对椭圆、双曲线 “第三”定义的探究
对椭圆、双曲线 “第三”定义的探究
摘 要：本文对数学教材：选修2-1第二章第41页例3以及第55页的探究结果发现：1、椭圆和双曲线都可以用动点与两定点连线的斜率积为定值来统一定义，若积为负数是椭圆，积为正值是双曲线；2、定值绝对值大小对椭圆或者双曲线的作用；3、定值与离心率的关系式。 关键词： 椭圆 双曲线 定义 斜率积
1． 探究原型
新课标选修2-1第二章第2.2节（第41页）例3（以下称例3）：如图1，设点A ，B 坐标分别为（-5，0），（5，0）.直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是9
4
-
，求点M 的轨迹方程. 新课标选修2-1的第二章第2.3节（第55页）探究（以下称探究）：如图2所示，设点A ，B 的坐标分别为（-5，0），（5，0）.直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是
9
4
，求点M 的轨迹方程，并由点M 的轨迹方程数数轨迹的形状，与2.2节例3比较，你有什么发现？
从例3的结果的方程的形式上来判断点M 的轨迹应该为焦点在x 轴椭圆（除去两定点即两顶
点）。探究的结果是：点M
的轨迹方程为：
)5(19
10025
2
2±≠=-x y x ,从方程的形式上来判断点M 的轨迹应该为焦点在x 轴上的双曲线（除两顶点）。
比较例3与探究发现一个动点与两个定点连线的斜率之积（以下称斜率积）为定值时，曲线是椭圆或双曲线，当斜率积为一个负分数（说明：斜率积为-1时轨迹为圆）时是椭圆，当斜率积为一个正数时为双曲线。那么这两个定点对轨迹是如何影响轨迹方程的？斜率积的绝对值的大小又是如何影响轨迹方程的？带着这样的疑问，我就从一般方程进行了一系列的探索。
2．对椭圆探究
2.1 椭圆中的斜率积为定值的证明
2.1.1 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 长轴两顶点分别为)0,(a A -、)0,(a B .椭圆上不同于
)0,(a A -、)0,(a B 的任一动点),(00y x P 求证：PB PA k k ?为一个定值.
证明：因为点),(00y x P 在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上，
所以有：1220220=+b
y a x ，则2
2
0222
0)(a x a b y -=. 所以：222
2022
0222202
00000)(a b a
x a x a b a x y a x y a x y k k PB
PA -=--=-=-?+=?（定值） 2.1．2 已知椭圆：)0(122
22>>=+b a a
y b x 长轴两顶点为),0(a A -、),0(a B .椭圆上不同于
),0(a A -、),0(a B 的任一动点),(00y x P 求证：PB PA k k ?为一个定值.
证明：因为点),(00y x P 在椭圆)0(122
22>>=+b a a
y b x 上
所以有：1220220=+a
y b x ，则2
2
0222
0)(a y a b x -=. 所以：22
2
2
02222
020*******)
(b a a y a b a y x a y x a y x a y k k PB
PA -=--=-=-?+=?（定值） 好奇于例3和探究中的曲线中的两个定点恰是长轴的顶点，如果把例3中的两个定点改为短轴上的两个顶点，是否也出现定值？探究证明如下：
2.1.3 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 短轴两顶点分别为),0(b A -、),0(b B .椭圆上不同于
),0(b A -、),0(b B 的一动点),(00y x P ，求证：PB PA k k ?为一个定值.
证明：因为点),(00y x P 在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上，
所以有：1220220=+b
y a x ，则22
0222
0)(b y b a x -=.
所以：22
2
2
02222
020*******)
(a b b y b a b y x b y x b y x b y k k PB
PA -=--=-=-?+=?（定值） 从证明结果来看，斜率积也是一个定值，且与长轴上两顶点的斜率积一样。 同理，也可
以证明对椭圆：)0(122
22>>=+b a a
y b x 短轴两顶点为)0,(b A -、)0,(b B .椭圆上不同于
)0,(b A -、)0,(b B 的任一动点),(00y x P ，则PB PA k k ?为定值22
b
a -.
综上可知：不管椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不管两定点是长轴顶点还是短轴两顶点，斜率积都是一个定值，虽表达式不同，但都是负的2y 的分母除以2
x 的分母。可统一表述
为：即对于椭圆12222=+n y m x 上任一点到两顶点（同一轴上的）连线的斜率积为定值：22
m
n -
2.2 如何判断焦点所在的轴
想从已知条件中判断出结果椭圆的焦点应在哪个坐标轴上，对例3做了以下三个变式。 变式一：设点A ，B 的坐标分别为（0，-5），（0，5）.直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是9
4
-
，求点M 的轨迹方程 结果是：
)0(1254
2252
2≠=+x y x ，显然该椭圆的焦点也是在x 轴上。 变式二：设点A ，B 的坐标分别为（-5，0），（5，0）.直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是4
9
-
，求点M 的轨迹方程. 结果是：
)5(14
22525
2
2±≠=+x y x ，显然该椭圆的焦点是在y 轴上。
变式三：设点A ，B 的坐标分别为（0，-5），（0，5）.直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是4
9
-
，求点M 的轨迹方程. 结果是：
)0(1259
1002
2≠=+x y x ，显然该椭圆的焦点也是在y 轴上。 从以上变式看出：椭圆的焦点并不是所给的定点所在的轴，而是由定值的绝对值的大小而定的，当积的绝对值小于1时，椭圆焦点在x 轴上；当积的绝对值大于1时，椭圆焦点在y 轴上。 3．对双曲线的探究
3.1 双曲线中斜率积为定值的证明
3.1.1已知双曲线：122
22=-b
y a x 两顶点分别为)0,(a A -、)0,(a B ，双曲线上不同于)0,(a A -、
)0,(a B 上一动点),(00y x P ，求证：PB PA k k ?为一定值.
