高中数学高考综合复习专题二十直线与圆

高中数学高考综合复习 专题二十 直线与圆

一、知识网络

二、高考考点 1.直线的倾斜与斜率； 2.直线的方程及其应用；

3.两条直线的平行、垂直与有关夹角和到角的公式；

4.简单的线性规划问题；

5.圆的方程及其应用；

6.直线与圆的相切与相交问题；

7.两圆的位置关系；

8.直线、圆与其它圆锥曲线的综合问题. 三、知识要点 （一）直线

1、直线的倾斜角定义与规定

（1）定义：对于一条与x 轴相交的直线，将x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做直线的倾斜角，习惯上记作α.

（2）规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°.

综合上述一般定义和特殊规定，直线的倾斜角α 的取值范围是[0°，180°）或[0，π）.

提醒：直线的倾斜角取值范围是一般与特殊相结合的产物，因此，解决有关直线的倾斜角或斜率问题时，一方面要注意立足于这一特定范围，另一方面又要注意分“一般”与“特殊”两种情况考察，以确保解题的完整与正确.

（3）直线的斜率与方向向量 （Ⅰ）

定义1：当直线l 的倾斜角α不是 π

2 时，α的正切叫做直线l 的斜率，直线的斜率通常用k 表示即：k =tan α(0≤α<π，且α≠π

2)

特例：当直线的倾斜角为 π2 时，直线的斜率不存在.

认知：直线的倾斜角与斜率的另一联系：

0<α<π2 ? k >0； π

2<α<π ? k <0

α=0

? k =0； α=π

2 ? l ⊥x 轴；（直线的斜率不存在）

（Ⅱ）斜率公式

已知直线l 上两点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)，则直线l 的斜率：k =y 2?y 1x 2?x 1

=(y 1?y

2x 1

?x 2

) .

（Ⅲ）

定义2：直线l 上的向量P 1P 2???????? 与平行于l 的向量都称为直线l 的方向向量.

设P 1(x 1,y 1)、 P 2(x 2,y 2)，则直线l 的方向向量P 1P 2???????? 的坐标是(x 2?x 1，y 2?y 1) ；当直线l 不与x 轴垂直时，(x 1≠x 2，此时，直线l 的方向向量可化为1

x

2?x 1

（1，k ）（这里k 为直线l 的斜率）.

2、直线的方程

（1）理论基础：直线的方程与方程的直线之定义

在直角坐标系中，如果直线l 和二元方程f(x ，y)=0 的实数解之间建立了如下关系： ①直线l 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解（纯粹性） ②以方程f(x ，y)=0的解为坐标的点都在直线l 上（完备性） 那么，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线. （2）直线方程的几种形式 （Ⅰ）点斜式：

已知直线l 的斜率为k ，且过点M(x 0,y 0) ，则直线l 的方程为：

y ?y 0=k(x ?x 0)

（Ⅱ）斜截式

已知直线l 的斜率为k ，且在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为：

y =kx +b

注意：由斜截式方程的推导过程可知，斜截式是点斜式的特例。直线方程的特殊形式各自都有其局限性，两者都不能表示与x 轴垂直的直线的方程。因此，运用上述两种形式求直线方程，都是在斜率存在的前提之下的，都需要特别考察直线斜率不存在的情形。

（Ⅲ）两点式

已知直线l 经过两点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)，则直线l 的方程为：

y?y 1y 2?y 1

=x?x 1

x

2?x 1

.(x 1≠x 2，y 1≠y 2)

（Ⅳ）截距式

已知直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别为a,b(a,b ≠0)，则直线l 的方程为：

x a +y

b

=1 注意：截距式是两点式的特例，以其自身特色被人们乐于应用.但应注意，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线（水平直线和铅垂直线），而截距式不能表示与坐标轴垂直以及过原点的直线。运用它们求直线方程，都需要单独考察它们不能表示的特殊直线。

（Ⅴ）一般式

方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)叫做直线方程的一般式

直线方程的一般式适合于任何直线，并且是寻求直线方程的最后归宿.直线的一般式方程的产生基于命题：任何一条直线的方程都可以表示为关于x，y的一次方程，反之，任何关于x，y的一次方程都表示一条直线。这一命题的正反两个方面，使直线和二元一次方程完成了数与形的转化与统一。

3、两条直线的位置关系

（1）两条直线平行的条件

设l1、l2为两条不重合的直线，则

（Ⅰ）l1∥l2?l1与l2的斜率相等或它们的斜率都不存在.

因此，已知）l1∥l2时，解题时要注意对“一般”和“特殊”两种情况的讨论。

（Ⅱ）若设直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1∥l2?A1B2=A2B1且B1C2= B2C1（此式包含了一般与特殊两种情形）

（Ⅲ）平行于直线l Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的直线（系）方程为：Ax+By+λ=0 (λ?R)（2）两条直线重合的条件

对于两条直线l1和l2

（Ⅰ）l1⊥l2?l1与l2的斜率之积等于－1或它们中一个斜率为0而另一个斜率不存在

（Ⅱ）若设直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2?A1A2+B1B2=0，（此式包含了一般与特殊两种情况）

（Ⅲ）垂直于直线l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的直线（系）方程为：Bx+Ay+μ=0(μ?R)（3）直线l1 到l2的角；直线l1与l2的夹角

设l1与l2相交

（Ⅰ）直线l1 到l2的角，是指l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，通常记作θ

①l1 到l2的角中的“到”字，画龙点睛的道出了这个角的方向性，注意到当l1∥l2时不定义l1 到l2的角，故θ的取值范围为（0，π）

②设l1 与l2的斜率分别为k1，k2，l1 到l2的角为θ，则

；

当1+ k1k2=0时，θ=π

2

（注意：分子是后一直线斜率减去前一直线斜率）当1+ k1k2≠0时，tanθ=k2?k1

1+k1k2

（Ⅱ）直线l1 与l2的夹角，是指l1 与l2相交所成的四个角中，不大于直角的那个角，将其记为φ.

①l1 与l2的夹角没有方向性，注意到当l1∥l2时不定义l1 与l2夹角的概念，故得φ的取值范围为：

φ∈(0,π

]

2

②设l1 与l2的斜率分别为k1，k2，l1 与l2的夹角为θ，则

当1+ k1 k2=0时，φ=π

2

；

当1+ k1 k2≠0时，tanθ=|k2?k1

1+k1k2

|.

（4）点到直线的距离

设点P(x0,y0)，直线l：Ax+By+C=0，则点P到直线l距离：d=00

√22

讨论（两平行直线间的距离）：

设两条平行直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0(C1≠C2)，则l1 与l2之间的距离为

12

√22

.

（5）两条直线的交点

（1）直线l1：A1x+B1y+C1=0 与l2：A2x+B2y+C2=0 相交于P(x0,y0)?方程组

{A1x+B1y+C1=0

A2x+B2y+C2=0有唯一解{

x=x0

y=y0

（2）经过直线l1 与l2的交点的直线（系）方程为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0（这

里不含l2）

(二)圆的方程

1、定义与方程

（1）定义

（2）方程

（Ⅰ）标准方程：(x?a)2+(y?b)2=r2(r≠0)

圆心为（a、b），半径为| r |

（Ⅱ）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2?4F>0)

圆心为(?D

2,?E

2

)，半径为1

2

√D2+E2?4F

（III）参数方程：{x=a+r cosθ

y=b+r sinθ θ∈[0,2π)

圆心为(a，b)，r为半径长

2、性质与应用

（1）圆的基本性质

（Ⅰ）关于弦的性质

圆心与弦中点连线垂直于这条弦（或弦的垂直平分线经过圆心）；两圆相交时，两圆心的连线为公共弦的垂直平分线；

若设圆半径为r，弦心距d，弦长为2l，则有r2=d2+l2

（Ⅱ）关于切线的性质

切线垂直于经过切点的圆的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径

（2）圆的性质的应用

解决有关圆的问题时，适时运用圆的性质，往往可避免或缩短某个局部的求解过程，既有效地减少计算量，又使解题过程简捷明快.关于圆的问题的解题技巧，主要表现在“设”的技巧上：（Ⅰ）巧设圆心坐标

若已知（或可知）圆心所在直线的方程或其它特征，则可据此巧设圆心坐标，减少所引参数的个数.

