大小吗？
根据已知条件，有：sinA=
可以由一个锐角的三角函数值求这个角的大小。得∠A= 自学例题：
1．求满足下列条件的锐角A （1）21
sin =
A （2）2
2cos =A （3）1tan =A
2．如图，已知秋千吊绳的长度2m ，求秋千升高1m 时，秋千吊绳与竖直方向所成的角度
三、释疑解难： 四、例题讲解：
例1．根据下列条件求锐角θ的大小：
(1)sin θ＝23； (2)cos θ＝2
3； (3)tan θ=3；
B
C
A
D A
B
O
1
C
例2．求满足下列条件的锐角α． （1） cos α＝3
2
（2）2sin α＝1 （3）2sin α－2＝0 （4）3tan α－1＝0
练习：
1. 若sin α＝12，则锐角α＝_________；若sin α＝3
2
,则锐角α＝_________.
2. 若∠A 是锐角，且tan A ＝3
3
，则cos A ＝_________. 例3. 在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sin A ＝1
2
，tan B ＝3，AB ＝10，求△ABC 面积.
变式：如图，△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝3
5
，AC ＝5，则△ABC 的面积是_________.
五：当堂检测： A 级（100分）
1. 若sin α＝
2
2
，则锐角α＝________；若2cos α＝1，则锐角α=_________. 2. 在△ABC 中，若??????cos A －12＋tan B －1＝0，则sin B ＝ ，∠C ＝ . 在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有||tan B －3＋(2sin A －3)2
＝0，则△ABC 的形状
是_________. 3. 在△ABC 中，∠C ＝90°
（1）若∠A ＝30°，则a :b :c = ；（2）若∠A ＝45°，则a :b :c = . 4. 求满足下列条件的锐角α: ⑴cos α－ 3
2
＝0 ⑵－3tan α＋3＝0 ⑶2cos α－2＝0
⑷tan(α＋10°)＝ 3 ⑸cos(α－25°)＝2
2
⑹tan 2α－23tan α＋3＝0
课题：7.5解直角三角形
一、教学目标：
1．使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；
2. 渗透数形结合的数学思想；逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
二、自主学习：
1、如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，其余5个元素之间有以下关系： （1）三边之间关系： （勾股定理）； （2）锐角之间的关系： ；
（3）边角之间的关系： ； ； .（以∠A 为例）
2、由直角三角形中的 ，求出 的过程，叫做解直角三角形.
三、释疑解难：
四、例题讲解：
1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°,a=5.解这个直角三角形 .
2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=3, b= . 解这个直角三角形 .
练习：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边．请根据下列条件解直角三角形．
（1）a ＝10，∠A ＝45°； （2）a ＝5，b ＝53；
c
b
a
C B A 3
3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，∠A 的平分线AD=3
3
16，解Rt △ABC 。
4、已知：如图，⊙O 的半径为10，求⊙O 的内接正五边形ABCDE 的边长.
五、当堂检测： A 级（100分）
1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c=
sin a A B ．c=cos a A
C ．c=a ·tanA
D ．c=a ·cosA 2、在Rt △ABC 中∠C=90°，c=8，∠B=30°，则∠A=______，a=______，b=______. 3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
（1）b=23，c=4； （2）∠A=60°，a+b=13
4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=4
5
，AB=15，求△ABC 的周长和tanA 的值.
D
C
B
A
B 级（20分）
5.如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，AD=14，CD=12，S △ADC =303，求BD 的长。
课题：§7.6 锐角三角函数的简单应用(1)
一、教学目标：
1．能把实际问题抽象为几何问题，借助直角三角形、锐角三角函数把已知量与未知量联系在一起解决实际问题。
2．构造直角三角形是解决这类问题重要辅助线。
二、自主学习：
问题引入：
单摆的摆长AB 为90cm,当它摆动到AB ’的位置时, ∠BAB ’=11°,问这时摆球B ’较最低点B 升高了多少
(精确到1cm)?
三、释疑解难：
四、例题讲解：
例1、国庆节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20m ，旋转1周需要12min ．小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5m ）开始1周的观光，2min 后小明离地面的高度是多少（精确到0.1m ）？
分析：如图，小明开始在车厢点B ，经过2min 后到了点C ，点C 离地面的高度就是小明离地面的高度，其实就是DA 的长度DA= AE - 解：
D
E
C
问题延伸：
1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m ？
2、小明将有多长时间连续保持在离地面10m 以上的空中？
例2：机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O 出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A 处，再沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点B 、C 都在圆O 上.（1）求弦BC 的长；（2）求圆O 的半径长.（本题参考数据：sin 67.4° = 1213 ，cos 67.4° = 513 ，tan 67.4° = 125 ）
五、当堂检测： A 级（100分）
1、如图1所示的半圆中，AD 是直径，且3AD =，2AC =，则sin B 的值是 ．
2、如图，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP=2cm ， 则tan ∠OPA 等于（ ） A ．
32 B ．2
3
C ．2
D ．
1
2
3、涟水县在“旧城改造”中计划在县内一块如图所示的
△ABC 空地上种植草皮以美化环境。已知∠B=300，∠C=450
，
AB=20米，且知道这种草皮每平方米售价a 元，请你算一算购买这种草皮共需要多少钱？
B 级（20分）
4、某片绿地的形状如图所示，其中∠A=60°，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，?AB=?200m ，CD=100m ，求AD 、BC 的长（精确到1m ，3≈1.732）
A
20米
300
45
B C 67.4?
