小升初数学专项题-第二十一讲 容斥原理(包含与排除)通用版

第二十一讲容斥原理（包含与排除）

【知识梳理】容斥原理（包含与排除原理）：

（用|A|表示集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3）

原理一（二量重叠）：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：

第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素）总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣

原理二（三量重叠）：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：

第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣；第二步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣；第三步：再加上∣A∩B∩C∣。

即有以下公式：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C ∩A|+|A∩B∩C

【典例精讲1】实验小学三年级一班统计考试成绩，数学得90分上的有35人；语文得90分以上的有31人；两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人？

思路分析：设A={数学成绩90分以上的学生}，B={语文成绩90分以上的学生}，那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，∣A∣=35，∣B∣=31，∣A∪B∣=38，现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A ∩B∣，由容斥原理即可解决。

解答：设A={数学成绩90分以上的学生}，B={语文成绩90分以上的学生}，

∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=35+31-38=28

答：两科都在90分以上的有28人.

小结：解决这类问题关键要弄清楚重叠部分是多少。

【举一反三】1. 六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有多少人？

2. 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状，把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？

3.在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有多少个？

【典例精讲2】希望小学六年级的课外小组分为音乐、下象棋、书法三个小组，参加音乐小组的有23人，参加下象棋小组的有27人，参加书法小组的有18人；同时参加音乐、下象棋两个小组的有4人，同时参加音乐、书法小组的有7人，同时参加下象棋、书法小组的有5人；三个小组都参加的有2人。问：这个年级参加课外小组共有多少人？

思路分析：用原理二（三量重叠）解决。

解答：设A={音乐小组的同学}，B={下象棋小组的同学}，C={书法小组的同学}，A∩B={音乐、下象棋小组的同学}，A∩C={参加音乐、书法小组的同学}，B∩C={参加下象棋、书法小组的同学}，A∩B∩C={三个小组都参加的同学}

由题意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18

∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2

根据容斥原理二得：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣

=23+27+18-（4+5+7）+2=54（人）

小结：解决这类问题要清楚哪些是两类都做的，哪些是三类都做的。

【举一反三】4.某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀。这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：

求这个班的学生人数。

5. 在1～1000这1000个自然数中，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？

答案及解析：

1.【解析】利用容斥原理求出至少会一种的人数，再用总人数减去这些人数就可以了。

【答案】：所求人数=全班人数-(会骑车人数+会游泳人数-既会骑车又会游泳人数)=46-(17+14-4)=19(人)

答：两样都不会的有19人。

2.【解析】：两个长方形如图摆放时出现了重叠，重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形，如果利用两个4×2的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了，所以，被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分。

【答案】： 4×2×2－2×2=12（平方米）

答：覆盖面积有12平方厘米。

3.【解析】利用容斥原理计算出至少能被5或7整除的数的个数，再用总个数相减即可。

【答案】：能被5整除的数共有1000÷5=200（个）；

能被7整除的数共有1000÷7=142（个）……6（个）；

同时能被5和7整除的数共有1000÷35=28（个）……20（个）。

所以，能被5或7整除的数一共有（即重复了的共有）：200＋142—28=314（个）；不能被5或7整除的数一共有1000—314=686（个）。

4.【解析】要把一项优秀的、两项或者三项优秀计算出来，最后再把都没有获得

优秀的加起来就可以了。

【答案】：只有篮球一项达到优秀的有15—6—5+2=6（人）；

只有游泳一项达到优秀的有18—6—6+2=8（人）；

只有短跑一项达到优秀的有17—6—5＋2=8（人）。

获得两项或者三项优秀的有6＋6+5—2×2=13（人）。

另有4人一项都没获优秀。

所以，这个班学生人数是13＋6＋8＋8＋4=39（人）。

5.【解析】：根据容斥原理分类解决即可。

【答案】：被2整除,即两个两个地数有多少组,1000\2=500 （\表示除后取整数部分）

被3整除的有333个，被5整除的有200个，被2和3同时整除的有166个，被2和5同时整除的有100个，被3和5同时整除的有66个，被2、3和5同时整除的有33个，以上条件中不重复的数有 500+333+200-166-100-66+33=734（个），所以,不能被2、3、5任何一个数整除的个数为1000-734=266个。

小升初数学知识点算术规律

小升初数学知识点算术规律 1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 2、加法结合律：a + b = b + a 3、乘法交换律：a × b = b × a 4、乘法结合律：a × b × c = a ×(b × c) 5、乘法分配律：a × b + a × c = a × b + c 6、除法的性质：a ÷ b ÷ c = a ÷(b × c) 7、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数，商不变。O除以任何不是O的数都得O。简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。 8、有余数的除法：被除数=商×除数+余数 小升初数学知识总结：方程、代数与等式 等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质：等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数，等式仍然成立。 方程式：含有未知数的等式叫方程式。 一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。 代数：代数就是用字母代替数。 代数式：用字母表示的式子叫做代数式。如：3x =ab+c

分数 分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。 分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。 分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。 分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 倒数的概念：1.如果两个数乘积是1，我们称一个是另一个的倒数。这两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。 分数除以整数(0除外)，等于分数乘以这个整数的倒数。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外)，分数的大小 分数的除法则：除以一个数(0除外)，等于乘这个数的倒数。真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。 假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分

