常微分方程期终考试试卷(1)
一、 填空题(30%)
1、方程
(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是( )
。
有只含y 的积分因子的充要条件是______________。
2、_____________称为黎卡提方程,它有积分因子______________。
3、__________________称为伯努利方程,它有积分因子_________。
4、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________。
5、形如___________________的方程称为欧拉方程。
6、若()t φ和()t ψ都是
'()x A t x =的基解矩阵,则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
7、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为_________时,零解是稳定的,对应的奇点称为___________。 二、计算题(60%)
1、
3
()0ydx x y dy -+=
2、sin cos2x x t t ''+=-
3、若
2114A ??
=??
-??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????并求expAt
4、32(
)480dy dy
xy y dx dx
-+=
5、求方程2
dy
x y dx =+经过(0,0)的第三次近
似解
6.求1,5
dx dy
x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.
三、证明题(10%)
1、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
常微分方程期终试卷(2)
一、填空题 30%
1、 形如____________的方程,称为变量分离方程,这里.)().(y x f ?分别为x.y 的连
续函数。 2、 形如_____________的方程,称为伯努利方程,这里x x Q x P 为)().(的连续函
数.n ,可化为线性方程。是常数。引入变量变换-------≠1.0
3、 如果存在常数
使得不等,0 L _____________对于所有
称为利普希兹常数。都成立,(L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在R 上关于y 满足利普希兹条件。
4、 形如_____________-的方程,称为欧拉方程,这里是常数。,,21a a
5、 设是的基解矩阵,
是)()(t Ax x t ?φ=')()(t f x t A x +='的某一解,则它的任一解可表为)(t γ_____________-。 一、计算题40%
1.求方程的通解。26xy x y
dx dy -= 2.求程
xy
e x y dx dy =+的通解。
3.求方程t
e x x x 25'6''=++的隐式解。
4.求方程)的第三次近似解。
、通过点(002y x dx
dy
+=
二、证明题30%
1.试验证()t Φ=?????
?122t t t 是方程组x '=??
??
????-t t 2210
2
x,x=??????21x x ,在任何不包含原点的区间
a b t ≤≤上的基解矩阵。
2.设()t Φ为方程x '
=Ax (A 为n ?n 常数矩阵)的标准基解矩阵(即Φ(0)=E ),证明:
()t Φ1-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)其中t 0为某一值.
常微分方程期终试卷(3)
一 . 解下列方程(10%*8=80%)
2. dx dy =6x y -x 2y
3. '
y =22)12(-++y x y
4. x '
y =
2
2y x ++y 6. {y-x(2
x +2
y )}dx-xdy=0
8. 已知f(x)?
x
dt
t f 0)(=1,x ≠0,试求函数f(x)的一般表达式。
二. 证明题(10%*2=20%)
9. 试证:在微分方程Mdx+Ndy=0中,如果M 、N 试同齐次函数,且xM+yN ≠0,则)
(1
yN xM +是该方程的一个积分因子。
常微分方程期终试卷(4)
一、填空题 1、( )称为变量分离方程,它有积分因子( )。
2、当( )时,方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程,或称全微分方程。
3、函数),(y x f 称为在矩形域R上关于y 满足利普希兹条件,如果( )。
4、对毕卡逼近序列,()
)()(1≤--x x k k ??。
5、解线性方程的常用方法有( )。
6、若)
,,2,1)((n i t X i =为齐线性方程的n 个线性无关解,则这一齐线性方程的所有解可表为( )。 7、方程组x t A x )(='( )。
8、若)(t φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵,则)(t φ和)(t ψ具有关系:( )。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部( )时,零解是稳定的,对应的奇点称为( )。
10、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时,则当( )时,零解是渐近稳定的,对应的奇点称为( )。当( )时,零解是不稳定的,对应的奇点称为( )。
11、若)(t φ是x t A x )(='的基解矩阵,则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x 的解( )。
二、计算题
求下列方程的通解。
1、1
sin 4-=-x e dx dy
y 。
2、1
)(122=??????
-dx dy y 。 3、求方程2
y x dx dy
+=通过)0,0(的第三次近似解。
求解下列常系数线性方程。 4、0=+'+''x x x 。
5、t
e x x =-'''。
试求下列线性方程组的奇点,并通过变换将奇点变为原点,进一步判断奇点的类型及稳定性: 6、
5,!--=+--=y x dt dy
y x dt dx 。
三、证明题。
1、1、设)(t φ为方程Ax x ='(A为n n ?常数矩阵)的标准基解矩阵(即))0(E =φ,
证明
)(t φ)()(001
t t t -=-φφ其中0t 为某一值。
常微分方程期终考试试卷(5)
一. 填空题 (30分)
1.)()(x Q y x P dx dy
+=称为一阶线性方程,它有积分因子 ?-dx x P e )( ,其通解为
_________ 。
2.函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件,如果 _______ 。
3. 若)(x ?为毕卡逼近序列
{})(x n ?的极限,则有)()(x x n ??-≤______ 。
4.方程2
2y x dx dy
+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上,则经过点(0,0)的解
的存在区间是 _______ 。
5.函数组t
t
t
e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。
6.若),,2,1)((n i t x i
=为齐线性方程的一个基本解组,)(t x -
为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。
7.若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵,则向量函数)(t ?= _______是)()('
t f x t A x +=的满
足初始条件
0)(0=t ?的解;向量函数)(t ?= _____
是)()('
t f x t A x +=的满足初始条件
η?=)(0t 的解。 8.若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,2
1 ,它们对应的特征值分别为
n λλλ ,,21,那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。
9.满足 _______ 的点
),(**y x ,称为驻定方程组。
二. 计算题 (60分)
10.求方程
0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。 11.求方程0
=-+x e dx dy
dx dy
的通解。
12.求初值问题?????=--=0)1(22y y x dx
dy
1
,11:≤≤+y x R 的解的存在区间,并求第二次近似解,
给出在解的存在区间的误差估计。
13.求方程t t x x 3sin 9'
'=+的通解。
14.试求方程组)('t f Ax x +=的解).(t ?