A
C
北
南
B
O
N
S
C
B
D
A
图1
课题：§7.6 锐角三角函数的简单应用(2)
一、教学目标：
1．进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫
仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．右图中的∠1
就是仰角，∠2就是俯角．
问题引入：
如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC为10m，测角仪的高度CD为1.5m，测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB。
（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
三、释疑解难：
四、例题讲解：
例1：为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为30°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为45°．若小明的眼睛离地
面1.6m ，小明如何计算气球的高度呢（精确到0.01m）
例2．如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度．已知在离地面1500m 高度C 处的飞机上，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB 的长．（参考数据：3=1.73）
例3：甲楼看乙楼问题．
:如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两建筑物的高，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，从B 点测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为30°，已知甲建筑物高AB ＝36米． （1）求乙建筑物的高DC ；
（2）求甲、乙两建筑物之间的距离BC （结果保留根号）．
变式：如图，AB 和CD 是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB 的楼顶A 点测得楼CD 的楼顶C 的仰角为45°，楼底D 的俯角为30°．求楼CD 的高．
五、当堂检测 A 级（100分）
1．如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为60°和45°，则广告牌的高度BC 为_____________米(结果保留根号)．
2、如图所示，小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处
A
B
C
D
6米
60° 45°
的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.
B 级（20分）
3、如图,飞机在距地面9km 高空上飞行,先在A 处测得正前方某小岛C 的俯角为30°,飞行一段距离后，在B 处测得该小岛的俯角为60°.求飞机的飞行距离。
课题：§7.6 锐角三角函数的简单应用(3)
一、教学目标：
1．进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与方位角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
二、自主学习：
1．认识方位角： 预习练习： （1）小明家在学校的北偏东30°方向，
那么学校在小明家的______方向。 （2）西北方向即北偏西_____度，
东南方向即南偏东_____度，
西南方向即南偏西_____度， 东北方向即北偏东_____度。 （3）小明从A 点出发向东走100m ，再
沿北偏西30°方向走100m ，那么小明
在A 点_________方向，距A 点_________m 。
三、释疑解难： 四、例题解析：
例1：如图在某广场上空飘着一只汽球P ，A 、B 是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角∠PAB =45o
，仰角∠PBA =30o
，求汽球P 的高度（结果保留根号）
变式：如图所示，A 、B 两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
北偏东
30
度
南偏
西60
度东北方向角∠1：北偏东30度。
∠2：南偏西60度
P
1 2
例2：如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在
A 处向东500米的
B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC
＝ 米（结果保留根号）．
变式：如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海里处有暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行， 行至A 点处测得P 在它的北偏东60度的方向， 继续行驶20分钟后， 到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45度方向. 问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?
五、当堂检测： A 级（100分）
1．某风景区的湖心岛有一凉亭A ，其正东方向有一棵大树B ，小明想测量A 、B 之间的距离，他从湖边的C 处测得A 在北偏西45°度方向上，测得B 在北偏东32°方向上，且量得B 、C 之间距离为100m ，求A 、B 之间的距离。（结果精确到1m ，sin32°≈0.53，cos32°≈0.85）
P
A
B
C
30°
60°
北
2.海平面上灯塔O方圆100km范围内有暗礁，一艘轮船自西向东航行，在点A处测得灯塔O 在北偏东37°方向，请你作出判断，为避免触礁，这艘轮船是否要改变航向？
（参考数据：sin37°≈0.6018，cos37°≈0.7986，tan37°≈0.7536，3≈1.732）
锐角三角函数教学设计
锐角三角函数⑴教学设计 一.教学目标： 1.知识与技能： 了解三角函数的概念，理解正弦、余弦、正切的概念； 掌握在直角三角形之中，锐角三角函数与两边之比的对应关系； 掌握锐角三角函数的概念并会求一个锐角的三角函数值. 2.过程与方法： ⑴ 通过经历三角函数概念的形成过程,丰富学生的数学活动经验； ⑵ 渗透数形结合的数学思想方法. ！ 3.情感态度与价值观： ⑴ 让学生感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历； ⑵ 培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神. 二.重点、难点： 重点：锐角三角函数的概念. 难点：锐角三角函数概念的形成. 三.教学过程： （一）、创设情境，激趣设疑 通过创设“生活中测量塔的高度、山坡上修建的扬水站需要的水管 ”的情境，让学生思考利用直角三角形的边角关系能否求物体的高度和长度. 设计意图：从生活中的实例出发，设置疑问，激发学生的求知欲. ^ （二）、合作探究，引出新知 1．实践：已知一个45°的∠A ，在角的一边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于 点C.量出BC ，AB 的长度（精确到1毫米）.计算AB BC 的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较.
