甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题
14 7
3.
1 ■:: : m ::: 3 ”是“方程 A .充分不必要条件 C ?充要条件
5 B
? 5
2
x
D .
m -1 3 -m
B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件
4 ?右图是抛物线形拱桥，当水面在
l 位置时，拱顶离水面 2米，水面
则水位下降2米后（水足够深），水面宽（） 米
A ? 2 2
B ? 4.2
C ? 4.3
D ? 2
2 2
5 .椭圆笃 =1（a b 0）的左、右顶点分别是
A 、
B ，左、右焦点分别是
a 2
b 2
F1F 2， F 1B
成等比数列，则此椭圆的离心率为
（ ）
.5
A .
5
宽4米,
F 1, F 2 ?若 AF 1 ,
6 ?若两点A （x,5 -x,2x-1） , B （1,x ? 2,2-X ），当|AB |取最小值时，x 的值等于（
）
A . 19
19
7.已知命题 p:? x 0 E R, x 0 - 2 > lg x ,,命题 q: V x e R, e x a 1 则( )
兰州一中2017-2018-1学期高二年级期末考试试题
数学（理科）
说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第H 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答 案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第I 卷（选择题，共60 分）
、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的
1 ?抛物线y =16x 2的准线方程是（
）
1 1 A ? x =4
B . x - -4
c . y
D ? y =
64
64
2 2
2?若双曲线 务-吿-1（a 0,b 0）的一条渐近线经过点
（3, - 4），则此双曲线的离心率为
a b
2
表示椭圆”的（ ）
AF =3FB 则 |k| =(
第H 卷（非选择题，共90 分）
二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分 13.给定下列命题：
①“ X 1 "是“ x - 2 ”的充分不必要条件；
8.设 命题p V q 是假命题 命题p A （ —q ）是真命题
F i , F 2为曲线 C i ： 2 2
x_
y
6
B .命题 D .命题 的焦点, cos / F 1PF 2 的值是(
9.已知椭圆的方程为
p A q 是真命题 p V （ —q ）是假命题
2
x 3
P 是曲线C 2：
-y 2 = 1与C 1的一个交点,
43 D .
3
2
—?乞=1，过椭圆中心的直线交椭圆于
9 4
A ,
B 两点，F 2是椭圆的右焦点,
△ ABF 2的周长的最小值为（ ）
C . 9
10
10.正方体 ABCD -ABiGD i 的棱长为 1, O 是底面AB 1 G D 1
的中心，贝U O 到平面
ABC 1D 1的距离为（
A .手
1
B . 2
D .
11 .已知直线I 的斜率为
k ，它与抛物线 2
y =4x 相交于A , B 两点,
F 为抛物线的焦点， 若
A . 2.2
-.3
B .
3
C .2
4
D. .. 3
12 .过双曲线
2 2
事卡=1（「0，厂
0）
的左焦点F 作直线
I 与双曲线交于 A , B 两点
得 AB =4b .
若这样的直线有且仅有两条 ，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是（
）
.5
A .（辽）
B .(1，￡
C 、5,
,5)
D . (、? 5,：：)
C .
1
n
② “若Sin aM -，则a 工n”；
2 6
③ “若xy =0，贝U x = 0且y = 0”的逆否命题； ④ 命题“ ？ xo ? R ，使x 02 _x 0 ?仁0 ”的否定? 其中真命题的序号是 _______ .
14
?已知 5 =(2,-1,3)，b =(-1,4,—2)，c =(7,5, ■)，若 a,b,c 共面，则■ = ----------------- ?
2 2
15. 已知A 是双曲线C:笃—爲=l(a . 0,b 0)的右顶点，过左焦点F 与y 轴平行的直线交双曲 线
a b
于P , Q 两点，若△ APQ 是锐角三角形，则双曲线
C 的离心率的范围是 __________ .
16. 已知点C (2, 2 )，直线CA 与x 轴交于点A ,过点C 且与直线CA 垂直的直线 CB 与y 轴交于 B 点，M 为线段AB 的中点，则点 M 的轨迹方程为 _____________ .
三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤
17. (本小题10分)
给出两个命题：命题甲：关于 x 的不等式x 2 (a -1)x ? a 2乞0 的解集为 ，命题乙：函数 为增函数?分别求出符合下列条件的实数 的范围?
a
(1) 甲、乙至少有一个是真命题； (2) 甲、乙中有且只有一个是真 命题.
18. (本小题12分)
已知三棱锥 S — ABC 中，底
面
19. (本小题12分)
如图，直三棱柱 ABC —
A 1
B 1
C 1中，
D ,
E 分别是AB , B B 1的中点，AA 1 = AC = CB = AB =2.
(1)求证：BC//平面AQD ;
⑵ 求二面角D —A 1C — E 的正弦值.