??????=???
???=??????-=1)(,3421,11)0(t e t f A ? 15.试求线性方程组52,1972+-=+-=y x dt dy y x dt dx 的奇点,并判断奇点的类型及稳定
性。
三.证明题 (10分)
16.如果)(t ?是Ax x ='
满足初始条件η
?=)(0t 的解,那么
[]η?)(exp )(0t t A t -=
常微分方程期终考试试卷(6)
三. 填空题 (共30分,9小题,10个空格,每格3分)。
1、 当_______________时,方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程,或称全
微分方程。
2、________________称为齐次方程。
3、求
dx
dy =f(x,y)满足
00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G 内连续,且关于y 满足利普希兹条件,则方程)
,(y x f dx dy
=的解
y=
),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。
5、若)
(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。
7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/
的基解矩阵,则expAt =____________。
8、满足___________________的点(**,y x ),称为方程组的奇点。
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部________时,零解是稳定
的,对应的奇点称为___________。 二、计算题(共6小题,每题10分)。
1、求解方程:dx dy =
31
2
+++-y x y x 2、 2、解方程: (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
3、讨论方程
23=dx dy 31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通过点(0,0)的一切解 4、求解常系数线性方程:
t e x x x t cos 32///-=+-
5、试求方程组Ax x =/
的一个基解矩阵,并计算
????
??3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy dt dy by ax dt dx =+=, (1)的奇点类型,其中a,b,c 为常数,且
ac ≠0。
三、证明题(共一题,满分10分)。
试证:如果Ax x t =/
)是(?满足初始条件η?=)(0t 的解,那么
=)(t ?[]
η)
(0t t A e -
常微分方程期终试卷(7) 一、选择题
1.n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是( )个.(A )n (B )n -1 (C )n +1 (D )n +2
2.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的( )条件. (A )充分 (B )必要 (C )充分必要 (D )必要非充分
3. 方程
2
1
d
d
y
x
y
-
=
过点
)1,
2
(
π
共有()个解.
(A)一(B)无数(C)两(D)三
4.方程
x
x
y
x
y
+
-
=
d
d
()奇解.
(A)有一个(B)有两个(C)无(D)有无数个
5.方程
y
x
y
=
d
d
的奇解是().
(A)
x
y=(B)1
=
y(C)1
-
=
y(D)0
=
y
二、计算题
1.x
'
y=2
2y
x+
+y
2.tgydx-ctydy=0
3.
d
d)
2
(=
-
+y
x
x
y
x
4.
1 d
d
+
=
x
y
x
y
5.
d)
ln
(
d3=
+
+y
x
y
x
x
y
三、求下列方程的通解或通积分
1.
)
1(
d
d
2
y
x
x
y
y-
=
2.
2
)
(
d
d
x
y
x
y
x
y
-
=
3.
x
y
x
y
2
e
3
d
d
=
+
四.证明
1.设
)
(
1
x
y,)
(
2
x
y是方程
)
(
)
(=
+'
+''y
x
q
y
x
p
y
的解,且满足
)
(
1
x
y
=
)
(
2
x
y
=0,
)
(
1
≠
x
y,这里)
(
),
(x
q
x
p在)
,
(∞
+
-∞上连续,)
,
(
∞+
-∞
∈
x
.试证明:存在常数C使得
)
(
2
x
y=C)
(
1
x
y.
2.在方程
)
(
)
(=
+'
+''y
x
q
y
x
p
y中,已知)
(x
p,)
(x
q在)
,
(∞
+
-∞上连续.求证:该
方程的任一非零解在
xoy平面上不能与x轴相切.
常微分方程期终试卷(8)
一、填空(每空3分)
1、称为一阶线性方程,它有积分因子,其通解为。
2、函数
)
,
(y
x
f称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件,如果
。
3、若)
(,),(),(21t x t x t x n 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件
是 。
4、形如 的方程称为欧拉方程。
5、若)(t Φ和)(t ψ都是x t A x )('=的基解矩阵,则)(t Φ和)(t ψ具有的关系: 。
6、若向量函数);(y t g 在域R 上 ,则方程组
0000),;(),;(y y t t y t g dt dy
==?的解?存在且惟一。
7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部 ,零解是稳定的,对应的奇点称为 。 二、 求下列方程的解 1、
0)4()3(2=---dy x y dx x y (6分)
2、 dx y x xdy ydx )(2
2
+=- (8分) 3、 2
2
)'2()1'(y y y -=- (8分)
4、 xy
e x y
dx dy =+ (8分)
5、 t
e x x x 25'6''=++ (6分)
6、
t x x 3sin 1
''=
+ (8分)
7、 '21
''x x =
(8分)
三、 求方程组的奇点,并判断奇点的类型和稳定性(8分)
52,1972+-=+-=y x dt dy y x dt dx
常微分期中测试卷(2) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)
1. 1. x '
y =
2
2y x ++y
2. 2. tgydx-ctydy=0
3. 3. {y-x(2
x +2
y )}dx-xdy=0
4. 4.
