湍流模型理论
湍流模型理论
§３．1 引言
自然界中的实际流动绝大部分是三维的湍流流动，如河流,血液流动等。湍流是流体粘性运动最复杂的形式,湍流流动的核心特征是其在物理上近乎于无穷多的尺度和数学上强烈的非线性，这使得人们无论是通过理论分析、实验研究还是计算机模拟来彻底认识湍流都非常困难。回顾计算流体力学的发展，特别是活跃的８０年代,不仅提出和发展了一大批高精度、高分辨率的计算格式,从主控方程看相当成功地解决了Euler方程的数值模拟，可以说Euler方程数值模拟方法的精度已接近于它有效使用范围的极限；同时还发展了一大批有效的网格生成技术及相应的软件，具体实现了工程计算所需要的复杂外形的计算网格；且随着计算机的发展,无论从计算时间还是从计算费用考虑,Ｅｕlｅｒ方程都已能适用于各种实践所需。在此基础上,8０年代还进行了求解可压缩雷诺平均方程及其三维定态粘流流动的模拟。９0年代又开始一个非定常粘流流场模拟的新局面，这里所说的粘流流场具有高雷诺数、非定常、不稳定、剧烈分离流动的特点，显然需要继续探求更高精度的计算方法和更实用可靠的网格生成技术。但更为重要的关键性的决策将是，研究湍流机理,建立相应的模式，并进行适当的模拟仍是解决湍流问题的重要途径。
要反映湍流流场的真实情况，目前数值模拟主要有三种方法：１．平均Ｎ－S方程的求解，２.大涡模拟（LＥS），3.直接数值模拟(DNS）。但是由于叶轮机械内部结构的复杂性以及目前计算机运算速度较慢，大涡模拟和直接数值模拟还很少用于叶轮机械内部湍流场的计算,更多的是通过求解平均N-S方程来进行数值模拟。因为平均N-S方程的不封闭性,人们引入了湍流模型来封闭方程组，所以模拟结果的好坏很大程度上取决于湍流模型的准确度。自7０年代以来，湍流模型的研究发展迅速，建立了一系列的零方程、一方程、两方程模型和二阶矩模型,已经能够十分成功的模拟边界层和剪切层流动。但是,对于复杂的工业流动,比如航空发动机中的压气机动静叶相互干扰问题,大曲率绕流,激波与边界层相互干扰,流动分离，高速旋转以及其他一些原因,常常会改变湍流的结构,使那些能够预测简单流动的湍流模型失效,所以完善现有湍流模型和寻找新的湍流模型在实际工作中显得尤为重要。
§3.2 湍流模型概述
§3.２.1 湍流模型的引入
湍流模式理论或简称湍流模型，就是以雷诺平均运动方程与脉动运动方程为基
础，依靠理论与经验的结合,引进一系列模型假设,而建立起的一组描写湍流平均
量的封闭方程组。湍流运动物理上近乎无穷多尺度漩涡流动和数学上的强烈非线
性,使得理论实验和数值模拟都很难解决湍流问题。虽然Ｎ-S方程能够准确地描
述湍流运动地细节,但求解这样一个复杂的方程会花费大量的精力和时间。实际
上往往采用平均N-Ｓ方程来描述工程和物理学问题中遇到的湍流运动。当我们
对三维非定常随机不规则的有旋湍流流动的N-S方程平均后，得到相应的平均方
u u，从而形成了湍流基本方程，此时平均方程中增加了六个未知的雷诺应力项i j
程的不封闭问题。根据湍流运动规律以寻找附加条件和关系式从而使方程封闭就
促使了几年来各种湍流模型的发展，而且在平均过程中失去了很多流动的细节信
息,为了找回这些失去的流动信息,也必须引入湍流模型。目前虽然许多湍流模型
已经取得了某些预报能力,但至今还没有得到一个有效的统一的湍流模型。同样，
在叶轮机械内流研究中,如何找到一种更合适更准确的湍流模型也有待于进一步
研究。
§3．2．2 湍流模型的发展历程
模型理论的思想可追溯到１00多年前，为了求解雷诺应力使方程封闭,早期的处
理方法是模仿粘性流体应力张量与变形率张量关联表达式,直接将脉动特征速度
