关于高等数学测试及答
案第一章
Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
高等数学测试(第一章)
一 .选择题(每题2分,共20分) 1.(2分)7
1
2arcsin
16)(2-+-=x x x f 的定义域为 ( ) A .[]3,2 B .[]4,3- C .[)4,3- D .()4,3-
2.(2分) 已知函数)12(-x f 的定义域为[]1,0,则函数)(x f 的定义域为 ( )
A .??
?
???1,21 B .[]1,1- C .[]1,0 D .[]2,1-
3.(2分)已知1)1(2++=+x x x f , 则)(x f = ( ) A .22+-x x B .12--x x C .12++x x D .12+-x x
4.(2分)下列函数对为相同函数的是 ( )
A .1)(,1
1
)(2-=+-=
x x g x x x f B . 3ln )(,ln 3)(x x g x x f == C .2ln )(,ln 2)(x x g x x f == D . 2)(,)(x x g x x f ==
5.(2分)若()f x ()x R ∈为奇函数,则下列函数一定为偶函数的是 ( ) A .(2)f x B .(2)f x -+ C .(||)f x D .2()f x
6.(2分)函数1
22+=x x
y 的反函数为 ( )
A .x x y -=1log 2
B .x x y +=1log 2
C .x x y +=1log 2
D .x
x y -=1log 2 7.(2分)已知极限22
lim(
)0x x ax x
→∞++=,则常数a 等于 ( ) A .-1 B .0 C .1 D .2
8.(2分)当0x +→
等价的无穷小量是 ( ) A
.1-
.ln(1+ C
1 D
.1-
9.(2分)点1x =是函数31
1()1
131x x f x x x x -?
==??->?
的 ( ) A .连续点 B .可去间断点 C .跳跃间断点 D .第二类间断点
10.(2分)下列命题正确的是
( )
A . 两无穷大之和为无穷大;
B . 两无穷小之商为无穷小;
C . )(lim 0
x f x x →存在当且仅当)(lim 0
x f x x -→与)(lim 0
x f x x +→均存在;
D .
)(x f 在点0x 连续当且仅当它在点0x 既左连续又右连续.
二.填空题(每题3分,共15分)
11.(3分)函数()f x 在点0x 处有定义是()f x 在0x 处极限存在的________________. 12.(3分)当0x →+时,无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价,则常数A=____________. 13.(3分)已知函数()f x 在点0x =处连续,且当0x ≠时,函数2
1()2x f x -=,则函数值(0)f =_____.
14.(3分)若lim ()x f x π
→存在,且sin ()2lim ()x x
f x f x x ππ
→=
+-,则lim ()x f x π→=________________. 15.(3分)设函数()()[]x x x f g x x f -=-=1,21,则??
?
??21g =________________. 三. 计算题(共55分)
16.(5分)????
??++++++∞→n n n n n 2221
(211)
1lim . 17.(5分))1(lim 2x x x x -++∞→. 18.(5分)x
x e x x
x 2sin 1lim 3202
-→--. 19.(5分)
x x x x cot 20
)32sin 1(lim +-→.
20.(5分)()???
???+-→x x x 1ln 11lim 0. 21.(5分)30tan sin lim x x x x →-.22.(5
分)0
1
x e →-(5分) x x x +→0
lim .
24.(7分)设3214lim 1
x x ax x x →---++ 具有极限l ,求,a l 的值.
25.(8分)若)(lim 1
x f x →存在,且23)(2++=x x x f )(lim 1
x f x →,求)(x f 和)(lim 1
x f x →.
四.证明题(共10分)
26.(10分)设函数()f x ,()g x 均在闭区间[],a b 上连续,且有()()f a g a a >+,()()f b g b b <+,证明:存在,a b ξ∈(),使()()f g ξξξ=+成立. 答案:
一. 选择题1—5 BBDBC ;6—10 AABBD .
二.填空题11、无关条件; 12、3; 13、 0; 14、 1;15、3. 三.计算题
16. ???? ??++++++∞→n n n n n 2221
(211)
1lim . 【解析】因为
),...,2,1(1
1112
2
2
n i n i n n n =+≤
+≤
+, 所以1
1
...2
11
12
2
222
+≤++
++++≤+n n n
n n n n
n n ,
而11
lim
lim
2
2
=+=+∞
→∞
→n n n
n n n n .