小学数学复习小升初数学专项强化训练《运算与规律》(整理含答案)

小学数学复习小升初数学专项强化训练 《运算与规律》 一、填空题。（每空一分，共26分） 1、比大小。(在○里填上“＞”“＜”或“＝”) 230×40 ○ 32×400 8200×1.1 ○ 410×22 2.1×300 ○ 0.3×1800 999×9.9 ○ 10000 2、根据143÷13＝11填空。 1430÷130＝( ) 286÷1.3＝( ) 2.2×13=（） 0.22×（）=14.3 ( )÷0.39＝110 14300÷( )＝1.1 3、根据乘法的运算定律填空。（6分） 12.5×8.7×0.8＝(□×□)×□=（） (2.5＋0.6)×4＝□×□＋□×□=（） 4.1×1.5＋ 5.9×1.5＝(□＋□)×□=（） 4、两个因数的积是130，如果其中一个因数不变，另一个因数增加5，则积增加了50，不变的因数是（）。 5、两个数相除的商是16,如果除数和被除数都同时乘4,商是( )；如果被除数除以4,除数乘以2，商是( )。 6、两个数相除商是3，余数是10，若被除数、除数、商和余数的和是143，被除数是（），除数是（）。 7、3.54×2.6的积是( )位小数，如果将3.54扩大到原来的100倍，2.6扩大到原来的10倍，那么积是( )，原来的积是( )。 8、9.6×1.25＝1.2×(8×1.25)＝1.2×10＝12，这里运用了( )律进行简算。 9、小明在计算10×(△＋0.3)时错算成了10×△＋0.3，计算的结果与正确答案相差（）。 二、判断题。（5分） 1、在除法算式里，被除数和除数同时乘以10，商也跟着乘以10。( ) 2、122×36＝(122×2)×(36÷2) ( )

冲剌名校小升初数学考试常考题型和典型题锦集(答案及详解)

小升初重点名校考试常考题型总结 一、计算题 无论小升初还是各类数学竞赛，都会有计算题出现。计算题并不难，却很容易丢分，原因：1、数学基础薄弱。计算题也是对考生计算能力的一种考察，并非平常所说的马虎、粗心造成的。而且这种能力对任何一个学生来说，都是很重要的，甚至终身受益，这就是为什么中小学学习阶段，“逢考必有计算题”的重要原因了！ 2、心态上的轻视。很多学生称做计算题为“算数”题，在心理上认为很简单，一来不认真做，二来，把更多的精力放在了应用题等看起来很难的题目上了。 二、行程问题 我们任意翻开一套试卷，只要是一套综合的测试，大概就会发现少则一道多则三五道的行程问题。所以行程问题不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常显赫的地位，都是命题者偏爱的题型之一。所以很多学生甚至说，“学好了行程，就肯定能得高分”。 三、数论问题 在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。在小学各类数学竞赛和小升初考试中，我们系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。 出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。 四、几何问题 几何问题主要考察是考生的观察能力甚至空间想象能力，有时需要添加辅助线才能完成，对培养孩子动手甚至创新能力很有帮助。 典型题： 一、简便计算： （1） 20032004 2003+20042004 20062005 ÷（2） 48 517 5.1740 5 ?+?

人教版小升初数学总复习计算题脱式计算专项

2018年人教版小升初数学总复习计算题脱式计算专项 88＋56＋12 178＋350＋22 56＋208＋144 （2.3＋5.6）＋4.7 286＋54＋46＋4 166× 167 166 5.82＋4.56＋5.44 25×37×0.4 75×0.39×4 6.5×11×4 125×39×16 0.8 ×37×1.25 43×15×6 41×35×2 11 35 36 136×4.06＋4.06×64 7.02×123＋877×7.02

34.68425?+? 11164.53411112?+? 5129 24514343?+? 102×5.6－5.6×2 471×0.25－0.25×71 43×126－86×13 101×99－897 5200÷4÷2.5 333833 3.7544?-+? 555 13.75 2.75888 ?-?- 4.58－0.45—0.55 23.4－4.56－ 5.44 6.47－4.57－1.43

4500÷0.4÷75 16800÷8÷1.25 48000÷0.8÷125 313275÷? 71259214÷? 5 1765311÷）（－ 83533585?÷＋ )6 1 81(48+? 20 935 4÷÷ )21 10 7 5 (103 - ? 3.2×1.25×0.25 5.8×［1÷(2.1－2.09)］ 3150 ×101- 3150

42÷(12 ＋23 ) 34 ×78 ＋18 ×75% （78 －516 ）×（59 ＋2 3 ） 2.3×1.5＋4.5÷0.75 61＋72÷73 (1＋31)÷(1－3 1 ) 53÷[117×(52＋3 1)] （511－872）÷291＋22÷51 361－99 0.7＋3.8＋4.2＋9.3 53×41＋53×4 3 3－ 712－512 57×38+58×57 815×516+527÷10 9