2xylnydx+{2
x +2
y
2
1y +}dy=0
5. dx dy =6x y
-x 2y
6. '
y =22
)12(
-++y x y
7. 已知f(x)?
x
dt
t f 0
)(=1,x ≠0,试求函数f(x)的一般表达式。
8.一质量为m 质点作直线运动,从速度为零的时刻起,有一个和时间成正比(比例系数为1k )
的力作用在它上面,此外质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比(比例系数为
2k )。试求此质点的速度与时间的关系。
二. 证明题(10%*2=20%)
1. 证明:如果已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等方法求得它的通解。
2. 试证:在微分方程Mdx+Ndy=0中,如果M 、N 试同齐次函数,且xM+yN ≠0,则)
(1
yN xM +是该方程的一个积分因子。
2
()()
()y
y y xM yN M x N y xM yN N M
M +-+++2
()()
()x x
x xM yN N x M y xM yN N
N M +-++-+常
常微分方程期终试卷(9)
一、填空题(每小题5分,本题共30分)
1.方程x
x y x y
e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 . 2.方程04=+''y y 的基本解组是 .
3.向量函数组
)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在
区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W .
4.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件. 5.n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间. 6.向量函数组
)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们
的朗斯基行列式0)(=x W ,I x ∈.
二、计算题(每小题8分,本题共40分)
求下列方程的通解
7. x
y x y
2e 3d d =+
8.
0)d (d )(3
223=+++y y y x x xy x 9.
0e =-'+'x y y
10.求方程x y y 5sin 5='-''的通解. 11.求下列方程组的通解.
?
?????
?+=+=y x t y y x t x
4d d d d
三、证明题(每小题15分,本题共30分)
12.设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解,求证:它们的朗斯基行列式C x W ≡)(,其中C 为常数.
13.设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续.试证明方程
y
x x y
sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞.
常
常微分方程期终试卷(10)
一、填空(30分)
1、)(x y g dx dy =称为齐次方程,)
()()(2x R y x Q y x P dx dy ++=称为黎卡提方程。
2、如果),(y x f 在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件,则方程)
,(y x f dx dy
=存在唯一的
解)(x y ?=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件
00)(y x =?,其中
),
mi n(M b
a h =,)
,(max ),(y x f M R y x ∈=。
3、若)(t x i =i (1,2,……,)n 是齐线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程0)()()(1'
=+t w t a t w 。
4、对逼卡逼近序列,k
k k k x x k ML x x )(!)()(01
1-≤---??。
5、若)(t Φ和)(t ψ都是x t A x )('
=的基解矩阵,则)(t Φ和)(t ψ具有关系C t t )()(Φ=ψ。
6、方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是)
(x N x
N
y M ?=??-??。
有只含y 的积分因子的充要条件是)
(y M x
N
y M ?=-??-??。
7、方程21
2-=
y dx
dy 经过)0,0(点的解在存在区间是),(+∞-∞。 二、 计算(60分)
1、 求解方程0)(4
2=++dx y x y xdy 。 解:所给微分方程可写成
0)(4
2=++dx y x ydx xdy 即有 0)(4
2=+dx y x xy d
上式两边同除以4
)(xy ,得 01
)()(24=+dx x xy xy d
由此可得方程的通解为 13
1)(31c x xy =--
即
3
33231y cx y x =+ )3(1c c -= 2、 求解方程322p p y +=
解:所给方程是关于y 可解的,两边对x 求导,有
dx dp p p p )
62(2+=
(1) 当0=p 时,由所给微分方程得0=y ; (2) 当dp p dx )62(+=时,得
c p p x ++=2
32。 因此,所给微分方程的通解为
c p p x ++=232,322p p y += (p 为参数)
而0=y 是奇解。
3、 求解方程1442'''++=+-t
t e e x x x 解:特征方程0442=+-λλ,22
,1=λ,
故有基本解组t e 2,t
te 2,
对于方程t
e x x x =+-44''',因为1=λ不是特征根,故有形如t
Ae t x =)(1的特解,
将其代入t
e x x x 2'''44=+-,得t
e Ae
t
222=,解之得
21=
A ,
对于方程144'''=+-x x x ,因为0=λ不是特征根,故有形如A t x =)(3
的特解,
将其代入144'
''=+-x x x ,得
41
=
A ,所以原方程的通解为 41
21)()(22212+
+++=t t t e t e t c c e t x
4、 试求方程组Ax x ='
的一个基解矩阵,并计算At exp ,其中
?
??? ??--=2112A
解:0)det()(=-=A E p λλ,31=λ,32-=λ,均为单根,
设1λ对应的特征向量为1v ,则由0)(11=-v A E λ,得
????
??+=αα)32(1v ,0≠α 取
???? ??+=3211v ,同理可得1λ对应的特征向量为????
??-=3212v ,
则131
)(v e t t =?,232)(v e t t
-=?,均为方程组的解,令))(),(()(21t t t ??=Φ, 又
332321
1)0(det )0(≠-=-+=
Φ=w ,
所以)(t Φ即为所求基解矩阵????
??-+--
t t
t
t r e
e e 3333)32()32(。
5、 求解方程组?????--=++=5
1y x dt dy
y x dt dx
的奇点,并判断奇点的类型及稳定性。
解:令???=--=++0501y x y x ,得???-==32
y x ,即奇点为(2,-3)
令??