由两边夹逼准则可知,11
(211)
1lim 222=???? ??++++++∞
→n n n n n . 17.)1(lim 2x x x x -++∞
→.
【解析】原式2
111
11lim
1lim
22=
++
=++=+∞
→+∞
→x
x
x x x x . 18. x
x e x x
x 2sin 1lim 3202
-→--. 【解析】原式161
16lim 161lim 3222lim 81lim 2202
0303202
2
2
-=-=+-=+-=--=→-→-→-→x x x e x xe x x x e x x x x x x x x .
19. x x x x cot 20
)32sin 1(lim +-→.
【解析】原式x x x x
x x x x
x x x
x x x e e
x x tan 32sin lim
tan 32sin 0
tan 32sin 32sin 1
20
202
2
2
lim )32sin 1(lim +-+-→+-?+-→→==+-=
23lim
2sin lim
32sin lim
2
002
0-+-+-===→→→e e
e
x x x x x x x x x x .
20. ()??
?
???+-→x x x 1ln 11lim 0. 【解析】原式()()()2121
11
lim 1ln lim 1ln 1ln lim 02
00-=-+=-+=+-+=→→→x x x x x x x x x x x x . 21. 3
0tan sin lim
x x x
x →-.
【解析】原式=2
322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x x
x x x x x x x →→→--===.
22.2
1lim
1
x x e →-.
【解析】原式=21
21lim sin 21lim 22020==→→x x
x x x x x .
23.(5分) x x x +→0
lim .
【解析】原式1lim 011lim
1ln lim
ln lim ln 0
2
000======-
→+
→+→+
→+e e
e e
e
x x x
x
x
x x
x x x x x .
24.设3214
lim 1
x x ax x x →---++ 具有极限l ,求,a l 的值.
【解析】因为1
lim(1)0x x →-+=,所以 321
lim(4)0x x ax x →---+=,
因此 4a = 并将其代入原式
25.若)(lim 1
x f x →存在,且23)(2++=x x x f )(lim 1
x f x →,求)(x f 和)(lim 1
x f x →.
【解析】设A x f x =→)(lim 1
,对等式23)(2++=x x x f )(lim 1
x f x →两边同时取极限
()1→x 可
得,
()
)(lim 23lim )(lim 1
21
1
x f x x x f x x x →→→++=,即()
A x x A x 23lim 21
++=→,故4)(lim 1
-==→A x f x .
所以83)(2-+=x x x f . 四.证明题
26.设函数()f x ,()g x 均在闭区间[],a b 上连续,且有()()f a g a a >+,()()f b g b b <+,
证明:存在,a b ξ∈(),使()()f g ξξξ=+成立.
【证明】 构造函数()()()F x f x g x x =--,则函数()F x 在闭区间[],a b 上连续, 而()()()0F a f a g a a =-->,()()()0F b f b g b b =--<,
显然()()0F a F b ?<
于是由连续函数的零点定理知,(,),a b ξ∈使得()0F ξ=, 即 存在,a b ξ∈()
,使()()f g ξξξ=+.