（Ⅱ）巧设圆的方程

一般地，当所给问题与圆心或半径相关时，以设圆的标准方程为上；在特殊情况下，根据问题的具体情况设圆的一般方程或圆系方程，亦会收到简明效果.

3、直线与圆

设直线l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，圆C: (x?a)2+(y?b)2=r2(r≠0)，

则直线与圆的位置关系有两种判别方法：

（1）“特性”判别法（只适合于直线与圆位置关系的判定）：

设圆心C到直线l的距离为d，则

d

d=r?直线l与圆C相切；

d>r?直线l与圆C相离.

（2）“通性”判别法（适于直线与圆锥曲线位置的判定）：

将上述直线方程与圆方程联立，消去x(或y)所得一元二次方程的判别式为Δ，则

Δ>0?直线与圆C相交；

Δ=0?直线与圆C相切；

Δ<0?直线与圆C相离.

4、挖掘与引申

（1）两圆的公共弦所在直线的方程

设⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①

与⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②

相交于A、B两点，则由①-②得两圆公共弦AB所在直线的方程为：

(D1?D2)x+(E1?E2)y+(F1?F2)=0

（2）圆的切点弦所在直线（极线）的方程 对于圆x 2+y 2=r 2(r >0)

（Ⅰ）当点M(x 0,y 0)在圆上时，以M 为切点的切线方程为x 0x +y 0y =r 2；

（Ⅱ）当点M(x 0,y 0)在圆外时，过点M 分别向圆作切线MA 、MB （切点分别为A 、B ），则切点弦AB 所在直线（极线）方程为x 0x +y 0y =r 2.

引申：当点M(x 0,y 0) 在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 外时，过点M 分别向圆作切线MA 、MB （切点分别为A 、B ），则切点弦AB 所在直线（极线）方程为

x 0x +y 0y +D (

x +x 02)+E (y +y 0

2

)+F =0 四、经典例题

例1．求经过点A （5，2），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程.

分析：由题意知直线l 与两坐标轴都相交，因为不存在直线l 垂直于x 轴的情形。但是，注意到直线l 的两截距互为相反数的一般情形与特殊情形，故解题也需分两种情形讨论。

解：由题意知直线l 与两坐标轴都相交.

（1）当直线l 在两轴上的截距均不为零时，设直线l 的方程为：x

a +y

?a =1 (a ≠0) ∵ A ∈l

∴：5

a +2

?a =1，即 a=3.

∴ 此时直线l 的方程为：x-y-3=0 .

（2）当直线l 在两轴上的截距为零，即直线l 过原点时，直线l 的方程为：2x-5y=0 ∴ 综合（1），（2）得所求直线l 的方程为x-y-3=0 或 2x-5y=0 .

点评：运用直线的某一种特殊形式求直线方程，从客观上是默认了这一形式存在的前提条件.因此，解题时还要考察这一形式不能表示的直线，只有实现“一般”与“特殊”的相互依存，才能实现解题的完解完胜.在这里，直线的“截距式”不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行（或重合）的直线.因此，要对这些特殊直线单独考察.

例2．直线l 被两平行直线l 1：x+2y-1=0及l 2：x+2y-3=0 所截线段AB 的中点M 在直线x-y-1=0上，且l 到l 2的角为45°，求直线l 的方程.

分析：由已知条件易得直线l 的斜率。欲求点M 坐标，先考察点M 的位置特征，注意到l 1∥l 2 点M 为线段AB 的中点，故点M 在与l 1、l 2 等距离的另一直线l 3 上.因此，为避免复杂运算，可先求l 3的方程.

解（利用平面图形几何性质的技巧）：由题意知，点M 在与l 1，l 2等距的直线l 3上，注意到l 1，l 2的纵截距分别为1

2和3

2 ，故l 3的纵截距为l ，

∴由斜截式得l 3的方程为x+2y-2=0 ① 将①与x-y-1=0 联立解得M （4

3，1

3） ②

设直线l的斜率为k，则又由已知得tan45°=

?1

2

?k

1+(?1

2

)k

，

解得k=?3③

于是由②③得所求直线l的方程为9x+3y-13=0

点评：解决直线问题的主要技巧，一是“设”的技巧：通过巧设有关点的坐标或有关直线的方程来减少计算量；二是适时“利用平面图形性质”的技巧：通过不失时机的利用平面图形的特征，避免或减少解方程的运算.请在下面的例题中注意上述技巧的刻意运用.

例3．已知点A（1，-1）和直线l1：2x＋ｙ?6=0，过点A作直线l2 与l1交于点B，使|AB|=5 ，求直线l2的方程.

分析：欲求l2的斜率k，如直面求直线l1、l2联立的方程组，再利用两点间的距离公式，运算复杂，故想到避其锋芒，先求l1与l2的夹角φ的三角函数值。为此，利用已知条件率先构造含有φ的RtΔ。

解（对交点坐标不设不解）：过点A作AC⊥l1C，则|AC|=√5|BC|=2√5

又∠ABC=φ为直线l1与l2的夹角

∴由RtΔABC 得tanφ=1

2

（1）当直线l2的斜率存在时，设直线l2的斜率为k，

则由两直线的夹角公式得|k?(?2)

1+(?2)k |=1

2

?2|k+2|=|2k?1|

?k=?

3

此时，直线l的方程为y+1=?3

4

(x?1)即3x+4y+1=0

（2）当直线l2的斜率不存在时，直线l2的方程为x=1，此时易得B（1，4），|AB|=5符合已知条件.

综合（1）（2）得所求直线l2的方程为3x+4y+1=0或x-1=0

点评：借助平面图形的特征，人为地构造与求解RtΔ，进而转化为运用夹角公式求解目标直线的斜率,刻意避免了求解直线l1与l2的交点坐标.这样对交点坐标“不设不解”的处理手法，也是直线与曲线相交问题的基本解题策略之一.

例4．在ΔABC中，A（3，-1），AB边上的中线所在直线方程为6x+10y?59=0，∠B 的平分线所在直线方程为x?4y+10=0，求BC边所在直线方程.

分析：如何利用∠B的的平分线方程这一条件？通常的选择是两种：一是直面问题，所用l1与l2的角的计算公式；二是利用平分线性质等价转化。我们这里选择第二条途径。

解（利用三角形内角平分线的性质）：由题意设B（4t?10,t）

则AB 边中点D(2t ?72,

t?1

2

)

∴点D 在直线6x +10y ?59=0 上， ∴6(2t ?7

2)+10(

t?12

)?58=0

? t=5

∴点B （10，5） ①

又注意到AB 与BC 边所在直线关于∠B 的平分线所在直线x ?4y +10=0对称， 故点A （3，-1）关于直线x ?4y +10=0 对称点A′（m,n ）一定在直线BC 上 ∴由点A 、A′关于直线x ?4y +10=0 对称得

{1(n +1)=?1

m +32?4(n ?12

)+10=0

? {m =1n =7

∴A′（1，7） ②

于是由①②得直线A′B 即直线BC 的方程为2x+9y-65=0

点评：本题解题特色，一是利用已知直线方程巧设点B 和点D 坐标；二是利用平分线性质转化为点的对称问题.此为解决这类直线问题的基本策略.