与平均运动场中速度联系起来。十九世纪后期,Boussinｅsq提出用涡粘性系数的
方法来模拟湍流流动,通过涡粘度将雷诺应力和平均流场联系起来，涡粘系数的
数值用实验方法确定。到二次世界大战前,发展了一系列的所谓半经验理论，其
中包括得到广泛应用的普朗特混合长度理论,以及G.Ｉ泰勒涡量传递理论和Kａ
rman相似理论。他们的基本思想都是建立在对雷诺应力的模型假设上，使雷诺
平均运动方程组得以封闭。19４0年,我国流体力学专家周培源教授在世界上首次
推出了一般湍流的雷诺应力输运微分方程；１9５1年在西德的Roｔｔa又发展
了周培源先生的工作，提出了完整的雷诺应力模型。他们的工作现在被认为是以
二阶封闭模型为主的现代湍流模型理论的最早奠基工作。但因为当时计算机水平
的落后,方程组实际求解还不可能。70年代后期,由于计算机技术的飞速发展，周
培源等人的理论重新获得了生命力，湍流模型的研究得到迅速发展。建立的一系
列的两方程模型和二阶矩模型，已经能十分成功地模拟边界层和剪切层流动,但
是对于复杂的工业流动，比如大曲率绕流,旋转流动,透平叶栅动静叶互相干扰等，
这些因素对湍流的影响还不清楚，这些复杂流动也构成了进入二十一世纪后学术
上和应用上先进湍流模型的研究[48］。
§3．2．3湍流模型研究的现状和进展
湍流模型可根据微分方程的个数分为零方程模型、一方程模型、二方程模型和多方程模型。这里所说的微分方程是指除了时均N-Ｓ方程外,还要增加其他方程才能是方程封闭，增加多少个方程,则该模型就被成为多少个模型。下面分别介绍各种湍流模型的研究现状和进展。
３.2.3．1 零方程模型
零方程模型建立在涡粘性假设基础上,把平均N-S方程中的雷诺应力假设为平均物理量的某种函数,使方程组封闭。由于涡粘系数在整个边界层中并不是一个常数，而且湍流边界层仅仅局限于依靠壁面的一个小部分区域内，普朗特在１
dU dy）直接建9２５年提出了动量传递混合长度理论，将湍流应力和平均速度(/
立关系,此后各国学者在这方面做了大量工作,下面简介几个应用比较广泛的零方程模型。
一种在工程上最为常用的代数模型是由Cebecｉ－Sｍith[49]给出的，可用来计算湍流边界层。C-S模型在工程计算中得到了广泛的应用,其准确度和可靠性也得到了较多实验的验证。实践证明，对于逆压力梯度或顺压力梯度很大的平衡湍流边界层及接近分离区的流动，其精度不是很好。后来Bａlｄｗiｎ与Lomａx对该公式进行了修正,得到了Baldwiｎ－Lomａx（B－Ｌ)［５0］模型。Ｂ-L模型以涡粘性假设为基础,属于局部平衡模型,其中系数是不可压缩流体平板附面层实验结果。由于该模型简单,计算工作量小,且对于湍流附面层流动计算具有一定精度,
故广泛应用于工程计算中。在应用中人们也发现了B－L模型的不足之处，模型中各系数都是平板附面层经验值,没有考虑压力梯度对附面层的影响。还有很多研究者都曾对代数模型进行了修正,但收效甚微。NAＳA Ames研究中心曾对代数模型做过广泛系统的研究，发现对于复杂流动的预测它所得到的结果远不如两方程模型精确。
虽然零方程模型精度不高,但由于零方程模型简单,因此在全世界得到了广泛的应用。一般来说，零方程模型有如下优缺点，一是零方程模型适用于中等压力梯度的二维流动,能够很好预报主流速度，但对湍流应力仅能做定性预报。二是零模型只适用于预测具有轻微的横向流动的二维边界层。三是零方程模型不适用于绕流,旋转效应及有分离的流动，对三维复杂流动或是湍流运输效应占主导地位的流动会产生较大误差。四是各向同性假设使得零方程模型不能预测大逆压梯度，或是由于湍流输运所造成的二次流动。五是零方程模型不能预测激波引起的分离流动。
