绵阳东辰学校高三第三次考试
《数学试题》
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分,共5页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、科类填写在答题卡规定位置上。 2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。 不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷(非选择题,共90分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{1,}A =2,3,{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ,则A B = ( )
A.{1}
B.{12},
C.{0123},,,
D.{10123}-,,,,
2.复数i
i
z +=2(i 为虚数单位)的虚部为 ( )
A.-2
B.i
C.-2i
D.1
3.已知向量a =(1,2),b =(3,1),则b -a = ( ) A. (-2,1) B. (2,-1) C. (2,0) D. (4,3) 4.已知1
3
2
a -=,2
12
11
log ,log 33b c ==,则 ( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >>
5.下列有关命题的叙述,错误的个数为 ( ) ① 若p ∨q 为真命题,则p ∧q 为真命题。
② “5x >”是“2450x x -->”的充分不必要条件。
③ 命题P :?x ∈R ,使得x 2+x -1<0,则?p :?x ∈R ,使得x 2+x -1≥0。 ④ 命题“若,0232
=+-x x 则1=x ”的否命题为假命题 A .1 B .2 C .3 D .4
6.已知直线1+=x y 与曲线y ln()x a =+相切,则a 的值为 ( ) A. 1 B. -2 C. -1 D. 2
7.若将函数f (x )=sin 2x +cos 2x 的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小正值是
( )
A.π8
B. 3π8
C.3π4
D.π
4
8.设x ,y 满足约束条件????
?x +y -1≥0,x -y -1≤0,x -3y +3≥0,
则z =x +2y 的最大值为 ( )
A.8
B.7
C.2
D.1
9.已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时,3
()1f x x =- ;当11x -≤≤ 时,()()f x f x -=-;当12x >
时,11
()()22
f x f x +=- .则f (6)= ( ) A.2 B.1 C.0 D.-2
10.如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y 与乘客x 之间的关系图象,由于目前该条公路亏损,公司有关人员提出了两种调整的建议如图(2)(3)所示.
以下说法:
①图(2)的建议是:提高成本,并提高票价; ②图(2)的建议是:降低成本,并保持票价不变;
③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变;④图(3)的建议是:提高票价,并降低成本. 其中正确的序号是( )
A .②③
B .①④
C .①③
D .②④
11.在实数集R 中定义一种运算“*”,对任意a ,b ∈R ,a *b 为唯一确定的实数,且具有性质: (1) 对任意a ∈R ,a *0=a ;(2) 对任意a ,b ∈R ,a *b =ab +(a *0)+(b *0).
关于函数f (x )=(e x )*1
e x 的性质,有如下说法:①函数
f (x )的最小值为3;②函数f (x )为偶函数;
③函数f (x )的单调递增区间为(-∞,0].其中所有正确说法的个数为 ( ) A .0 B .3 C .1 D .2
12.直角△ABC 的三个顶点都在单位圆2
2
1x y +=上,点11(,)22
M ,则||MA MB MC ++ 的最大值是 ( )
A.
32
+2 B. 2+2 C.
2+l D.
32
+1
第II 卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
13.计算:sin
cos
12
12
π
π
-= .
14.设向量a ,b 不平行,向量a b λ+与2a b +平行,则实数λ=_________. 15.设,x y R ∈,1,1a b >>,若3x y a b ==,23a b +=11
x y
+的最大值为 16.设函数()f x =(21)x
e x ax a --+,其中1a <,若存在唯一的整数0x ,使得0()0
f x <, 则a 的取值范围是 .
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本题满分12分)已知等差数列{a n }中,a 1=1,公差d >0,且a 2,a 5,a 14分别是等比数列{b n }的
第二项、第三项、第四项.
(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2) 求数列{}n n b a +的前n 项和n S 。
18.(本小题满分12分)已知向量)sin ,(sin B A m =,)cos ,(cos A B n =,C n m 2sin =?,
且A 、B 、C 分别为ABC ?的三边a 、b 、c 所对的角. (1)求角C 的大小;
(2)若2=+b a ,设D 为AB 边上中点,求||CD 的最小值。
19.