关于小升初数学练习题专项训练及答案

关于小升初数学练习题专项训练及答案 一、做计算，我能行.(本部分考查学生的口算、解方程、简便计算能力，会解答文字题和求组合图形阴影部分面积) 1.(8分)(xx长泰县)口算： +==0.360.6=﹣=++= 小升初数学模拟考试卷及答案：3.5﹣ 3.05==0.2512=7(+)=3.27+1.83= 考点：分数的加法和减法;分数乘法;分数除法;小数的加法和减法;小数乘法;小数除法. 分析：本题根据分数与小数的加法、减法、乘法、除法的运算法则计算即可; ++可根据加法交换律计算;0.2512可将12拆分为43计算; 7(+)可根据法分配律计算. 解答：解：+=，=，0.360.6=0.6，﹣=，++=1， 2.(6分)(xx长泰县)解方程. ①9.5﹣3=5.6+7.4②：=：③1﹣60%=. 考点：方程的解和解方程;解比例. 分析：(1)先化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时除以6.5求解， (2)先根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时除以求解，

(3)先化简方程，再依据等式的性质，方程两边同时加60%x， 再同时减，最后同时除以60%求解. 解答：解：(1)9.5﹣3=5.6+7.4，(2)：=：， 6.5x=13，x=， 6.5x6.5=136.5，x=， x=2;x=; (3)1﹣60%=，1﹣60%x+60%x=+60%x，1﹣=+60%x﹣， 3.(10分)(xx长泰县)递等式计算，能简算的要简算.www.xkb1. ①25499②13.6﹣(2.6+0.2525%)③1200〔56(﹣)〕 ④(1.7+1.7)⑤1375+4501525. 考点：整数、分数、小数、百分数四则混合运算;整数的乘法及应用;运算定律与简便运算. 分析：①运用乘法的分配律进行计算，使计算更简便. ②先计算括号内部的，把括号内的百分数化成小数，然后再计 算括号外面的. ③中括号里面的运用乘法的分配律进行计算，然后再计算括号 外面的. ④小括号里面的运用乘法的分配律进行计算，然后再计算括号 外面的. ⑤按照整数的四则混合运算的顺序进行解答，先算乘除再算加减. 解答：解：①25499，②13.6﹣(2.6+0.2525%)，③1200[56(﹣)]，

小升初数学找规律练习题目

小升初数学找规律练习题目 班级姓名等级 1、观看下面旳几个算式： 1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9， 1+2+3+4+3+2+1=16， 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，… 依照你所发觉旳规律，请你直截了当写出下面式子旳结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=﹏﹏﹏﹏。 2、， ，，，已知：24 5 52455154415448338333223222222?=+?=+?=+?=+ 3、以下等式： ①13＝12 ； ②13＋23＝32 ； ③13＋23＋33＝62 ； ④13＋23＋33＋43＝102 ； ………… 由此规律知，第⑤个等式是。 4、观看以下等式： 221 2111222222223332 ??????2 ＋＝（＋）＋＝（＋）3＋＝（＋）…… 那么第n 个等式能够表示为。 5、 212212+=?，323323+=?，43 4434+=?，……，假设10b a 10b a +=?〔a 、b 差不多上 正整数〕，那么a+b 旳最小值是﹏。 6、如图是用火柴棍摆成边长分别是1、2、3根火柴棍时旳正方形，当边长为n 根火柴棍时，假设摆出旳正方形所用旳火柴棍旳根数为S ，那么S ＝〔用含n 旳代数式表示，n 为正整数〕、

三层二杈树 二层二杈树 7、如图是五角星灯连续旋转闪耀所成旳三个图形。照此规律闪耀，下一个呈现出来旳图形是 8、如下图是小明用火柴搭旳1条、2条、3条“金鱼”……，那么搭n 条“金鱼”需要火柴根。 …… 9、如图，在图1中，互不重叠旳三角形共有4个，在图2中，互不重叠旳三角形共有7个，在 图3中，互不重叠旳三角形共有10个，……，那么在第n 个图形中，互不重叠旳三角形共有个〔用含n 旳代数式表示〕。 10、小旳黑、白两种颜色旳棋子摆设如下图所示旳正方形图案，那么第n 个图案需要用白色棋 子〔〕枚〔用含有n 旳代数式表示〕 11、右图是一回形图，其回形通道旳宽和OB 旳长均为1，回形线与射线OA 交于,,,321A A A …、假设从O 点到1A 点旳回形线为第1圈〔长为7〕，从1A 点到2A 点旳回形线为第2圈，…，依此类推、那么第10圈旳长为。 12、在计算机程序中，二杈树是一种表示数据结构旳方法。如图，一层二杈树旳结点总数是1，二层二杈树旳结点总数是3，三层二杈树旳结点总数是7，四层二杈树旳结点总数是15……照此规律七层二杈树旳结点总数是。 13、瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据、 5912 162125、14、观看以下数表： 1 2 3 4 … 第一行 2 3 4 5 … 第二行 3 4 5 6 … 第三行 4 5 6 7 … 第四行 A B C D

小升初数学练习题(含答案)