?+=-=32
y Y x X ,代入原方程组得?????-=+=Y X dt dY Y X dt dX
, 因为021111≠-=-,又由0
2111
12=-=+---κλλ,
解得21=λ,22-=λ为两个相异的实根, 所以奇点为不稳定鞍点,零解不稳定。
6、 求方程2
y x dx dy
+=经过(0,0)的第二次近似解。
解:0)(0
=x ?, 2
012
1)0,(0)(x dx x f x x
?=+=?,
5
20
222012
1)21,(0)(x x dx x x f x x
+
=+=??。
三、证明(10分)
假设m 不是矩阵A 的特征值,试证非齐线性方程组
mt
ce Ax x +=' 有一解形如
mt
pe t =)(?
其中c ,p 是常数向量。
证:设方程有形如mt
pe t =)(?的解,则p 是可以确定出来的。 事实上,将mt pe 代入方程得m t
m t m t ce Ape mpe +=,
因为0=mt
e
,所以c Ape mp +=,
c P A mE =-)( (1)
又m 不是矩阵A 的特征值,0)det(≠-A mE
所以1)(--A mE 存在,于是由(1)得c A mE p 1
)(--=存在。
故方程有一解m t
m t
pe ce A mE t =-=-1
)()(?
常微分方程期终试卷(11)
一.填空 1. 称为一阶线性方程,它有积分因子 ,其通解为 。
2. 称为黎卡提方程,若它有一个特解 y(x),则经过变换 ,可化为伯努利方程。 3.若?(x )为毕卡逼近序列
{})(x n ??的极限,则有?(x )—)
(x n ?≤
。
4.若)
(t x i (i=1,2,┄,n )是齐线形方程的n 个解,w(t)为其伏朗斯基行列式,则w(t)满足一阶线性方程 。
5.若)
(t x i (i=1,2,┄,n )是齐线形方程的一个基本解组,x(t)为非齐线形方程的一个特解,则非齐线形方程的所有解可表为 。
6.如果A(t)是n ×n 矩阵,f(t)是n 维列向量,则它们在 a ≤t ≤b 上满足 时,方程组x ˊ= A(t) x+ f(t)满足初始条件x (t 0)=η的解在a ≤t ≤b 上存在唯一。 7.若?(t )和ψ(t )都是x ˊ= A(t) x 的 基解矩阵,则?(t )与ψ(t )具有关系:
。 8.若?(t )是常系数线性方程组x Ax '=的 基解矩阵,则该方程满足初始条件0()t ψη
=的解
()t ψ=_____________________
9.满足 _________________________________________的点(**
,x y ),称为方程组的奇点。
10.当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部__________________________ 时,零解是稳定的,对应的奇点称为 _______________________ 。 二.计算题(60分)
1.
3
()0ydx x y dy -+= 2.32(
)480
dy dy
xy y dx dx -+=
3.求方程2
dy
x y dx =+经过(0,0)的第三次近似解
4.sin cos2x x t t ''+=-
5.若
2114A ??
=??
-??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????并求expAt
6.求1,5
dx dy
x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.
三.证明题(10分)
设
(,)f x y 及f
y ??连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x
的积分因子.
常微分方程期终测试卷(12)
一、填空题(30%)
1.若y=y 1(x ),y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为 .
2.方程2
2d d y x x y
+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 . 3.)
,(y x f y '
连续是保证方程),(d d y x f x y
=初值唯一的 条件.
一条积分曲线.
4. 线性齐次微分方程组Y A Y
)(d d x x =的一个基本解组的个数不能多于
个,其中R ∈x ,n
R Y ∈.
5.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 .
6.方程y
x x y
cos sin d d ?=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 . 7.方程y
x x y
tan d d 2=的所有常数解是 .
8.方程0d cos d sin =+y x y x y x 所有常数解是 . 9.线性齐次微分方程组的解组
)(,),(),(21x x x n Y Y Y 为基本解组的 条
件是它们的朗斯基行列式0)(≠x W .
10.n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个.
二、计算题(40%)
求下列方程的通解或通积分:
1. x y x y x
y tan d d += 2.y
y x y x y
sin sin cos cos d d 2=-
3.
0)d 1(d )cos 2(2
=-+-y x x x xy 4.?
?????
?+==y x t y y t x
2d d d d 5.?
?????
