线性代数向量空间自测题(附答案)

《第四章 向量空间》 自测题 （75分钟）

一、选择、填空（20分，每小题4分）

1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R 上一个向量空间的是（ ）。

（A ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，分量是整数的所有向量；

（C ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；

（D ）R n 中，分量满足x 1=1，x 2，…，x n 可取任意实数的所有向量。 2．设R 4 的一组基为,,,,4321αααα令

414433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，

则子空间}4,3,2,1,|{44332211=∈+++=i F k k k k k W i ββββ的维数为 ，它的一组基为 。 3. 向量空间R n 的子空间 },0|)0,,,,{(1121121R x x x x x x x W n n ∈=+=--ΛΛ的维数为 ， 它的一组基为 。

4. 设W 是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即??

?

???????∈???? ??=R a a a

a a W ij 2212

1211，则它的维数为 ，一组基为 。

5．若A=?????

??

?

????????-100021

021b a 为正交矩阵，且|A|=－1，则a = ，b = 。

二、计算题（60分）

1.（15分）设R 3的两组基为：

T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ααα和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===βββ，

向量α=（2，3，3）T

（1）求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵。 （2）求α关于这两组基的坐标。

（3）将321,,βββ化为一组标准正交基。

2. （15分）在R 4 中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基，

???

??=+-+=-+-=+-+0

1113530333045234321

43214321x x x x x x x x x x x x 3．（20分）已知321,,ααα是3维向量空间R 3的一组基，向量组321,,βββ满足

3132322132131,,ααββααββαααββ+=++=+++=+

（1）证明：321,,βββ是一组基。

（2）求由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵。 （3）求向量3212αααα-+=关于基321,,βββ的坐标。 4．（10分）已知A 是2k+1阶正交矩阵，且|A|=1，求|A －E|。 三、证明题（20分）

1. （5分）设0321=++γβαk k k ，且031≠k k 。证明：),(),(γββαL L =。

2. （5分）设A 为正交矩阵，证明：A *为正交矩阵。

3．（10分）设A 、B 为n 阶正交矩阵，且|A|≠|B|。证明：A+B 为不可逆矩阵。

参考答案

一、选择、填空

1． A

2． dimW=3，一组基为.,,321βββ

3． dimW=n-2，一组基为T n T T )0,1,0,,0,0(,)0,0,,1,0,0(,)0,0,,0,1,1(221ΛΛΛ==-=-ααα

4． dimW ＝3，一组基为???

?

?????? ?????? ??0110,1000,0001。

5． a =

2

1

，b =

2

1

二、计算题

1．(1)基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵:?????

??

?

????????112110210121

(2) α关于321,,ααα的坐标是（0，1，1）

α关于321,,βββ的坐标是（1，1，2） （3）??

???

???

?

??-

-????????? ?

?--?????????

?

?02121,626161,313131。 2．解空间的维数是2，一组基为T T )1,0,3

7,92(,)0,1,38

,91(21-=-=αα。

3．（1）提示：证明321,,βββ与321,,ααα等价，从而r(321,,βββ)=3，线性无关。 （2）基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵为???

?

??????--001211010

。

（3）向量α关于基321,,βββ的坐标为(2，-5，1)。

4． ()

()0)1(121=-?--=--=--=-=-=-+-E A E A E A E A A E A E A E A T

k T T 。

三、证明题

1. 提示：证明两个向量组等价，即},{},{γββα?，则生成子空间),(),(γββαL L =。

2. 证明： ()

()

E AA A A A A A A A A A T T

T

T ====----1

12

1

1*)(*。

3．提示：0111=+?+-=+=+=+---B A B A B A B A B A E A B A

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

线性代数第三章向量复习题()