证明：因为点),(00y x P 在双曲线12222=-b y a x 上，得：1220220=-b
y a x ，则2
22
022
0)(a a x b y -=. 所以：222
20222
022202
00000)
(a b a
x a a x b a x y a x y a x y k k PB
PA =--=-=-?+=?（定值） 3.1.3 已知双曲线：122
22=-b
y a x 上一动点),(00y x P ，且两定点为),0(b A -、),0(b B .
求证：PB PA k k ?不是定值.
证明：因为点),(00y x P 在双曲线：12222=-b y a x 上，得1220220=-b
y a x ，即2
22
022
0)(b b y a x +=. 所以20
22
00000x b y x b y x b y k k PB
PA -=-?+=?)()(2
202
2
0222
2202220b y b y a b b b y a b y +-?=+-=（非定值）. 3.1.2 已知双曲线：122
22=-b
x a y 上一动点),(00y x P ，两顶点分别为),0(a A -、),0(a B .
求证：PB PA k k ?是一个定值.
证明：因为点),(00y x P 在双曲线12222=-b x a y 上，得：1220220=-b
x a y ， 2
22
022
0)(a a y b x -=. 所以：22
2
2
20222
020*******)(b
a a a y
b a y x a y x a y x a y k k PB
PA =--=-=-?+=?（定值） 结论：双曲线中两定点为实轴两顶点，斜率积公式因焦点不同而不同，但也可统一为：正的2y 的分母除以2
x 的分母。
3．2 斜率积绝对值的大小对双曲线的影响规律
椭圆中斜率积的绝对值小于1时焦点在x 轴上，大于1焦点在y 轴上，而双曲线中定点决定了焦点所在的轴，那么斜率积的绝对值又影响如何？探究如下：
设点A ，B 的坐标分别为（-5，0），（5，0）.直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是
9
4
，求点M 的轨迹方程. 结果：
)5(19
100
252
2±≠=-x y x ，显然该双曲线的焦点在x 轴上，较扁狭。 设点A ，B 的坐标分别为（-5，0），（5，0）.直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是
4
9
，求点M 的轨迹方程. 结果：
)5(14
22525
2
2±≠=-x y x ，显然该双曲线的焦点在x 轴上，较开阔。 设点A ，B 的坐标分别为（0，-5），（0，5）.直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是
9
4
，求点M 的轨迹方程. 结果：
)0(14
225
252
2≠=-x x y ，显然该双曲线的焦点在y 轴上，较开阔。 设点A ，B 的坐标分别为（0，-5），（0，5）.直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是
4
9
，求点M 的轨迹方程.
结果：
)0(19
100
252
2≠=-x x y ，显然该椭圆的焦点是在y 轴上，较扁狭。 可见：当两定点在x 轴上，可知2
x 的分母，当两定点在y 轴上，可知2y 的分母。斜率积的绝对值大小只影响了2
b 大小。进而影响了双曲线的开阔程度，也就是当绝对值等于1时为等轴双曲线（证明略），当焦点在x 轴时，绝对值小于1比较扁狭，大于1比较开阔些；当焦点在y 轴上时，绝对值小于1比较开阔，大于1比较扁狭些。 4 椭圆、双曲线“第三”定义的归纳与内在统一性探究及解释 4.1 椭圆、双曲线的“第三”定义
根据以上椭圆、双曲线有共同的描述，本文大胆归纳出椭圆、双曲线的“第三”定义： 平面坐标系内一动点到两个定点的连线的斜率之积为不等于0和-1的常数的轨迹为椭圆或者是双曲线。当斜率积为负分数时为椭圆、当斜率积为正数时为双曲线。特殊地，当斜率积为1时是等轴双曲线。
4.2 斜率积与离心率的关系探究及其对曲线影响的解释 4.2 斜率积与离心率的关系探究
从方程上推导出斜率积为2y 的分母除以2
x 的分母。要解释其对椭圆所在的轴或对双曲线的开阔与扁狭的影响，则需讨论其本质几何要素的关系，而椭圆与双曲线中最本质的几何要
素为离心率，对于椭圆，221a
b a
c e -==，当焦点在x 轴上时斜率积为：12
22-=-e a b ，因
10< <-e ；当焦点在y 轴上时斜率积为：11222-=-e b a ，且 11 1 2>-e 。这 一结论可以反过来说明：当斜率积的绝对值小于1为焦点在x 轴上的椭圆， ，当斜率积的绝 对值大于1为焦点在y 轴上的椭圆。对于双曲线，22 1a b a c e +==，当焦点在x 轴上时 12 2 2-=e a b ，当焦点在y 轴上时，11222-=e b a 。因此当椭圆或双曲线的焦点在x 轴上斜率积12-=e ，当焦点在y 轴上时，斜率积1 1 2-= e 。 4.3 斜率积对椭圆位置、双曲线形状影响的解释 斜率积绝对值小于1或大于1对椭圆、双曲线影响可从斜率的几何意义上来解释：斜率绝对值越大上下越陡，绝对值越小上下越平，考虑到椭圆与圆也有一定相似之处，斜率积等于-1时为圆（证明略），斜率积为负分数时为椭圆，这个负分数的绝对值小于1时的椭圆为上下短型（圆上下压了），故焦点在x 轴上，大于1时的椭圆为上下长型（圆上下拉了），故焦点在y 轴上；斜率积等于1时为等轴双曲线，焦点在x 轴上且斜率积小于1的双曲线为上下短型（由斜率积112 <-=e 得： 21< ，故较扁狭，斜率积大于1的双曲线为上下长型（由斜率积112 >-=e 得：2> e ，等轴双曲线上下拉了） ，故较开阔；焦点在y 轴上时且斜率积小于1的双曲线为上下短型（由斜率积11 1 2<-=e 得： 2>e ，等轴双曲线左右拉了），故越开阔，斜率积大于1时的双曲线为上下长型，由斜率积11 1 2 >-=e 得：21< 4.3对椭圆位置、双曲线“第三”定义的补充说明 考虑到等轴双曲线x y 1 = （其对称轴与坐标轴不重合，也不平行，相当于是坐标轴旋转?45而得到的）上任一点到两个顶点（1，1）、（-1，-1）的连线斜率积不是定值（篇幅有限， 不再详述）。这是怎么回事呢？原来例3以及探究中所给定点都是坐标轴上关于原点对称的点，而本文中证明也是以标准方程为基础进行证明的，后经进一步探索得出：“第三”定义适用于标准型或者是平移型的椭圆、双曲线，对于旋转型则不适用。 5 椭圆、双曲线“第三”定义的应用 椭圆、双曲线“第三”定义的应用主要体现在以下四个方面：1、已知方程求斜率积 （定值）；2、已知定值，求方程；3、已知离心率求斜率积（定值）；4、已知斜率积求离心率。