?+-=+=y x t y y x t x
32d d d d
三、证明题(30%)
1.试证明:对任意
0x 及满足条件100< 221)1(d d y x y y x y ++-= 的满足条件 00)(y x y =的解)(x y y =在),(∞+-∞上存在. 2.设)(x f 在),0[∞+上连续,且0 )(lim =+∞ →x f x ,求证:方程) (d d x f y x y =+的任意 解)(x y y =均有0)(lim =+∞→x y x . 3.设方程) (d d 2y f x x y =中,)(y f 在),(∞+-∞上连续可微,且0)( 证:该方程的任一满足初值条件 00)(y x y =的解)(x y 必在区间),[0∞+x 上存在. 常微分方程期终试卷(13) 一、填空题(30分) 1、 方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x 的积分因子的充要条件是 ( )(x N x N y M ?=??-?? ),有只含y 的积分因子的充要条件是 ( )(y M x N y M ?-=??-?? )。 2、 求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =φ的解等价于求积分方程(y=y 0+?x x dx y x f 0 ),()。 3、 方程2 2y x dx dy +=定义在矩形域R:-222,2≤≤-≤≤y x 上,则经过点(0,0)的 即位存在区间是(4141≤ ≤-x )。 4、 若X i (t)(I=1,2, ,n)是齐线性方程的 n 个解,W(t)为伏朗斯基行列式,则W(t) 满足一阶线性方程(W '(t)+a 1(t)W(t)=0)。 5、 若X 1(t), X 2(t) , X n (t)为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要 条件是(W[X 1(t), X 2(t) , X n (t)]≠0)。 6、 在用皮卡逐步逼近法求方程组'X =A (t )X+f(x),X(t 0)=η的近似解时,则 ds s f s s A t t t k k )]()()([()(0 1++=?-?η?)。 7、 当方程的特征根为两个共扼虚根时,则当其实部(为零)时,零解是稳定的,对应 的奇点称为(稳定中心)。 8、 满足(X(x,y)=0,Y(x,y)=0)的点(x * * ,y ), 称为方程组的奇点。 9、 若 )()(t t ψφ和都是'X =A(t)X 的基解矩阵,则 )()(t t ψφ和具有关系:(为非奇异矩阵)C C t t ()()(φψ=)。 10、 形如(x n n n dx y d +a 1x 11 1---n n n dx y d +)0=+y a n 的方程称为欧拉方程。 二、计算题 求下列方程的通解(1-2) 1、(2xy+3 2 22)()0 3y x y dx x y dy +++= 解:因为222,2M N x x y x y x ??=++=?? 又因为M N N y x ??-=?? 所以方程有积分因子:u(x)= x e 方程两边同乘以x e 得: x e 2(2xy x y ++322 )()03x y dx e x y dy ++= [3222(2)][]0 3x x x x y e xy x y dx e x dy e dx e y dy ++++= 也即方程的解为 3 23x x y e x y e c +=. 2、 33 30() dy x y xy y dx '''+-== 解:令,dy y p tx dx '===,则 3332 30x t x tx +-=即 331t x t =+ 从而 2 331t p tx t == + 又2 33 33()()11t t y dt c t t '=+++? =3 32 3142(1)t c t +++ 故原方程的通解为 33 32313142(1) t x t t y c t ? =?+??+?=+?+? t 为参数 3、求方程2 dy x y dx =+经过(0,0)的第三次近似解 解:0 00y Φ== 2 10 2x x x d x Φ== ? 425 20 ()4220x x x x x dx Φ=+=+ ? 4107 30 ()440020x x x x x dx Φ=+++? =251182 204400160x x x x +++ 4、求22 2321d x dx x t dt dt --=+的通解 解:齐线性方程22 230d x dx x dt dt --=的特征方程为 2230λλ--= 故齐线性方程的一个基本解组为3t e ,t e -, 因为0λ =不是特征方程的特征根 所以原方有形如()x t =01B t B +的特解 将()x t =01B t B +代入原方程,比较t 的同次幂系数得: 0013(23)21B t B B t -+--=+ 故有00132231B B B -=??--=?解之得: 032B =-,119B = 所以原方程的解为: 31231()() 29t t x t c e c e t -=++-+ 5、试求:211121112-????-????-? ?的基解矩阵 解:记A=211121112-????-????-? ?,又()det()(1)(2)(3)0p E A λλλλλ=-=---= 得1 1λ=,232,3λλ==均为单根 设1λ对应的特征向量为1v ,则由11()0E A V λ-=得 10,0v ααα????=≠??????取 1011v ???? =?????? 同理可得23,λλ对应的特征向量为: 23111,011v v ???????? ==???????????? 则231 12233(),(),()t t t t e v t e v t e v Φ=Φ=Φ=均为方程组的解 令123()((),(),())t t t t ψ=ΦΦΦ 又011 (0)det (0)1100 111 w =ψ=≠ 所以 123()((),(),())t t t t ψ=ΦΦΦ即为所求。 6、试求22 320d x dx x dt dt ++=的奇点类型及稳定性 解:令dx y dt =,则:32dy y x dt =-- 因为01023≠--,又由1 23λλ-=+得 2320λλ++=解之得121,2λλ=-=-为两相异实根,且均为负 故奇点为稳定结点,对应的零解是渐近稳定的。 7. 一质量为m 的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个和时间成正比(比例系数为k 1)的力作用在它上面,此质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比(比例系数为k 2)。试求此质点的速度与时间的关系。 解:由物理知识得: ) F (为质点受到的合外力为质点的加速度,其中合合a m F a = 根据题意: v k t k F 21-=合 故: )0(221>-=k v k t k dt dv m 即:(*) )(12t m k v m k dt dv +-= (*)式为一阶非齐线性方程,根据其求解公式有 )(2 2 1c dt e t m k e V dt m k dt m k +???=?- 常微分方程试题库 二、计算题(每题6分) 1. 解方程:0cot tan =-xdy ydx ; 2. 解方程:x y x y e 2d d =+; 3. 解方程:; 4. 解方程: t e x dt dx 23=+; 5. 解方程:0)2(=+---dy xe y dx e y y ; 6. 解方程:0)ln (3=++dy x y dx x y ; 7. 解方程:0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ; 8. 解方程:0485=-'+''-'''x x x x ; 9. 解方程:02)3()5()7(=+-x x x ; 10. 解方程:02=-''+'''x x x ; 11. 解方程:1,0='-'='+'y x y x ; 12. 解方程: y y dx dy ln =; 13. 解方程:y x e dx dy -=; 14. 解方程:02)1(22=+'-xy y x ; 15. 解方程:x y dx dy cos 2=; 16. 解方程:dy yx x dx xy y )()(2222+=+; 17. 解方程:x xy dx dy 42=+; 18. 解方程:23=+ρθ ρ d d ; 19. 解方程:22x y xe dx dy +=; 20. 解方程:422x y y x =-'; 选题说明:每份试卷选2道题为宜。 二、计算题参考答案与评分标准:(每题6分) 1. 解方程:0cot tan =-xdy ydx 解: ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解, (2分) 当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时,原方程可化为: 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y , (2分) 积分得原方程的通解为: C x y =cos sin . (2分) 2. 解方程: x y x y e 2d d =+ 解:由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p (2分) x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分) (分) (22 3. 解方程: 解:由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p (2分) =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx (2分) ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. (2分) 4. 解方程: t e x dt dx 23=+ 解:由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p (2分) =??+?-)(323dt e e C e dt t dt (2分) ?+=-)(53dt e C e t t 常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______,可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 . 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2.求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4.用比较系数法解方程. . 5.求方程 sin y y x '=+的通解. 6.验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程,并求出它的通解. 一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D. 4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则(). A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解, 其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ). A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵, 2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷(B) 一、填空题(每空2 分,共16分)。 