３.2.3．2 一方程模型
一方程模型将湍动能方程作为一个附加的偏微分方程,加上其他代数经验关系式使方程组封闭，一般也称为能量方程模型。它考虑了对流和湍流扩散输运,以湍动能表示特征速度，并由方程求出脉动特征速度,放弃了将脉动特征速度与平均速度梯度直接联系起来的做法,因此能量方程模型比零方程模型更优越。但是能量方程模型也假定了涡粘性系数各向同性,而且特征长度仍需要经验确定,对运动过程影响的考虑也不充分,因而对于复杂流动的应用受到很大的限制。大多数的一方程模型采用涡粘性假设,其精度和计算量介于零方程模型和二方程模型之间。一方程模型的来源由两种，一种从经验和量纲分析出发，针对简单流动逐步发展起来，如Spal ａr ｔ-Ａllm ａｒas(S-A)模型[５1];另一种由二方程模型简化而来，如Baldwi ｎ-Ｂarth(B-B)模型［5２]。上述两种模型都有相似的特点,不象零方程模型那样需要分内外层模型，也不需要沿法线方向网格线寻找最大值，因此可用到非结构网格中，但是计算量比零方程模型大。随着模型理论的发展和广大科研工作者的努力，一方程模型也不断得到改进和完善。宁方飞等推导了
Splart-Ａllm ａｒas 模型的守恒形式,将其用于了二维扩压器和三维压气机转子湍流流场的计算,取得了很好的效果,表明Spl ａｒt-A ｌl ｍａｒas 模型用于内流计算是成功的[５3]。
3.2.３．３ 两方程模型
两方程模型是目前湍流模型研究中的热门,也是目前应用最广泛的一种湍流模型,这与其内在的物理本质有必然联系。应用比较广泛的两方程模型有Jones 与Laun ｄｅｒ提出的标准k ε-(S-k-ｅｐs )模型[54]，和经过修正的各种低雷诺数k ε-模型,以及由k ε-模型发展而来的k ω-模型和q ω-模型。另外还有很多关于k ε-模型的非线性代数应力模型。自Jones 与Laun ｄer 提出的标准k ε-模型以来,该模型就以其简单，计算精度精度较高而广泛应用于各种湍流研究中。标准k ε-模型在推演过程中,采用了以下几项基本处理:（１）用湍动能ｋ反映特征
速度;(２)用湍动能耗散率ε反映特征长度尺度;（３)引进了
2/t C k μνε=的关系式(4）利用Ｂo ｕssinesq 假定进行简化。正因为如此，可以认为k ε-有以下优点：一是通过求解偏微分方程考虑湍流物理量的输运过程,即通过求解偏微分方程来确定脉动特征速度与平均速度梯度的关系,而不是直接将两者联系起来。二是特征长度不是由经验确定，而是以耗散尺度作为特征长度,并由求解相应的偏微分得到,因而k ε-模型在一定程度上考虑了流动场中各点的湍动能传递和流动的历史作用。计算结果表明，它能较好地用于某些复杂流动,例如环流、渠道流、边壁射流和自由湍射流,甚至某些复杂的三维流。然而,标准k ε-模型也有一定的局限性,主要表现在:一是仍然采用了Bo ｕs ｓinesq 假定,即采用了梯度型和湍流粘
性系数各向同性的概念，因而使k ε-模型难以准确模拟剪切层中平均场流动方向的改变对湍流场的影响；二是采用了一系列的经验常数，这些系数都是在一定实验条件下得出来的，因而也限制了模型的使用范围。近十年来人们不断对k ε-模型进行了改进。