由于篇幅所限，不再辍述。 参考文献： [1].黄志鲲，关于“椭圆、双曲线的第三定义”一文的讨论.中学数学研究.2002(12) [2].马跃进，康一宇，伴生椭圆、双曲线的有趣性质.中学数学研究.2011(7) [3].王明飞，与椭圆、双曲线的离心率有关的一些结论及其应用举例.数学教学通讯.2006(11) [4].罗文军，有关黄金双曲线和黄金椭圆的几个性质.数学通讯.2011(7) 第三讲 双曲线的第二定义 椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P （，）是椭圆上的任意一点， 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆 ，求证，。证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ，又，所 以， 而 。 ∴，。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为 ， 则、、。 ∵ ， ， ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求 的最大值和最 小值。 解：设 ，则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。 解：由已知 可得 ，所以直线AB 的方程 为 ，代入椭圆方程 得 设 ，则 ，从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为 2019-2020年高二数学第八章圆锥曲线方程： 8.4双曲线的 第二定义优秀教案 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念 3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 4．进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育 教学重点：双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另一种定义的得出过程 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．范围、对称性 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 顶点： 特殊点： 实轴：长为2a, a叫做半实轴长 虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线 过双曲线的两顶点，作Y轴的平行线，经过作X轴的平行线，四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是（），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样 的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 等轴双曲线可以设为：，当时交点在x 轴，当时焦点在y 轴上 5．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程 就一定是： )0(1)()(2 2 22>±=-k kb y ka x 或写成 6．双曲线的草图 具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 7．离心率 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围： 双曲线形状与e 的关系：1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它 人教版高二数学上册§8.2 椭圆第二定义的应用(习题课 班级姓名自我学习评价 :优良还需努力 【学习目标】1. 进一步加深对椭圆第二定义及其性质的认识，会熟练运用椭圆的几何性质和第二定义解决有关问题； 2. 通过对椭圆的第二定义的应用，体会和感悟“方程思想”和“数形结合”，“分类讨论”的数学思想方法。 【学习重点】灵活运用椭圆的第二定义及性质解决有关问题。 【学习过程】 一、学习准备（知识准备） 请独立完成下列填空： 1．椭圆的第一定义为：；其中的两点为椭圆的 ；常数等于椭圆的； 2．椭圆第二定义：若平面内的动点M（x，y）到定点F（c，0）的距离和它到定直线 的距离的比是常数，则点M 的轨迹为；定直线叫做，准线与长轴所在直线____，椭圆的准线有条. 常数，（）是的离心率。e1时，椭圆趋于；e0时，椭圆趋向于。 3．由椭圆第二定义我们得到了焦半径公式。设为椭圆上任意一点，对于标准方程 的焦半径；；对于标准方程的焦半径； . 椭圆第二定义及其性质在解题中有何价值和作用？你知道吗？通过本节课的学习你就会知道了！ ●基础练习：试一试，你能根据已知很快独立完成下列问题吗？有困难的题可与小组同学讨论。 1、椭圆的准线方程是（）A.； B.； C.； D. 2 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为，离心率为，则短轴长为（）A B C. D. 3 设点P为椭圆上一点，P到左准线的距离为10，则P到右准线的距离为（） A . 6 ； B .8 ； C.10 ； D.15 4 已知点A（2，y）是椭圆上的点，F是其右焦点，则∣AF∣=； 5．椭圆与椭圆〉0）的形状怎样？它们的离心率有何关系？你 能否快速求出与椭圆有相同的离心率且经过点（，）的椭圆的方程？其方程为 你是用什么方法求解的？。 二、典型例析 【探究一】利用椭圆第二定义解题 一、椭圆第一个定义的应用 1.1 椭圆的第一个定义平面内有两个定点F1、F2，和一个定长2a。若动点P到两个定点距离之和等于定长2a，且两个定点距离|F1F2|<2a.则动点轨迹是椭圆。两个定点F1、F2称为椭圆的焦点。 由此定义得出非常重要的等式，其中P为椭圆上一个点。此等式既表明作为椭圆这个点的轨迹的来源，也说明椭圆上每一个具有的共同性质。即椭圆上每一个点到两个焦点距离之和等于定长2a .在有关椭圆的问题中，若题设中含有有关椭圆上一点到两个焦点距离的信息，首先考虑的就是能否用上这个关系式。 1.2 应用举例 例1.已知点 1(3,0) F-,2(3,0) F,有 126 PF PF +=,则P点的轨迹是 . 例2.求证以椭圆 (a>b>0) 上任意一点P的 焦半径为直径画圆，这个圆必与圆相切. 解评：此题若用一般方法解或用椭圆参数方程解答，计算量都很大，解题过程冗长，属于中档题。