1.李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件. 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线. 3.线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个,其中R ∈ x,n R Y∈. 4.二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关. 5.方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6.变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7.性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W. 8.方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题(每小题3 分,共15分)。 9.两个不同的线性齐次微分方程组( D )的基本解组. (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10.方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是(D ). (A)稳定焦点(B)不稳定焦点(C)鞍点(D)不稳定结点11.方程x(y2-1)d x+y(x2-1)d y=0的所有常数解是( C ). (A) 1± = x(B)1± = y (C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12.n 阶线性非齐次微分方程的所有解( D ). (A )构成一个线性空间 (B )构成一个1-n 维线性空间 (C )构成一个1+n 维线性空间 (D )不能构成一个线性空间 13.方程4d d +-=x y x y ( A )奇解. (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题(每小题8分,共48分) 。 14.求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解:令x y u =,则u x u y '+=', u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时,等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15.求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解:积分因子21)(x x =μ, 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程.取10=x ,00=y ,于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16.求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y =',得到2 2 2x xp p y +-= (*) ,两端同时关于求导, 常微分方程试题 一、填空题(每小题3分,共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a,则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数,作变量变换________,方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数,则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续,y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上,满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy,满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…,n是〔a,b〕上的连续函数,又x1(t),x2(t),…,x n(t)为方程n 个线性无关的解,则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是:________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵,x1(t),x2(t),…,x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为:x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵,-2为A的三重特征值,则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程 常微分方程试题 一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D. 4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则(). A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解, 其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ). A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵, 《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程,称为变量分离方程, 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程,称为伯努利方程, 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程,称为 欧拉方程,这里 5、设的某一解,则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ,在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax(A为nn常数矩阵)的标准基解矩阵(即(0)=E),证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2 一、填空题:(30%) 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项,则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解,则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解:(40%) 1、 2、 3、 4、 5、求解方程. 三、求初值问题的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计. (10分) 四、求解微分方程组 满足初始条件的解. (10%) 五、证明题:(10%) 设,是方程 的解,且满足==0,,这里在上连续,.试证明:存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1.辨别题 指出下列方程的阶数,是否是线性方程:(12%) (1)(2)(3) (4)(5)(6) 2、填空题(8%) (1).方程的所有常数解是___________. (2).若y=y1(x),y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为________________. (3).若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程,同它的通积分是 ________________. (4).设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点,过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) (1).方程是(). 第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1.任意微分方程都有通解。( ) 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3.函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4.函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5.微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6.y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7.xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9. 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1.在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3.x e y 2-=''的通解是 。 4.x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5.124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6.微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7.x y 1 =所满足的微分方程是 。 8.x y y 2='的通解为 。 9. 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10. ()25 11 2+=+- x x y dx dy ,其对应的齐次方程的通解为 。 11.方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12.3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1.微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A .3 B .4 C .5 D . 2 2.微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A .3 B .5 C .4 D . 2 3.下列函数中,哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A .x y 2= B .2x y = C .x y 2-= D . x y -= 4.微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A .13+=x y B .()3 2+=x y C .()2 C x y += D . ()3 1x C y += 5.