设计意图：通过动手操作、合作、交流，直观感知比值AB BC 非常接近，大小和点B 的位置无关，并由此猜想比值是个定值。在活动的过程中，教给学生探究的常用方法：观察、测量、比较、归纳、猜想等，有效培养学生的探究能力，丰富学生的数学活动经验。同时学生的实践活动，让他们经历了三角函数的概念的初步形成过程. 教师引导学生验证:对于给定一锐角α，比值AB BC 是一定值. ① 利用相似三角形的性质，说明“对于每一个确定的锐角α，在角的一边 上任取一点B,作BC ⊥AC 于点C,比值AB BC 都是一个确定的值,与点B 在角的边上的位置无关”. ② 出示几何画板，演示对应于不同大小的角度，总有相应的比值AB BC ，让 学生直观感知比值AB BC 与角度的对应. 。 设计意图：利用相似三角形对应边成比例的性质,验证第一环节的猜想是正 确的,即:当角度确定时,比值AB BC 是个定值.同时利用几何画板的直观演示,让学生 进一步感知:对应于每一个不同的角度, AB BC 都会有一个确定的值.至此，锐角三角函数的概念已是呼之欲出. 教师引导学生发现当锐角α确定时,AB AC ,AC BC 的比值也是定值,并说明理由. 设计意图： 先给出比值AB BC 是定值的验证，然后类比2的验证过程得出另两个比值也是定值，这样的设计可以降低难度，并渗透“类比”的数学思想方法和探究方法.
《任意角的三角函数》教学设计
《任意角的三角函数》教学设计
《任意角的三角函数》教学设计 高一级王拴礼 一、学情分析 在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。 二、教学目标分析 （一）知识与技能 1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2．已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3．记住三角函数的定义域、值域以及象限符号。 （二）过程与方法 锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．引导学生把这个定义推广到任意角，通过单位圆和角的终边，探讨任意角的三
角函数值的求法，最终得到任意角三角函数的定义．根据角终边所在位置不同，分别探讨各三角函数的定义域、象限符号。 （三）情感、态度与价值观 1．使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； 2．通过共同探究，发现新知的过程，培养学生团结协作的意识以及大胆猜想、勇于探索的科学精神． 三、教学重点、难点分析 （一）教学重点 三角函数是函数的一个特例，与指数函数、对数函数具有相同的地位，但是在具体的定义方式上又有所不同，应该按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中，揭示彼此之间的关系，认识新概念的本质属性。因此本课时的教学重点是：通过概念的同化与精致过程，帮助学生理解任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），并在这个过程中突出单位圆的作用。
九年级下册数学的三角函数
个性化教学辅导教案（表六） 学科：数学任课教师：授课时间：年月日( 星期) 姓名年级九性别总课时第课辅导 课题 难点 重点 课堂教学过程课前 检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________ 过 程 【教学内容】 锐角三角函数知识点总结与复习 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。2 2 2c b a= + 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角， 则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 定义表达式取值范围关系 正弦 斜边 的对边 A A ∠ = sin c a A= sin 1 sin 0< A (∠A为锐角) tanA=tanB 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 ) 90 cos( sin A A- ? = ) 90 sin( cos A A- ? = B A cos sin= B A sin cos=A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A 对 边 邻边 斜边 A C B a c 直角三角形中 的边角关系 锐角三 角函数 解直角 三角形 实际问题
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° αsin 0 2 1 2 2 2 3 1 αcos 1 2 3 2 2 2 1 0 αtan 3 3 1 3 不存在 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切的增减性：当 0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大 一、知识性专题 专题1：锐角三角函数的定义 例1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( ) A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝1 2 C ．cos B ＝32 D ．tan B ＝3 例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝3 5 ,则tan A 等于 ； ． 例3在Rt △ABC 中，∠C=900 ，AC=4，AB=5，则sinB 的值是 ； 例4（2012内江）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 ； 例5R t △ABC,∠C=900 ,AB=6,cosB=23 ,则BC 的长为 ； 例6如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α, 即ctan α= BC AC = 的对边角的邻边角αα，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30?= ； C B A 图4 D C B A 图4 22题图
《用锐角三角函数解决问题》教案
《用锐角三角函数解决问题》教案1 教学目标 1、了解测量中坡度、坡角的概念． 2、掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题． 3、进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 重点难点 重点：有关坡度的计算． 难点：构造直角三角形的思路． 教学设计 一、引入新课 如下图所示，斜坡AB 和斜坡A 1B 1哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡A 1B l 的倾斜程度比较大，说明∠A 1＞∠A ．从图形可以看出，1111 B C BC AC AC ，即tan A 1＞tan A ． 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度． 二、新课 1．坡度的概念，坡度与坡角的关系． 如图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝AC BC ，坡度通常用l ：m 的形式，例如上图中的1：2的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角．从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i ＝tan B ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡． 2．习题讲解． 1．如图，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽．(精确到0．1米)