我们若抓住PF2为一个圆直径，PF1为另一个圆半径的2倍，用公式，很容易得出正确解答。 例3. F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点， 求的面积.24 解评：题设中有椭圆上一点到两个焦点间距离的信息，即可试探是否能用 解决 例4.P 是椭圆2 2 145 20 x y + =上位于第一象限内的点, F 1、F 2是椭圆的左、右焦点, 若 则12PF PF -的值为( ) A. D. 3 例5. 在圆C:22(1)25x y ++=内有一点A (1,0),Q 为圆C 上一点,AQ 的垂直平分线线段CQ 的交点为M,求M 点的轨迹方程. 练:一动圆与圆⊙o 1：x 2+y 2+6x+5=0外切,同时与⊙o 2 ： x 2+y 2_ 6x _ 91=0 内切， 求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。 椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为(０,2）求m 的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ,根据关系2 2 2 c b a +=可求出m 的值． 解:方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2 262=-m ，5=m 适合.故5=m . 例２ 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ,b a 3=,求椭圆的标准方程． 分析:因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数a 和b (或2 a 和2 b )的值，即可求得椭圆的标准方程． 解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x ． 由椭圆过点()03， P ,知10922=+b a .又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ,故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时,设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y ． 由椭圆过点()03， P ,知10922=+b a ．又 b a 3=，联立解得812=a ,92 =b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 例3 ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹. 分析：(１)由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解． (2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系,利用代入法求A 的轨迹方程. 解： (1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ， 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x . (2）设()y x A ，，()y x G ''，,则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x . ① 由题意有??? ????='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． 圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用 北京一零一中学数学组 何效员 圆锥曲线的第二定义：平面上到定点与到定直线的距离的比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，是圆锥曲线在极坐标系下 具有统一形式的基本保证。利用圆锥曲线的第二定义，在某些情形下，可以更方便的求解一些题目。 但当我们利用第二定义时，有时候会忽略一个条件，即平面上的这个定点不能在定直线上，否则得到的曲线不是圆锥曲线。如：考虑坐标平面上，到定点(1,1)与到定直线1x =的距离之比为常数e 的点的轨迹讨论如下： ① 当1e =时，点的轨迹方程为1,(1)y x =≠， 直线去掉一点； ② 当1e >时，点的轨迹方程为211(1),y e x -=±-- (1)x ≠，两条直线去掉一点； ③ 当1e <时，点的轨迹不存在。 下面我们就一些具体的题目来体会第二定义的妙用。 例1 已知椭圆22 143 x y +=内一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上有一点M 使 ||2||MP MF +的值最小，求点M 的坐标。 分析：若按常规思路，设点(,)M x y ，右焦点(1,0)F ， 则2222 ||2||(1)(1)2(1)MP MF x y x y +=-+++-+， 求其最小值无疑是困难，观察2||MF ，设M 点到右准线的距离d ， ||1 2 MF c e d a ===，2||MF d ∴=，这样 ||2||MP MF +就转化为在椭圆上寻找一点到(1,1)P -的距离与到直线2 4a x c == M P F M x = 4 O y x 的距离和最小，当且仅当MP ⊥直线4x =时，点M 在点P 和直线4x =之间时取得，此时M 的坐标为26 ( ,1)3 -. 例2 已知椭圆方程为22 221(0)y x a b a b +=>>，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得 它们的交点为顶点的四边形的面积最大，并求出相应的四边形的顶点坐标。 分析：本体若通过椭圆与双曲线方程联立求解交点坐标， 继而讨论四边形面积的表达式，求出使面积最大时 的双曲线方程，计算会十分麻烦，考虑到椭圆和双 曲线有共同的焦点，不妨利用第二定义求解。 设所求双曲线方程为 22 2 21(,0)y x m n m n -=>，其中 22222c a b m n =-=+，设两曲线在第一象限内的交点111(,)P x y ，12,l l 分别为椭圆，双曲线的上准线，过1P 作11PQ l ⊥于Q ，1 2PR l ⊥于R ， 22 1211111||||||||||c a c m PF e PQ e PR y y a c m c === -=-， 2211()()a m m y a y c c ∴-=-，解得 1am y c =，代入椭圆方程22221y x a b +=，得 1bn x c = ，利用双曲线与椭圆的对称性知 22 1122 4422abmn m n S x y ab ab c c +==≤?