欣知教育小升初数学练习题 一、相遇问题 1、一列快车和一列慢车，同时从甲、乙两站出发，相向而行，经过6小时相遇，相遇后快车继续行驶3小时后到达乙站。已知慢车每小时行45千米，甲、乙两站相距多少千米? 2、甲、乙二人分别以每小时3千米和5千米的速度从A、B两地相向而行.相遇后二人继续往前走，如果甲从相遇点到达B地共行4小时，那么A、B两地相距多少千米? 3.一列快车从甲城开往乙城，每小时行65千米，一列客车同时从乙城开往甲城，每小时行60千米，两列火车在距中点20千米处相遇，相遇时两车各行了多少千米? 4、兄弟两人同时从家里出发到学校，路程是1400米。哥哥骑自行车每分钟行200米，弟弟步行每分钟行80米，在行进中弟弟与刚到学校就立即返回来的哥哥相遇。从出发到相遇，弟弟走了多少米?相遇处距学校有多少米? 5、有两只蜗牛同时从一个等腰三角形的顶点A出发(如图)，分别沿着两腰爬行。一只蜗牛每分钟行2.5米，另一只蜗牛每分钟行2米，8分钟后在离C点6米处的P点相遇，BP的长度是多少米? 6、甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，相遇时距A地120米，相遇后，他们继续前进，到达目的地后立即返回，在距A地150米处再次相遇，AB两地的距离是多少米? 7、A、B两地相距38千米，甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，甲每小时行8千米，乙每小时行11千米，甲到达B地后立即返回A地，乙到达A地后立即返回B地，几小时后两人在途中相遇?相遇时距A地多远? 8、如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发，相向行走，他们在距A点80米处的C点第一次相遇，接着又在距B点60米处的D点第二次相遇。求这个圆的周长。 9.如图，两只小爬虫从A点出发，沿长方形ABCD的边，按箭头方向爬行，在距C点32厘米的E点它们第一次相遇，在距D点16厘米的F点第二次相遇，在距A点16厘米的G点第三次相遇，求长方形的边AB的长。 10、甲、乙两人从A地到B地，丙从B地到A地。他们同时出发，甲骑车每小时行8千米，丙骑车每小时行10千米，甲丙两人经过5小时相遇，再过1小时，乙、丙两人相遇。求乙的速度。 11、甲、乙、丙三人行走的速度依次分别为每分钟30米、40米、50米。甲、乙在A地，丙在B地，同时相向而行，丙遇乙后10分钟和甲相遇。求A、B两地相距多少米? 12、甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经过5小时相遇，相遇后各自继续前进，又经过3小时，甲车到达B地，这时乙车距A地还有120千米。甲、乙两车的速度各是多少?

小升初----探索规律

六年级数学“专项突破” 探索规律 一、知识梳理 1.算式中的规律 在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，从而认记或完成这类题。 2.数列中的规律 按一定顺序排列的一列数叫做数列； ⑴规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中； ⑵前后几项为一组，以组为单位找关系才可以找到规律。 3.数图形中的规律 解答数图形的题目，要按一定的顺序去数，做到不遗漏，不重复。 4.方阵中的规律 日常生活中，我们经常会遇到一些有关正方形的问题，如运动会上大型体操表演的正方形队列、正方形的池塘边植树等，我们称为方阵问题；方阵问题一般分为实心方阵和空心方阵两种；方阵问题的特点是：方阵每边数量相等，相邻两层，每边上的数量相差2。 ⑴四周数=（每边数－1）×4 ⑵实心方阵的数量关系为：总数=外层每边数×外层每边数 ⑶空心方阵的数量关系为：总数=（外层每边数－层数）×层数×4 5.周期中的规律 解答周期问题的关键是找出周期，确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整

数个周期，结果为周期里的最后一个，如果比整数个周期多几个，那么结果为下 一个周期里的第几个，如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环 的个数后，再继续算。 6.搭配中的规律 搭配问题的解题思路类似于乘法原理，即做一件事，完成它需要分成n 个步骤， 做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法……做第n 步有m n 种 不同的方法，那么完成这件事，有n=m 1×m 2×m 3×…×m n 种不同的方法。 二、典例剖析 题型一：找规律填数 一串分数：11，21，22，21，31，32，33，32，31，41，42，43，44，43，42，4 1… ⑴10 7是第几个分数？ ⑵第400个分数是几分之几？ 题型二：找规律填图 四个同学玩换座位的游戏，虎子坐在1号位子上，美美坐在2号位子上，丽丽坐 在3号位置上，苗苗坐在4号位子上，以后他们不停的交换座位，第一次上、下 两排交换，第二次是左右交换，第三次再上、下交换，第四次再左右交换……这 样一直进行下去，第十次交换后，丽丽坐在第几号位子上？ …… 3 4 丽丽苗苗 虎子 美美 ？ ？

(北京市)小升初数学计算题专题训练

奥数之简便运算

目录： 计算专题1 小数分数运算律的运用： 计算专题2 大数认识及运用 计算专题3 分数专题 计算专题4 列项求和 计算专题5 计算综合 计算专题6 超大数的巧算 计算专题7 利用积不变、拆数和乘法分配率巧解计算题： 计算专题8 牢记设字母代入法 计算专题9 利用 a ÷b=b a 巧解计算题： 计算专题10 利用裂项法巧解计算题 计算专题11 (递推法或补数法) 计算专题12 斜着约分更简单 计算专题13 定义新运算 计算专题14 解方程 计算专题15 等差数列 计算专题16 尾数与完全平方数 计算专题17 加法原理、乘法原理 计算专题18 分数的估算求值 计算专题19 简单数论 奥数专题20 周期问题

在小学计算题中有好多题型方法新颖独特，在升重点中学考试和进入中学分班考试中，多有出现，有的学生因为没见过这种题型常常得分很少或得零分，其实这种题型只要掌握一定的解题方法和规律一点都不难。下面老师跟你支支招： 计算专题1小数分数运算律的运用： 【例题精选】 例题一： 4.75+9.63+（8.25-1.37）例题二： 11 3333877979066661 24 ?+? 例题三： 322 32537.96 555 ?+?例题四：36?1.09+1.2?67.3 例题五： 81.5?15.8+81.5?51.8+67.6?18.5 【练习】 1、 6.73- 89 2(3.271) 1717 +- 2、 717 13(43)0.75 13413 -+- 3. 975?0.25+ 3 9769.75 4 ?- 4、 999999×222222＋333333×333334 5、 45?2.08+1.5?37.6 6、139 1371 137 138138?+?