在近壁面雷诺数较低,雷诺应力具有明显的各向异性，分子粘性对流动的影响相对增强,它不仅影响了平均流的输运，而且直接或间接地影响各种湍流过程，此外,湍流动能ｋ的产生率及耗散率ε达到极大,近似处于局部平衡，平均流速度和温度的二阶导数大,即平均流参数的梯度变化大。此区内的湍流呈各向异性，从而造成适用于高雷诺数、各向同性湍流的两方程湍流模型不能直接应用到该区。处理低雷诺数湍流流动的工程方法有两大类，即壁面函数法和低雷诺数湍流模型。所谓壁面函数法就是采用简化分析的方法或经验式,给出近壁网格内的速度分量与壁面应力的关系,近壁网格内温度与壁面温差同壁面热流通量的关系,近壁网格内湍流动能的产生率与耗散率。这种方法不需在近壁区内求解平均流场或湍流参量的偏微分方程,不需在近壁区布置精细的网格(ｙ＋>30）。它包含了壁面粗糙,且使计算方便,但在诸如低雷诺数时的边界层流、临界雷诺数时的边界层流、非定常和分离流、旋转面或有质量或热量传递的固壁、三维复杂流等情况下,不能应用壁函数[５5]。
90年代以来，一种基于重整化群（Ｒenor ｍalizati ｏn Gr ｏｕp －ＲNG )方法的模型理论引起了人们的兴趣。该理论最早由Y ａｋhot&Orszag [5６]提出,其基本思想是：在谱空间内对N-S 方程引入了所谓“对应原理”，利用Gaus ｓ统计法在平衡态展开。经过一系列移去小尺度部分及对余下部分重新标度的运算，得到一针对大尺度运动的方程。其中小尺度对大尺度的影响在方程中以涡粘性的方式体现。若移去的仅是那些最小的尺度就得到大涡模拟中的亚格子模型,若移去的尺度继续增大，最终就得到涡粘性模型，如代数模式、两方程模式、非线性模式。在高雷诺数极限情况下,所得k ε-模式（称RN Ｇ k ε-模式)与标准模式形式上完全一样,仅在系数上有所差别。值得注意的是,这里的系数由理论分析而得，不含经验性。更主要的差别在于它们之间近壁处理不同。RN Ｇ k ε-模式中的涡粘性在接近壁面时能自动地向分子粘性过渡，因而无须使用经验性地壁函数或衰减因子。
在选择湍流长度尺度或时间尺度时，若不取ε，而取其它标量,如湍流“频率”l k 2
/1，则可以分别形成k ω-的二方程模型。目前工程应用的各种湍流模型，k ω-两方程模型在对逆压梯度有无分离流动、低雷诺数区域流动以及可压缩流
动，特别是高速湍流流动等问题的精确数值模拟上较为理想。在k ω-模型的应用发展中，Ｗilco ｘ及Ｍｅn ｔer ［57－58]等做了卓有成效的工作。k ω-模型在边壁附近的低雷诺数区不需要阻尼函数,壁面上ω方程有精确的边界条件,易于处理。特别是在高速内流计算中已初步表现出来良好的性能,所以实际中得到了广泛的应用。k ω-模型主要由k ε-模型演变而来,其中/k ωε=称为比耗散率，主要是一个k 方程,一个ω方程。David.C.W ｉlc ｏx [59］通过八种低雷诺数k ε-和k ω-模型计算了具有适当逆压梯度的高雷诺数、不可压边界层,结果发现k ε-模型预报此类流动具有不稳定性，甚至更为严重的是k ε-模型被证明和已经建立起来的湍流边界层物理结构不一致，即使低雷诺数修正也不能克服这种不一致性。然而,k ω-模型计算的结果却发现有或者无低雷诺数修正都能得到准确的结
果。q ω-模型是由Ｃo ａkl ｅy [6０]在1983年提出的，其中q =袁新［6１]在叶轮机械内流场中分别使用了Chie ｎ-k ε-模型、Wil ｃox-k ω-模型和Ｃｏa ｋley-q ω-模型,并进行了比较，得出尽管k ε-模型在工程实际中已得到了广泛的应用，但是由于k ω-和q ω-模型的计算量相对较少，边界条件处理简单,又能适应粗糙的初始湍流流场,所以在求解可压缩流动时倾向于采用后两种湍流模型。
总之,两方程模型在我们目前的各种湍流场计算中，有着广泛的应用。在某些特定的条件下,能得到很好的结果。但是由于认识的局限性以及对湍流场的各种假定，也使得计算结果与实际结果偏差较大。所以在应用两方程模型中,不同条件下应对两方程模型进行相应的修改。
3．2.3.４ 雷诺应力方程模型