=，等号当且仅当22m n c ==时取得，故所求双曲线方程为22 2 2 2 a b y x --=，相应的四个顶点坐标为22(,)b a ±±. 例3 已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c ，过点 高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2） 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越 巧用椭圆的第二定义解题 《普通数学课程标准》在圆锥曲线这一章较过去增加一种要求：即学生要根据方程的形式和图形特征等进行类比猜想，培养直觉思维与合情推理能力。增加这一要求是很科学的，因为很多圆锥曲线问题用代数法运算非常繁杂，而一旦抓住图形特征后，运用数形结合，则可以简化运算，大幅度提高解题效率，下面以椭圆为例说明。 例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为F （－2，0），左准线l 的方程为x=－22 3 ，PQ 是过F 且与x 轴不垂直的弦，PQ 的中点M 到左准线l 1：求椭圆的方程2：求证： d PQ 为定值 3：在l 上是否存在点R ，使?PQR 为正三角形 若存在，求出点R 的坐标，若不存在，说明理由 1：解析：易得椭圆的方程11 32 2=+y x 2：证明：如图，作PP / ⊥l 与P ，QQ / ⊥l 与Q ，则由椭圆的第二定义，易得 e PP PF =/ ，e QQ QF =/；于是PQ=PF+QF=ePP /＋eQQ / =2ed=362=定值 3：解析：此题若从代数角度入手，设直线的方程，联立的方程再用韦达定理，则运算繁杂，很多同学会丧失信心；若能抓住图形特征，运用椭圆的第二定义和正三角形的性质，则可化难为易。假设存在点R ，使?PQR 分线RM 也确定，所以RM 的斜率确定，可以考虑先求RM 即求倾斜角π－/ /MM Q ∠的大小， 而COS / / MM Q ∠=M Q MM //，由第2问的结论可得： COS / / MM Q ∠=M Q MM // = PQ PQ e 2 321= 2 231= e ，//MM Q ∠ 为45○ ，根据对称性，RM 的斜率应为1±，进而可得PQ 的方程及中点M 的坐标，再由点斜式求得RM 的方程，再联立左准线l 的方程x=－ 223 椭圆的解题方法和技巧 安徽省宿州市褚兰中学海平 一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。 例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。求顶点的轨迹。 分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。 解析：∵ 、、成等差数列，∴ ，即，又，∴ 。 根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。 又∵ ，∴ ，即， ∴ ，∴ 。 故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。又当时， 点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴ 。 ∴点的轨迹方程为。评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。 例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2 ，试判断的形状。 分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。解析：由，解得。 又，故满足。 ∴为直角三角形。 评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。 二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。 例3 、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1（ 6,1）, P2 （ 3, 2）,求椭圆的方程. 【解析】设椭圆方程为mx 2ny21（m>0,n>0 且m≠n）. ∵椭圆经过P1，P2点，∴ P1，P2点坐标适合椭圆方程，则① 6m+n=1 ，② 3m+2n=1 ，①②两式联立，解 得m= 1, n= 1. 93 22 ∴所求椭圆方程为x y 1 93 评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1 （m >0,n>0,m≠n），由题目所给条件求出m，n 即可. 2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结 知识点梳理： 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 准线 c a x 2 ±= c a y 2 ±= 考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 总结：考虑小球的运行路径要全面 练习 1.短轴长为5，离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=12 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ） A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴ PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x ， O x y D P A B C Q 巧用圆锥曲线定义解题(教学设计) 南浔中学沈爱华 一、教材分析：圆锥曲线作为高中数学的一个重要内容，是历年高考的必考点，同时它又是高中数学各骨干知识的交汇点，与函数、平面向量、方程、不等式、三角函数等均有紧密联系。圆锥曲线的定义是根本，是相应标准方程和几何性质的“源”，不能正确的理解定义，对圆锥曲线方程和几何性质就不能深入。而且圆锥曲线的定义反映着它特有的几何特征，这些定义在解题中起着不可忽视的作用。对圆锥曲线的定义的教学我们往往注重它的理解而忽略它的运用，恰当地运用定义解题，有助于使问题得到更清晰、简洁的解决。