启航教育小升初数学计算题专项训练1[2020年最新]

启航教育小升初数学专项训练（一） 一、直接写出得数。 23 25 0.8 ×0.6 ＝ 0.9 ＋99×0.9 ＝ 1 ÷ ＝ 5 8 × 4 15 ＝ 9 ÷ 3 7 ＝ 80 ×0.125= 7.2 ÷8×4＝ 3.25 ×4＝ 3 7 ÷3× 1 7 = 636 ＋203= 0. 875×24 = 1 3 ÷2÷ 1 3 = 5 6 ÷ 2 3 = 15 ×(1 － 4 5 )= （ 5 9 － 1 6 ）× 18= 1 ÷ 1 4 － 1 4 ÷1= 二、能简便计算的就简便计算。 8 15 ＋ 2 3 － 3 4 2 3 （ ＋ 2 15 ）× 45 3060 ÷15－2.5 × 1.04 （ 4 5 ＋ 1 4 ）÷ 7 3 ＋ 7 10 1 6 ＋ 3 4 × 2 3 ÷ 2 （ 8 9 — 4 27 ）÷ 1 27 20 ×( 4 5 ＋ 7 10 － 3 4 ) 6 13 ＋ 7 13 ×13 30 ÷（ 3 4 — 3 8 ） 375 ＋450÷18×25 1 －[ 1 3 －( 1 2 － 1 3 )] 1 4 ÷（ 3— 5 13 — 8 13 ）

（ 1 4 ＋ 2 9 ）÷ 1 36 3.6 ÷[ (1.2 ＋0.6) ×5] 7 15 ×( 5 7 － 3 14 ÷ 3 4 ) 3 5 × 1 9 ＋ 2 5 ÷9 2.375 ＋ 3 4 ＋5.625 ＋ 5 4 21 5 × 1 31 + 4 5 × 21 31 5 7 ＋ 5 6 ＋ 2 7 ＋ 1 6 2 19 × 8 25 ＋ 17 25 ÷ 19 2 1 4 ×125× 1 25 ×8 7 2 4 1 4 5 1 1 1 1 1 1 （＋）×－÷【—（＋）】（＋）÷（－） 5 5 9 4 9 6 6 3 3 4 2 3 24×[ 2 3 ÷ （1 － 14 15 ）] 75%×[（100% － 2 5 17 24 ）×25%] 5 3 × 4 17 ＋5 24 ÷4 9 4 5 ÷（ 9 25 ＋ 21 7 × 15 ） 12 × （ 3 4 －50% ＋ 5 6 ）17 × ［ 3 8 ＋（ 5 4 － 5 6 ）］

小升初数学专题训练—“找规律解题(全国通用)

找规律解题【例题精讲】 例1 摆5个三角形，需要11根木棒，摆2011个三角形，需要_____根木棒 例2每个圆点代表一个花盆，根据前3个图案，计算出第2011个图案的花盘总数是__个 例3 用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后，推断第10行的各数之和是多少？ 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 例4 某城市有10条笔直的道路，这10条路没有平行的，每两条都有交叉路口，但没有3条或3条以上的路在一个路口相交，如果每一个交叉路口安排一名交警，共需安排多少名？例5一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？ 例6 一个三角形全涂上白色，每进行一操作，即把全白三角形分成四个全等的小三角形，中间的小正三角形涂上黑色（如图），经过五次操作后，有____个黑色三角形，白色部分是整个三角形的_____。 例7 计算下面长方形的各数（没有正方形）？

小学数学思维之找规律解题练习 试卷简介全卷共5题，全部为选择题，共100分。整套试卷注重数学的本质，锻炼思维能力，引导学生发挥想象力和创造力。找规律解题，通过最简单最基本的情况寻找突破口。 学习建议数学是思维的体操，而奥数就是侧重于发展学生的思维能力。建议学生将课本知识扎实掌握，比如计算能力，同时需要加强对应用题解题思维的发展，提高对常识问题的理解和应用，让自己发现问题、分析问题、解决问题的能力有大的提高！ 一、单选题(共5道，每道20分) 1.将2000名学生排成一排，按1、2、3、4、5、6、7、6、5、4、3、2、1；1、2、3、4、5、6、7、6、5、4、3、2、1……循环报数，则第2000名学生报的数是_______。 A.3 B.1 C.4 D.5 2.如图，用3根火柴可以摆出第1个正三角形，加上2根火柴可以摆出第2个正三角形，再加上2根火柴可以摆出第3个正三角形……这样继续下去，摆出第51个正三角形共用_______根火柴 。 A.103 B.153 C.102 D.101 3.一楼梯共12级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第12级，共有多少种不同走法？ A.89 B.2 C.233 D.144 4.下图有多少个长方形？ A.36 B.150 C.441 D.256 5.一个三角形全涂上黑色，每进行一操作，即把全黑三角形分成四个全等的小三角形，中间的小正三角形涂上白色（如图），经过6次操作后，有____个白色三角形。 A.121