分析：四边形ABCD是梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底AB＝AE＋EF＋BF，EF＝CD＝12．51米．AE在直角三角形AED中求得，而BF可以在直角三角形BFC中求得，问题得到解决．2．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角．和坝底宽AD．(i ＝CE：ED，单位米，结果保留根号) 三、练习 课本第114页课内练习． 四、小结 会知道坡度、坡角的概念能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决． 五、作业 课本117页习题7．6的1、2题． 《用锐角三角函数解决问题》教案2 教学目标 知识与技能 1．通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系． 2．把实际问题转化为数学问题，同时借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明． 数学思考与问题解决 经历实际问题数学化的过程，进一步体会三角函数在解决问题中的作用，不断探索解决实际问题的方法和规律． 情感与态度 在独立思考探索解决问题方法的过程中，培养学生不断克服困难，增强应用数学的意识和解决实际问题的能力．
《锐角三角函数》教案
《锐角三角函数》教案 教学目标 1．知识与技能： （1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切正弦、余弦的意义和与现实生活的联系． （2）能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡比）等． （3）能够根据直角三角形的边角关系，用正切、正弦、余弦进行简单的计算． 2．过程与方法： 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题． 3．情感态度与价值观： 进一步锻炼学生用数学的观点来解释身边的事物，形成良好的数学思维习惯和思维品质． 教学重点 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系． 教学难点 理解正切、正弦、余弦的意义，并用它来表示两边的比． 教学过程 第一环节创设问题情境 活动内容：观察梯子的倾斜程度 梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？为了描述梯子的这种倾斜程度，先给大家介绍三个简单的概念：倾斜角，铅垂高，水平宽．1．图1—1和图1—2中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你是如何判断的？
2．图1—3中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你又是如何判断的？ 对于图1—3，学生可能难于下手，这时老师可以借助几何画板的动态演示，引导学生比较对边与邻边的比值，即比较表一中的1t 与2t 大小，当12t t >、12t t <、12t t 时，借助几何画板直观的验证梯子的倾斜程度，以突破学生认识上的障碍．（为了方便研究，表格中的数据精确到十分位）． 活动目的：先让学生从图1-1和图1-2中直观感受梯子的倾斜程度，再让学生理性思考该如何寻找方法判断图1-3中梯子的倾斜程度．这样学生会感到知识上的匮乏，从而对数学产生好奇心和求知欲．让他们从实例中体会不同情况下比较梯子的倾斜程度只靠直观感受是不够的，还需要其他方法——用边的比进行比较． 第二环节 探求新知 活动内容1：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？ 图1— 1 图1—2 图1— 3 表 1
完整word版,三角函数教学设计
4.1、任意角的正弦函数、余弦函数的定义 一、教学内容分析 直角三角形简单朴素的边角关系，以直角坐标系为工具进行自然地推广而得到简明的任意角的三角函数定义，紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身. 二、学生学习情况分析 在初中学生学习过锐角三角函数。因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。 三、设计思想 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 四、教学目标 1．掌握任意角的正弦、余弦的定义（包括这二种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； 2、理解任意角的三角函数不同的定义方法；掌握并能初步运用公式一；树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 3、通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.借助有向线段进一步认识三角函数. 4、通过任意三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。 5、通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。
昭君教学案例
教学案例 姓名：孙昭君 学科：数学 课题：《任意角的三角函数》学校：山西省祁县中学校
课题：任意角的三角函数 一、教学内容分析： 这节课是《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）1.2.1任意角的三角函数第一课时。 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。 二、学生学习情况分析 我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣。我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索。如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？ 《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点： 第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。 第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。 根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题： 其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型； 其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。
初中数学九年级《锐角三角函数：正弦》公开课教学设计
28.1 锐角三角函数（教案） 第 1 课时正弦 【知识与技能】 1. 让学生理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是一个定值的事实； 2. 掌握正弦函数意义，能依据正弦函数定义进行有关计算. 【过程与方法】通过对30°和45°与其所对的直角边与斜边的比值之间关系的探讨，可以获得“直角三角形中，当锐角一定时，这个锐角的对边与斜边的比是固定值”这一重要结论，发展学生的演绎推理能力. 【情感态度】在探索正弦函数概念的过程中，可进一步培养学生的创新意识，发展学生的形象思维，增强由特殊到一般逻辑推理能力. 【教学重点】了解正弦函数定义，理解当锐角一定时它所对的直角边与斜边的比固定不变这一事实.【教学难点】加深直角三角形中，当它的某一锐角固定时这角的对边与斜边的比是个定值”的理解. 一、情境导入，初步认识 问题为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌. 现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°， 为使水管出水口到水平面的高度为35m，那么需准备多长的管？ 【教学说明】对所提示的问题，教师应引导学生如何将这一实际问题转化为数学模型，让学生在相互交流中获得结论. 教师应重点关注学生获取结论的过程，即是否运用 30 的对边1 “ 斜边= 2 ” 这一结论。 二、思考探究，获取新知 探究 1 如果将上述问题中出水口到水平面的高度改为50m，那么需准备多长的水管？ 思考 1 通过对前面问题和探究的思考，你有什么发现？ 【教学说明】在学生自主探究，获得结论后，让他们相互交流各自体会，为掌握本节知 识积累感性认识. 最后教师与学生一道进行简要总结. 【归纳结论】在一个直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么不管三角形的大小如 何，这个角的对边与斜边的比值都等于1，是一个固定值. 2 ∠ C=90°，∠ A = 45°，计算∠ A的对边BC与斜思考 2 如图，在Rt△ACB中，