同时理解圆锥曲线的定义，是学生掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和几何性质的基础；熟练运用定义解题，可以培养学生运用方程研究曲线几何性质的能力。 二、学生情况分析：作为普通中学的高三学生，对圆锥曲线的定义已有一定的理解，但在运用圆锥曲线定义解题的方法、题型没有掌握好，圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象。恰当地利用定义解题, 许多时候能以简驭繁。因此,在高三数学复习课的教学过程中，我认为有必要再一次回到定义,熟悉“巧用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题策略。 三、设计思想：由于这部分知识较为抽象,难以理解.如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,我首先复习圆锥曲线的定义，使学生进一步理解定义；然后有意识地引导学生运用定义解题来分类研究学习，利用一般解题方法处理习题, 针对学生练习中产生的问题,进行点评,强调“双主作用”的发挥.引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,以使学生提高运用知识解决问题的能力。 四、教学目标：1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、渐近线等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性,提高学生分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理方法. 3．借助导学案辅助教学,激发学生学习数学的兴趣。在课堂教学氛围中,努力培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现、创新的精神. 五、教学重点：圆锥曲线定义的理解，运用该定义解题的方法与题型的掌握。 六、教学方法：讲授法、讲练结合 七、教学过程： （一）、复习圆锥曲线的定义 椭圆定义：平面内与两个定点距离的和等于定值的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点， 第10讲 椭圆及双曲线的第二定义 一． 椭圆 1. 第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l （F 不在l 上）的距离之比等于常数e （0 一些好用的高中数学椭圆解题方法 一、设点或直线 做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。其中点可以设为 , 等，如果是在椭圆 上的点，还可以设为 。一般来说，如果题目中只涉及到唯一一个椭圆上的的动点，这个点可以设为 。还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线，如果过定点 并且不与y轴平行，可以设点斜式 ,如果不与x轴平行，可以设 ，如果只是过定点，可以设参数方程 ，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时可以设直线的参数方程。二、转化条件 有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极降低运算量。比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。 有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。 三、代数运算 转化完条件就剩算数了。很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式 ，设参数方程时，弦长公式可以简化为 解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为 和 ，AB与x轴交于D，则 (d是点O到AB的距离；第三个公式是我自己推的，教材上没有，解答题慎用)。 解析几何中很多题都有动点或动直线。如果题目只涉及到一个动点时，可以考虑用参数设点。若是只涉及一个过定点的动直线，题目中又涉及到求长度面积之类的东西，这时设直线的参数方程会简单一些。 在解析几何中还有一种方法叫点差法，设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式。 四、能力要求 做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。在做题过程中可能遇到会一大长串的式子要化简，这时候，只要你方向没错，坚持算下去肯定能看到最终的结果。另外运算速度和准确率也是很重要的，在真正考试的时候肯定不像平时做题的时候能容你慢慢做题，因此需要有一定的做题速度，在做题的时候运算准确也是必须要保证的，因为一旦算错数，就很可能功亏一篑。 五、理论拓展 这一部分主要说一些对做题有帮助的公式、定理、推论等容 关于直线： 1、将直线的两点式整理后，可以得到这个方程: 。据此可以直接写出过 和 两点的直线，至于这两点连线是否与x轴垂直，是否与y轴垂直都没有关系。对于一些坐标很复杂的点，可以直接代入这个方程便捷的得到过两点的直线。 2、直线一般式Ax+By+C=0表示的这条直线和向量（A,B）垂直；过定点 的直线的一般式可以写为 。根据这两条推论可以快速地写出两点的垂直平分线的方程。 关于椭圆： 3、椭圆 的焦点弦弦长为 （其中α是直线的倾斜角，k是l的斜率）。右焦点的焦点弦中点坐标为 ，将横纵坐标都取相反数可得左焦点弦的中点坐标。 4、根据椭圆的第二定义，椭圆上的点到焦点的距离与到同一侧的准线的距离之商等于椭圆的离心率。椭圆 的准线是 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗 双曲线的第二定义： 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数()0c e c a a = >>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。 1、离心率： （1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e ==22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ； （3）双曲线形状与e 的关系： 1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ； 因此e 的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 2 2:=； 位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离c b p 2 =（也叫焦参数）； 对于12222=-b x a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2 1:-=；相 对于上焦点),0(2c F 对应着上准线c a y l 2 2:=。 