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2010全国初中数学竞赛

2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1. 若,,a b c 均为整数且满足1010

()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ）

A ．1.

B ．2.

C ．3.

D ．4.

2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为（ C ）

A ．0.

B ．1.

C ．2.

D ．3. 3．若b a ,是两个正数，且

,0111=+-+-a

b b a 则（ C ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx

c +++=的根，则2a b c +-的值为（ A ）

A ．－13.

B ．－9.

C ．6.

D ． 0.

5．在△ABC 中，已知?=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且?=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )

A ．15°.

B ．20°.

C ．25°.

D ．30°.

6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ D ）

A ．28062.

B ．28065.

C ．28067.

D ．28068.

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,

x y x y ?+=?+=?则22x y += 13 . 2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，?=∠30CAO ，则c = 19

．

3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA PC ＝5，则PB ＝．

4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.

第二试（A ）

一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足222

13a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.

解由已知等式可得 222()()()26a b b c a c -+-+-= ①

令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.

于是，等式①变为222

()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②

由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =??=?

和1,3.m n =??=? （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533

c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. （2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313

c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.

二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：

PD 是⊙I 的切线. 证明过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交

BC 于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP. 又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC. 又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.

由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.

又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.

又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.

三．（本题满分25分）已知二次函数2

y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .

（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.

（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.

解点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-.

（1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-??-

解得13a <<. 又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.

(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.

C A

由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=.

所以981,9810,m n -=??-=?或982,985,m n -=??-=?或9810,981,m n -=-??-=-?或985,982,m n -=-??-=-?

解得1,2,m n =??=?或10,913,9m n ?=????=??或2,97,9m n ?=-????=??或1,932,3m n ?=????=??

又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.

因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+.

易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212

?-?=. 第二试（B ）

一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足222

13a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.

解不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得 222()()()26a b b c a c -+-+-= ①

令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.

于是，等式①变为222

()26m n m n +++=，即 2213m n mn ++= ②

由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =??=?

c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.

二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.

第二试（C ）

一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.

三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．

解由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．

由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有

p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①

（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．

（2）若1k >，则01>-k .

因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数.

又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．

不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m -+=

，故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m

-++=+．又12x x p +=-，所以14k p mp m

--+=+，即 41)1(=-++m

k p m ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+?=，10k m ->，从而1(1)6k m p m

-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m

-++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．

综上所述，1=k ．

2006年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且仅有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分） 1.在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪. 刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( ) (A)36(B)37(C)55 (D)90 2.已知，，且，则a的值等于( ) (A)－5(B)5(C)－9(D)9 3.Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴. 若斜边上的高为h，则( ) (A)h＜1 (B)h＝1 (C)1＜h＜2 (D)h＞2 4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形，则至少要剪的刀数是( ) (A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007 5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q，若QP＝QO，则的值为( ) (A)(B) (C)(D) 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6.已知a，b，c为整数，且a＋b＝2006，c－a＝2005. 若a＜b，则a＋b＋c的最大值为___________. 7.如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于________.

2003年全国初中数学竞赛试题一、选择题 1、若4x-3y-6z=0.x+2y-7z=0(xyz ≠0)，则代数式2222 22103225z y x z y x ---+的值等于( )．（A ）-21 （B ）-219 （C ）-15 （D ）-13 2．在本埠投寄平信，每封质量不超过20g 时付邮费0．80元，超过20g 而不超过40g 时付邮费l ．60元，依次类推，每增加20g 需增加邮费0．80元(信的质量在100g 以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5g ，那么他应付邮费( )． (A)2.4元 (B)2.8元 (C)3元 (D)3.2元 3.如图所示， ( )． (A)3600 (B)4500 (C)5400 (D)720 4.四条线段的长分别为9，5，x ，1(其中x 为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段(如图)，则x 可取值的个数为( )． (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)6个 5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能最后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )． (A)1种 (B)2种 (C)4种 (D)O 种二、填空题 6．已知那么 . 7．若实数x ，y ，z 满足则xyz 的值为 . 8．观察下列图形：根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数应为。 9．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成450 ，则∠A ＝600 ，CD ＝4m,BC=(4 )m 电线杆AB 的长为 m. 10．已知二次函数y=ax 2 +bx+c(其中a 是正整数)的图像经过点A(一1，4)与点B(2，1)，并且与x 轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为．三，解答题. 11．如图所示，已知AB 是⊙0的直径，BC 是⊙0的切线，0C 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接AC ，与DE 交于点P ．问EP 与PD 是否相等?证明你的结论． 12．某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位：小时)如图所示．若汽车行驶的平均速度为80千米／小时，而汽车每行驶l 千米需要的平均费用为1．2元．试指出此人从A 城出发到8城的最短路线(要有推理过程)，并求出所需费用最少为多少元? =∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠G F E D C B A ,31+=x =---++2 1 4121,2 x x x ,3 71,11,41 =+=+=+x x z y y x 226-