函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A .0=+'y y B .02=+'y y C .0=+y y n D . x y y cos =+'' 6.x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( ),其中1C ,2C 为任意常数。 A .通解 B .特解 C .是方程所有的解 D . 上述都不对 7.y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A .1+=x e y B .x e y 2= C .22x e y ?= D . x e y ?=3 8.微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A .x a y sin *= B .x a y cos *?= 南京农业大学试题纸 2011-2012学年第2 学期课程类型:必修试卷类型:B Array 装 订 线 装 订 线 常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7 一、填空题(每小题3分,本题共30分) 1.二 2. )()]()([1211x y x y x y C +- 3. ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈ 4. )(x N x N y M ?=??-?? 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 9. 1 ,Re s a s a >- 10. ()+∞∞-, 二、计算题(每小题5分,本题共20分) 11. 解: 齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分) 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-= 代入原方程,确定出 C x C x +=5e 5 1)( 原方程的通解为 x C y 3e -=+ x 2e 5 1 (5分) 12. 解: 对应的特征方程为:012 =++λλ, 解得i i 2 3,2321221 1--=+ -=λλ (3分) 所以方程的通解为:)2 3sin 23cos (212 1 t c t c e x t +=- (5分) 13. 1=??y M ,x N ??=1 , x N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程. (3分) 凑微分,0)(22 =++-xdy ydx ydy dx x 得 C y xy x =-+23 3 1 (5分) 14. 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t t dt dx dx t -=---原方程化为:变量分离 (3分) 2 1772 t x c t -=-+两边积分 21 7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量 (5分) 常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数,是线性方程还是非线性方程,并说明理由; (1) t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 (2) dx dy =x 2+y 2 ; (3)dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4.验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解,进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7.什么是求解常微分方程的初等积分法 8.分离变量一阶方程的特征是什么 9.求下列方程的通解 (1) y ` =sinx (2) x 2 y 2 y ` +1=y (3) tgx dx dy =1+y (4) dx dy =exp(2x-y) (5) dx dy =21y 2- (6) x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx (7)( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11.试给出一阶方程y ` =f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二 个方程的关系。 12.求解齐次方程通常用什么初等变换,新旧函数导数关系如何 13.求解下列方程 dx dy =2 22y x xy - 14.求解下列方程 (1)(x+2y )dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27 《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题(每个空格4分,共80分) 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C (C 为任意常数) ,方程与通过点(2,3)的特解为 2 1=-y x ,与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ,满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ,可将其化为变量可分离方程,其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ,满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ,该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d 常微分方程 一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答:1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则 方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是 血 f N -1 答:(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答:形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x),定义丁区问x-x o 8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组,x(t)为非齐次线性方程的一个 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 答:X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限,则有|%x)M n(x)W 答:MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程,若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答:形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答:开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答:D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答:y =k二,k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x),…,气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗 斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答:充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件 是. 答:线性无关(或:它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是 答:e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续,则方程d^= 应 用 题(每题10分) 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零,又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=,求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =,其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= (1)求()F x 所满足的一阶微分方程; (2)求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?,求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导,()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=,且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ,求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续,5 (1)2 f =,且对所有,(0,)x t ∈+∞,满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??,求()f x 。 6、求连续函数()f x ,使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?,试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=, 其中21 ()01x x x ?=?>? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程,且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ,其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分。 (1)求曲线()y f x =的方程; (2)已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ,试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =,使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为 常微分方程试题库试 卷库 常微分方程期终考试试卷(1) 一、 填空题(30%) 1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是( )。有只含y 的积分因子的充要条件是______________。 2、_____________称为黎卡提方程,它有积分因子______________。 3、__________________称为伯努利方程,它有积分因子_________。 4、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________。 5、形如___________________的方程称为欧拉方程。 