第一章函数与极限阶段测验卷 学号 班级 成绩 考试说明:1、请将客观题答案全部填涂在答题卡上,写在试卷上一律无效。 2、请在答题卡上填涂好、班级、课程、考试日期、试卷类型和考号。试卷类型 划A;考号为学号的后九个数,请填涂在“考号”的九个空格并划线。 3、答题卡填涂不符合规者,一切后果自负。 一.是非判断题(本大题共10题,每题2分,共20分) 1. x y 2cos 1-=与x y sin =是相同的函数. ( ) A 、正确 B 、错误 2. 函数ln(1)y x x =-+在区间(,1)-∞-单调递增.( ) A 、正确 B 、错误 3. 函数x y e =在(0,)+∞有界. ( ) A. 正确 B. 错误 4. 设()f x 在[,](0)a a a ->上有定义,则函数1 ()[()()]2 g x f x f x =--是奇函数.( ) A. 正确 B. 错误 5. 函数2sin y x =是当0x →时的无穷小.( ) A. 正确 B. 错误 6.函数y = 是初等函数.( ) A 、正确 B 、错误 7. 当x →∞时,函数22135x y x +=+趋向于1 3 .( ) A 、正确 B 、错误 8. 当0x →时,函数2 12 y x = 与1cos y x =-是等价无穷小.( ) A 、正确 B 、错误 9. 211lim cos 2 x x x →∞=-( ) A 、正确 B 、错误
10. 函数1 (12),0;, 0x x x y e x ?? +≠=??=? 在0x =处连续. ( ) A 、正确 B 、错误 二.单项选择题(本大题共12个,每题3分,共36分) 11.函数)5)(2ln(+-=x x y 的定义域为( ). A. 25≤≤-x ; B. 2>x ; C. 2>x 或5- 《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数( )()2 0ln 10x f x x a x ≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7.211 f dx x x ??' ????的结果是( ). (A )1f C x ??-+ ??? (B )1f C x ??--+ ??? (C )1f C x ??+ ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8.x x dx e e -+? 的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ (D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ). (A )4 24arctan 1x dx x π π-+? (B )44 arcsin x x dx ππ-? (C )112x x e e dx --+? (D )()121sin x x x dx -+? 10.设() f x 为连续函数,则()1 02f x dx '?等于( ). (A )()()20f f - (B )()()1 1102f f -????(C )()()1202 f f -????(D )()()10f f - 二.填空题(每题4分,共20分) 1.设函数()21 0x e x f x x a x -?-≠?=??=? 在0x =处连续,则a =. 高等数学第一章测试卷(B ) 一、选择题。(每题4分,共20分) 1?假设对任意的 x R ,都有(x) f(x) g(x),且]im[g(x) (x)] 0,则 lim f (x)() A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C. 一定不存在 D.不一定存在 1 x 2. 设函数f(x) lim 2n ,讨论函数f (x)的间断点,其结论为( ) n 1 x A.不存在间断点 B.存在间断点x 1 C.存在间断点x 0 D.存在间断点x 1 x 2 X 1 3. 函数f (x) 一2 . 1 —2的无穷间断点的个数为( ) X 1 \ x 7.[x]表示取小于等于x 的最大整数,则lim x - x 0 x f(x) asinx A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数f (x)在( )内单调有界, {X n }为数列,下列命题正确的是( A.若{x n }收敛,则{ f (x n ) }收敛 B.若{&}单调,则{ f (x n ) }收敛 0若{ f (X n ) }收敛,则仏}收敛 D.若{ f (X n ) }单调,则 {X n }收敛 5.设{a n }, {b n }, {C n }均为非负数列,且 lim n a n 0,lim b n 1,limc n n n ,则() A. a n b n 对任意n 成立 B. b n C n 对任意n 成立 C.极限lim a n C n 不存在 n D. 极限lim b n C n 不存在 n 二、填空题(每题 4分,共 20分) 6.设 X, f (X) 2f (1 X) 2 x 2x , 则 f (X) 8.若 lim]1 X X ( 丄 X a)e x ] 1, 则实数a 9.极限lim X (X 2 X a)(x b) 10.设 f (X)在 x 0处可导, f (0) 0,且f (0) b ,若函数 F(x) 在x 0处连续, 则常数 A 第一章 自测题 一、填空题(每小题3分,共18分) 1. () 3 lim sin tan ln 12x x x x →=-+ . 2. 1 x →= . 3.已知212lim 31 x x ax b x →-++=+,其中为b a ,常数,则a = ,b = . 4. 若()2sin 2e 1 ,0 ,0ax x x f x x a x ?+-≠?=? ?=? 在()+∞∞-,上连续,则a = . 5. 曲线2 1 ()43 x f x x x -= -+的水平渐近线是 ,铅直渐近线是 . 6. 曲线() 121e x y x =-的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题(每小题3分,共18分) 1. “对任意给定的()1,0∈ε,总存在整数N ,当N n ≥时,恒有ε2≤-a x n ” 是数列{}n x 收敛于a 的 . A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 设()2,0 2,0x x g x x x -≤?=?+>?,()2,0 , x x f x x x ?<=? -≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+-≥? B. 22,02,0x x x x ?-+≥? C. 22,0 2,0x x x x ?