例5．已知过点A （1，1）且斜率为-m(m>0)的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，过P 、Q 分别作直线l 1：2x+y=0的垂线，垂足为R 、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值.

分析：这里的四边形PRSQ 为直角梯形且PRSQ ，故梯形的高RS 为平行线QS 与PR 间的距离，从设直线l 的方程切入.

解：设直线l 的方程为y ?1=?m (x ?1)(m >0) ① 在①中令x=0得y=m+1 ∴Q （0,m+1） 在①中令y=0得x=1m +1 ∴P （1

m +1,0）

将P 、Q 两点到直线l 1:2x+y=0的距离分别记为d 1,d 2 , 则|PR|+|QS|=d 1+d 2=

m+2

m

+3√5

②

又直线QS 方程为y ?(m +1)= 1

2x ? x ?2y +2(m +1)=0， 直线PR 方程为y=12(x ?1?1m )?x ?2y ?1

m ?1=0， ∴直线PR 与QS 间的距离h=2(m+1)+(1m

+1)

√5

=

2m+1m

+3

√5

即|RS|=

2m+1m

+3

√5

③

∴由②③得：S prsq =1

2(d 1+d 2)h =1

10[14+9(m +1

m )+2(m 2+1

m 2)]

≥110(14+9×2√m ×1m

)+2×2√(m 2×1m 2

)

=18

5（当且仅当m =1

m

? m =1时等号成立）

于是可知，四边形PRSQ 的面积的最小值为18

5 （当且仅当m=1时取得）

点评：从设直线l 的方程切入，点P 、Q 坐标以及点P 、Q 到l 的距离依次登场，循序渐进，又借助两平行直线间的距离公式求出梯形的高RS ，四边形面积的表达式便呼之欲出了.解题主线分明，脉络清晰，这是我们应追求的境界.

例6．设圆上的点A （2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在此圆上，且该圆与直线x ?y +1=0相交的弦长为2√2，求圆的方程.

分析：圆上的点A 关于直线x+2y=0 的对称点仍在此圆上，由此我们可以推出什么？

解（巧设圆心坐标）：由圆上的点A 关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上知，圆心在直线x+2y=0上

∴可设圆的圆心坐标为（2t ，-t ），圆的方程为(x ?2t)2+(y +t)2=r 2 (r >0) ① 则由题设条件得：r 2=(

√2

)2

+(√2)2 ②

r 2=(2?2t)2+(3+t)2 ③ ∴由②③解得{t =3 r 2=52 或 {t =7

r 2=244

∴所求圆方程为(x ?6)2+(y +3)2=52 或 (x ?14)2+(y +7)2=244 点评：要善于认知题设的真面目：点A 关于直线x+2y=0 的对称点A ′ 在此圆上

? 弦A A ′ 的垂直平分线为x+2y=0

? 直线 x+2y=0过圆心

例7．一个圆与直线l 1：x ?6y ?10=0·相切于点P （4，-1），且圆心在直线l 2：5x ?3y =0上，求圆的方程。

分析：求圆的方程，当已知条件与圆心或半径关系较为密切时，首先考虑运用圆的标准方程. 解（巧设圆心坐标）：∵圆心在直线5x ?3y =0上 ∴设圆心C 的坐标为（3t ，5t ） 又PC ⊥l 1 ∴K PC ?K l1=?1 由此得(5t+13t?4)1

6=?1 解之得t=1

∴圆心C （3，5），半径r=|PC|=√37

∴所求圆的方程为(x?3)2+(y?5)2=37

点评：已知条件中出现圆的切线，要想到利用圆的切线的性质.上述解答便是利用了圆的切线的性质之一，圆的切线垂直于经过切点的圆的半径.

例8．已知圆C与圆x2+y2?7y+10=0相交，所得公共弦平行于已知直线2x?3y?1=0，又圆C经过点A（-2，3），B（1，4），求圆C的方程。

分析：题设条件中出现两圆的公共弦.对此，处置问题的常用方法有二：一是推导并利用公共弦所在直线的方程；二是充分利用两圆的公共弦的性质，着眼点不同，随之的解法也会不同.

解法一（利用公共弦所在直线的方程）：设圆C方程为x2+y2?Dx+Ey+F=0，则

圆C与已知圆的公共弦所在直线方程为Dx+(E+7)y+(F?10)=0

∴由题设得：?D

E+7=2

3

?3D+2E=?14①

又点A、B在圆C上，故有：

2D-3E-F=13②

D+4E+F=-17③

∴所求圆C的方程为：x2+y2+2x?10y+21=0

解法二（利用圆的性质）：由已知得圆C的弦AB的中点坐标为(?1

2,7 2 )

∴圆C的弦AB的垂直平分线方程为3x+y-2=0 ④又已知圆圆心为(0，7

2

)

∴两圆连心线所在直线的方程为y?7

2=?3

2

x

?3x+2y?7=0⑤

设圆心C（a,b），则由④、⑤得

{3a+b?2=0

3a+2b?7=0

解之得{a=?1 b=5

再注意到圆C的半径r=|CA|=√

∴所求圆C的方程为(x+1)2+(y?5)2=5

点评：两种解法各有所专长，仅就解题的严密性而言，解法二的优势明显一些.

例9．已知圆M的方程为x2+(y?2)2=1，点Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A、B，试求弦AB的中点P的轨迹方程.

分析：本题出现“切点弦”.鉴于问题的复杂性，我们考虑推导并利用圆的切点弦所在直线的方程.

解：由已知得M（0，2），圆M方程为x2+y2?4y+3=0①

设Q（t，0），则由①得切点弦AB所在直线方程为tx?2y+3=0②

又设P （x ，y ），则由MP ⊥AB 得

y?2x

=2t

? t =2x

2?y (xt ≠0) ③

将③代入②得

2x 22?y

?2y +3=0 (x ≠0)

? 2x 2+2y 2?7y +6=0 (x ≠0且y ≠2)

? x 2+(y ?74)2=1

16 (x ≠0且y ≠2) ④

讨论：当t=0时有x=0，代入②得y=32，点（0，32）满足④式，故点（0，3

2）也是所求轨迹上的点. 综上可知，所求弦AB 的中点P 的轨迹方程为：x 2+(y ?74)2=1

16 (y ≠2)

说明：这里的切点弦AB 所在直线的方程②是需要推导或证明的.本题略去的推导或证明过程，请大家练习.