《任意角的三角函数》教学设计
《任意角三角函数》教学设计 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通 过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。 《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标: 借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值； 能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标： 在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析： 重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略：
教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体 参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备： 为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维 教学过程 一、情景设置: 问题1、初中时的锐角三角函数如何定义的？ （学生上黑板画图，给出定义，教师根据学生展示情况进行点评） 锐角三角函数的定义：在直角△OAP 中，∠A 是直角，那么 问题2、如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表 示锐角三角函数呢？ (学生分组讨论，展示成果，教师规范思路和解答步骤) 建立平面直角坐标系，设点P 的坐标为（x ，y ），那么22||y x OP += ，于是 问题3、对于确定的锐角，其三角函数值与终边上选取的点P 有何关系？ 这说明三角函数值的决定量是什么？ 学生互动：锐角α的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点P 的位置无关， 可以利用相似三角形证明. 教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P 的位置无关， 仅与角α有关. 问题4、你能用学过的知识来刻画一下角与这个比值的关系吗？ 学生回答：对于确定的角α，比值 x y r x r y ,,都惟一确定，故正弦、余弦、正切都是角α的函数. 问题5、终边落在第一象限内的角能用上述比值表示吗？任意角呢？ 请你给出任意角的三角函数定义。 O A P α O A P α x y O A P α x y M N
九年级下册数学教案：锐角三角函数的计算
九年级下册数学教案：锐角三角函数的计算 一、教学目标 1．通过观察、猜想、比较、具体操作等数学活动，学会用计算器求一个锐角的三角函数值。 2．经历利用三角函数知识解决实际问题的过程，促动观察、分析、归纳、交流等水平的发展。 3．感受数学与生活的密切联系，丰富数学学习的成功体验，激发学生继续学习的好奇心，培养学生与他人合作交流的意识。 二、教材分析 在生活中，我们会经常遇到这样的问题，如测量建筑物的高度、测量江河的宽度、船舶的定位等，要解决这样的问题，往往要应用到三角函数知识。在上节课中已经学习了30°，45°，60°角的三角函数值，能够实行一些特定情况下的计算，但是生活中的问题，仅仅依靠这三个特殊角度的三角函数值来解决是不可能的。本节课让学生使用计算器求三角函数值，让他们从繁重的计算中解脱出来，体验发现并提出问题、分析问题、探究解决方法直至最终解决问题的过程。 三、学校及学生状况分析 九年级的学生年龄一般在15岁左右，在这个阶段，学生以抽象逻辑思维为主要发展趋势，但在很大水准上，学生仍然要依靠具体的经验材料和操作活动来理解抽象的逻辑关系。另外，计算器的使用能够极大减轻学生的负担。所以，依据教材中提供的背景材料，辅以计算器的使用，能够使学生更好地解决问题。 学生自小学起就开始使用计算器，对计算器的操作比较熟悉。同时，在前面的课程中学生已经学习了锐角三角函数的定义，30°，45°，60°角的三角函数值以及与它们相关的简单计算，具备了学习本节课的知识和技能。
四、教学设计 (一)复习提问 1．梯子靠在墙上，如果梯子与地面的夹角为60°，梯子的长度 为3米，那么梯子底端到墙的距离有几米? 学生活动：根据题意，求出数值。 2．在生活中，梯子与地面的夹角总是60°吗? 不是，能够出现各种角度，60°仅仅一种特殊现象。 图1(二)创设情境引入课题 1比缤1，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m。已知缆车的路线与平面的夹角为∠A＝16 °，那么缆车垂直上升的 距离是多少? 哪条线段代表缆车上升的垂直距离? 线段BC。 利用哪个直角三角形能够求出BC? 在Rt△ABC中，BC＝ABsin 16°，所以BC＝200sin 16°。 你知道sin 16°是多少吗?我们能够借助科学计算器求锐角三角形的三角函数值。那么，怎样用科学计算器求三角函数呢? 用科学计算器求三角函数值，要用sin cos和tan键。教师活动：(1)展示下表；(2)按表口述，让学生学会求sin16°的值。按键顺序显示结果sin 16°sin16=sin 16°=0275 637 355 学生活动：按表中所列顺序求出sin 16°的值。 你能求出cos 42°，tan 85°和sin 72°38′25″的值吗?
初中数学锐角三角函数优质课教案教学设计
《锐角三角函数》教学设计 一、内容和内容解析 本节课选自北师大版教材九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》，第一节《锐角三角函数》的第一课时. 本章中所介绍的直角三角形的边角关系是现实世界中应用广泛的关系之一。.通过本章的学习，学生将进一步体会比和比例、图形的相似、推理证明等知识之间的联系，从而为将来一般性的学习三角函数的知识及其他数学知识奠定基础。本节从梯子的倾斜程度谈起，引入生活中用的最多的一个三角函数——正切，而正弦、余弦的概念是由正切类比得到的.因此，本节内容在本章教材中处于非常重要的位置，既是三角函数的起始课，引领整章的探究与学习；又是一般性三角函数知识板块的重要组成部分。同时在本节课中学生将进一步感受数形结合、从直观到抽象等思想，体会数形结合、从一般到特殊等方法，这些分析问题和解决问题过程中常用的思想方法将会对学生今后的数学学习乃至生活产生深远的影响.根据以上分析，本节课的教学重点在于，从现实情境中探索直角三角形的边角关系，理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。二、目标和目标解析 根据教材地位、新课程标准的指导思想及九年级学生的认知心理特征及年龄特点，本节课的教学目标有以下三个方面： 1.理解正切的意义，能够运用tanA表示直角三角形中两边的比； 2.通过观察、探究和实践操作等活动，经历探索直角三角形边角关系的过程，体会正切概念的产生的必然性与合理性. 体验知识发生、发展的全过程； 3.在实际生活中发现数学问题，通过合作交流探索、感受生活中的数学，提高学数学用数学的意识，感受数学学习的价值. 三、教学问题诊断分析 在本节课中，学生通过生活常识和特殊情况可以体会到梯子的陡缓程度确实与铅直高和水平宽有着密切的关系，但是从众多关系中准确的找到比值关系却是一个难点，而这个比值关系又恰恰是正切概念的核心。其次，本节的三角函数与学生以前所学的一次函数、反比例函数有所不同，它反映的不是数值与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系，学生初次接触这种对应关系，理解起来有一定的困难，可是这种对应关系对学生深刻地理解函数又有很大帮助。基于以上认识，我认为本节课的难点在于，理解梯子的陡缓程度和铅直高与水平宽比值之间的关系，以及锐角与其对边和邻边之间的对应关系。同时，在探索过程中，不同学生对问题的理解和生活的经验可能是不一样的，给出的思考结果差异性较大.