(本小题满分12分) 已知函数
的图象如图所示·
(1) 求)(x f 在R 上的单调递增区间; (2) 设
是函数)(x f y =的一个零点,
求的值.
20.(本小题满分12分)已知函数11
()212
x f x =
+
-。 (Ⅰ)判断函数()f x 的奇偶性,并证明; (Ⅱ)若对于任意[2,4]x ∈,不等式2
1()()1(1)(7)
x m
f f x x x +<---恒成立,求正实数m 的取值范围。
21.(本小题满分12分)己知函数()ln(1)(1)f x x x x =+->-· (1)求()f x 的单调区间;
(2)若k Z ∈,且3(1)(1)f x x k x
-+>-对任意1x >恒成立,求k 的最大值; (3)对于任意给定常数)1,0(∈a ,是否存在正数x 0,使得2
0)(2
10x a e x f -<成立?请说明理由.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ,DB 垂直BE 交圆于D 。 (Ⅰ)证明:DB=DC ;
(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=错误!未找到引用源。,延长CE 交AB 于点F ,
求△BCF 外接圆的半径。
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中,曲线1cos ,
:sin ,
x t C y t αα=??=?(t 为参数,0t ≠),其中0απ≤<,在以O 为极
点,
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:2sin C ρθ=,曲线3:23cos C ρθ=.
(Ⅰ).求2C 与1C 交点的直角坐标;
(Ⅱ).若2C 与1C 相交于点A ,3C 与1C 相交于点B ,求AB 的最大值.
24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f (x )=|2x -1|+|2x +a |,g(x )=x +3. (Ⅰ)当a =-2时,求不等式f (x )<g(x )的解集;
(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。)时,f (x )≤g(x ),求a 的取值范围.
绵阳东辰学校高2014级高三第三次考试理科试题答案
答案CABCB,DBBAA,DD. 13. 22-
,14.2
1
,15,1,16[错误!未找到引用源。,1) 17.解析:(1)∵等差数列{a n }的a 2,a 5,a 14分别是等比数列{b n }的第二、三、四项,且a 1=1,
即(1+d )(1+13d )=(1+4d )2,∴d =2,a n =2n -1,
∵公比q =a 5a 2
=3,a 2=b 2=3,∴b n =b 2·q n -2=3·3n -2=3n -1,故b n =3n -
1.
(2)
n S =21
32
-+
n n 18.解:(1)sin cos cos sin sin()m n A B A B A B ?=?+?=+1分
对于,,0sin()sin ,ABC A B C C A B C ππ?+=-<<∴+=sin ,
m n C ∴?=3分
又
sin 2m n C ?=,1sin 2sin ,cos ,.
23
C C C C π∴===2分
(2
)
3
2)()(,
3
cos
22
222222=??
?
??+-+≥-+=++=?++==b a b a ab b a ab b a ab a b π
,
2224336,36,6
c c c c ∴=-?=∴=1分
19.解:(Ⅰ) 由图象知,
2
126561=-=A ,故312161-
=-=b ,
26322πππ=
-=T ,即π=T ,于是由πωπ
=2,解得2=ω. ∵ 6131)62sin(21=-+??π
,且)
2
2(ππ?,-∈,解得
6π?=. ∴
3
1)62sin(21)(-
+=πx x f .…………………………………………………4分
由
22ππ-k ≤
62π+x ≤2
2ππ+
k ,Z ∈k ,解得3ππ-k ≤x ≤6ππ+k ,Z ∈k , 即)(x f 在R 上的单调递增区间为Z
∈+-k k k ,,]6
3[π
πππ.………………6分
(Ⅱ)由条件得:
3
1
)62sin(21)(00=-+=πx x f ,即32)62sin(0=+πx .