--≥? D. 22,0 2,0 x x x x ?+ +≥? 3. 下列各式中正确的是 . A .01lim 1e x x x + →??-= ??? B.01lim 1e x x x +→?? += ??? C.1lim 1e x x x →∞??-=- ??? D. -11lim 1e x x x -→∞ ??+= ??? 4. 设0→x 时,tan e 1x -与n x 是等价无穷小,则正整数n = . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 曲线2 2 1e 1e x x y --+= - . A. 没有渐近线 B. 仅有水平渐近线 C. 仅有铅直渐近线 D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 6.下列函数在给定区间上无界的是 . A. 1sin ,(0,1]x x x ∈ B. 1sin ,(0,)x x x ∈+∞ 高等数学第一章测试题 一、单项选择题 1.0 . (),()x x x x x x βα→→当时,都是无穷小,则当时(,)不一定是无穷小 ()()()x A x αβ+ () 22()()x B x αβ+ ()ln[1()()]x C x αβ+? ()2 ()() x x D αβ 答案:D 2 0() (),()1,. () lim x x x x x x x ααββ→===解析:当时 2 1 2.( )0,,,1 lim x x ax b x a b a b →∞ +--=+则常数的值所组成的数组()为()设 10011111A B C D -()(,)()(,)()(,)()(,) 答案:D 解析: 0)1 1(2 lim =--++∞ →b ax x x x 1 ) 1)((1)11( 2 2 lim lim +++-+=--++∞ →∞ →x x b ax x b ax x x x x 01 1)()1(2 lim =+-++--=∞ →x b x b a x a x 10,0,a a b -=+=则分子的二次项和一次项系数为零: 即1,1-==b a 22 1)32 3(x f x x x -=-+、已知函数, 下列说法正确的是( )。 2(A)f(x)有个无穷间断点 ())1(1B f x 有个可去间断点,个无穷间断点 ()2()C f x 有个第一类间断点 ()111()f D x 有个可去间断点,个无穷间断点,个跳跃间断 答案:B 221(1)(1)1 ()32(2)(1)2 x x x x f x x x x x x --++=== -+---解析: 212320,1,2x x x x -+===令得 2.1x x ==是可去间断点,是无穷间断点 4、 是 。 A.奇函数 B.周期函数 C.有界函数 D.单调函数 答案:A ()()f x f x -=-解析: 1()11115. f x x = + +、函数的定义域为____ A. 0,≠∈x R x 但 1 ,10 .x R B x ∈+≠ 1,0,1,.2x x C R ∈≠-- 0.,,1x R x D ∈≠- x ∈R,但x ≠0,?1 答案:C 解析:略. 6、 答案:C |sin | ()cos x f x x xe -=()x -∞<<+∞的值为 , 极限)00()1(lim 0≠≠+→b a a x x b x 答( ) . . a be D e C a b B A a b ) ()(ln )(1)( 高等数学练习题库及答 案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 《高等数学》练习测试题库及答案 一.选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是( ) A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为( ) A 2x 2-2 B 2-2x 2 C 1+x 2 D 1-x 2 3.下列数列为单调递增数列的有( ) A . ,,, B . 23 ,32,45,54 C .{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数,为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的( ) A .充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5.下列命题正确的是( ) A .发散数列必无界 B .两无界数列之和必无界 C .两发散数列之和必发散 D .两收敛数列之和必收敛 6.=--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( ) .0 C 2 7.设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时,下列与无穷小(x-1)等价的无穷小是( ) 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的( ) A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时,y= () A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f(x)=(1-x)cotx要使f(x)在点:x=0连续,则应补充定义f(0)为() A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为() A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续,g(x)在点x 不连续,则下列结论成立是() A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续,且f(x)=0,则a,b 14、设 满足() A、a>0,b>0 B、a>0,b<0 C、a<0,b>0 D、a<0,b<0 15、若函数f(x)在点x 0连续,则下列复合函数在x 也连续的有() A、 B、 第一章 练习题 一、 设()0112>++=?? ? ??x x x x f ,求)(x f 。 二、 求极限: 思路与方法: 1、利用极限的运算法则求极限; 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质; 3、利用两个重要极限:1sin lim 0=→x x x ,e x x x =??? ??+∞→11lim ; 4、利用极限存在准则; 5、用等价无穷小替换。