人教版小升初数学300道计算题

人教版小升初数学300道计算题 88＋56＋12 178＋350＋22 56＋208＋144 （2.3＋5.6）＋4.7 286＋54＋46＋4 166×167 166 5.82＋4.56＋5.44 25×37×0.4 75×0.39×4 6.5×11×4 125×39×16 0.8 ×37×1.25 43×15×6 41×35×2 11 35 36

136×4.06＋4.06×64 7.02×123＋877×7.02 34.68425?+? 11164.53411112?+? 5129 24514343?+? 102×5.6－5.6×2 471×0.25－0.25×71 43×126－86×13 101×99－897 5200÷4÷2.5 333833 3.7544?-+? 555 13.75 2.75888?-?-

4.58－0.45—0.55 23.4－4.56－ 5.44 6.47－4.57－1.43 4500÷0.4÷75 16800÷8÷1.25 48000÷0.8÷125 313275÷? 71259214÷? 51765311÷）（－ 83533585?÷＋ )61 8 1(48+? 20 93 5 4÷÷ )21 10 7 5 (103 -?

3.2×1.25×0.25 5.8×［1÷(2.1－2.09)］ 3150 ×101- 31 50 42÷(12 ＋23 ) 34 ×78 ＋18 ×75% （78 －516 ）×（59 ＋2 3 ） 2.3×1.5＋4.5÷0.75 61＋72÷73 (1＋31)÷(1－31 ) 53÷[117×(52＋31)] （511－872）÷291 ＋22÷51 361－99 0.7＋3.8＋4.2＋9.3 53×41＋53×43

小升初数学复习-百分数利润折扣问题(含练习题及答案)

（二） 主要内容： 应用百分数解决实际问题：利息、折扣问题 学习目标： 1、了解储蓄的含义。 2、理解本金、利率、利息的含义。 3、掌握利息的计算方法，会正确地计算存款利息。 4、进一步掌握折扣的有关知识及计算方法。 5、使学生进一步积累解决问题的经验，增强数学的应用意识。 考点分析 1、存入银行的钱叫做本金，取款时银行除还给本金外，另外付给的钱叫做利息，利息 占本金的百分率叫做利率。 2、利息=本金×利率×时间。 3、几折就是十分之几，也就是百分之几十。 4、商品现价 = 商品原价×折数。 四、典型例题 例1、（解决税前利息）李明把500元钱按三年期整存整取存入银行，到期后应得利息多少元？ 分析与解：根据储蓄年利率表，三年定期年利率5.22％。 税前应得利息 = 本金×利率×时间 500× 5.22％× 3 = 78.3（元） 答：到期后应得利息78.3元。 例2、（解决税后利息） 根据国家税法规定，个人在银行存款所得的利息要按5％的税率缴纳利息税。例1 中纳税后李明实得利息多少元？ 分析与解：从应得利息中扣除利息税剩下的就是实得利息。 税后实得利息 = 本金×利率×时间×（1 - 5％） 500 × 5.22％× 3 = 78.3（元）……应得利息 78.3 × 5％ = 3.915（元）……利息税 78.3 – 3.915 = 74.385 ≈ 74.39（元）……实得利息 或者 500 × 5.22％× 3 ×（1 - 5％） = 74.385（元）≈ 74.39（元）答：纳税后李明实得利息74.39元。 例3、方明将1500元存入银行，定期二年，年利率是4.50％。两年后方明取款时要按5％缴纳利息税，到期后方明实得利息多少元？

通用版小升初数学专项训练+典型例题分析-找规律篇(含答案)

测试卷 找规律篇 时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________ 1 （12年清华附中考题） 如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？ 2 （13年三帆中学考题） 观察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式， 找出规律， 然后填写20012＋（ ）＝20022 3 （12年西城实验考题） 一串分数：12123412345612812 , ,,,,,,,,,,,.....,,,......,33,55557777779991111 其中的第2000个分数 是 . 4 （12年东城二中考题） 在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少? 2......7......5......8 (3) 5 (04年人大附中考题) 请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。

(1)请你说明：11这个数必须选出来； (2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个； (3)你能选出55个数满足要求吗？ 【附答案】 1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、 143。 2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……， 所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。 3 【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8… 88=1980<2000，这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。 4 【解】：第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，…… 它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列，公比为3。 它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825。 5 【解】 (1)，11，22，33，…99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111…11…，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。 (2)，比如这个数3737…37…，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必 须选出一个来。 (3)，同37的例子， 01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其一，选出9个 12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其一，选出8个。 23和32必选其一，24和42必选其一，……29和92必选其一，选出7个。 ……… 89和98必选其一，选出1个。