∵
0)0()6
(
且)(x f 在
)
6
0(π,上是增函数,
61)6(=π
f >0,3
143)4(-=πf >0,)(x f 在
)
4
6(ππ
,上是减函数,
∴
)
6
0(0π,∈x ,∴ )2
6(6
20ππ
π
,∈+
x ,……………………………………9分
∴
3
5)62(sin 1)62cos(02
0=
+-=+π
π
x x ,
…………………………………10分 ∴
]
6
)62cos[(2cos 00ππ
-+=x x 6
sin )62sin(6cos )62cos(00ππ
π
π
+++=x x
6
215+=
. …………………………………………………………12分
20 .解:(Ⅰ)由210x -≠,得x
R 且0x
,∴函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞, ·
·· 1分 当(,0)(0,)x ∈-∞+∞时,()1121
2212(21)x x x f x +=+=--, ······················· 2分
()21122(21)2(12)
x x
x x f x --++-==
--, ······················································ 3分 所以()()f x f x -=-, ································································· 4分 ∴f (x )在定义域上是奇函数; ······················································· 5分
(Ⅱ) 由于()2
2ln 2(21)x x f x '=--,
当(,0)x ∈-∞或(0,)x ∈+∞时,()2
2ln 2
0(21)x x f x '=-<-恒成立,
所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数, ········································ 6分 因为x ∈[2,4]且m >0,所以210,01(1)(7)
x m
x x x +>>---, ·
····················· 7分 由2
1()()1(1)(7)
x m
f f x x x +<---及()f x 在(0,)+∞上是减函数, 所以
211(1)(7)
x m
x x x +>---, ·························································· 8分 因为x ∈[2,4],所以m <(x +1)(x -1)(7-x )在[2,4]x ∈恒成立. ············· 9分 设g (x )=(x +1)(x -1)(7-x ),[2,4]x ∈,则g (x )=-x 3+7x 2+x -7, ···· 10分 所以g ′(x )=-3x 2+14x +1=-373x ?
?- ??
?2+523,
所以当[2,4]x ∈时,g ′(x )>0 .
所以y =g (x )在[2,4]上是增函数,g (x )min =g (2)=15 . ····················· 11分 综上知符合条件的m 的取值范围是(0,15). ··································· 12分
21.解:(1)1
111)(+=
-+=
'x x
x x f , ∴当x ∈(-1,0)时,0)(>'x f ,即f (x )在(-1,0)上是增函数, 当x ∈(0,+∞)时,0)(<'x f ,即f (x )在(0,+∞)上是减函数.
∴ f (x )的单调递增区间为(-1,0),单调递减函数区间为(0,+∞).………3分 (2)由f (x -1)+x >k )3
1(x
-变形得)31()1(ln x
k x x x ->+--, 整理得x ln x +x -kx +3k >0,令g (x )=x ln x +x -kx +3k ,则.2ln )(k x x g -+=' ∵ x >1,∴ ln x >0
若k ≤2时,0)(>'x g 恒成立,即g (x )在(1,+∞)上递增, ∴ 由g (1)>0即1+2k >0解得21
-
>k ,∴ .22
1≤<-k 又∵ k ∈Z ,∴ k 的最大值为2. 若k >2时,由ln x +2-k >0解得x >2-k e ,由ln x +2-k <0,解得1
∵ 当x >2+ln3时,0)(<'x h ,h (x )单调递减,当x <2+ln3时0)(>'x h ,h (x )单调递增. ∴ h (x )在x =2+ln3处取得最大值.∵ 1 3)1(>- =e h ,h (2+ln3)=3+3ln3>0,h (4)=12-e 2>0,h (5)=15-e 3<0, ∴ k ≤4.∴ k 的最大取值为4.…………………………………………………9分 (3)假设存在这样的x 0满足题意,则 由20)(210x a e x f - <等价于011 20 020<-++x e x x a (*) . 要找一个x 0>0,使(*)式成立,只需找到当x >0时,函数h (x )=11 22-++x e x x a 的最小值h (x )min 满足h (x )min <0即可.∵ )1()(x e a x x h - =',令)(x h '=0,得e x =a 1,则x =-ln a ,取x 0=-ln a , 在0 ∴ h (x )min =h (x 0)=h (-ln a )= 1ln )(ln 2 2-++a a a a a