例10．已知直线l ：x +2y ?3=0与⊙C:x 2+y 2+x ?2ay +a =0相交于A 、B 两点 （1）当CA ⊥CB 时，求⊙C 的方程；

（2）当OA ⊥OB 时，求⊙C 的方程（O 为原点） 解：

（1）利用圆的性质，对交点坐标“不设不解” 注意到⊙C 的方程为(x +12)2+(y ?a)2=a 2?a +1

4 ∴弦心距d =

|2a?72

|√5

=

2√5

由CA ⊥CB 得 r=√2d

? r 2=2d 2

? a 2

?a +14=(4a ?7)2

10

? 10a 2?10a +

5

2

=16a 2?56a +49

? 6a 2

?46a +932=0

? 12a 2?92a +93=0

? a=

23±5√10

6

∴所求⊙C 方程为：6x 2+6y 2+6x ?2(23?5√10)y +23?5√10=0 或6x 2+6y 2+6x ?2(23+5√10)y +23+5√10=0 （2）对交点A 、B 坐标“既设又解”

设:A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)

将直线方程与⊙C 方程联立得：{x +2y ?3=0

x 2+y 2

+x ?2ay +a =0

消去x 得 5y 2?(2a +14)y +(a +12)=0 ① 由题意知：y 1、y 2为方程①的两个不等实根 ∴△=(2a +14)2?20(a +12)>0

? a 2+9a ?11>0 ②

∴由韦达定理得：{y 1+y 2=2

5(a +7)

y 1y 2=1

5(a +12) ③ ∴x 1x 2=(3?2y 1)(3?2y 2)=9?6(y 1+y 2)+4y 1y 2=1

5(9?8a) ④ 又由OA ⊥OB ∴x 1x 2+y 1y 2=0 ⑤ ∴由③、④、⑤得：1

5(9?8a )+1

5(a +12)=0 解得：a=3（满足②式）

∴所求⊙C 方程为 x 2+y 2+x ?6y +3=0

点评：在这里的“既设又解”中，“设”是真心实意地设（交点坐标）“解“是半心半意地解（方程组），解至中途转而运用韦达定理求解.

例10的改作：

（1）已知⊙C ：x 2+y 2+x ?6y +m =0与直线l ：x +2y ?3=0相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB （O 为原点），求m 的值.

（2）已知⊙C 的圆心坐标为(0，5

2)，⊙C 与已知直线3x +4y ?10=0相交于A 、B 两点，且OA ⊥OB （O 为坐标原点），求⊙C 方程

（3）已知过点（3，0）的直线l 与⊙C ：x 2+y 2+x ?6y +3=0相交于A 、B 两点且OA ⊥OB （O 为坐标原点），求直线l 的方程.

五、高考真题 （一）选择题

1.（2005·北京卷）“m =1

2”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的（ ）

A.充分必要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分又不必要条件

2.（2004·湖南卷）设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则a,b 满足（ ） A.a+b=1

B.a-b=1

C.a+b=0

D.a-b=0

3.（2005·湖南卷）设直线的方程是Ax+By=0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取出两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（）

A.20

B.19

C.18

D.16

4.(2005天津卷)将直线2x?y+λ=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x?4y= 0相切，则实数λ的值为（）

A.–3或7

B.–2或8

C.0或10

D.1或11

5.（2005全国卷）已知直线l过点（－2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）

A.（-2√2，2√2）

B.（-√2，√2）

C.（?√2

4，√2

4

） D.（?1

8

，1

8

）

6.（2005北京卷）从原点向圆x2+y2?12y+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（）

A.π

6B.π

3

C.π

2

D.2π

3

7.（2005·湖南卷）已知点P（x,y）在不等式组{x?2≤0 y?1≤0

x+2y?2≥0

表示的平面区域上运动，则z=x?y 的取值范围是（）

A.[-2，-1]

B.[-2，1]

C.[-1，2]

D.[1，2]

8.（2004·全国卷III）已知圆C与圆(x?1)2+y2=1关于直线y=?x对称，则圆C的方程为（）

A.(x+1)2+y2=1

B.x2+y2=1

C.x2+(y+1)2=1

D..x2+(y?1)2=1

（二）填空题

1.（2005·上海卷）直线y=1

2

x关于直线x=1对称的直线方程是.

2.（2005·湖南卷）设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2?2x?3=0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程为.

3.（2004·辽宁卷）若经过点P（-1，0）的直线与圆x2+y2+4x?2y+3=0相切，则此直线在y 轴上的截距是.

4.（2005·重庆卷）若x2+y2=4，则x－y的最大值是.

5.（2005·湖南卷）已知直线ax+by+c=0与圆o:x2+y2=1相交于A、B两点，且|AB|=√3，则OA

????? ?OB

????? =.

6.（2004·全国卷）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为.

7.（2005·福建卷）非负实数x,y 满足{

2x +y ?4≤0

x +y ?3≤0

，则x +3y 的最大值为 .

8.（2005·山东卷）设x,y 满足约束条件{x +y ≤53x +2y ≤12

0≤x ≤30≤y ≤4，则使目标函数z=6x+5y 的值最大的点\（x,y ）

是 .

9.（2005·江西卷）设实数x,y 满足{x ?y ?2≤0

x +2y ?4≥02y ?3≤0 ，则y

x 的最大值为

（三）解答题

1.（2005·北京卷）如图，直线l 1：y=kx （k>0）与直线l 2：y =?kx 之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W

2. （1）分别用不等式组表示W 1和W 2；

（2）若区域W 中的动点P （x,y ）到l 1，l 2 的距离之积为d 2 ，求点P 的轨迹C 的方程；

（3）设不过原点O 的直线l 与（2）中曲线C 相交于M 1M 2 两点，且与l 1，l 2 分别交于M 3M 4两点，求证：ΔO M 1M 2的重心与ΔO M 3M 4的重心重合.

2.（2005·广东卷）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上

（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程； （2）求折叠的长的最大值.

3.（2004·湖南卷）如图，直线l 1：y=kx+1-k （k ≠0，k ≠±1

2） 与l 2：y =1

2x +1

2 相交于点P ，直线l 1 与x 轴交于点p 1 ，过点p 1 作x 轴的垂线交l 2 于点 ，过点 作y 轴的垂线交直线l 1 于点 ，过点 作x 轴的垂线交l 2 于 ，……这样一直作下去，可得到一系列点P 1，Q 1，P 2，Q 2，……，点的横坐标构成数列 .

（1）证明： ；

（2）求系数 的通项公式； （3）比较 与 +5的大小.

分析与解答

（一）选择题 1.选B

分析：当 时，两直线为 和 ，显然垂直，条件具充分性；

当两直线互相垂直时，由得：

或，条件不具必要性.

故应选B.

2.选D.

分析：由为倾斜为得

又由得，

∴，即a=b，故应选D.

3.选C.

分析：注意到A、B的顺序，从1，2，3，4，5五个数中任取两个作为中A、B的值有种解法，但其中有“A=1，B=2”与“A=2，B=4”表示同一直线，“A=2，B=1”与“A=4，B=2”表示同一条直线，所以不同直线的条数为，应选C.

4.选A

分析：把直线即向左平移1个单位得直线.

解法一：若注意到圆与y轴交于（0，0）和（0，4）两点，即圆与y轴的相交弦为x=0 ，当时，直线都和圆与y轴的相交弦相交，从而否定B，C，D，应选A.

解法二：将代入圆方程得，

当得

解得或，从而应选A.

5.选C.

分析：将直线代入得

，

故选C.

6.选B.

分析：已知圆的圆心C（0，6），设两切点为A、B，

则在中，，则

∴，应选B.

7.选C.

分析：首先由不等式确定可行域，而后研究目标函数（即）.

结合图形易知：

当直线，过点A（0，1）时，；

当直线，过点B（2，0）时，，故应选C.

8.选C.

分析：已知圆圆心（1，0），其关于直线ｙ＝－ｘ的对称点为（0，-1），由此否定A，B，D，应选C.

（二）填空题

1.分析：从点的对称切入，当直线y=1

2

x上的点（0，0）关于x=1的对称点为A（2，0），直线

y=1

2x上的点（2，1）关于x=1的对称点为B（0，1），则K AB=?1

2

，从而直线AB的方程为y=?1

2

x+1

?x+2y?2=0，故所求对称直线方程为x+2y?2=0

2.分析：已知圆圆心（1，0），K AB=?２

３

，

∴弦AB的垂直平分线的斜率为３

２

，

∴弦AB的垂直平分线的方程为，

故所求直线方程为：

3. 分析：已知圆方程为：，

经过点P（-1，0）且与圆相切的直线的斜率存在，

设这一切线的方程为

，

则，由此解题k=1，

∴上述切线的方程为y=x+1，其在y轴上的截距是1，故应填1.