向量复习题（3） 一、填空题： 1.当t _______时，向量123(1,2,2),(4,,3),(3,1,1)T T T t ααα=-==-线性无关. 2.. 向量(1,2,1),T α= 则 T αα= T αα?= ， 3. 如果n ααα,,,21???线性无关，且1+n α不能由n ααα,,,21???线性表示，则 121,,,+???n ααα 的线性 4. 设T )5,2(1=α , T a )1(2，=α，当=a 时，21,αα线性相关. 5. 一个非零向量是线性 的，一个零向量是线性 的. 6. 设向量组A: 321,,ααα线性无关，31αα+，12αα-，32αα+线性 7. 设A 为n 阶方阵，且1)(-=n A r ， 21,αα是AX=0的两个不同解，则21αα，一定 线性 8. 向量组1,,l ββL 能由向量组1,,m ααL 线性表示的充分必要条件是 12(,,)m R ααα 1212(,,,)m l R αααβββ ,,,。(填大于，小于或等于) 9.设向量组()11,1,1α= ,()21,2,3α= ,()31,3,t α=线性相关，则t 的值为 。 二、选择题： 1. . n 阶方阵A 的行列式0=A ,则A 的列向量（ ） Ａ．线性相关 Ｂ．线性无关 Ｃ．0)(=A R Ｄ．0)(≠A R 2. 设A 为n 阶方阵，n r A R <=)(，则A 的行向量中（ ） A 、必有r 个行向量线性无关 B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组

C 、任意r 个行向量线性相关 D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示 3. 设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα 和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα> ，则（ ）． A 、向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关 B 、向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 C 、向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 D 、向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关 4. 下列命题中正确的是( ) (A)任意n 个1+n 维向量线性相关 (B)任意n 个1+n 维向量线性无关 (C)任意1+n 个n 维向量线性相关 (D)任意1+n 个n 维向量线性无关 5. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则( ) （A ）s r = (B) s r ≤ (C) r s ≤ (D) r s < 6. n 维向量组 s ααα，，， 21(3≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）. (A ）s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 (B) s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (C) s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D) s ααα，，， 21中不含零向量 7. 向量组n ααα,,,21???线性无关的充要条件是（ ） A 、任意i α不为零向量 B 、n ααα,,,21???中任两个向量的对应分量不成比例 C 、n ααα,,,21???中有部分向量线性无关 D 、n ααα,,,21???中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示 8. 设A 为n 阶方阵，n r A R <=)(，则A 的行向量中（ ） A 、必有r 个行向量线性无关 B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组 C 、任意r 个行向量线性相关

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

线性代数教案-向量与向量空间

线性代数教学教案 第3章 向量与向量空间 授课序号01 教 学 基 本 指 标 教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质 教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容 一． 维向量的概念 1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量. 2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算 1．定义： （1）分量全为0的向量称为零向量； （2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等； （4）对于，，称为与的和； （5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为. 2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有： n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12?????????????? n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---T n a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---T n n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k ,

空间向量及其运算

§8.5 空间向量及其运算 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，

《线性代数》模拟试卷B及答案

《线性代数》模拟试卷B 及答案 一、选择题（每小题3分，共30分） （1）若A 为4阶矩阵，则3A =（ ） (A) 4A (B) 43A (C) 34A (D)3A （2）设A ，B 为n 阶方阵，0A ≠且0AB =，则（ ） (A)0B = (B)0BA = (C)222()A B A B +=+ (D)00A B ==或 （3）A ，B ，C 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ） (A) AB BA = (B)0,00A B AB ≠≠≠则 (C) AB A B = (D) ,AB AC B C ==若则 （4）222()2A B A AB B +=++成立的充要条件是（ ） (A)AB BA = (B) A E = (C)B E = (D)A B = （5）线性方程组(1)22(1)k x y a x k y b -+=??+-=?有唯一解，则k 为（ ） (A)任意实数 (B) 不等于 (C) 等于 (D) 不等于0 （6）若A 为可逆阵，则1()A *-=（ ） (A)A A (B)A A * (C)1 A A - (D)1 A A -* （7）含有4个未知数的齐次方程组0AX =，如果()1R A =，则它的每个基础解系中解向量的个数为（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

（8）设A 为m n ?矩阵，齐次方程组0AX =仅有零解的充要条件是A 的（ ） (A) 列向量线性无关 (B) 列向量线性相关 (C) 行向量线性无关 (D) 行向量线性相关 （9）已知矩阵A=3111?? ?-?? ,下列向量是A 的特征向量的是（ ） (A)10?? ??? (B)12?? ??? (C)12-?? ??? (D) 11-?? ??? （10）二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+为正定二次型，则λ 的取值范围是（ ） (A)21λ-<< (B)12λ<< (C)32λ-<<- (D)2λ> 二、计算题（第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30分） 1、计算行列式 4x a a a a x a a D a a x a a a a x = 。（5分） 2、设321A=315323?? ? ? ??? ，求A 的逆-1A 。（5分）