6、若()t φ和()t ψ都是' ()x A t x =的基解矩阵,则()t φ和()t ψ具有的关系是 _____________________________。 7、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为_________时,零解是稳定的,对应的奇点称为___________。 二、计算题(60%) 1、 3 ()0ydx x y dy -+= 2、sin cos2x x t t ''+=- 3、若 2114A ?? =?? -??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????并求expAt 4、32( )480 dy dy xy y dx dx -+= 5、求方程2 dy x y dx =+经过(0,0)的第三次近似解 6.求1,5 dx dy x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题(10%) 1、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。 试卷答案 一填空题 1、()M N y x x N ???-??= ()M N y x y M ???-??=- 常微分方程练习题及答案(复习题) 常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______,可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 . 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2.求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4.用比较系数法解方程. . 5.求方程 sin y y x '=+的通解. 6.验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程,并求出它的通解. 常微分方程试题模拟试题(一) 一、填空题(每小题3分,本题共15分) 1 .方程d d y x =满足初值解的存在且惟一性的区域是 . 2.方程0d )1(d )1(=+++y x x y 所有常数解是 . 3.线性方程0y y ''+=的基本解组是 . 4.(,)y f x y '有界是保证方程d (,)d y f x y x =初值解惟一的 条件. 5.向量函数组在区间I 上的朗斯基行列式()0W x =是它们线性相关的 条件. 二、单项选择题(每小题3分,本题共15分) 6.积分方程11()1()d x y x y s s s =+?的解是( ) . (A )1y = (B )e x y = (C )0y = (D )y x = 7. 一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是( ). (A )?=x x p d )(e μ (B )?=x x q d )(e μ (C )?=-x x p d )(e μ (D )?=-x x q d )(e μ 8.方程 ?????≠==0 ,ln 00d d y y y y x y 当当, 在xoy 平面上任一点的解( ). (A )都不是惟一的 (B )都是惟一的 (C )都与x 轴相交 (D )都与x 轴相切 9.平面系统???????+=+=y x t y y x t x 43d d 2d d 的奇点类型是( ). (A )不稳定结点 (B )稳定焦点 (C )不稳定焦点 (D )鞍点 10.方程0y y ''+=的任一非零解在(,)x y 平面的x 轴上任意有限区间内( )零点. (A )无 (B )只有一个 (C )至多只有有限个 (D )有无限个 三、计算题(每小题8分,共40分) 求下列方程的通解或通积分: 11. 2211d d x y x y --= 12. ()d ()d 0x y x x y y +--= 13. 2y xy y ''=+ 14.012)(2=+'-'y x y 15.032 22=-'-''y x y y y 四、计算题(本题15分) 常微分方程试题库 (一)、填空题(每空3分) 1、 当_______________时,方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程,或称全微分方程,其原函数为: 。 2、形如________________的方程,称为齐次方程。 3、求),(y x f dx dy =满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解,)(x ?是其对应齐线性方程于区间I 上的一个非零解。则一阶非齐次线性方程的全部解的共同表达式为: 。 5、若)(),...(),(21t x t x t x n 为n 阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组X t A dt dX )(=的_________________,称之为X t A dt dX )(=的一个基本解组。 7、若)(t Φ是常系数线性方程组 AX dt dX =的基解矩阵,则At exp = 。 8、方程 称为一阶线性方程,它有积分因子 ,其通解为 。 9、设)(),(21x x ??是与二阶线性方程: )()()(21x f y x a y x a y =+'+'',对应的齐次线性方程的基本解组,则的二阶线性方程全部解的共同表达式为: .10、形如 的方程称为欧拉方程。 11、若)(t Φ和)(t ψ都是X t A dt dX )(=的基解矩阵,则)(t Φ和)(t ψ具有的关系: 。 12、若向量函数);(y t g 在域R 上 ,则方程组0000),;(),;(y y t t y t g dt dy ==?的解?存在且惟一。 13、方程),,,,(y )1((n)-'=n y y y x f 经过变换 ,可化为含有n 个未知函数的一阶微分方程组。 14、方程04=+''y y 的基本解组是 . 15、向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的 一,常微分方程的基本概念 常微分方程: 含一个白变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为:F (x, y, y …y(n)) =0 (n 丰0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。 如:f(x)⑶ +3f(x)+x=f(x) 为 3 阶方程。 2. 若f (x)使常微分方程两端恒等,则f (x)称为常微分方程的解。 3. 含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微 分方程的通解。如常系数三阶微分方程F (t , x(3)) =0的通解的形式为:x (t) =cx (t) +C2x (t) +C3x (t )。 4. 满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一,亦可能不存在) 。 5. 常微分方程之线性及非线性:对于F (x, y, y…y(n)) =0而言,如果方程之左端是y, y'…y(n)的一次有理式,则次方程为n阶线性微分方程。(方程线性与否与白变量无关)。如:xy⑵-5y +3xy=sinx 为2阶线性微分方程;y⑵+siny=0为非线性微分方程。 注:a.这里主要介绍几个主要的,常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解,初值条件,初值问题等概念这里予以略去。另外,有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 1. 定义:形如dy=f (x) 4 (y)的方程,称为分离变量方程。这里f dx (x), § (x)分别是x, y的连续函数。 2. 解法:分离变量法』芸七=J f (x)dx+c. (*) 说明:a由于(*)是建立在§ (y)乒0的基础上,故而可能漏解。 需视情况补上§ (y) =0的特解。(有时候特解也可以和通解统一于 一式中) b.不需考虑因白变量引起的分母为零的情况。 例 1. ydx (x2-4x)dy =0 解:由题意分离变量得:2dx dy=0 x -4 y 即:1(工-1)dx 业=。 4 x —4 x y 积分之,得:1(ln x—4 —In x)+ln y =c 故原方程通解为:(x-4)y4=cx (c为任意常数),特解y=0 包含在通解中(即两者统一于一式中)。 *例2.若连续函数f (x)满足f(x)T f(:)dt+|n2,则f (x)是? 解:对给定的积分方程两边关于x求导,得: f' (x) = 2 f (x) (变上限求积分求导) 分离变量,解之得:f(x)=Ce2x 由原方程知:f (0) =In2 ,代入上解析式得: C=ln2 , 常微分方程模拟试题 一、填空题(每小题3分,本题共15分) 1.一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线. 2.二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 . 3.方程02=+'-''y y y 的基本解组是 . 4.一个不可延展解的存在在区间一定是 区间. 5.方程 21d d y x y -=的常数解是 . 二、单项选择题(每小题3分,本题共15分) 6.方程y x x y +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A )上半平面 (B )xoy 平面 (C )下半平面 (D )除y 轴外的全平面 7. 方程 1d d +=y x y ( )奇解. (A )有一个 (B )有两个 (C )无 (D )有无数个 8.)(y f 连续可微是保证方程 )(d d y f x y =解存在且唯一的( )条件. (A )必要 (B )充分 (C )充分必要 (D )必要非充分 9.二阶线性非齐次微分方程的所有解( ). (A )构成一个2维线性空间 (B )构成一个3维线性空间 (C )不能构成一个线性空间 (D )构成一个无限维线性空间 10.方程32 3d d y x y =过点(0, 0)有( B ). (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、计算题(每小题6分,本题共30分) 求下列方程的通解或通积分: 11. y y x y ln d d = 12. x y x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y x y += 14.0)d (d 22 2=-+y y x x xy 15.3 )(2y y x y '+'= 四、计算题(每小题10分,本题共20分) 16.求方程2 55x y y -='-''的通解. 17.求下列方程组的通解. ?????? ?-=+=x t y t y t x d d sin 1d d常微分方程试题库
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程试题(卷)
常微分方程期末试题B答案
(整理)常微分方程试题及参考答案
常微分方程试题
常微分方程习题集
常微分方程习题及答案.[1]
2012常微分方程试题B及答案
2018常微分方程考研复试真题及答案
《常微分方程》期末模拟试题
常微分方程试题库.
常微分方程应用题和答案
最新常微分方程试题库试卷库
常微分方程练习题及答案(复习题)
常微分方程试题模拟试题(一)
常微分方程题库
常微分方程期末考试练习题及答案.
常微分方程模拟试题