4.分析：根据已知设，

则（为辅助）

∴x-y的最大值为

5.分析：由题设在中，，

∴

∴，

∴应填

6.分析：由题设得，∴

又，，

∴动点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆.

∴动点P的轨迹方程为

点评：首先认知动点P的运动轨迹，而后据此导出动点P的轨迹方程，此为求动点轨迹方程的又一途径。

7.分析：由不等式组解得可行域.可行域边界上各交点的坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（0，3），C（1，2），当，则比较u在各交点处的函数值得

点评：在x,y不受其它限制的情况下，目标函数的最值一定是在可行域边界上的“交点”处取得.因此，相关问题均可仿7解决.

8.分析：由不等式作出可行域，求出可行域边界上的各个“交点”的坐标，则仿7可得答案是点（2，3）.

9.分析：由不等式组作出可行域，则可行域为所包围的平面区域

（包含边界），，，

注意到表示区域内

任一点P与原点的连线的斜率，

又，

∴

（三）解答题

1.

分析：对于（1）从题设中的直线方程切入；对于（3），则可考虑推理并运用三角形重心坐标公式证明.为此，寻找三顶点同名坐标的和之间的联系.

解：

（1）由题设得：

，

（2）直线，

直线.

由题意得：，

即：①

∵点

∴②

∴由①，②得：

整理得

∴所求动点P的轨迹C的方程为：③

（3）证明：

（Ⅰ）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为，∵直线l，曲线C关于x轴对称

并且与关于x轴对称.

∴的中点坐标均为（a，0），

∴的重心坐标均为，

即它们的重心重合.

（Ⅱ）当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：

④

④代入③得：

由题意知这里：且⑤

设，则由韦达定理得：

又设

则由得，

由得，

∴，

于是可得：，

即的重心与的重心重合.

点评：

（1）这里区域.

（2）根据三角形重心坐标公式，要证明上述两个三角形的重心重合，只要证三顶点的同名坐标的算术平均数分别相等.于是，计算、推理的方向便更加明确了.

2.

分析：

（1）由题设，知折痕上点的坐标特征，故求折痕所在直线的方程时考虑运用待定参数法；

（2）利用（1）的结果，先求折痕之长的函数表达式，归结为函数的最值问题.

解：

（1）设折叠后A在DC边上的对应点为，

并设折痕EF所在直线的方程为

（Ⅰ）当k=0时，与D重合（水平折线），折痕所在直线的方程为

（Ⅱ）当，由题设知与关于折痕所在直线EF对称，

∴且的中点在直线EF上，

∴且

∴，

∴折痕EF所在直线方程为：

于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）得折痕EF所在直线方程为

（2）由（1）知线段EF的方程为（※）

当E与D重合时，E点坐标为（1，0），由（※）得k=-1；

当F与B重合时，F点坐标为（2，0），由（※）得

（Ⅰ）当E在OD上，F在OB上时，

由（※）得

则

∴

当得，即

∴当时，，则l是k的减函数，此时；

当时，，则l是k的增函数，此时；

（Ⅱ）当E在DC上，F在OD上时，

由（※）得

则是k的增函数，

此时，

（Ⅲ）当E在OD上，F在BC上时，，

由（※）得

则是k的减函数，

此时

于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）得的最大值为和中的最大者.

注意到

成立，

∴，

而

∴

于是可知折痕EF的最大值为：

点评：根据题意作出图形（比较这里的2（Ⅰ），可使我们的寻求目标明确，解题思路明朗，同时也可从中受到直观启发或猜想.图形的积极作用是人所共知的.但是，事物都是一分为二的.当问题比较复杂时，我们所作出的图形只是诸多情况中的一种，因而很容易“以一种倾向掩盖另一种倾向”，导致我们解题的疏漏或缺憾，（忽略（Ⅱ）、（Ⅲ））.因此，当我们刻意借助图形解题时，要注意多方位、多角度地考察问题，立足考察的这一种情形，寻觅可能存在的其它情形.为此，不仅有利于解好这个题，而且有利于我们思路的开阔以及思维的缜密，均有益处.

3.

分析：

（1）注意到为点的横坐标，所以设出之后，从寻找，坐标切

入；

（2）利用（1）的结果认知的相关数列的特性，推导的表达式；

（3）首先整理、化简以及的表达式，而后根据具体情况选择比较大小的手段.

解：

高中数学历年集合高考题汇编(专题)

集合与常用逻辑用语 一、选择题 1.（2010浙江理）（1）设P=｛x ︱x <4｝,Q=｛x ︱2 x <4｝，则 （A ） p Q ? （B ）Q P ? （C ）R p Q C ? （D ）R Q P C ? 2.（2010陕西文）1.集合A ={x －1≤x ≤2}，B ＝｛x x ＜1｝,则A ∩B =（ ） (A){x x ＜1} （B ）{x －1≤x ≤2} (C) {x －1≤x ≤1} (D) {x －1≤x ＜1} 3.（2010辽宁文）（1）已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A = （A ） {}1,3 （B ） {}3,7,9 （C ） {}3,5,9 （D ） {}3,9 4.（2010辽宁理）1.已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},u eB ∩A={9},则A= （A ）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9} 6.（2010江西理）2.若集合 {} A=|1x x x R ≤∈，， {}2B=|y y x x R =∈，，则A B ?=（ ） A. {}|11x x -≤≤ B. {}|0x x ≥ C. {}|01x x ≤≤ D. ? 8.（2010浙江文）设2{|1},{|4},P x x Q x x =<=<则P Q =I (A){|12}x x -<< (B){|31}x x -<<- (C){|14}x x < <- (D){|21}x x -< < 9.（2010山东文）已知全集U R =，集合{}240 M x x =-≤，则U C M = A. {}22x x -<< B. {}22x x -≤≤ C ． {}22x x x <->或 D. {}22x x x ≤-≥或 11.集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M I = (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3} 12.(7)设集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R = ∈=<<∈?=?若， 则实数a 的取值范

数学专题 高考数学压轴题18

新青蓝教育高考数学压轴100题1二次函数 2复合函数 3创新性函数 4抽象函数 5导函数（极值，单调区间）--不等式 6函数在实际中的应用 7函数与数列综合 8数列的概念和性质 9 Sn与an的关系 10创新型数列 11数列与不等式 12数列与解析几何 13椭圆 14双曲线 15抛物线 16解析几何中的参数范围问题 17解析几何中的最值问题 18解析几何中的定值问题 19解析几何与向量 20探究性问题

y x l O F P 3 P 2 P 1 A Q y x l O F P 3 P 2 P 1 18 解析几何中的定值问题 1如右图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为：12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点321、P 、P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： ||1 ||1||132 1FP FP FP ++为定值，并求此定值. 分析：本题主要考查椭圆的定义、方程及几何性质、余弦三角函数等基础知识、基本方法和分析问题、灵活解决问题的能力。 数形结合思想方法 解：（Ⅰ）设椭圆方程为122 2 2=+b y a x . 因焦点为)0,3(F ，故半焦距3=c .又右 准线l 的方程为 c a x 2 = ，从而由已知 36,1222 ==a c a ， 因此 3327,62 2==-==c a b a . 故所求椭圆方程为1 27362 2=+y x . （Ⅱ）记椭圆的右顶点为A ，并设)3,2,1(==∠i AFP i i α，不失一般性，假设 3201πα< ≤，且34,321312π ααπαα+ =+=. 又设i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率 21 = = a c e ，