如图建立空间直角坐标系，写出
SB 、 SC 的坐标;
(2)求直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值. ABC 为边长等于2的等边三角形 ft
20. (本小题12分)
已知椭圆C: 笃-爲 =1(a ■ b 0)的离心率e=J, A, B是椭圆C上两点，N(3, 1)是线段AB
a b 3
的中点?
(1)求直线AB的方程；
(2)若以AB为直径的圆与直线? y_1 =0相切，求出该椭圆方程
21. (本小题12分)
已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
⑴求曲线C的方程；
(2)是否存在正实数m,对于过点M(m, 0)且与曲线C有两个交点A, B的任一直线，都有F A FB
<0 ?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由
22. (本小题12分)
2 2
务+—1 (a >b >0)，四点P1 (1,1 ), P2 (0,1 ), P3 (- 1, a b
中恰有三点在椭圆
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线I不经过P2点且与C相交于A, B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明：|过定点.已知椭圆C: ),
兰州一中2017-2018-1学期高二年级期末考试答案
数学(理科)
填空题：(每小题5分，共20 分)
三、解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题10分)
2 2
解析：甲命题为真时， △= (a — 1) — 4a v 0, 1
即a > 一或a v — 1 ................................................ 2分
3 乙命题为真时，2 a 2— a > 1,
1
即a > 1或a v — ..................................................................................................................... 4 分 (1) 甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
1
1
a 的取值范围是{a|a
或a -} ........................... .7分 2 3
(2) 甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况： 1
1 甲真乙假时，-v a W 1,甲假乙真时，一 K a<—-,
3
2
???甲、乙中有且只有一个真命题时， a 的取值范围为
1
1
{a | a -1 或 T_a } .................................................... 10分
3 2
21. (本小题12分)
解析：(1)建系如图，贝U S(0,0,3), A(0,0,0), B( 3, 1,0), C(0,2,0).
65
13.②④ 14. 15.（ 1,2）
16.x+y-2=0
??? AB= (3,
1,0), SB = (3, 1,— 3), SC = (0,2 , - 3) ................................... 6 分
⑵设面SBC 的法向量为n = (x, y, z).
n SB = 3x y -3z =0
则 n SC = 2y-3z = 0
令 y = 3,则 z = 2, x = 3,「. n = (. 3,3,2).
22.(本小题满分12 分)
解析：(1)证明：连接AC 1,交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点.又D 是AB 的中点
，连接 DF ，则 BC 1 // DF.
因为DF?平面 AQD , BC 1?平面 A 1CD ，所以BG //平面 ACD.
x/2
(2)由 AC = CB = 〒AB ，得 AC 丄 BC.......................................................... 4 分 以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C — xyz.
设 CA = 2,则 D(1,1,0), E(0,2,1), A^ (2,0,2) , C D = (1,1,0), ClE = (0,2,1),
CA^ (2,0,2).
设n -(x, y,z)是平面A CD 的法向量,
—* ]
:n CD =x y =0 则 n CA 1 =2x 2z=0
可取 n =(1,-1,T ).
. {mcE=0 一
同理，设 m 是平面A 1CE 的法向量，贝U m CA1=0可取m 二 (2,1,-2).
n m . 3
6
从而 cos ：：： n,m ，故 sin ::: n, m
.
nml 3
3
设AB 与面SBC 所成的角为
0, 则 sin^ =
n AB 3
.12分
即二面角D —A i C —E的正弦值为J ...............................
12分
3
23. (本小题12分)
解析：(1)离心率，设椭圆C: x2+ 3y2= a2(a>0),
3
2 2 2设A(x1, yj , B(X2, y2)，由题意，设直线AB的方程为y= k(x—3) + 1，代入x + 3y = a ,
整理得(3k2+ 1) x2—6k( 3k—1) x+ 3(3k—1)2—a2= 0.①
2 2 2 _口6k(3k —1)
△= 4[a(3k + 1) —3(3k—1) ] >0,②且x1 x2 2
3k +1
由N(3, 1)是线段AB的中点，得x1 x=3 .
2
解得k=—1,代入②得a2> 12, 直线AB的方程为y— 1 = —(x—3)，即x+ y— 4 = 0.. 6分
⑵圆心N(3, 1)到直线v2x y -^0 的距离d=3—2「6，. AB =2.6. V3
当k = -1 时方程①即4x2-24x - 48 -a2=0
A>0
:、彳石+x2 =6
2
a
x| 'X2 =12 ——
L. 4
.\| AB| =血1% -= (36-48 + a2 = 2 腐，解得a2 = 24.
2 2
?椭圆方程为—y 1 (12)
24 8
21.(本小题12分)
解析：(1)设P(x, y)是曲线C上任意一点，那么点P(x, y)满足：(x _1)2? y2-x =1
(x> 0).化简得y = 4x( x> 0) .................................................... .4 分
⑵设过点M(m, 0)(m>0)的直线I与曲线C的交点为A(X1, yj , B(x2, y2).
:x=ty m
设I 的方程为x= ty+ m,由y2=4x 得y—4ty—4m= 0,