浙江省2+2高等数学(A)答案及评分标准
2005年高等数学（A ）答案及评分标准：
一. 填空题 1.
41 2. 0 3. 2π- 4.c x y
x y
x +=+--+11ln
21 5. 9- 6.2
243
.7)2(3z F + .8 12
11 二. 选择题
1. C
2. A
3. D
4. B
5. D .6 B .7 A .8 C 三. 计算题
1.解: 原式)sin 11(1
lim 201
t t
t t x
t -=→=
2’ 3
sin lim
t
t t t -=→ 3’ 2
3cos 1lim
t
t t -=→ 5’
t t t 6sin lim
0→= =6
1
7’
2.解: 因
)0(2
1
1
lim
)1(1lim )111(lim )(lim 2
000f x x e x e x e e x x f x
x x x x x x x ==
--=---=--=→→→→
)(x f ?在0=x 处连续. 1’
x
e x x
f x f f x x x 2
1111lim )0()(lim )0('00-
--=-=→→
=)
1(2)
1(2)1(2lim
2
-----→x
x x x e x e x x e 3’
=3
222lim
x xe x e x
x x ---→=2
61lim
x xe e x
x x --→ 12
1
-=
5’ 2
2
)
1(1)('-+
-=
x
x e e x
x f , 0≠x 7’
3.解: 原式]
)1[(ln 21
2--?-=x d x 2’
dx x x x x ?
-+--=111ln 2
2
4’
c x x x x
d x
x x +---=?
--+--
=1arcsin 1ln )1(111
1
ln 22
2 7’
4.解: σ
σd xe d x
y x I D
y D
??
+??=-
22cos 1’
??+??=-1
210
21
2
)(cos y
y x
dx
xe
dy x
y d x y x dx 5’ =]
[2
11sin 1
1
02221
22
2
??-+?-
-
dy e
y dy
e
dx x y y
)]([2
11sin 312
10
21
2
2
y y e d y dy
e
--
?
+?+=
)]
|([2
11sin 31210
10
221
2
2
2
dy e ye dy
e
y y y ---
?
-+
?+=
=2
1
2
1
1sin 31-+e . 7’
5.解: 令 )()!23()(11
3x xg n x x S n n =∑-=∞
=- R x ∈ 1’
其中 ∑-=∞
=-12
3)!
23()(n n n x x g R x ∈ 0)0(=g
∑=∞
=0
3)!3()('n n
n x x g 1)0('=g
∑-=∞
=-11
3)!
13()(''n n n x x g
?
1
)0(',0)0()()(')(''===++g g e x g x g x g x , 4’
2
31,231012i
i --=+-=?=++λλλλ 解得: 3
)23sin 23cos
()(212x
x
e x c x c e x g +
+=
- , 5’ 1)0(',0)0(==g g 3
1,3121=-=
?
c c
]3
)23sin 3323cos
3
1([)(2x
x
e x x e x x S ++-=
-. 7’ 6.解: ??
?
?
??
?
?
?+++-513853224311
1
11
11
021
a b a 2’
?????
?? ??+-+--→b a b
a 1000201000211
01102
1 4’ R b a ∈-≠,1 β可由4321,,,αααα线性表示. 5’
??
??
????
?
?
?++-+++→11
000120100
00010110001a b a b a b a 6’ ∴ 4311
1211αααβ+++-+++=
a b
a b a b a 7’ 7.解: Θ P A P AP AP T T 2)()(= 1’
??
??
?
?
?
??=100001000054
00452A 2’ ? 2A 的特征值为: 1,1,1,9. 3’
1=λ的特征向量: T T T )1,0,0,0(,)10,0,0(,)0,0,1,1(-
9=λ的特征向量: T )0,0,1,1( 5’
????????
?
?
?
-=100
0100002121002121P ??
??
?
??
??=11
192P A P T 7’ 8.解: ???≤>=-0 ,00,2)(2x x e x f x X , ???
??∈=其它
,0]3,1[,21)(x y f Y 2’
?
??∈+∞∈=-其它 ,0]
3,1[),,0( , ),(2),(y x e y x f x Y X 3’
{}{}D Y X P Y X P ∈=≤+),(3 4’ dy e dx d y x f x
x D
????==--3022
),(σ 6’
422
4
145
)3(---=?-=e dx e x x . 7’
9.解: Y 1 2 3 X 1 422 424 426 2
424 422 42
6
3 426 426 42
6 4’
X 1 2 3
P
4212 4212 42
18
6’ 7
15
42542412)(=++=
X E 7’
四. 1. 解: 由 x x f x
x f 3)(1
)('=-
得 )3()(c x x x f += 3’ )59
233()3()()(22
1
01
2
2
++=+??==c c dx c x x dx x f c V πππ 5’
4
9
0)3223()('-=?=+=c c c V 令π 6’
03
2)49(''>=-πV 7’ 4
9
-=
c 为唯一的极小值点,为最小值点 ∴ )4
9
3()(-=x x x f .
2. 解: 由 ????
???
?
?
?
--→????? ??-----00
0031341
032350
1012112121311 2’ )(II ?的通解: T T c c )3,0,1,2()0,3,4,5(21-+ 3’
令 ????
??? ??-+??????? ??=??????? ??-+??????? ??--30120345133101112121c c k k 4’
??
?
?
?
?
?
??→??????? ??-------→???????
??--------0000
11003010
6001
30102820392025113020033114312511 6’
c c c c c k c k -==-=-=?2121,,3,6 7’ )(),(II I 有非零公共解:T c )1,1,1,1( 0≠c . 8’ 3.解: 令 =i A ”取到第i 号球” 3,2,1=i
=j B ”在有3+j 张奖劵的盒中抽中奖” 3,2,1=j C =”抽中奖” 3’
)
()()()()()()
()(3
322112
22A C P A P A C P A P A C
P A P A C
P A P C A P +=
??? ?? 6’
726
341524141425241=?+?+??
=
8’ 五. 1. 证: 令 t
ty tx f t g )
,()(=
),0(+∞∈t 2’ 0
)
,(),(),( )
,()],(),([)('2
''2
''由已知
=-+=
-+=?t
ty tx f ty tx tyf ty tx txf t ty tx f ty tx yf ty tx xf t t g ty tx ty tx 5’
),()1()()(y x f g t g t g ==?=?常量 7’
),()
,(y x f t
ty tx f =∴
. 8’ 2. 证: 设 0)()()(1122111=-++-+-+++k k k k k c c c ααααααΛ
0)(212211=+++-+++?k k k k c c c c c c ααααΛΛ 2’
由 121,,,+k αααΛ 线性无关 021====?k c c c Λ
11112111,,,+=++--=-=∴k k k k ααβααβααβΛ 线性无关 4’
又因 秩(A )=k m -且 k βββ,,21Λ均为0=Ax 的解 k βββ,,21Λ?是0=Ax 的一个基础解系 6’ b Ax =∴ 的通解为:12211+++++k k k αβλβλβλΛ b Ax =? 的任何解γ,有 =γ 1
2211+++++k k k αβλβλβλΛ
=1212211)1(+-+++-+++k k k k αλλλαλαλαλΛΛ 7’