高中数学《立体几何》高考专题复习

高三数学专题立体几何复习教案 一、教学目标 1、掌握以三视图为命题载体，熟悉一些典型的几何体模型，如长(正)方体、三棱柱、三棱锥等几何体的三视图，与学生共同研究空间几何体的结构特征（数量关系、位置关系）. 2、外接球问题关键是找到球与多面体的联系元素，如球心与截面圆心的关系即“心心相映法”，线面垂直的多面体可补成直棱柱再找外接球球心即“补体法”，进而构建球半径R 、截面圆半径r 、球心到截面距离d 三者之间的勾股定理。 3、在三视图与直观图的互换过程中，培养学生养成构建长方体为“母体”的解题意识，通过寻找外接球球心问题，引导学生更好地理解球与多面体的关系，培养学生的分割与补形的解题意识，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力、计算能力和动手操作能力，体现化归与转化的基本思想.． 二、学情分析 立体几何是培养学生空间想象力的数学分支，根据学生实际学情，依据考纲依靠课本，在立体几何的复习过程中要想办法让学生建立起完整的知识网络，要突出这门学科的主干，让学生多一点思考,少一点计算。高考立体几何试题一般是两小题一大题, 其中三视图与直观图、多面体与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点，要注意重视空间想象，会识图会画图会想图,提高识图、理解图、应用图的能力，解题时应多画、多看、多想，这样才能提高空间想象能力和解决问题的能力，突出转化、化归的基本思想． 三、重点： 三视图与直观图的数量、位置的转化；多面体与球相关的外接与内切问题； 难点：化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法； 四、教学方法： 问题引导式 五、教学过程 专题：立体几何 问题1：三视图 1．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( ) 2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）

高中数学--历年高考真题精选一(附答案)

高中数学--历年高考真题精选 题号 一 二 三 总分 得分 一 、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.若A 为不等式组002x y y x ≤?? ≥??-≤? 表示的平面区域，则当a 从2-变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部 分区域的面积为； A ． 34 B ．1 C ．7 4 D ．2 2.（2012年高考（天津理））设m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆2 2 (1)+(y 1)=1x --相切,则 +m n 的取值范围是（ ） A ．[13,1+3]- B ．(,13][1+3,+)-∞-∞ C ．[222,2+22]- D ．(,222][2+22,+)-∞-∞ 3.如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900 ,∠ACC 1=600 ,∠ BCC 1=450 ,侧棱 CC 1的长为1，则该三棱柱的高等于 A.21 B.2 2 C. 2 3 D. 3 3 4.某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女 生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是 (A)简单随机抽样法(B)抽签法 (C)随机数表法 (D)分层抽样法 5.如图，已知六棱锥ABCDEF P -的底面是正六边形， AB PA ABC PA 2,=⊥平面则下列结论正确的是 A. AD PB ⊥ B. PAB 平面PBC 平面⊥ C. 直线BC ∥PAE 平面 D. 直线ABC PD 与平面所成的角为45° 6.5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( ) （A ）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 7.对于函数f(x)，若存在常数0≠a ，使得x 取定义域内的每一个值，都有a-x)f(f(x)2=，则称f(x)为准偶 函数。下列函数中是准偶函数的是 （A ）x x f =)(（B ）2)(x x f =（C ）x x f tan )(=（D ）)1cos()(+=x x f 8.设a 是实数，且 112 a i i ++ +是实数，则a = A ． 12 B ．1 C ．3 2 D ．2 9.设12F F ，分别是椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c （c 为半焦 距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（ ） A ． 312- B ．1 2 C ．512- D ．22 10.生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序, 第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲丙两工人中安排1人,则不同的安排方案有( ) A.24种 B.36种 C.48种 D.72种 二 、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.已知1F 、2F 分别为双曲线C : 22 1927 x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2，0)，AM 为12F AF ∠的平分线．则2||AF = . 12.计算：∞→n lim 1 6) 1(32++n n n = . 13.设函数()113,1,,1, x e x f x x x -?

职业高中数学高考试题[1]

2011年四川省职教师资班对口 招生数学试题 (满分150分时间120分钟) 一、选择题（每小题4分，共60分．每小题选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号填在题后括号内） 1．设集合M={x|x∈R，x>–1}，N={x|x∈R，x<3}，则M∩N为（） A．{x|x∈R，x>–1} B．{x|x∈R，x<3} C．{x|x∈R，–1

D． 5．已知3a =2，3b =5，则3a+b等于（） A．10 B．7 C．25 D．32 6．设为任意实数，则sin(+5)等于（） A．sin B．cos C．–sin D．–cos 7．设正方形ABCD的边长为2，AP⊥平面AB–CD，且AP=1，则线段PC的长是（） A． B．3 C． D．5 8．在平面直角坐标系中，抛物线y2 =4x的焦点坐标是（） A．（1，0） B．（2，0） C．（0，1） D．（0，2） 9． 反函数 是 （） A. B.

C. D. 10．.函数f(x)= 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(0， ) B．( ，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－∞,－1)∪(1,＋∞) 12．在(1+ )11 的展开式中，

高中数学必修一《集合》高考专题复习

专题二 集 合 1．集合的基本概念 (1)集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系：a ∈A 或a ?A . (3)常见集合的符号表示 (4)2．集合间的关系 (1)两个集合A ，B 之间的关系 (2)空集 规定：①空集是任何集合的子集；②空集是任何非空集合的真子集． (3)子集的个数 集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个真子集(除集合本身)，有2n －1个非空子集，有2n －2个非空真子集(除集合本身和空集，此时n ≥1)． 遇到形如A ?B 的问题，务必优先考虑A ＝?是否满足题意． 3．集合间的运算 考向一 集合的基本概念 1、(2013·江西，2)若集合 A ＝ { } x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0中只有一个元素，则 a ＝( )A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或4 2、(2014·福建，16)已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0 有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．

3、(2016·山东济南一模，3)若集合A＝{－1，1}，B＝{0，2}，则集合 z＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中元素的个数为()A．5 B．4 C．3 D．2 考向二集合的基本关系 4、(2013·福建，3)若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A∩B的子集个数为() A．2 B．3 C．4 D．16 5、(2012·大纲全国，2)已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝() A．0或 3 B．0或3 C．1或 3 D．1或3 6、(2013·课标Ⅰ，1)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5

高中数学高考三角函数复习专题

三角函数复习专题 一、核心知识点归纳： ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时，max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ( )k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ?? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理：在ABC ?中有: 函 数 性 质

①正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ?外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式：111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 三、例题集锦： 考点一：三角函数的概念 1.如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是 单位圆上的两点，O 是坐标原点，6 π = ∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ． （1）若34(,)55Q ，求?? ? ?? -6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=?u u u r u u u r ，求()αf 的值域． 2． 已知函数2 ()22sin f x x x =-. （Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[, ]63x ππ ∈-，求()f x 的值域. 考点二：三角函数的图象和性质 3.函数()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2 x π∈上的最大值和最小值． 考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换

高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题_含答案)

三角函数知识点与常见习题类型解法 1. 任意角的三角函数： （1） 弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。 （2） 扇形的面积公式：lR S 2 1 = R 为圆弧的半径，l 为弧长。 （3） 同角三角函数关系式： ①倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a a a cos sin tan = ， a a a sin cos cot = ③平方关系：1cos sin 22=+a a （4） 2.两角和与差的三角函数： （1）两角和与差公式： βββαsin sin cos cos )cos(a a =± βββsin cos cos sin )sin(a a a ±=± β β βtan tan 1tan tan )(tan a a a a ±= ± 注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．． （2）二倍角公式： a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 从二倍角的余弦公式里面可得出 降幂公式：2 2cos 1cos 2a a += ， 22cos 1sin 2a a -= （3）半角公式（可由降幂公式推导出）： 2cos 12sin a a -±=，2 cos 12cos a a +±= ，a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±= 3.