六年级小升初数学计算题汇编

1.口算。（4分）0.105×100= 1993+1994= 603×39≈ 4950÷51= 1-31+32= 7×8×（71+81）= 1-54÷54= 98÷7 2×0= 2．怎样简便就怎样计算。（6分） 57.5-4.25-15.75 125×32 75×16.31-2.31÷5 7 3．脱式计算。（9分） 6760÷13+17×25 4.82-5.2÷0.8×0.6 4．解方程（或比例）。(6分) 3.2x-4×3=52 x ∶1.2=3∶4 1、直接写出得数（5分） ①1÷51= ② 10.8-3.9+4.1= ③ 12-15 2= ④ 7 2+7 5×4 1= ⑤ 1÷0.02= 2、脱式计算：（能简算的要写出主要简算步骤）（12分） ①(31+41)×24 ②1080-63.58-36.42 ③(85+41)÷(32－2 1) ④ 9 4×[43－( 16 7 －41)] ⑤54+54÷32×95

⑥ 9.05×37+64×9.05－9.05 3、求未知数X 。（8分） ①5X －5×7＝40 ②12－5X ＝6.5 ③2 1∶5 1＝4 1∶X ④3 2X －5 1X ＝ 5 2 1、 用简便的方法计算。(10’) 498÷[89－（81 ＋73）] (53－3 1)×15 1.3－3.79＋9.7－6.21 8×0.4×1 2.5×2.5 解方程。(6’) 80－4x=56 21 x ＋32x=6 5 12x ＋7×30%=14.7 脱式计算.。(12’) 68×35－408÷24 47.5－（0.6＋6.4÷0.32） 181＋21÷4－43 54÷（65×53）－12 1 1．直接写出得数。5分

2019小升初数学重点题型训练6-计算题(二)-人教新课标(2014秋)(含答案)

2019小升初数学重点题型训练6 计算题（二）（原卷） 系列一 1. 脱式计算。（能简算的要简算） （1）9999×2222＋3333×3334 （2）－1.64 －0.36＋4.3232 ＋148.68 1.1 ÷198×75.4 （3）()?? ??????? ??83－＋99973 ×56÷111 （4） 100 ×…8×6×4×22982 ＋ ＋62＋42＋ 2. 求未知数。 （1）x ：1.2=3：4 （2）8（x －2）=2（x ＋7） 系列二

1. 直接写出得数。 8×0.125= 34×47+37= 2.5×4+9.1= 38×4 3 = 13×12+56 = 0.7×17+0.9= 3×23×0.5+9= 72×47×1 4= 2. 简便运算。 （1）67 15×2.5-212 ×4715 （2）725+457+23 5 （3）（12 +13 +14 ）×12 （4）711 ×41419 +5519 ÷147 +7 11 （5）19.82-6.57-3.43 （6）4.6×3.7+54×0.37 3. 列式计算。

（1）4 29 乘以413 与111 12 的差，积是多少？ （2）某数的14 加上2.5与它的1 4 相等，求某数。 （3）一个数的3倍比45的3 5 多3，求这个数。 （4）8个25相加的和去除5.3的4倍，结果是多少？ 系列三 1. 直接写得数。 2.6×0.4= 0.25×4= 0.26+1.64= 1.25÷0.5= 125%×8= 3.5×200= 75÷0.15= 15 ÷1 25 = 7 9 ×910 = 30÷130 = 97 ×35%= 25÷15 = 0.1÷10%= a-25 a= (7÷7 7 )×8= 0.98-0.49=

小升初数学找规律练习题目.doc

小升初数学找规律练习题目 班级 姓名 等级 1、观察下面的几个算式： 1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9， 1+2+3+4+3+2+1=16， 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，… 根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=_ ___。 2、， ，，，已知：24 5 52455154415448338333223222222?=+?=+?=+?=+ 3、已知下列等式： ① 13＝12 ； ② 13＋23＝32 ； ③ 13＋23＋33＝62 ； ④ 13＋23＋33＋43＝102 ； …… …… 由此规律知，第⑤个等式是 。 4、观察下列等式： 221 2111222222223332 ??????2 ＋＝（＋）＋＝（＋）3＋＝（＋）…… 则第n 个等式可以表示为 。 5、212212+= ?，323323+=?，43 4434+=?，……，若10b a 10b a +=?（a 、b 都是正整数）， 则a+b 的最小值是 _ 。

6、如图是用火柴棍摆成边长分别是1、2、3根火柴棍时的正方形，当边长为n根火柴棍时，若 摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S ，则S＝（用含n 的代数式表示，n为正整数）．7、如图是五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形。照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是 8、如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴根。 …… 9、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在 图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有个（用含n的代数式表示）。 10、小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子 （）枚（用含有n的代数式表示） 11、右图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形 A B C D 1条2条3条

2020年民办学校初一招生小升初数学考试真题(含答案)

2020年民办学校初一招生数学考试真题 一、 计算题（共4小题，每题5分） （1） 21-61-121-201-301-421-561 （2）【1.25+（141÷32-2.5÷331）】÷25% （3）23-65+127-209+3011-4213 （4）8171×87+7161×76+6151×65+5141×54+4131×41+3121×3 2 二、 应用题（共8小题，每题10分） 1.一件工作，甲单独做要6小时完成，甲乙合做要4小时完成，甲做完2小时后，两人合做，还要几个小时才能完成？ 2.一条宽阔的大河有A.B 两个码头，一般轮船从A 去B 要用4.5小时，回来用 3.5小时，如果水流的速度是每小时2千米，那么轮船的速度是多少？