空间向量及其运算练习题

空间向量及其运算 基础知识梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向________且模________的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量：________________________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________. 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是： OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ， b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点 O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝ ______. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向 量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2 ，则称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝____________；②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?______________?____________，____________，______________， a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________，

空间向量知识点与题型归纳总结

空间向量知识点与题型归纳总结 知识点精讲 一、空间向量及其加减运算 1.空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可 用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a r 的起点是A ，终点是B ，则向量a r 也可以记作 AB u u u r ，其模记为a r 或AB u u u r . 2.零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作0r .当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =u u u r r . 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量a r 长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a -r . 4.空间向量的加法和减法运算 （1）OC OA OB a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ，BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r .如图8-152所示. （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+r r r r ，()() a b c a b c ++=++r r r r r r 二、空间向量的数乘运算 1．数乘运算 实数λ与空间向量a r 的乘积a λr 称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λr 与向量a r 方向相同；当0λ<时，向量a λr 与向量a r 方向相反. a λr 的长度是a r 的长度的λ倍. 2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 () a b a b λλλ+=+r r r r ，() ()a a λμλμ=r r . 3.共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a r 平行于b r ，记作//a b r r . 4.共线向量定理

线性代数模拟试题(4套)

模拟试题一 一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、若B A ,为n 阶方阵，则B A B A +=+.……………………() 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆.……………………………() 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…() 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………() 5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合1、23456. 7、(R 8、若9、设10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为. 三、计算：(每小题8分，共16分) 1、已知4阶行列式1 6 11221212 112401---= D ，求4131211132A A A A +-+.

2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中??? ? ? ??=101020101A ，求矩阵B . 四、(10分)求齐次线性方程组???????=++-=-++=--+-=++-024********* 432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解. 五、(10分)设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为 2六、(10（1（2（3（41. 2、（单 （1）做矩阵53?A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ；

（2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值. 模拟试题二 一、 判断题（正确的打√，不正确的打?）（每小题2分，共10分） （）1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+； （）2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ； （）3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零； （）4、若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+也是该方程组的解. （）5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。 123、设4、(33α5一； 67、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T 2,,2λ-正交，则λ=； 8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为。 三、计算题（每小题8分，共16分） 1、设矩阵??? ? ??=???? ??--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。

空间向量及其运算练习题

空间向量及其运算练习题 一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为 （ ）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图

大学线性代数模拟题

第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。(知识点：行列式的逆序数) 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D -。 3、设1101A ??= ? ?? , 则100A =110001?? ???。 23111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A = 1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。答案应该为5的n 次方 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

空间向量及其运算测试题

高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试 一、选择题 1 抛物线2 81x y - =的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 32 1 =y D ． 2-=y 2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是 （ ） A ． 22 1169x y += B ． 22 11612x y += C ．22 143x y += D ．22 134 x y += 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝ （ ） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC → ＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－20 9 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形 为 （ ） A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形 D ．空间四边形

线性代数模拟试卷一

2018—2019学年第二学期期末考试 课程名称：线性代数(模拟试卷一) 闭卷 A 卷 120分钟 一、选择填空题：（每题2 分，共14分） 1）行列式3 15 4 12231---中，元素4的代数余子式为 。 2）设行列式11 121321222331 32 33 3a a a a a a a a a =，则313233 2131 2232 233311 12 13 222222222222a a a a a a a a a a a a +++= 。 3）设112311131111A --?? ??=--????--?? ，则A 的秩()r A = 。 4）设向量组 123,,ααα线性无关，则当t =_____ 时，向量组21α-α，32t α-α，13α+α 线性相关。 5）线性方程组121232 343414 1 x x a x x a x x a x x a -=-??-=??-=??-=?有解的充要条件是 。 6）若A 的特征值为1,0,2-，则2 A 的特征值为 。 7) 已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则方程组Ax b =的通解为 。 二）计算下列行列式（10分） 1110110110110111 ；