注意:用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差,必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限,在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时,总是先对函数进行各种恒等变形,消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ → 5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、 已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。 四、 讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。 五、 设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数,试确定a 和b 的值。 六、 求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。 七、 设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续,且()()a f f 20=,则在[]a ,0上 至少有一点,使()()a x f x f +=。 八、 设()x f 在[]b a ,上连续,b d c a <<<,试证明:对任意正数p 和q , 至少有一点[]b a ,∈ξ,使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+ 第一章函数、极限、连续 一、单项选择题 1.区间[a,+∞),表示不等式() 2.若 3.函数是()。 (A)偶函数(B)奇函数(C)非奇非偶函数(D)既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1(x)的图形对称于直线()。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外,数列中的点() (A)必不存在 (B)至多只有有限多个 (C)必定有无穷多个 (D)可以有有限个,也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在(a-ε, a+ε)邻域内有无穷多个数列的点,则(),(其中为某一取定的正数) (A)数列{ x n }必有极限,但不一定等于 a (B)数列{ x n }极限存在且一定等于 a (C)数列{ x n }的极限不一定存在 (D)数列{ x n }一定不存在极限 9.数列 (A)以0为极限(B)以1为极限(C)以(n-2)/n为极限(D)不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是() (A)先给定ε后唯一确定δ (B)先确定ε后确定δ,但δ的值不唯一 (C)先确定δ后给定ε (D)ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f(x)在某点x0极限存在,则() (A) f(x)在 x0的函数值必存在且等于极限值 (B) f(x)在x0的函数值必存在,但不一定等于极限值 (C) f(x)在x0的函数值可以不存在 (D)如果f(x0)存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是() (A)比0稍大一点的一个数 (B)一个很小很小的数 (C)以0为极限的一个变量 (D)0数 15.无穷大量与有界量的关系是() (A)无穷大量可能是有界量 第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续,则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ,则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数,()g x 是偶函数, 则( )为奇函数. (A )[()]g g x (B )[()]g f x (C )[()]f f x (D )[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界, {}n x 为数列,则下列命题正确的是( ). (A )若{}n x 收敛,则{()}n f x 收敛 (B )若{}n x 单调,则{()}n f x 收敛 (C )若{()}n f x 收敛,则{}n x 收敛 (D )若{()}n f x 单调,则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x ( ). (A )在点2x =,2x =-都连续 (B )在点2x =,2x =-都间断 (C )在点2x =连续,在点2x =-间断 (D )在点2x =间断,在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =,则下列断言正确的是( ). (A )若{}n x 发散,则{}n y 必发散 (B )若{}n x 无界,则{}n y 必有界 (C )若{}n x 有界,则{}n y 必为无穷小 (D )若1n x ?????? 收敛 ,则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时,()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小,()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无 高等数学测试题(一)极限、连续部分(答案) 一、选择题(每小题4分,共20分) 1、 当0x →+时,(A )无穷小量。 A 1sin x x B 1 x e C ln x D 1 sin x x 2、点1x =是函数31 1()1131x x f x x x x -? ==??->? 的(C )。 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的(D )。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 4、已知极限22 lim()0x x ax x →∞++=,则常数a 等于(A )。 A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限2 01 lim cos 1 x x e x →--等于(D )。 A ∞ B 2 C 0 D -2 二、填空题(每小题4分,共20分) 1、21lim(1)x x x →∞ -=2 e - 2、 当0x →+时,无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价,则常 数A=3 3、 已知函数()f x 在点0x =处连续,且当0x ≠时,函数2 1()2 x f x -=, 则函数值(0)f =0 4、 111lim[ ]1223(1) n n n →∞+++??