求极限的常用方法典型例题

求极限的常用方法典型例题

掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则; (2) 利用两个重要极限;

(3) 利用无穷小量的性质(无穷小量乘以有界变量还是无穷小量); (4) 利用连续函数的定义。 例 求下列极限: (1)x

x x 3

3sin 9lim

-+→ (2)1

)1sin(lim

2

1

--→x

x x

(3)x x x 1

)21(lim -→

(4)2

2

2

)

sin (1

cos

lim

x x x x

x +-+∞

(5))1

1e (lim 0

-+

→x x x

x

解(1)对分子进行有理化,然后消去零因子,再利用四则运算法则和第一重要极限计算,即 x

x x 3

3sin 9lim

-+→

=)

33sin 9(

)

33sin 9)(

33sin 9(lim

++++-+→x x x x x

=3

3sin 91lim

3sin lim

++?→→x x

x x x

=2

16

13=

?

(2)利用第一重要极限和函数的连续性计算,即 )

1)(1()1sin(lim

1

)1sin(lim

1

2

1

-+-=--→→x x x x

x x x

1

1lim

1)1sin(lim

1

1

+?--=→→x x x x x

2

11

111=

+?

=

(3)利用第二重要极限计算,即

x x x 1

)21(lim -→=2

21

]

)21[(lim --→-x x x 2

e

-=。

(4)利用无穷小量的性质(无穷小量乘以有界变量还是无穷小量)计算,即

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