3 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗双曲线上任意一点M 与双曲线焦点12F F 、的连线段，叫做双曲线的焦半径。 设双曲线)0,0( 122 22>>=-b a b y a x ，21,F F 是其左右焦点， e d MF =11 ， ∴ e c a x MF =+ 2 01，∴10MF a ex =+；同理 20MF a ex =-； 即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：1020 MF a ex MF a ex ?=+?? =-?? 同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：1020 MF a ey MF a ey ?=+??=-??（ 其中12F F 、分 别是双曲线的下、上焦点） 点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果 要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加右减，下加上减（带绝对值号）。 4、焦点弦： 过焦点的直线截双曲线所成的弦。 焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到，设两交点()()1122,,A x y B x y 、， （1）当双曲线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两交点的横坐标有关， ①过左焦点与左支交于两点时：()122c AB a x x a =-- +； ②过右焦点与右支交于两点时：()122c AB a x x a =-++。 （2）当双曲线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两交点的纵坐标有关， ①过下焦点与下支交于两点时：()122c AB a y y a =--+； ②过上焦点与上支交于两点时：()122c AB a y y a =-++。 5、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦。直接应用焦点弦公式，得到a b d 2 2=。 例谈椭圆定义在解题中的应用 定义是揭示事物的本质属性，对于某些数学问题，若能灵活运用定义解题，往往事半功倍，本文举例说明椭圆定义在解题中的应用。 一、解方程 例1 x x x x 2 2 22224-++++= 分析：常规方法是经过两次平方去根号求解，但运算繁杂，难免不出错。如果联想到椭圆的第一定义，将方程配方后令12=y ，得()()x y x y -++ ++=114222 2 ， 则点M （x ，y ）的轨迹是以F 1（-1，0），F 2（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，从而原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。 解：由原方程可得 y x y x y 222 2 2 1114 =-++ ++=?? ???()() ?+==??? ? ?x y y 22 243 11 解得x =± 263 二、判断方程表示的曲线 例2 已知x y R 、∈，且满足x x y x y 224412 2-++=+-||，试判断点M 的轨迹是怎样 的曲线。 分析：若将原方程平方，化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线，注意式子结构的特点，左边可看成点M 到点（2，0）的距离，从而可联想右边可化为点M 到直线x y +-=20的距离，即有 () || x y x y -++-= 222 22 2 2 ，由此联想到椭圆的第二定义，就很简单地求出点M 的 轨迹是椭圆。 三、求参数的取值范围 例3 （2004年高考·全国卷III ）设椭圆 x m y 2 2 1 1++=的两个焦点是F 1（-c ，0）、F 2（c ， 0）（c>0），且椭圆上存在点P ，使得直线PF 1与直线PF 2垂直，求m 的取值范围。 解：由题意知m>0，a m b = +=11，，c m = ，且 ||||||||||PF PF F F c PF PF a 12221222 1242+==+=?? ???① ② ②2－①得： ||||PF PF a c b 12222222?=-= 用椭圆的定义解题 舒云水 椭圆的定义是椭圆最本质属性的反映，用椭圆定义解决一些数学题，十分简捷明快﹒ 1.求离心率 例 1 过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ?∠=，则椭圆的离心率为 A B .3 C .12 D .13 解析：根据椭圆定义知122PF PF a +=，在12Rt PF F 中，由1260F PF ?∠=，得212PF PF =﹒从而132PF a =，123PF a =，243PF a =﹒利用勾股定理得2221122PF F F PF +=，即()2 2224233a c a ????+= ? ?????﹒由此得 e 3 c a ==﹒选B ﹒ 点评 本题运用椭圆定义和直角 12PF F 的边角关系，转化为a 和 c 的关系，从而得到要求的离心率﹒ 2.求轨迹方程 例 2 动圆与定圆224320x y y ++-=内切且过圆内的一个定点(02)A ，，求动圆圆心P 的轨迹方程﹒ 解析：由题设条件知：动圆与定圆内切，又由于动圆过定点A ，于是必有动圆圆心P 到定点A 与到定圆圆心的距离之和等于定圆半径，根据椭圆定义知动圆圆心P 的轨迹为椭圆﹒ 由224320x y y ++-=得：22(2)36x y ++=，圆心B 为(0,2)-，半径为6﹒设动点(,)P x y ，动圆半径为PA ，由于动圆与定圆内切，所以PA + PB =6，因此动圆圆心P 到两定点(02)A ， ，B (0,2)-的距离之和为6﹒根据椭圆定义知：点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆且26a =，24c =﹒ ∴3a =，2c =，∴25b =﹒ ∴动圆圆心的轨迹方程为22159 x y +=﹒ 点评：根据圆的有关知识发现6PA PB +=是解决本题的关键，再根据椭圆的定义易知点P 的轨迹为椭圆﹒ 3.