+L =1 5、 若lim ()x f x π →存在,且sin ()2lim ()x x f x f x x ππ →= +-,则lim ()x f x π→=1 二、解答题 1、(7分)计算极限 222111 lim(1)(1)(1)23n n →∞- --L 解:原式=132411111 lim()()()lim 223322 n n n n n n n n →∞→∞-++???=?=L 2、(7分)计算极限 3 0tan sin lim x x x x →- 解:原式=2 322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2 x x x x x x x x x x x x x →→→--=== 3、(7分)计算极限 1 23lim()21 x x x x +→∞++ 解:原式= 11 122 11 22 21lim(1)lim(1)1212 11lim(1)lim(1)11 22 x x x x x x x x x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++ =+?+=++ 4、(7分)计算极限 1 x e →-解:原式=201 sin 12lim 2 x x x x →= 5、(7分)设3214 lim 1 x x ax x x →---++ 具有极限l ,求,a l 的值 解:因为1 lim(1)0x x →-+=,所以 3 2 1 lim(4)0x x ax x →---+=, 因此 4a = 并将其代入原式 321144(1)(1)(4) lim lim 1011 x x x x x x x x l x x →-→---++--===++ 高等数学第一章测试卷(B ) 一、选择题。(每题4分,共20分) 1.假设对任意的∈x R ,都有)()()(x g x f x ≤≤?,且0)]()([lim =-∞→x x g x ?,则)(lim x f x ∞ →( ) A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C.一定不存在 D.不一定存在 2.设函数n n x x x f 211lim )(++=∞→,讨论函数)(x f 的间断点,其结论为( ) A.不存在间断点 B.存在间断点1=x C.存在间断点0=x D. 存在间断点1-=x 3.函数222111)(x x x x x f +--=的无穷间断点的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界,}{n x 为数列,下列命题正确的是( ) A.若}{n x 收敛,则{)(n x f }收敛 B.若}{n x 单调,则{)(n x f }收敛 C.若{)(n x f }收敛,则}{n x 收敛 D.若{)(n x f }单调,则}{n x 收敛 5.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且∞===∞ →∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ,则( ) A. n n b a <对任意n 成立 B. n n c b <对任意n 成立 C. 极限n n n c a ∞→lim 不存在 D. 极限n n n c b ∞ →lim 不存在 二、填空题(每题4分,共20分) 6.设x x x f x f x 2)1(2)(,2-=-+?,则=)(x f ____________。 7.][x 表示取小于等于x 的最大整数,则=??????→x x x 2lim 0__________。 8.若1])1(1[lim 0=--→x x e a x x ,则实数=a ___________。 9.极限=???? ??+-∞→x x b x a x x ))((lim 2 ___________。 10.设)(x f 在0=x 处可导,b f f ='=)0(,0)0(且,若函数?????=≠+=00sin )()(x A x x x a x f x F 在0=x 处连续,则常数=A ___________。 高等数学第七版课后练 习题 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 第一章、函数、极限与连续 1、已知函数2,02()2,24x f x x ≤≤?=?-<≤? ,试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。 2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8,试求3()f x 的定义域。 3、已知函数[]()12f x 的定义域,,试求下列函数的定义域。 4、要使下列式子有意义,函数()f x 应满足什么条件 5、求下列函数的定义域。 6、在下列各对函数中,哪对函数是相同的函数。 7、设函数()2,()55x f x g x x ==+,求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x +-的表达式。 8、设2()23,()45f x x g x x =+=-,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。 9、设2211(),()f x x f x x x +=+求。 10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。 11、下列函数中,那哪些是奇函数,哪些是偶函数哪些是非奇非偶函数。 12、判断下列函数的奇偶性。 13、求下列函数的周期。 14、下列函数能够复合成一个函数。 15、函数13ln sin y y x ==,由哪些较简单的函数复合而成。 16、设()1x f x e =+,函数2(2)()1x x x φ+=+,求1(())f x φ-。 17、下列函数的极限。 18、求下列函数的极限。 19、求下列函数的极限。 20、求下列极限。 21、求下列函数的极限。 高等数学测试试题 一、是非题( 3’× 6=18’) 1、 lim (1 x) x e. ( ) x 0 2、函数 f ( x) 在点 x x 0 处连续,则它在该点处必可导 . ( ) 3、函数的极大值一定是它的最大值. ( ) 4、设 G ' x f ( x), 则 G( x) 为 f ( x) 的一个原函数 . ( ) 1 0. ( ) 5、定积分 x cos xd x 1 6. 