4.函数)sin(?ω+=x A y 的图像与性质： （本节知识考察一般能化成形如)sin(?ω+=x A y 图像及性质） （1） 函数)sin(?ω+=x A y 和)cos(?ω+=x A y 的周期都是ω π 2= T （2） 函数)tan(?ω+=x A y 和)cot(?ω+=x A y 的周期都是ω π = T （3） 五点法作)sin(?ω+=x A y 的简图，设?ω+=x t ，取0、 2 π 、π、23π、π2来求相应x 的值以 及对应的y 值再描点作图。 （4） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字 母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。（附上函数平移伸缩变换）: 函数的平移变换： ①)0)(()(>±=→=a a x f y x f y 将)(x f y =图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位 （左加右减） ②)0()()(>±=→=b b x f y x f y 将)(x f y =图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位 （上加下减） 函数的伸缩变换： ①)0)(()(>=→=w wx f y x f y 将)(x f y =图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w 1 倍（1>w 缩短， 10<

2019届高考数学专题-不等式选讲-高考真题

2019届高考数学专题-不等式选讲-高考真题 解答题 1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分） 已知()|1||1|f x x ax =+--． (1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集； (2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集； (2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．

3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分） 设函数()|21||1|f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图像； (2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值． 4．（2017新课标Ⅰ）已知函数2 ()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． (1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集； (2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．

5．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=，证明： (1)55()()4a b a b ++≥； (2)2a b +≤． 6．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--． (1)求不等式()1f x ≥的解集； (2)若不等式2 ()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．

高考数学分布列专题及答案

分 布 列 1．(本小题满分14分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3 5 ． （1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)； （2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望. 下面的临界值表供参考： (参考公式：2 2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++) 2．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒） 的数据如下表所示： （Ⅰ）该同学为了求出 y 关于x 的线性回归方程???y bx a =+，根据表中数据已经正确计算出?0.6b =，试求出?a 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 3．（本题满分14分） 某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动。 （1）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率； （2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高180元，同时允许顾客每购买1件 促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金100元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利。 4．(本题满分12分) 在高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.

高中数学知识点人教版总结(专题汇总)

专题一函数 【知识概要】 一、映射 ●映射：映射是两个集合A、B间一种特殊的对应，:f A B →表示对集合A中的任何一个元素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应。如果a A ∈，且 ∈，b B 元素a和元素b对应，那么，元素a叫做元素b的原像，元素b叫做元素a的像，记为() =。 b f a 【特别提醒】： （1）映射由三要素组成，集合A、B以及A到B的对应法则f，集合A、B 可以是数集，也可以是点集或其他集合。对于A中每一个元素，在B中有且只有一个元素和它对应。 （2）A中的不同元素允许对应B中的相同元素，即映射允许“多对一”、“一对一”，但不允许“一对多”。B中的元素可以在A中没有元素和它对应。 二、函数的概念 ●1. 函数的定义： 如果A、B都是非空的数集，映射:f A B →就叫做A到B的函数，记作：() =， y f x ∈，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应x A 的y值叫做函数值，函数值的集合{} f A表 |() =∈叫做函数的值域．如果用() y y f x x A 示值域，则有() ?。 f A B 通常() =表示“y是x的函数”，简记作函数() y f x f x。 ●2. 函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域() f A。 ●3. 函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．函数解析式的求法： （1）待定系数法. 若已知函数的类型，可用待定系数法； （2）换元法. 已知复合函数(()) f g x的解析式，可用换元法，要注意变量的取值范围； （3）消参法. 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出() f x。 （4）直接法.变形后直接代换 【特别提醒】函数解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要注明定义域，特别是利用换元法求解析式时，不注明定义域往往导致错解。 分段函数：在定义域内不同部分上有不同的解析式，这样的函数通常叫分段函数，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数。 壹

高中数学历年集合高考题汇编(专题)

高中数学历年集合高考题汇编(专题) 集合与常用逻辑用语 一、选择题 1.（2010浙江理）（1）设P=｛x︱x 4｝,Q=｛x︱x 4｝，则 （A）2p Q （B）Q P （C）p CRQ （D）Q CRP －1≤x≤2}，B＝｛x （B）{x2.（2010陕西文）1.集合A={x (A){x(C) {xx＜1｝,则A∩B=（ ） x＜1} －1≤x≤2} －1≤x＜1} －1≤x≤1}

{x3.（2010辽宁文）（1）已知集合U（A）1,3,5,7,9，A1,5,7，则CUA （C）1,3 （B）3,7,9 3,5,9 （D）3,9 4.（2010辽宁理）1.已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},euB∩A={9},则A= （A）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9} 6.（2010江西理）2.若集合A=x|x1，x R，B=y|y x2，x R，则A B=（ ） A. C. x|1x1 B. x|x0 x|0x1

x24},则P Q x1} x1} 8.（2010浙江文）设P{x|x1},Q{x|(A){x|1(C){x|1x2} (B){x|3(D){x|2x4} 9.（2010山东文）已知全集UA. C．R，集合M xx240，则CM= U x2x2 B. x2x2 xx2或x2 D. xx2或x2 {x Z0x3},M{x Zx29}，则PIM= 11.集合P (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x

(D) {x|0≤x≤3} 12.(7)设集合A则实数a的取值x||xa| 1,x R,B x|1x5,x R.若A B， 范围是 (A)(C)a|0a6 (B)a|a2,或a4 a|a0,或a6 (D)a|2a4 x||x a|1,x R,B x||x |2,x R.若A B,则实数a, 必满足 13.设集合A=（A）|a | 3 （B）|a | 3 （C）|a | 3 （D）|a

2020届高中数学高三总复习集合专题试题

2020届高中数学高三总复习集合专题试题 一．集合的含义与表示 1.下列四组对象，能构成集合的是（ ） A. 某班所有高个子的学生 B.著名的艺术家 C.一切很大的书 D.倒数等于它自身的实数 2.已知集合},,{c b a S =中的三个元素可构成ABC △的三条边长，则ABC △一定不是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.若集合}4,3,2,2{-=A ，集合},|{2A t t x x B ∈==用列举法可以表示为 4.已知集合}16{N x N x M ∈+∈=，则=M 5.已知集合}1,1,,1{2-+-=m m m m A ，若A ∈-1,则=A 6.方程组???=-=-1 323y x y x 的解的集合是（ ） A.}5,8{==y x B.}5,8{ C.)}5,8{( D.)5,8( 7.如果集合}012{2=++=x ax x A 中只有一个元素，则a 的值为 8.集合},,{},5,4,3{},3,2,1{B b A a b a x x M B A ∈∈+====，则M 中元素的个数为 9.已知集合}2,1,0{},,{=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ；②2=b ；③0≠c 有且只有一个是正确的，则=++c b a 32 二．集合间的基本关系 1.下列六个关系式：①},{},{a b b a =；②},{},{a b b a ?；③}{?=?；④?=}0{； ⑤}{???；⑥}0{0∈，其中正确的有 2.若集合}{},{22x y y Q x y x P ====，则P 与Q 的关系为（ ） A.Q P ? B.P Q ? C.Q P = D.以上都不对 3.若集合},2 14|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+= =，则（ ） A.N M = B.N M ? C.M N ? D.以上都不对 4.若集合},14{},,12{Z n n x x B Z n n x x A ∈±==∈+==，则（ ） A.B A ∈ B.A B C.B A = D.B A 5.已知集合},,1{},21,1,1{2c c B b b A =++=，若B A =，则=c