１全国初中数学竞赛试题及答案考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）（A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则ab c ca b bc a 2 22++的值为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=，所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（）（A ）内心（B ）外心（C ）重心（D ）垂心解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ，即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ，所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上，也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（）（A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。

2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 1.已知7 21 ,721-=+= b a ，则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、，,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者 5432a a a a x +++=时，5)(=x f ，当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为 ___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________. 7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ?的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE 二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9.已知?=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CA BC AB 111++的最大值.

第六届“学用杯” 全国数学知识应用竞赛七年级决赛试题一、操作实践（本题20分）现今，人们外出的机会越来越多，当随身携带的物品比较贵重时，通常会选择带密码设制功能的保险箱来放物品．某种手提保险箱带有可设制6位密码的密码锁，每一个旋钮上显示的数字依次为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的任意一个．现规定：只要一个旋钮上转出一个新数学就为一步，逆转或顺转都可以，已知该保险箱设定的密码为631208，现在显示的号码为080127，则要打开这个保险箱，至少需要旋转多少步？二、观察判断（本题20分）如图1，这是一个中国象棋盘，图中小方格都是相同的正方形（“界河”的宽等于小正方形的边长），假设黑方只有一个“象”，它只能在1，2，3 ，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置，问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？三、归纳探究（本题20分）在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，如此连续作几次，便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案（如图2（3））．下列问题．（1）作一个正方形，设边长为（如图2（1））．（2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为的小正方形，得到图2（2）；（3）重复上述的作法，图2（3）经过第______次分形后得到图2（3）的图形；图1 图2 （1）（2）（3）

（4）观察探究：分形过程中，图形的周长有什么变化？面积有什么变化？四、方案决策（本题20分）某市百货商场举行了“梦想创业大比拼”活动，对梦想创业选手进行创业综合素质比拼．比赛分闭答题和实体店实践两部分进行，其中的一道闭答题目是这样的：图3是该商场去年下半年毛衣和衬衫的销售统计图，假如你是其中的一名创业选手，请根据这幅图，并结合实际生活分析：实线表示什么的销售情况？虚线表示什么的销售情况？根据去年下半年的销售情况，给本商场经理提供一些今年毛衣和衬衫的进货建议．图3 五、材料作文（本题30分） “鸡兔同笼”类问题在我国民间流传很广，其中有一个这样的问题：“鸡兔同笼三十九，一百条腿地上走，有多少只鸡？多少只兔？”这道题的解法有： 1．口算加心算：如果每只兔子提起前面两条腿，那么每只鸡和兔子都只有两条腿站在地上，只鸡和兔在这时应该是条腿站在地上，比先前的条腿少了条，这些腿是兔子们提起来的．由于每只兔子提起来两条腿，现在共提起来条腿，所以知道兔子一定是只，那么鸡一定是只． 2．列一元一次方程求解：设鸡只，则共有鸡腿条，则有兔子腿条，则有兔子只，依题意得．解得．即有鸡只，兔子只．当然，还可以通过列二元一次方程组求解，今后将会学到．通过阅读材料，你能得到什么启示？请结合方程学习写一篇500字左右的数学小短文（题目自拟）．六、数学作文（本题40分） 1．“0”的畅想曲 2．浅析字母表示数 3．学习立体图形改变认识 4．我经历的合作学习（侧重数学学科） 5．“学用杯”参赛感言 6．英国哲学家、数学家罗素认为：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，是一种冷而严肃的美．这种美不是投合我们天性脆弱的方面，这种美没有绘画或者音乐那样华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到只有伟大的艺术才能谱写的那种完美的境地．”请你以“数学中有美，美中有数学”为题写一篇作文．

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. .