函数 y x 2 是微分方程 x d y 2 y 0 的解 . ( ) d x 二、选择题( 4’× 5=20’) 7、函数 f ( x) sin 1 是定义域内的( ) x A 、单调函数 B 、有界函数 C 、无界函数 D 、周期函数 8、设 y 1 2x ,则 d y ( ) A 、 2 x d x B 、 2 x ln 2 C 、 2x ln 2 d x D 、( 1+ 2x ln 2) d x 9、设在区间 [ a, b] 上 f ' (x) 0, f " ( x) 0, 则曲线 y f ( x) 在该区间上沿着 x 轴正向( ) A 、上升且为凹弧 B 、上升且为凸弧 C 、下降且为凹弧 D 、下降且为凸弧 10、下列等式正确的是( ) A 、 C 、 f '( x) d x f ( x) f '( x) d x f ( x) C B 、 D 、 f ( x) d x f '( x) f ( x) d x f '( x) C 2 2 2 11、 P cos 2 x d x, Qsin 3x d x, R sin 2 x d x, 则( ) 2 A 、 P Q R B 、 Q P R C 、 P R Q D 、 R Q P 三、选择题( 4’× 5=20’) 12.函数 f ( x) x 2 的间断点为( ) 3 x 3 A 、 3 B 、 4 C 、 5 D 、6 13、设函数 f ( x) 在点 x 0处可导,且 lim h 1 , 则 f ' (0) ( ) h 0 f ( h) f (0) 2 高数第一周测试题 出题人:洪义伟姜继伟贾西南马刚 一、选择题 1. 数列有界是函数收敛的() A 充要条件 B 必要条件 C 充分条件D即非充分条件又非必要条件 2.根据limXn=a的定义,对任给ε>0,存在正整数N,使得对于n>N的一切Xn,不等式|Xn—a|<ε都成立,这里的N() A 是ε的函数N(ε),且当ε减小时N(ε)增大 B 与ε有关,但ε给定时N并不唯一确定 C 是由ε所唯一确定的 D 是一个很大的常数,与ε无关 3. f(x)=在其定义域(—∞,+∞)上是() A 最小正周期为3π的周期函数 B 最小正周期为的周期函数 C 最小正周期为的周期函数D非周期函数 5.函数f(x)=(x∈R)的值域是() A (0,1) B (0,1] C [0,1) D [ 0 , 1 ] 7.函数f(x)=x2-mx+5在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是增函数,则f(1)等于( ) A -7 B 1 C 17 D 25 8.下列函数是无穷小量的是() ( ) A g(2)>g(-1)>g(-3) B g(2)>g(-3)>g(-1) C g(-1)>g(-3)>g(2) D g(-3)>g(-1)>g(2) A 1 B ∞ C 2 D 0 二、填空题 13.求 的定义域____________。 14. 已知求f (5)____________。 15.数列 的极限______。 16.求函数 的极限______。 三、 解答题 17.求函数 在指定定义域下的单调性。 18.求 的极限。 19.用数列极限的定义证明 。 20.用函数极限的定义证明 。 21.根据定义证明 22.求 的极限。 ???<+≥-=8,)]5([8 ,3)(x x f f x x x f 《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.(每题2分,共20分) ( )1. 收敛的数列必有界. ( )2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. ( )3. 闭区间上的间断函数必无界. ( )4. 单调函数的导函数也是单调函数. ( )5. 若)(x f 在0x 点可导,则)(x f 也在0x 点可导. ( )6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导,则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. ( )7. 若)(x f 在[b a ,]上可积,则)(x f 在[b a ,]上连续. ( )8. 若),(y x f z =在(00,y x )处的两个一阶偏导数存在,则函数),(y x f z =在(00,y x )处可微. ( )9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. ( )10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数,且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.(每题2分,共20分) 1. 设2 )1(x x f =-,则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ,则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du . 5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题(每题5分,共40分) 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在(0,+∞)内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成,计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题(每题10分,共20分) 1. 证明:tan arc x = )(+∞<<-∞x . 理科A 班第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续,则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ,则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数,()g x 是偶函数, 则( )为奇函数. (A )[()]g g x (B )[()]g f x (C )[()]f f x (D )[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界, {}n x 为数列,则下列命题正确的是( ). (A )若{}n x 收敛,则{()}n f x 收敛 (B )若{}n x 单调,则{()}n f x 收敛 (C )若{()}n f x 收敛,则{}n x 收敛 (D )若{()}n f x 单调,则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x ( ). (A )在点2x =,2x =-都连续 (B )在点2x =,2x =-都间断 (C )在点2x =连续,在点2x =-间断 (D )在点2x =间断,在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =,则下列断言正确的是( ). (A )若{}n x 发散,则{}n y 必发散 (B )若{}n x 无界,则{}n y 必有界 (C )若{}n x 有界,则{}n y 必为无穷小 (D )若1n x ?????? 