高中数学人教版必修4任意角的三角函数教学设计
高中数学人教版必修4任意角的三角函数教学设计 一、教学内容解析 这是一节关于任意角的三角函数的概念课。 三角函数是高中范围内即指数函数、对数函数和幂函数之后的最后学习的函数，是函数的一个下位概念，与指对数函数、幂函数属于同一抽象（概括）层次。它是一种重要的基本初等函数，是解决实际问题的重要工具，也是学习数学中其他知识内容的基础。 在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。在此基础上，随着角的概念的推广，引入弧度制，相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，此时它与三角形已经没有什么关系了。任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助，这里体现了数形结合的思想，由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数，再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数，直至得到任意角的三角函数的定义，体现了合情推理的思想方法。本节课将围绕任意角三角函数的概念展开，任意角三角函数的概念是本节课的重点，能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键 一、教学目标设置 1、借助终边上一点的坐标理解任意角三角函数的定义： （1）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示锐角三角
函数； （2）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示任意角的三角函数； 2、借助单位圆理解任意角三角函数的定义： （3）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示锐角三角函数； （4）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示任意角的三角函数； 3、知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。 4、在借助单位圆认识任意角三角函数概念的过程中，体会数学结合思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题。 三、学生学情分析 1、学生在利用终边上一点的坐标表示锐角三角函数时可能存在障碍，因为之前掌握的是用直角三角形的边长的比值来表示的，要克服这个困难，关键是引导学生联系之前新学的内容，怎样把角放在坐标系内，怎样做出三角形，帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有过边长的比值的联系。 2、学生在如何使终边上一点的坐标表示锐角三角函数的表达式变得更简洁的这个节点处，联想不到使用单位圆，因为以前没有接触
锐角三角函数教学设计 数学优秀教学设计案例实录能手公开课示范课
锐角三角函数教学设计
§28.1锐角三角函数（一） 一．指导思想 建构主义学习理论的核心是：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索，主动发现和对所学知识意义的主动建构；教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用，并不要求教师直接向学生传授和灌输知识。 《数学课程标准》提出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者；有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方法。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动的进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流活动。教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在动手实践、自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。 因此，在本节课的每个教学活动中，教师努力做到：给予学生充分的独立思考、探究的时间，使学生面对新问题，寻求新的解决办法；参与到学生活动中，适时进行点拨与指导，对学生在活动中的各种表现，都应该及时给予鼓励，使他们真正体验到自己的进步，感受到成功的喜悦；为学生提供协作、交流的机会，使每个学生的个性得以张扬，自我表现意识和团队精神得以增强。 二．教学背景分析 （一）教学内容分析： 1．地位及作用 《锐角三角函数概念》是人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级下册第28章第一节的内容。 锐角三角函数的概念是以相似三角形的知识为基础的，它的建立是对代数中已初步涉及的函数概念的一次充实和进一步开阔视野，也将是高中阶段学习任意角的三角函数的基础。锐角三角函数的概念, 既是本章的重点，也是难点. 又是学好本章内容的关键.因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。此内容又是数形结合的典范.因此，学好本节内容是十分必要的，对本单元的学习必须引起足够的重视. 2.课时安排 本节教材共分三课时完成，；第一课时是正弦概念的建立及其简单应用；第二课时是余弦、正切概念的建立及其简单应用；第三课时是综合应用。 （二）学生情况分析： 学生前面已经学习了三角形、四边形、相似三角形和勾股定理的知识，为锐角三角函数的学习提供的研究的方法，具备了一定的逻辑思维能力和推理能力。通过以前的合作学习，具备了一定的合作与交流能力. 三．教学策略 1．利用课件，解释知识形成的过程，进而促成学生对知识的主动建构；为学生的探究提供学习资源和支持. 2．在整个过程中，让学生亲自动手实践，通过学生自主学习、亲身体验探索、发现新知识，并运用数学知识解决问题。 四．教学方式的设计 本节课采用“探究与合作交流”的教学方法，通过自主探索、合作交流对锐角三角函数
锐角三角函数全章教案设计