3.如图，ABCD是长为8，宽为6的长方形E.F分别是AD.BC的中点，P为长方形内任一点，求阴影部分的面积？ E A C P B D 4.某校1.2两班图书馆分别有图书361本和320本，如果要使1班的图书是2班的两倍还多15本，那么需从2班调多少本到1班？ 5.一些完全的相同的正方体摞在一起，从前面看如图（1）所示，从左侧看如图（2）所示，那么这些正方体的个数是几个？摞法有几种？访画出从正面看到的平面示意图。 6.14名乒乓球运动员进行男子单打比赛，先是进行淘汰赛，获胜利的运动员进行循环赛，每两人都要赛一声，决出冠.亚军，整个比赛（包括淘汰赛和循环赛）共要进行多少场？

7.甲.乙.丙三人制作工艺品，花束和花甁（一支花束和一个花瓶配成一套）若甲每小时能制作10支花束或11个花瓶；乙每小时能制作11支花束或12个花瓶；丙每小时制作12支花束或13个花瓶，若他们共同工作23小时，则最多可以制作出多少套？请说出你的方案及理由。 8.为庆祝儿童节，电影院放映《喜洋洋与灰太狼》，今天票价打6折，昨天不打折，统计收入后，发现今天卖票的收入后，发现今天卖票的收入与昨天卖票的收入相同，那么今天的观众比昨天的观众啬了的百分数是多少？（所填答案保留两个小数）。 郑州枫杨外国语2010年小升初数学考试真题参考答案 一、计算题 1. 原式＝1 2 －（ 1 2 — 1 3 ）—（ 1 3 － 1 4 ）—（ 1 4 — 1 5 ）—（ 1 5 — 1 6 ）－（ 1 6 － 1 7 ）－（ 1 7 － 1 8 ） ＝1 2 － 1 2 ＋ 1 3 — 1 3 ＋ 1 4 — 1 4 ＋ 1 5 — 1 5 ＋ 1 6 － 1 6 ＋ 1 7 － 1 7 ＋ 1 8 ＝ 1 8 2. 11 2 3. 6 7 4. 原式＝808 7 × 7 8 ＋70 7 6 × 6 7 ＋60 6 5 × 5 6 ＋50 5 4 × 4 5 ＋40 4 3 × 3 4 ＋30 3 2 × 2 3 ＝80＋1＋70＋1＋60＋1＋50＋1＋40＋1＋30＋1 ＝326 二、应用题 1．（1－1 6 ×2）÷ 1 4 ＝ 8 3

3小升初数学题型培优讲义 第三讲：计算题专项(一)(教师版)

第三讲：计算题专项训练（一） 一、【考点解读】计算题专题训练包括：小数、分数的混合运算、简便运算之提取公式法、简便运算之变形约分、简便运算之裂项计算. 二、【知识讲解】 知识点1——小数、分数的混合运算：我们把题目中的小数都化成了分数，这样在乘除过程中，有时可以先约分，使得做起来比较简便，同时得到的是一个准确的结果。 ……（正文宋体五号不加粗） 知识点2——分数裂项是指将分数算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法. 三、【典例探究】 【例题1】： ?? ???????? ??+÷5.4322-34.3103357 1、633 140 【例题2】：2117211575.0-3221741 ÷+??? ??? 2、68 1463 四、【课堂运用】 【基础】 【练习1】3 1271-109412115.13??????? ÷??? ??÷+÷ 【练习2】0.625?8 5-53161613321÷+ ??? ??+

【巩固】 【练习1】51365175.2-323542 ÷??????÷??? ??+ 【练习2】?? ??????? ????+÷0.15-3.0-311125.631 1 【拔高】 【练习1】()6.57475.275.0-544 ÷???????+ 【练习2】51425315.1-7238.14÷?? ???? ???? ??+ 五、【课后巩固】 【习题1】315645 1215812119.0742-4÷+?÷

【习题2】()[]04.0-12.173151225.0÷÷?? ???????? ??+ 【习题3】已知：2209405.315.331--532=??? ? ?+÷÷??? ???，求出?的值. 【习题4】已知11 841 1 2111 =+++ x ，求x. 【习题5】已知8.132152-1011-2851322547 =÷????????? ????+?÷，求?的值. 【习题6】()631-21015.0750-16.0759.95.7??? ? ??÷??+?

小升初数学专项训练+典型例题分析-找规律篇(附答案)

名校真题 测试卷 找规律篇 时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________ 1 （12年清华附中考题） 如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？ 2 （13年三帆中学考题） 观察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式，找出规律， 然后填写20012＋（ ）＝20022 3 （12年西城实验考题） 一串分数：12123412345612812,,,,,,,,,,,,.....,,,......,33,55557777779991111 其中的第2000个分数是 . 4 （12年东城二中考题） 在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少? 2......7......5......8 (3) 5 (04年人大附中考题) 请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。

(1)请你说明：11这个数必须选出来； (2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个； (3)你能选出55个数满足要求吗？ 【附答案】 1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、 143。 2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……， 所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。 3 【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8… 88=1980<2000，这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。 4 【解】：第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，…… 它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列，公比为3。 它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825。 5 【解】 (1)，11，22，33，…99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111…11…，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。 (2)，比如这个数3737…37…，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必 须选出一个来。 (3)，同37的例子， 01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其一，选出9个 12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其一，选出8个。 23和32必选其一，24和42必选其一，……29和92必选其一，选出7个。 ……… 89和98必选其一，选出1个。