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题： 1．已知x ，y 为整数，且满足(1x ＋1y ) (1x 2＋1y 2)＝－23(1x 4－1y 4)，则x ＋y 的可能的值有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．已知非负实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则t ＝2xy ＋yz ＋2xz 的最大值为（） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225 3．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，BE ⊥AC 于E ，交AD 于P ，已知BP ＝3，PE ＝1，则AE ＝（） A ．62 B ．2 C ．3 D ．6 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（） A ．12 B ．25 C ．23 D ．34 5．设[t ]表示不超过实数t 的最大整数，令{t }＝t －[t ].已知实数x 满足x 3＋1x 3＝18，则 {x }＋{1x }＝（） A ．12 B ．3－5 C ．12 (3－5) D ．1 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝1，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, ∠ADE ＝90° ,则BE 的长为（） A ．4－23 B ．2－3 C ．12 (3－1) D ．3－1 二、填空题： 1．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1， 1 a ＋b －c ＋ 1 a ＋c －b ＋ 1 b ＋c －a ＝1，则abc ＝__ 2．使得不等式917＜n n ＋k ＜815 对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为________． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB ＝BC ，∠BPC ＝108°，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则∠P AC ＝________．

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ；（B ）31；（C ）2；（D ）3 5 ．答（）２．如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10；（B ）12；（C ） 16；（D ）18．答（）３．方程012=--x x 的解是（A ） 251±；（B ）25 1±-；（C ） 251±或251±-；（D ）2 5 1±-±．答（）４．已知：)19911991(2 11 1 n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ．答（）５．若M n 1210099321=?????Λ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．

答（）６．若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（）７．如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ， 32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（）８．在锐角ΔABC 中， 1= AC ，c AB =，ο60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ；（Ｂ）0< c ≤2 1 ；答（）（C ）c > 2；（D ）c = 2．答（）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a c b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC ο135=，∠BCD ο120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ．第二试 1 1=S 3S =1 32=S

全国初中数学竞赛试题及参考答案一．选择题（5×7'=35'） 1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )． A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ． 2.已知关于x 的不等式组??????? <-+->-+x t x x x 2 353 52恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.-<<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2 116.-≤≤-t D 【分析】20232 35352<<-????????<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ．注意到15=x 时，只有4个整数解．所以 2116152314-≤<-?<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程x x x a x x x x 22222--=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【分析】422222222+-=?--=-+-x x a x x x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212===-x x x x （舍）； ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212=-==--x x x x （舍）；再考虑等根： ⅲ）对04222=-+-a x x ，270)4(84= →=--=?a a ，当21,272,1==x a . 故27, 8,4=a ，2 1,1,1-=x 共3个.本题选C ．

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ；（B ）31；（C ）2；（D ）35 ．答（）．如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10；（B ）12；（C ） 16；（D ）18．答（）．方程0 12=--x x 的解是（A ）251±；（B ）25 1±-；（C ）251±或251±-；（D ）251±-± ．答（）．已知：)19911991(21 1 1n n x --=（n 是自然数）．那么 n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-；（Ｂ）1 1991--；（Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）1 1991)1(--n ．答（）．若M n 1210099321=????? ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（）．若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（）．如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和 1 3=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（） 1 1=S