无论是对于代数涡粘模型,还是对两方程模型,都不能很好的预测复杂流动。两方程模型中雷诺应力都是采取了各种假设而达到简化，之中许多湍流流动的细节被忽略,而雷诺应力模型（RSM ）中增加的雷诺应力微分方程考虑了更多的湍流细节，所以雷诺应力模型能更真实地模拟实际的湍流流动，反应其内在本质。这一模型的优点在于可准确地考虑各向异性效应,虽然其通用性不象人们所期望地那么高，但在不少情况下其预报效果确实比其他模型好。但该模型过于复杂，一个完整的雷诺应力模型包括一个连续方程、3个动量方程、雷诺应力的六个方程、k 方程和ε方程,总共12个未知量，12个微分方程。计算量远远高于代数模型，一方程和两方程模型,尤其对复杂的三维流动，从工程角度,其计算量超出了目前计算机的能力。所以现阶段还很难推进这方面的研究工作。
３．２．3.5 代数应力方程模型
代数应力模型(AＳＭ）是雷诺应力模型(ＲSM)在一定条件下的简化表达式,表达式形式随简化条件而异,但需求解的附加微分方程只有两个（即ｋ方程和ε方程)。代数应力模型是一种既简单经济,又能体现各项异性的具有较高精度的数学模型。应用该模型既可避开求解雷诺应力方程所面临的十分复杂的计算工作量，又能解决kε-两方程模型难以求解的各向异性问题,因而兼有雷诺应力模型的通用性和kε-模型的经济性。
3．２.3.６湍流研究的其他方法
基于平均方程的湍流模型对于一般湍流问题误差较大，湍流计算很难从根本上解决，因为基于平均方程加湍流模型的湍流求解方法仅能模拟小尺度涡的湍流运动,其模拟结果与湍流的真实流动相差甚远,这种方法不能从根本上解决湍流问题。为了使湍流求解更为准确,更能反映湍流不同尺度的旋涡运动,可以在更宽尺度上计算湍流,如大涡模拟LES(Lａrｇe Eddy Ｓimulation)和直接数值模拟DNS （Direct Nuｍeriｃａl Simulation)。
作为一种预测湍流的新型数值工具，大涡模拟[６2]正显示出强大的生命力，它的基本思想是:将包括脉动运动在内的湍流瞬时运动通过某种滤波方法分解成大尺度运动和小尺度运动，大尺度量通过直接求解非定常的三维Naviｅｒ-Ｓtｏｋes方程获得，小尺度运动对大尺度运动的影响将在运动方程中表现为类似于雷诺应力一样的应力项，称之为亚格子雷诺应力,它们将通过建立湍流模型来模拟。尽管大涡模拟法有其独特的优点,但用于实际三维湍流流动计算却有巨大的困难，具体表现[63]在：一、通用的小涡模型需要极密的节点，因而需要庞大的计算机存储能力；二、大量计算数据和求解非线性偏微分方程需要高速数值处理能力；
三、需要非常可观的计算时间和经费,因此用大涡模拟实际计算的例子不多。尽管目前在工程应用中，大涡模拟还不够多,但是随着计算机的发展，这种方法将成为湍流数值模拟的下一个热点。
湍流的直接模拟是指对Ｎ-S方程不用时均化，进行直接求解。在理论上N-S 方程本来就是封闭的，并不需要建立有关模型。在直接模拟中,构造尺寸接近Ｋolmoｇｏrov尺度的网格,直接求解原始的非定常N－Ｓ方程,初始扰动可以通过随机扰动实现。计算过程自动出现流动线性稳定、层流向湍流过渡的非线性过程和湍流充分发展后的变化。这要求网格尺寸足够小,储存的数据特别多，最后需要进行某种统计处理才能使用。但是由于现有计算机的发展水平,即使在少数拥有世界上最大的超级计算机的科学大国，目前还只能计算中等雷诺数并且几何较为简单的湍流流动。直接数值模拟所用的数字方法主要是谱方法和伪普法，其优
点是精度高，有精确的空间微分,无数值粘性,缺点是只适用于简单的几何形状。在几何边界复杂的叶栅流道总，湍流脉动运动包含很多不同的涡运动,划分计算网格的尺度应小到足以分辨最小涡运动。过多的网格节点使得计算量非常庞大,目前计算机水平还不能满足要求。
