考研数学模拟模拟卷
考研数学模拟模拟卷
LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
全国硕士研究生入学统一考试数学（
三） 模拟试卷
一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分．）
（1）已知当0→x 时，
1)2
3
1(31
2-+x 与1cos -x 是 （ ）
（A ）等价无穷小
（B ）低阶无穷小
（C ）高价无穷小
（D ）同阶但非等价无穷小
（2）设()f x 满足
()(1cos )()()sin f x x f x xf x x '''+-+=，且(0)2f =，0)0(='f 则（ ）
（A ）0x =是函数()f x 的极小值点 （B ）0x =是函数()f x 的极大值点
（C ）存在0δ>，使得曲线()y f x =在点(0,)δ内是凹的
（D ）存在0δ>，使得曲线()y f x =在点(0,)δ内是凸的
（3）设有两个数列{}{},n n a b ,若
lim 0n n a →∞
=,则正确的是
（ ）
（A ）当1n n b ∞=∑收敛时,1n n
n a b ∞
=∑收敛. （B ）当1
n n b ∞
=∑发散时,1
n n
n a b ∞
=∑发散.
（C ）当1
n n b ∞
=∑收敛时,22
1
n n
n a b ∞
=∑收敛. （D ）当1
n n b ∞=∑发散时,22
1
n n n a b ∞
=∑发
散.
（4）设22(,)xy z f x y e =-，其中
(,)f u v 具有连续二阶偏导数，则z z
y
x x y
??+=?? （ ） （A ）()v xy f e y x '+22
(B) v xy u f xye f xy '+'24
(C) ()u xy f e y x '+22
(D) v xy f xye '2
（5）设四阶方阵()1234,,,,A αααα=其中12,αα线性无关，若
1232αααβ+-=，
1234ααααβ+++=，
1234232ααααβ+++=，则Ax β=的通
解为（ ）
（A ） 123112213111012k k k ?????? ? ? ?
? ? ?++ ? ? ?- ? ? ???????
（B ）12012123201112k k ?????? ? ? ?
? ? ?++ ? ? ?- ? ? ?-??????
（C ）12112213111012k k ?????? ? ? ?
? ? ?++ ? ? ?- ? ? ???????
（D ）1230111121120211121k k k ???????? ? ? ? ?
? ? ? ?+++ ? ? ? ?- ? ? ? ?-????????
（6） 设A 为4阶实对称矩阵,且
2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于
( )
(A) 1110??
?
? ? ?
??. (B) 1110??
?
? ?- ?
?
?. (C) 1110?? ?
- ? ?- ?
??. (D) 1110-??
?
- ? ?- ?
??
(7)设随机变量X 与Y 相互独立，
且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}P X Y <=( )
（8）设12,,
,n X X X 为来自指数总
体()E λ的简单随机样本，X 和2S 分别是样本均值和样本方差．若
222
1
()E kX S λ-=
，则k = （ ）
（A ）1 (B) 2
(C)
1n n + (D) 21
n n + 二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）
（9）设1
lim )(212+++=-∞→n n n x b ax x x f 为连续函数，求=a ___，=b 。
（10）曲线1y y xe -=在0x =处的法线方程为
（11
）曲线x =，直线2y =及y 轴所围的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为____
（12）积分
()1
13
320
1
x
x y
y dx e dy dx e dy -+=??
??
（13）若3维列向量,αβ满足
2T αβ=，T α为a 的转置，则行列式2T E βα+=
（14）设二维随机变量),(Y X 服从
)0;,;,(2
2
σσμμN ，则=)(2
XY E
三、解答题（15～23小题，共94分）
（15）（本题满分10分）求
.))1ln(1()1(lim 22
0x
x e x x
x +--+→ （16）（本题满分10分）设
),(y x z z =是由
0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的
连续函数，求),(y x z z =的极值点和极值.。
（17）（本题满分10分） 函数()x f 在[0,)+∞上可导，
()0f 1=，且满足
(1) 求导数()x f '.
(2) 证明：当x 0≥时，不等式：
()1≤≤x f e x
成立.
（18）（本题满分10分）设某企业生产一种产品，其成本
322
()1610010003
C Q Q Q Q =-++，平均
收益1
(),(0,024)2R Q a bQ a b =-><<，
当边际收益44MR =，需求价格弹性
41
19q E =时获得最大利润，求获得最大利
润时产品的产量及常数,a b 的值．
（19）（本题满分10分）
求级数
∑∞
=+1
)1(n n x n n 的和函数
()S x ，进而求∑∞
=+1
2)
1(n n
n n 的和。 （20）（本题满分11分） 设线性方程组
()Ⅰ???=++=++0
45102321321x x x b
x x x 与()Ⅱ1231
2321
6322ax x x x x x b --=??
++=-?有公共解，试
确定a ，b 满足的关系，并求出所有的公
共解．
（21）（本题满分11分）已知二次型
22
12312(,,)(1)(1)2f x x x a x a x x
=-+-+ 的秩为2。
（1）求a 的值
（2）求正交变换x Qy =，把123(,,)f x x x 化成标准型
（3）求方程123(,,)0f x x x =的解
（22）（本题满分11分）设随机
变量,X Y 具有相同的概率分布，X 的分
布律为12
{0},{1}33
P X P X ====，且
1
2
XY ρ=，记Z X Y =+
（1）求(,)X Y 的概率分布
（2）求Z 的概率分布
（23）（本题满分11分） 设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与
0y =围成的三角形区域，求
（1）求X的概率密度()
f x
X （2）求条件概率密度()
f x y
X Y