收敛 ,则{}n y 必为无穷 高等数学(上)第一章练习题 一.填空题 1. 12sin lim sin _________.x x x x x →∞??+= ??? 2. lim 9x x x a x a →∞+??= ?-?? , 则__________.a = 3. 若21lim 51x x ax b x →++=-,则___________,___________.a b == 4. 02lim __________.2x x x e e x -→+-= 5. 1(12)0()ln(1)0 x x x f x x k x ?-<=?++≥?在0x =连续,则k = 6. 已知当0x →时,()1 2311ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数________.a = 7. 设21()cos 1 x k x f x x x π?+≥=? 处处连续, 则__________.k = 8.设2 0()sin 0a bx x f x bx x x ?+≤?=?>?? 在0x =处间断,则常数a 和b 应满足关系____________. 9.()1lim 123n n n n →∞++= 10 .lim x →+∞?=? 11 .lim x ax b →+∞?-=? 0 ,则a = b = 12.已知111()23x x e f x e +=+ ,则0x =是第 类间断点 二.单项选择题 13. 当0x →时, 变量211sin x x 是____________. A. 无穷小量 B. 无穷大量 C. 有界变量但不是无穷小, D. 无界变量但不是无穷大. 14.. 如果0 lim ()x x f x →存在,则0()f x ____________. A. 不一定存在, B. 无定义, C. 有定义, D. 0=. 15. 如果0lim ()x x f x -→和0 lim ()x x f x +→存在, 则_____________. 第一部分: 1.下面函数与y x =为同一函数的是() 2 .A y= .B y=ln .x C y e =.ln x D y e = 解:ln ln x y e x e x === Q,且定义域() , -∞+∞,∴选D 2.已知?是f的反函数,则()2 f x的反函数是() () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? =() 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x:() 1 , 2 x y =?互换x,y位置得反函数() 1 2 y x =?,选A 3.设() f x在() , -∞+∞有定义,则下列函数为奇函数的是() ()() .A y f x f x =+-()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x =()() .D y f x f x =-? 解:() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=-∴选C 4.下列函数在() , -∞+∞内无界的是() 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x =.sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法:A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界,B arctan 2 x π <有界, C sin cos x x +≤,故选D 5.数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的() A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解:Q{}n x收敛时,数列n x有界(即n x M ≤),反之不成立,(如() {}11n--有界,但不收敛,选A. 6.当n→∞时,2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小,则k= () A 1 2 B 1 C 2 D -2 解:Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==,2 k=选C ))))))))) 3?曲线y = xln x 的平行于直线x - y T = 0的切线方程为( (A) y =x -1 (B ) y =—(x 1) 4?设函数f x =|x|,则函数在点X=0处( ) 5 .点x = 0是函数y = x 4的( ) 1 6. 曲线y 的渐近线情况是( ). |x| (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. f — _2dx 的结果是( ). l x /X f 1 L f 1 L CL f 1 L (A ) f 一丄 C (B ) -f 一丄 C (C ) f 1 C ( D ) -f - C I X 丿 I x 丿 l x 丿 J x 丿 dx & 匚出的结果是( ). e e (A ) arctane x C (B ) arctane" C (C ) e x C ( D ) ln(e x e^) C 9.下列定积分为零的是( ). 《高数》试卷1 ?选择题(将答案代号填入括号内,每题 3分,共 (上) 30 分). 1 ?下列各组函数中,是相同的函数的是 (A) f x = In (C ) f x =x x 2 和 g(x) = 2ln X (B ) f ( x ) =| x|和 g (x )=P 和 g (x ) =(V X ) (D ) f (X )= |x| 和 X g (x )“ Jsin x +4 -2 x 式0 ? In (1+x ) 在X = 0处连续,则 a =( a x = 0 1 - (C ) 1 (D ) 2 ). ). (C ) y = Inx -1 x-1 (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点高等数学考试题库(附答案)
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