兰州一中2018-2019-1高二期末考试数学试题及答案(理科)
兰州一中2018-2019-1学期高二年级期末考试
数学试卷(理科)
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120
分钟。请将所有试题的答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题，共
60分）
一、选择题（本大题共
12小题，每小题
5分，共60分）
1.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(
)
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2.已知空间四边形
OABC 中，OA a ，OB b ，OC c ，点M 在OA 上，且2OM MA ，N 为
BC 中点，则MN ＝
(
)
A.
1212
3
2
a b c B.
111222a b c C. 211322a
b
c
D.
2213
3
2
a
b
c
3.设命题p ：函数sin 2y x 的最小正周期为
2
；命题q ：函数cos y
x 的图象关于直线
2
x
对称.
则下列判断正确的是(
)
A.
p 为真
B.p 为假
C. p q 为真
D.
p q 为假
4.下列结论错误的是(
)
A. 命题“若2
34
0x x ，则4x ”的逆否命题为“若4x
，则2
340x x ”
B.命题“
2
30x
,x
x R ”的否定是
2
3
x ,x
x R C. 命题“若2
2
ac bc ，则a b ”的逆命题为真命题D. 命题“若2
2
0m
n
，则0m
且0n
”的否命题是“若2
2
0m
n
，则m ≠０或n ≠0”
5.已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →
＝0，则动点P(x ，y)
的轨迹方程为(
)
A.
2
8y
x
B.
2
8y
x
C.
2
4y
x
D.
2
4y
x
6.双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
的渐近线为正方形
OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线
的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝
(
)
A. 3
B.
2 C.
3 D. 2
7.已知椭圆
2
2
142
x
y
上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△
F 1PF 2为直角三角形，则这样的点
P 有( )
A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
8.抛物线
2
2(0)y
px p 的焦点为F ，其准线与双曲线2
2
1y
x
相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三
角形，则p ＝
（
）
A.
22 B.
23
C. 2
D. 3
9.椭圆
2
2
1(0,0)ax
by
a b
与直线1y
x 交于A ，B 两点，过原点与线段
AB 中点的直线的斜率为
32
，则
b a
的值为
(
)
A.
233
B.
32
C .
93
2
D.
2327
10.直三棱柱
111ABC
A B C 中，
90BCA
，M ，N 分别是11A B ，11AC 的中点，1BC
CA CC ，
则BM 与AN 所成的角的余弦值为(
)
A ．
110
B ．
25
C ．
22
D ．
3010
11.抛物线2
2(0)y px p
的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足
3
AFB
．设
线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则
||||
MN AB 的最大值是
（）
A ．
12
B ．1
C ．
22
D ．
32
12.设椭圆C ：
222
2
1(0)x y a b a
b
的左右焦点分别为
1F ，2F ，过点1F 的直线与C 交于点P ，Q . 若
212||||PF F F ，且113||4||PF QF ，则C 的离心率为
（
）
A ．57
B ．35
C ．267
D ．
265
第Ⅱ卷（非选择题，共
90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题
5分，共20分）
13.抛物线
2
12y
x 的准线与双曲线2
2
193
x y
的两条渐近线所围成的三角形的面积等于
________.
14.已知长方体1111ABCD
A BC D 中，底面是边长为1的正方形，高为
2，则点1A 到截面11AB D 的距离
是
.
15.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”.四位歌手的话只有一位是假的，则获奖
的歌手是_____.
16.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2
2(0)y
px p
上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |
＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. (本小题满分10分)
①已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点
35(,)22
，(3,5)，求椭圆方程. ②已知双曲线222
2
:
1(0,0)x y C a b
a
b
与圆2
2
:(5)
9M x y . 双曲线C 的焦距为10，它的两条
渐近线恰好与圆
M 相切，求双曲线C 的方程.
18. (本小题满分12分) 设p ：实数x 满足2
2
540x
ax a
(其中0a
)，q ：实数x 满足
50.
2
x x
(I)若1a ，且p
q 为真，求实数x 的取值范围.
(II)若
q 是
p 的必要不充分条件，求实数
a 的取值范围.
19．(本小题满分12分)
如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝1，BB 1＝2，∠ABB 1＝60°. (I) 证明：AB ⊥平面AB 1C ；
(II) 若B 1C ＝2，求AC 1与平面BCB 1所成角的正弦值.
20．(本小题满分12分) 已知抛物线
C ：
2
2(0)y
px p 的焦点为
F ，抛物线C 与直线
l 1：y x 的一个交点为M ，且
82OM （O 为坐标原点）.
(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(II)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点
A ，
B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，
求△FAB 的面积.
21．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥
P －ABCD 中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，
底面ABCD 为矩形，PA ＝PB ，O 为AB 的中点，OD ⊥PC. (Ⅰ) 求证：OC ⊥PD ；
（II ）若PD 与平面P AB 所成的角为30°，求二面角D －PC －B 的余弦值.
22．(本小题满分12分) 已知圆2
2
:(1)
8A x y
，圆A 内一定点(1,0)B ，动圆P 过点B 且与圆A 内切.记动圆圆心P 的轨迹
为C .
（Ⅰ）求轨迹C 方程；（II ）过点1(0,
)3
S 的动直线l 交轨迹C 于M ，N 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点
Q ，使得
以线段MN 为直径的圆恒过点
Q ？若存在，求出点
Q 的坐标；若不存在，请说明理由
.
兰州一中2018-2019-1学期期末考试高二数学
(理科)参考答案
一、
选择题（每题
5分，共60分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B
C
D
C
A
D
C
B
A
D
B
A
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．33
14．
23
15. 乙
16．
22
三、解答题（本大题共
6小题，共70分）
17.（本题满分10分）解:①设椭圆方程为
mx 2＋ny 2
＝1(m ，n>0，m ≠
n). 由－322m ＋522
n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110
.
∴椭圆方程为y 2
10＋x
2
6
＝1.………5分
②由210c
，知5c
. 渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2
＝25，
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3.
∴
|5a|
b 2＋a
2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线C 的方程为x 2
9－y
2
16
＝1.
………10分
18. （本题满分12分）解(I)当a ＝1时，x 2
－5ax ＋4a 2
<0即为x 2