锐角三角函数全章教案 单元要点分析 内容简介 本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容．第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用． 相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础． 本章属于三角学中的最基础的部分内容，而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础．教学目标 1．知识与技能 （1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值． （2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角． （3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题． （4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 2．过程与方法 贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，在探究问题的过程中找出规律，再运用这些规律于实际生活中． 3．情感、态度与价值观 通过解直角三角形培养学生数形结合的思想．
重点与难点 1．重点 （1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，?应该牢牢记住． （2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题． 2．难点 （1）锐角三角函数的概念． （2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，?解决问题的能力． 教学方法 在本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解．?讲课时应注意，只有让学生正确理解锐角三角函数的概念，才能掌握直角三角形边与角之间的关系，才能运用这些关系解直角三角形．故教学中应注意以下几点： 1．突出学数学、用数学的意识与过程．三角函数的应用尽量和实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的问题． 2．在呈现方式上，突出实践性与研究性，三角函数的意义要通过问题经出，?再加以探索认识． 3．对实际问题，注意联系生活实际． 4．适度增加训练学生逻辑思维的习题，减少机械操作性习题，?增加探索性问题的比重．课时安排 本章共分9课时． 28．1 锐角三角函数4课时
【原创】三角函数求值教学设计
三角函数求值 一、三维目标： （1）知识目标：能运用三角函数有关公式进行简单的恒等变换。 （2）能力目标：对于遇到角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性。 （3）情感态度和价值观：角的变换体现出将未知化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一。 二、教学重点：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 三、教学难点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．角度范围的控制。 四、教学过程： 1.讲授新课 问题一（给角求值） 50sin80(13tan10) ++ ． 解：原式 2sin 80132sin 50(cos10sin10)cos102cos5+ +=2sin 80 2sin 50cos(6010 ) cos10cos5 +-= 250cos50) 22cos5+= 2cos(5045)2cos5-== [点评] 观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系。实现函数 名与角度的统一。 问题二（给值求值） 已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值
解：法一：由已知 21 tan ,3tan 1tan 1=?=-+θθθ sin2θ-2cos 2 θ=θθθθ222cos sin 2cos -sin2+=5 4tan 12tan 22 -=+-θθ 法二： sin2θ -2cos 2θ=sin2θ-cos2θ -1=-cos(θπ 22 +)-sin(θπ 22 +)-1 =5 41) 4(tan 1) 4tan(2)4(tan 1) 4( tan 1222-=-+++-+++--θπθπ θπθπ [点评]法一：弦化切；法二：角度的配凑 问题三（给角求值）（1）已知A 、B 均为钝角且5SinA = ，10 SinB =。求A B +。 解：cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，2A B ππ<+<， 74 A B π∴+= [点评]选取恰当的函数名。 （2）已知11tan()tan (0)2 7 αββαβπ-==-∈，，且，，， 求2αβ-的值。 解：tan 2()tan tan(2)tan[2()]1tan 2()tan αββ αβαββαββ -+-=-+= --?， 又22tan()4tan 2()1tan ()3 αβαβαβ--===--，4137tan(2)141137 αβ- -= =+?， 而tan()tan 1 tan tan[()]1tan()tan 3 αββααββαββ-+=-+===--?，(0)αβπ∈，，，所以 04π α<< ，所以13tan 202724 ππ ββππαβαβ= -<<-<-<-=-，所以，，所以。 [点评]注意角度范围控制。 2.课堂练习 （1）11cos(2),sin(2)14αβαβ-=- -=已知
初中九年级下册三角函数知识点总结
初中以及高中必修五三角函数知识点 （九下28章人教版09年第二版） （高中必修5）第六组：桑晓娜 思想及方法： ? 1.转化和化归思想（由特殊到一般） ? 2.数形结合思想 ? 3.方程思想 ? 4.建模思想 ? 5.分类讨论思想
知识点、概念总结:三角函数的定义 ? 正弦 ? 余弦 ? 正切 知识点、概念总结:特殊三角函数的值，计算器 ? 会用计算器算一般锐角的三角函数值。 c a A A =∠=斜边的对边sin c b A A =∠=斜边的邻边cos b a A A A =∠∠=的邻边的对边tan
特殊角的三角函数值 知识点、概念总结：解直角三角形（九年级） 知识点、概念总结：解一般三角形（正、余弦定理） ?????????????一锐角，一斜边一锐角，一直角边一边一角一斜边，一直角边两直角边两边已知
正弦定理（锐角三角函数、相似） 余弦定理（向量、勾股定理、锐角三角函数） ? 解三角形 ? 已知两边及其中一边所对应的角（正弦） ? 已知两角及其中一角所对应的边（正弦） ? 已知两边及其夹角（余弦） 三角形的面积（推导） 知识点、概念总结：解三角形实际问题 ? 应用解三角形的知识解决实际问题的时候，常用的几个概念： ? (1)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。 ? (2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角。 R C c B b A a 2sin sin sin ===bc a c b A 22^2^2^cos -+=b a c a bc c ab S abc sin 21sin 21sin 21===?