2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算=（）（A 1 （B ）1 （C （D ）2 【答案】（B ）【解析】原式=1)3)1-=-=，故选（B ）. 2.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】（A ）【解析】分三种情况进行讨论：（1）若21m -=，即1m =时，满足已知等式；（2）若21m -=-，即3m =时，()2242(1)1m m m ---=-=满足已知等式；（3）若21m -≠±，即1m ≠且3m ≠时，由已知，得22020 m m m -≠??--=?解得，1m =- 故满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和13(1=3++-），故选（A ）. 3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠= ，ABC ∠的平分线交圆O 于点D ，若CD =，则AB =（）（A ）2 （B （C ）（D ）3 【答案】（A ）【解析】连接OC ,过点O 作ON CD ⊥于点N ，则 CN DN ==,OC OA =,从而15OCA CAB ∠=∠= ,由AB 是圆O 的直径，得90ACB ∠= ,因CD 平分ACB ∠,故45ACD ∠= ,30OCN ACD OCA ∠=∠-∠= , 在Rt ONC ?中，∵cos CN OCN OC ∠= =,1OC =∴,∴22AB OC ==,故选（A ）. 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】（B ）

初三数学竞赛试题 4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m?a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元解：选C。设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d＝2，故b=4，c=3，于是x＝a+b+c+d=9。解：出发1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为各艇追上④号艇的时间为对＞＞＞有，即①号艇追上④号艇用的时间最小，①号是冠军。解：设开始抽水时满池水的量为，泉水每小时涌出的水量为，水泵每小时抽水量为，2小时抽干满池水需n台水泵，则由①②得，代入③得： ∴，故n的最小整数值为23。答：要在2小时内抽干满池水，至少需要水泵23台解：设第一层有客房间，则第二层有间，由题可得由①得：，即由②得：，即 ∴原不等式组的解集为 ∴整数的值为。

答：一层有客房10间。解：设劳动竞赛前每人一天做个零件由题意解得 ∵是整数∴＝16 （16＋37）÷16≈3.3 故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。初中数学竞赛专项训练（2）（方程应用）一、选择题：答：D。解：设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，根据题意知，从出发地点到A的路程为千米，到B的路程为千米，从而有方程：，化简得，解得不合题意舍去）。应选D。答：C。解：第k档次产品比最低档次产品提高了（k－1）个档次，所以每天利润为所以，生产第9档次产品获利润最大，每天获利864元。答：C。解：若这商品原来进价为每件a元，提价后的利润率为，则解这个方程组，得，即提价后的利润率为16%。答：B。

2007年全国初中数学竞赛试题班级座号姓名成绩一、选择题（共5题，每小题6分，共30分） 1、方程组12 6 x y x y ?+=??+=??的实数解的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个。现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20 3、已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程 2220,0,0ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=恰有一个公共实数根，则 222 a b c bc ca ab ++的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且AB 、AC 分别相交于点D 、E ，若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（） A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 5、方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（） A ．0 B ．1 C ．3 D ．无穷多二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6、如图，点A 、C 都在函数(0)y x x = >的图象上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 . 7、如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，CA= 4，点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB （指半圆和三角形ABC 组成的图形）

初中第七届“东方”杯七年级数学竞赛试题一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 若01-<

A ．2x －5x ＋3 B ．－2x ＋x －1 C ．－2x ＋5x －3 D ．2x －5x －13 6．若2237y y ++的值为8，则2469y y +-的值是( )． A ．2 B ．－17 C ．－7 D ．7 7.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）（A ）2010 （B ）2011 （C ）2012 （D ）2013 8.六个整数的积36=?????f e d c b a ，f e d c b a 、、、、、互不相等，则 f e d c b a +++++ 的和可能是( ). A ．0 B ．10 C ．6 D ．8 9.把100个苹果分给若干个小朋友，每个人至少分得一个，且每个人分得的数目不同，那么最多有( )人. B. 12 C. 13 10.方程12007 2005 (35153) =?++++x x x x 的解是x 等于（） A. 20072006 B.20062007 C. 10032007 D.2007 1003 … … 红黄绿蓝紫红黄绿

2018年全国初中数学竞赛试题及解答一、选择题（只有一个结论正确） 1、设a,b,c 的平均数为M ，a,b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（）（A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（b a 1,b>b 1, c>c 1,，则S 与S 1的大小关系一定是（）。（A ）S ＞S 1；（B ）S ＜S 1；（C ）S ＝S 1；（D ）不确定。二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++＝________。 8、如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝8，BC ＝ ∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_______个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D ；B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。