高中数学解答题专题

(已做)1.已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0, ]3π 上单调递增,在区间2[,]33 ππ 上单调递减;如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边,且满足 A C B A C B cos cos cos 34sin sin sin --=+ω . (1)证明:a c b 2=+ (2)若c b =,θ=∠AOB ,(0)θπ<<,22OA OB ==, 求四边形OACB 面积的最大值. (已做)1.已知函数2 1 ()sin cos sin (0)2 f x x x x ωωωω=?+- >，其相邻两个零点间的距离为2 π． （1）求()f x 的解析式； （2）锐角ABC ?中，1 (),4,282 A f A B AB C π+==?的面积为6，求BC 的值． (已做)2.已知正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足：022 =-+n n n S a a ，， n n b a =n c （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若 ),2(02 1*11，，N n n b b b n n ∈≥=-=-{}n n T n c 项和的前求出数列并判断是否存在整数m 、M ，使得M T m n <<对任意正整数n 恒成立，且4=-m M ？说明理由. (已做)3.在ABC ?中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ， c .且满足C b B c a cos cos )2(=-， )..(sin sin sin sin sin 222R C B C B A ∈-+=λλ （I ）求角B 的大小； （II ）若3=λ，求角C ； （Ⅲ）如果ABC ?为钝角三角形，求λ的 范围.

高中数学：2018年数学高考真题

对应学生用书P105 剖析解读 高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于不同省份的考生．在难度上会有一些差异，在试卷结构，命题方向上基本都是相同的． “稳定是高考的主旋律”．在今年的高考试卷中，试题分布和考核内容没有太大的变动，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等都是历年考查的重点．每套试卷都注重了对数学通性通法的考查，淡化特殊技巧，都是运用基本概念分析问题，基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题，这有利于引导中学数学教学回归基础．试卷难度结构合理，由易到难，循序渐进，具有一定的梯度．今年数学试题与去年相比整体难度有所降低．“创新是高考的生命线”．与历年试卷对比，Ⅰ、Ⅱ卷解答题顺序有变，这也体现了对于套路性解题的变革，单纯地通过模仿老师的解题步骤而不用心理解归纳，是难以拿到高分的．在对数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考查有所提升，也符合当前社会的大数据处理热潮和青少年创新性的趋势．

全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对必修4三角函数、三角恒等变换的考查，相对来说难度不大，综合性较低，但比去年难度有所提高，位置有所移后，其中，全国Ⅰ卷文科把三角函数放到第11题，略微有一点难度，是一个很明显的例子；但是对于平面向量的考查，全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷通常放在填空题第1题或选择题中间的位置，难度相对于去年有所降低，2017年把基本平面向量放到第12题的位置，综合性较强． 其他自主命题省市高考题对于三角函数、三角恒等变换的考查，难度都不大，而平面向量的考查难度各省市有较大区别，比如：天津卷、江苏卷、北京卷、浙江卷等较难，要求学生有较强的分析问题、转化问题的能力以及运算能力．下面列出了2018年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及各地区必修4所考查全部试题，请同学们根据所学必修4的知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学的内容的小综合试题，同学们可根据目前所学习的内容，有选择性的试做！) 穿越自测 一、选择题 1．(2018·全国卷Ⅲ，文4)若sinα＝1 3，则cos2α＝() A．8 9B． 7 9C．－ 7 9D．－ 8 9 ★答案★B 解析cos2α＝1－2sin2α＝1－2 9＝ 7 9．故选B． 2．(2018·全国卷Ⅱ，文4理4)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a

高中数学高考专题复习导数部分(教案)

数学专题复习：导数 一、导数的定义及运用 f(x)=()() lim x x f x x f x x →?+?-? 例1．设函数f(x)在0x 处可导，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 等于 （ ） A ．)('0x f B ．)('0x f - C ．)('0x f -- D ．)(0x f -- 二、导数与切线： y=f(x)上一点M （x 0,y 0）处的切线 （1）斜率k=f / (x 0) (2) y 0=f(x 0) (3) M （x 0,y 0）在切线上 例2．（理）设x x x f 1 )(- =，则它与x 轴交点处的切线的方程为______________。 （文）P 是抛物线2 x y =上的点，若过点P 的切线方程与直线12 1+-=x y 垂直， 则过P 点处的切线方程是____________。 三、导数与单调性、极值 (1).k=()f x '>0对应的区间为f(x)的单调增区间； （2）.k=()f x '<0对应的区间为f(x)的单调减区间； (3).k=()f x '=0解得的x=x 0可能是极值 例3．((理)函数y=x-sinx,,2x ππ?? ∈???? 的最大值是( C ) A.π-1 B. 2 π -1 C. π D. π+1 (文). a ax x y ++=3 为R 上为增函数,则a 的取值范围为_________ ),0[∞+∈a 例4.f(x)=3 2 332x x x +++是否有极值? 例5．已知函数)(x f y =，其导函数)(x f y '=的图象如右图， 则)(x f y =：( C ) A ．在(-∞，0)上为减函数 B ．在x=0处取得最大值 C ．在（4，+∞）上为减函数 D ．在x=2处取得最小值 [思路分析]：由导函数的性质知，)(,0)(x f x f >'递增，)(,0)(x f x f <'递减。从图像上知，当x>4时，0)(<'x f ，∴)(x f 在（4，+∞）上递减。 [命题分析]：考查导数的性质，函数的极值与最值，及观察图像的能力 例6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，

高中数学高考专题复习《集合》含试题与详细解答

高中数学高考专题复习《集合》含试题与详细解答 1．已知∈b a ,R ，则“b a =”是“ab b a =+2 ”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 2．已知命题b a p >若:，则 b a 11<，那么“p ?”是( ) A 、若b a >，则b a 11≥ B 、若b a >，则不一定有b a 11< C 、若 b a ≤，则b a 11< D 、若b a ≤，则b a 11≥ 3．如果22{|0,},{|0,}A x x x x R B x x x x R =-=∈=+=∈，那么A B =( ) A. 0 B. ? C. {0} D. {1,0,1}- 4．对于集合N M ,，定义：M x x N M ∈=-|{且}N x ?，)()(M N N M N M --=⊕ ， 设A ＝),3|{2R x x x y y ∈-=，{} )(log 2x y x B -==，则B A ⊕=（ ） A ．0] B ．0) C ．．5．非零向量,a b 使得||||||a b a b -=+成立的一个充分非必要条件是 A . //a b B. a b = C. |||| a b a b = D. 20a b += 6．已知集合{}0=A y y A B B =∣≥，， 则集合B 可能是（ ） （A ）{} =0y y x ∣≥ （B ）{}1=2x y y x ??∈ ???R ∣， （C ）{} =ln 0y y x x ∣，＞ （D ）R 7．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定形式 是 ( ) A.任意多面体没有一个是三角形或四边形或五边形的面 B.任意多面体没有一个是三角形的面 C.任意多面体没有一个是四边形的面 D.任意多面体没有一个是五边形的面 8．已知集合2{|1}M x x ==，{|1,}N a ax x M ==∈，则下列关于集合M 、N 之间 关系的判断中，正确的是

高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题,含答案免费)

1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得? ??=+=，1cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得. 55cos 55 2sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=?? ?????==x x x x 2．求 ) 330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan( ----的值． 解：原式 ) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-= .3330 cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---= 3．若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求sin x cos x 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，??? ??? ?=-=?? ?????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =103 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有?- =10 3cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ． 证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证．