锐角三角函数 教学案例
《锐角三角函数》教学案例 一.教材分析： 本节教材是人教版初中数学新教材九年级下第28章第一节内容，是初中数学的重要内容之一。一方面，这是在学习了直角三角形两锐角关系、勾股定理等知识的基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展；另一方面，又为解直角三角形等知识奠定了基础，也是高中进一步研究三角函数、反三角函数、三角方程的工具性内容。鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。新课标对本节课的要求是：.理解正弦函数的概念，能够正确的运用sina表示直角三角形两边的比，并且熟记30°、45°正弦值。因此本节课的教学重点是：理解锐角正弦的概念，掌握其表示方法。难点是：理解正弦的大小只与角的大小有关，与角所在的直角三角形的大小无关。 二、设计思想 促进学生的主体性的发展是数学教学的一项重要任务，因此，根据教材编排特点和所教学生的认知水平，本节课的教学基本思路是：在激趣定标中导入新知，在自学互动中探索新知，在课堂检测中巩固新知。为了体现这一思路，完成教学任务，教学时以“引探教学法” 为主，坚持启发式教学。在选择教学方法时，体现让学生自主探索，争取自己解决问题，以提高学习能力，同时通过小组合作学习，个人展示等方法，既培养学生的团队精神与竞争意识，也充分发挥学生的主体作用，提高学习效率。 三、教学过程设计 （一）出示学习目标 1.理解正弦函数的概念，能够正确的运用sina表示直角三角形两边的比。 2.懂得30°、45°正弦值的求法并且熟记。
C B 3.经历锐角正弦的意义探索的过程，培养观察分析、类比归纳的 探究问题的能力； 设计意图：明确本节课的学习目标，学生的学习有的放矢。 （二）新课导入： 1.激趣定标 利用多媒体播放意大利比萨斜塔图片，然后老师问：比萨斜塔中 条件和要探究的问题：“你能根据问题背景画出直角三角形并且利用已知条件求出斜塔的倾斜角吗？”我们通过本章的学习就可以解决这个问题了。今天我们首先学习第一课锐角三角函数（板书课题） 设计意图：以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使 学生对旧知识产生设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望… 2.温故知新 如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30° （1）已知BC=35，可以求BC 的长吗？ （2）已知AB=100，可以求AB 的长吗？ 设计意图：回忆所学知识，为本节课学习新知做铺垫，课上用时 约3分钟。 （三）自主合作 1、（播放绿化荒山的视频)课本P74 问题与思考,求AB 的值 2、课本P75思考：求 的值 3、总结结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 设计意图：现代数学教学论指出，数学知识的教学必须在学生自 主探索，经验归纳的基础上获得，教学中必须展现思维的过程性，在这里，通过观察分析、独立思考、小组交流 等活动，引导学生归纳。用时7分钟。 （四）合作交流 探索新知 AB BC
三角函数的教学设计说明
附件：教学设计模板
（一）创设问题情境 师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师加以引导并用幻灯片展示． 问题1： （1）各象限三角函数值的符号是什么？（只讨论正弦、余弦、正切） （2）任意角的三角函数的定义是什么？ （3）公式一的容与作用是什么？ 问题2:已知如何求的值. 教师引导：能否再把0°～360°间的角的三角函数，化为我们熟悉的 0°～90°间的角的三角函数问题呢？这节课我们就来学习和研究这样的问题. 【设计意图】通过复习旧知，为新知识的学习打下基础.特别是各象限三角函数的符号，对于诱导公式记忆起关键作用.提出的新问题，引导学生进一步思考，激起学生们的兴趣. (二)探索开发新结论 教师引导：为了解决以上问题，我们采用各个击破的方法.首先看，如果我们知道一个任意角与(＋)三角函数值的关系，问题就解决了. 探究一：任意角与(＋)三角函数值的关系. 问题3： ①(＋)角的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称） ②与(＋)角的终边分别交单位圆于点P1，P2，则点P1与P2位置关系如何？ （关于原点对称） ③点P1(x，y)，那么点P2的坐标怎样表示？（P2(－x，－y)）
④sin与sin(＋)，cos与cos(＋)，tan与tan(＋)的关系如何？经过探索，归纳成公式 -----公式二 【设计意图】公式二的三个式子中，是第一个解决的问题，由于方法及思路都是未知的，所以采取教师引导，师生合作共同完成办法．通过脚手架式的层层提问，引导学生自主推导诱导公式二，让学生体验证明猜想的乐趣，凸显学生学习的主体地位.同时，试图通过环环相扣的问题给学生传递“由宏观到微观考虑问题”的思维习惯，从而达到“授人以渔”的目的.后两个均由学生类比讨论完成． 学生活动：小组讨论，代表发言交流． 问题4：公式中的角仅是锐角吗？ 【设计意图】课前提问的问题是以引入的，之后的讨论只是用代数方法换成了一般形式的角，有些同学肯定会有这样的疑问，所以这个问题的解决好，就是突破难点的关键.引导学生互相讨论，交流可以使学生记忆更深刻. 师生活动：演示几何画板课件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相应的三角函数值，拖动其终边上任意点，再让学生观察每一象限三角函数值的符号和它们之间存在的对称关系，从而验证了猜想，使学生更好的理解了这个公式．【设计意图】通过多媒体演示，发现变化规律，从而总结出三角函数的诱导公式． 类比第一个问题的解决方法，我们再来解决后面的两个问题.观察，由公式一知的终边与的终边相同，所以我们必须知道一个任意角与(-)三角函数值的关系. 探究二：任意角与(-)三角函数值的关系. 问题5： ①(-)角的终边位置关系如何？(关于x轴对称) ②设与(-)角的终边分别交单位圆于点P1，P2点P1与P2位置关系如何(关于x轴对称)