三）（12分）设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+，且已知301110014A ????=?????? ，求矩阵B 。 四）已知向量组[ ]1132 0α=，[]270143α=，[]32101α=-， []45162α=，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关 组线性表示。（12分） 五）设有线性方程组12312312336 32334x x x x x x x x ax b ++=?? ++=-??-++=? ，问a b 、为何值时，方程组①有唯一解？② 无解？③有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。（12分） 六）（14分） 1、求一正交变换X PY =，将二次型222 123121233322(,,)f x x x x x x x x =+-+化为标 准形。（线性代数A 的同学选做） 2）已知矩阵310130002A -?? ??=-?????? 求一正交矩阵p ，使得T P AP 为对角矩阵。（线性代数 B 的同学选做） 七）设向量组123120347110 ,,,011234b a αααβ???????? ? ? ? ? ? ? ? ?==== ? ? ? ?- ? ? ? ????????? 。 (1) 当,a b 取何值时，β不能由123,,ααα线性表示？ (2) 当,a b 取何值时，β可由123,,ααα线性表示？并写出此表示式。（12分） 八）若矩阵0102040a A b ?? ? = ? ??? 有三个线性无关的特征向量，问a 与b 应满足什么条件？（10 分） 九）已知A 为降秩矩阵，证明：矩阵A 至少有一个特征值为零。（4分）

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

线性代数 向量组的线性相关性

第三节 向量组的线性相关性 分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点 一、线性相关性概念 定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使 ,02211=+++s s k k k ααα (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则 （1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定 定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =???? ?? ? ??=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s .

空间向量及其运算和空间位置关系 练习题

空间向量及其运算和空间位置关系 1．在下列命题中： ①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行； ②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面； ④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ， z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选A a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A. 2．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1 的交点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM ―→ 相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋1 2b ＋c C ．－12a －12b ＋c D.12a －1 2 b ＋c 解析：选A BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→ )＝c ＋12(b －a)＝－12a ＋12b ＋c. 3．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→ (x ， y ，z ∈R)，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC ―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→ ，根据共面向量定理

线性代数向量空间自测题(附答案)

《第四章 向量空间》 自测题 （75分钟） 一、选择、填空（20分，每小题4分） 1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R 上一个向量空间的是（ ）。 （A ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，分量是整数的所有向量； （C ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量； （D ）R n 中，分量满足x 1=1，x 2，…，x n 可取任意实数的所有向量。 2．设R 4 的一组基为,,,,4321αααα令 414433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=， 则子空间}4,3,2,1,|{44332211=∈+++=i F k k k k k W i ββββ的维数为 ，它的一组基为 。 3. 向量空间R n 的子空间 },0|)0,,,,{(1121121R x x x x x x x W n n ∈=+=-- 的维数为 ， 它的一组基为 。 4. 设W 是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即?? ? ???????∈???? ??=R a a a a a W ij 2212 1211，则它的维数为 ，一组基为 。 5．若A=????? ? ? ?????? ?? ? - 10 0021021b a 为正交矩阵，且|A|=－1，则a = ，= 。 二、计算题（60分） 1.（15分）设R 3的两组基为： T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ααα和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===βββ， 向量α=（2，3，3）T （1）求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵。 （2）求α关于这两组基的坐标。 （3）将321,,βββ化为一组标准正交基。 2. （15分）在R 4 中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基，

线性代数模拟题及答案

模拟试题一 一. 填空题 （将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1．n 阶行列式D 的值为c, 若将D 的所有元素改变符号, 得到的行列式值 为 . 2．设矩阵A = ????? ??101020101 ，矩阵X 满足 E AX + = X A +2 ，则X = ????? ? ?201030102 3．设n 阶矩阵A 满足 E A A 552+- = 0 ，其中E 为n 阶单位阵，则 1)2(--E A = 4．设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则E A +*= . 5．当 λ 满足条件 时线性方程组 ???????=+--=-++-=-++-=+--00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ 只有零解． 二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共20分) 1．131211232221333231333231 232221 131211 222333 d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=则=( ). ① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d 2. 向量组 s ααα,,,21Λ的秩为s 的充要条件是（ ）。 ① 向量组不含零向量 ② 向量组没有两个向量的对应分量成比例 ③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 ④ 向量组线性无关 3. 当t =（ ）时，向量组 ),4,5( , )5,2,3( , )0,1,2(321t ===ααα线性相关。 ① 5 ② 10

高中数学人教A版选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试题(含解析答案)

祈福教育 高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题 一、选择题 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝ （ ） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为1 2的是 （ ） A. BC AB ? B. BD AB ? C.DA AB ? D.AC AB ? 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC → ＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 5．若向量{c b a ,,}是空间的一个基底，向量b a n b a m -=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( ) A ．a B ．b C ．c D ．2a 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－20 9 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形 为 （ ）