求最值 例 3 已知(4,0)A ，(2,2)B 是椭圆221259 x y +=内的点，M 是椭圆上的动点，求MA MB +的最大值与最小值﹒ 解析：由于(4,0)A 是椭圆的一个焦点，设(4,0)A '-是椭圆的另一个焦点，根据椭圆定义得： 10MA MA '+=﹒ ∴MA MB +=10MA MB '-+10MB MA '=+-﹒ 分别延长线段A B '、BA '交椭圆于N 、P 两点，根据三角形两边之差小于第三边的知识知： 当M 在点N 处时，MB MA '-取最小值A B '-=- 当 M 在点P 处时，MB MA '-取最大值A B '= 即：MB MA '-≤-≤﹒ 1. 椭圆第一定义的应用 例1椭圆的一个顶点为 A 2,0，其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程. 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置. 解：（1 ）当A 2,0为长轴端点时，a 2 , b 1 , 椭圆的标准方程为: （2）当A 2,0为短轴端点时, 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖 的，因而要考虑两种情况. 2 2 例2已知椭圆— 匚 1的离心率e k 8 9 分析：分两种情况进行讨论. 由e 1，得」1，即 2 9 4 k 5 0, 得3 k 5，故k 的取值范围是3 k 5. 3 k 0, 椭圆经典例题分类汇总 2 2 例3 已知方程 x y 1表示椭圆，求k 的取值范围 k 5 3 k k 5 0, 解: 由3 k 0, 得3 k 5，且 k 4. k 5 3 k, ?满足条件的k 的取值范围是3 椭圆的标准方程为: 2 2 x y 4 16 ，求k 的值. 解：当椭圆的焦点在x 轴上时, a 2 b 2 9，得 c 2 k 1 .由 e 当椭圆的焦点在y 轴上时, b 2 得c 2 ???满足条件的k 4或k 4 说明：本题易出现漏解?排除错误的办法是： 可能在x 轴上，也可能在 y 轴上.故必须进行讨论. 因为 k 8与9的大小关系不定, 所以椭圆的焦点 k 5,且 k 4. 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a b 0这个条件，当a b 时，并不表示椭圆. 2 2 例4 已知 x sin y cos 1 (0 ）表示焦点在y 轴上的椭圆，求 的取值范围. 说明：本题易出现如下错解：由 圆锥曲线 圆锥曲线分三大部分：椭圆，双曲线和抛物线 （一）椭圆 椭圆分三大部分：基本量的应用、利用椭圆的基本量解决焦点三角形问题、直线和椭圆的相交问题 一、椭圆的知识梳理 二、椭圆的标准方程和统一方程 三、椭圆的离心率 e= c/a ( 0第三讲---双曲线的第二定义
知识梳理
（一）双曲线的第二定义：平面内一动点 的比为常数 e ? 到一定点 F (c, 0) 的距离与到一定直线 L : x ?
a2 的距离 c
c (e>1) a
定点 F (c, 0) 是双曲线的焦点，定直线 L 是双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率。 （二）焦点三角形的面积公式。
S?
1 ? r1r2 sin ? ? b 2 tan 2 2
3.双曲线的方程，图形，渐进线方程，准线方程和焦半径公式： 标准方程 图像 渐进线方程
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0.b ? 0) a 2 b2
b x a a2 x?? c M 在右支上 r左 =|MF1 |=ex0 ? a y??
y 2 x2 ? ? 1(a ? 0.b ? 0) a 2 b2
a x b a2 y?? c y??
准线方程
半径公式
r右 =|MF2 |=ex 0 ? a M 在左支上 r左 =|MF|=-ex 1 0 ?a r右 =|MF2 |=-ex 0 ? a
典例分析 题型一：与双曲线准线有关的问题 例 1.(1)若双曲线
x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离等于 13 ，则点 P 到右准线的距离为______ 13 12
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2，则该双曲线的两条准线间的距离为________ A.若双曲线 m 3
练习：已知双曲线的渐进线方程为 3x ? 2 y ? 0 ，两条准线间的距离为 解：双曲线渐进线方程为 y ? ?
16 13 ，求双曲线的标准方程。 13
3 x 2
1椭圆的常见题型及解法(一).
2020-2021年高二数学 第八章 圆锥曲线方程： 8.4双曲线的第二定义优秀教案
习题课：椭圆第二定义的应用(精)
椭圆定义及应用
椭圆经典解题思路
圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用(供参考)
高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题
巧用椭圆的第二定义解题
椭圆的解题方法和技巧
2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结
巧用圆锥曲线定义解题教学设计
第10讲椭圆及双曲线的第二定义
好用的高中数学椭圆解题方法
高中数学双曲线的第二定义
例谈椭圆定义在解题中的应用
用椭圆的定义解题
椭圆经典例题分类汇总
椭圆知识梳理和应用和解题方法步骤
- 圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用(供参考)
- 第10讲椭圆及双曲线的第二定义
- 双曲线的第二定义及其应用(精)
- 2019-2020年高二数学上-第八章-圆锥曲线方程：-8.4双曲线的第二定义教案
- 第三讲---双曲线的第二定义
- 演示文稿双曲线的简单几何性质第二课时
- 圆锥曲线第二定义的应用ppt课件
- 高二数学教案：第二章 圆锥曲线与方程 2.3~07《双曲线第二定义》
- 双曲线的第二定义
- 抛物线-的定义第2课时
- 双曲线第二定义及应用PPT课件
- 人教版 高中数学【选修 2-1】《课题双曲线第二定义》说课稿
- 双曲线的第二定义
- 圆锥曲线技巧之圆锥曲线第二定义 习题
- 67双曲线的第二定义PPT课件
- 第10讲椭圆及双曲线的第二定义讲解学习
- 双曲线的第二定义
- 双曲线的第二定义(含解析)
- 双曲线的第二定义
- 双曲线的第二定义5课件