§3.３典型湍流模型简介
§3．3.1 Bal ｄwin-Ｌomax 模型（B-L 模型）
Baldwi ｎ-Lomax (Ｂ-L ）模型是在湍流混合长度理论的基础上所形成的一个二层代数模型，它不需要求解偏微分方程组，因此它相对于其它的各种模型来说,计算量小、对计算机性能要求低,计算速度快;另外Ｂ-L 模型为零方程两层代数涡粘模型，内外层的湍流粘性系数采用不同的公式进行求解,不必计算边界层的厚度，而代之以涡量计算混合长度的分布，同时它也可以不寻找边界层的外缘，这对三维流动以及复杂边界的内部等边界层积分计算比较困难的流动是很有利的。为了避免寻找边界层内外层的交界点，计算中可采取首先使用内层与外层的计算公式分别求出对应于整个边界层的湍流粘性系数,然后取二者中的较小者作为有效的湍流粘性系数，避免了因为边界层厚度计算不准确而产生的误差。
])(,)m in[(out t in t t μμμ=(３．１）
其涡粘性系数的假设为:
?????=≤--==++c kleb wake cp out t c
in t t y y y F F KC y y A y ky )()(||)]/exp(1[)()(22ρμωρμμ（３．２)
其中y 是距壁面的法向距离,y c 是内外两层具有相同ｍｔ值的点与壁面的法向
距离。其内层的湍流粘度是由P ｒandtl 混合长度模型确定的，其外层湍流粘度是由平均流和一个长度尺度(y max )确定的。
222)()()(||z u x w y w z v x v y u ??-??+??-??+??-??=?（3.3)
w w w w w y T y u y μρμρτ?==+
（3．4) )/,min(max 2max max max F y C F y F dif wk wake μ?=（3.５)
m ax F 是函数)]/ex p(1[||)(++--=A y y y F ω的最大值,m ax y 即为m ax F 时的y 值大小。
16max ])(
5.51[)(-?+=y y C y F kleb kleb （3．6） dif u 是给定x 处的速度最大值与最小值之差，即
min 222max 222)()(w v u w v u u dif ++-++=(3.７）
各常数值为+A ＝26,wk C =1，cp C ＝1.6，k ＝0．４１,kleb C ＝0．3，K=0.０16８。 §3.3.2 Sp ａｌａｒｔ－Ａllm ａras 模型（Ｓ-A 模型)
S-A 湍流模型是个一方程模型。它常被认为是B-Ｌ代数模型和两方程模型之间的桥梁。由于其容错功能好,处理复杂流动的能力强，Ｓ-A 模型已得到广泛应用。S-A 模型与B-L 模型相比,其湍流涡粘场是连续的。S-A 模型优于k ε-模型之处在于其容错性好，计算量少。该湍流的原理是建立在一个附加的涡粘输运方程的解决上。方程中包含对流项，扩散项和源项，以非守恒形式建立。S-A 模型不同于其他一些单方程模型,不是从k ε-方程经过简化得到的,而是直接根据经验和量纲分析,从简单流动开始，直接得到最终的控制方程。该模型具有一些很好的特点，相对于两方程模型计算量小和稳定性好,同时又有较高的精度。由于模型方程的因变量函数在对数律区内与到壁面的距离成线性关系，所以可以使用相对与低雷诺数模型较粗的网格。另外，模型是当地型的,方程中没有诸如y +这类非当地型的项在内,所以在有多个物理面的复杂流场中不需要特殊处理，使用方便。
湍流粘性系数有下式给出:ν
ｔ =νf ν 1 (3．8)
其中,ν是湍流工作变量