高中数学平面解析几何知识点梳理范文
平面解析几何 一.直线部分 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转 到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α ,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率: αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式: )(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式: 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112 =-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式: 1=+b y a x ( b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式: 0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y --=,即,直线的斜率:B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为 00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等....?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数.......?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等.......?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111: l y k x b =+,222:l y k x b =+ ① 212121 ,//b b k k l l ≠=?; ② 12121l l k k ⊥?=-. (2)若0:1111 =++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有 ① 1221122121 //C A C A B A B A l l ≠=?且.② 0212121=+?⊥B B A A l l . 5.平面两点距离公式: (111(,)P x y 、222(,)P x y ),22122121)()(y y x x P P -+-=.x 轴上两点间距离:A B x x AB -=.
高三数学二轮专题平面解析几何复习教案
高三数学二轮专题复习教案――平面解析几何 一、本章知识结构: 二、重点知识回顾 1.直线 (1).直线的倾斜角和斜率 直线的的斜率为k ,倾斜角为α,它们的关系为:k =tan α; 若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则1 21 2x x y y K AB --=。 (2) .直线的方程 a.点斜式:)(11x x k y y -=-; b.斜截式:b kx y +=; c.两点式: 1 21121x x x x y y y y --= --; d.截距式:1=+b y a x ; e.一般式:0=++C By Ax ,其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系
两条直线1l ,2l 有三种位置关系:平行(没有公共点);相交(有且只有一个公共点);重合(有无数个公共点).在这三种位置关系中,我们重点研究平行与相交。 若直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ,则 1l ∥2l ?1k =2k ,1l ⊥2l ?1k ·2k =-1。 (4)点、直线之间的距离 点A (x 0,y 0)到直线0=++C By Ax 的距离为:d= 2 2 00| |B A C By Ax +++。 两点之间的距离:|AB|=212212)()y y x x -+-( 2. 圆 (1)圆方程的三种形式 标准式:222)()(r b y a x =-+-,其中点(a ,b )为圆心,r>0,r 为半径,圆的标准方程中有三个待定系数,使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小. 一般式:022=++++F Ey Dx y x ,其中??? ??-- 22 E D ,为圆心 F E D 42122-+为半径, ,圆的一般方程中也有三个待定系数,即D 、E 、F .若已知条件中没有直接给出圆心的坐标(如题目为:已知一个圆经过三个点,求圆的方程),则往往使用圆的一般方程求圆方程. 参数式:以原点为圆心、r 为半径的圆的参数方程是?? ?==θθsin , cos r y r x (其中θ为参数). 以(a ,b )为圆心、r 为半径的圆的参数方程为???+=+=θ θsin , cos r b y r a x (θ为参数),θ的几何意义是:以 垂直于y 轴的直线与圆的右交点A 与圆心C 的连线为始边、以C 与动点P 的连线为终边的旋转角,如图所示. 三种形式的方程可以相互转化,其流程图为: 2.二元二次方程是圆方程的充要条件 “A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件. 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且0422>-+AF E D ” ,它可根据圆的一般方程推导而得. 3.参数方程与普通方程 我们现在所学的曲线方程有两大类,其一是普通方程,它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系;其二是参数方程,它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的(间接)关系,参数方程中的参数,可以明显的物理、几何意义,也可以无明显意义. 要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别,前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来, 3.圆锥曲线 (1).椭圆的标准方程及其性质
高考数学2019真题汇编-平面解析几何(解析版)
专题05 平面解析几何 1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与 C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为 A .2 212 x y += B .22 132x y += C .22 143 x y += D .22 154 x y += 【答案】B 【解析】法一:如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===, 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=. 在1AF B △中,由余弦定理推论得22214991cos 2233 n n n F AB n n +-∠==??. 在12AF F △中,由余弦定理得2 2 14422243n n n n +-??? =,解得3n =. 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为 22 132 x y +=,故选B . 法二:由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===, 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=. 在12AF F △和12BF F △中,由余弦定理得222122 2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=? ,
又2121,AF F BF F ∠∠互补,2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=,两式消去 2121cos cos AF F BF F ∠∠,,得223611n n +=,解得 2 n = .22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=,故选B . 【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养. 2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2 =2px (p >0)的焦点是椭圆 2231x y p p + =的一个焦 点,则p = A .2 B .3 C .4 D .8 【答案】D 【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2 p 是椭圆 2231x y p p +=的一个焦点,所以2 3()2 p p p -=,解得8p =,故选D . 【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养.解答时,利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程,从而解出p ,或者利用检验排除的方法,如2p =时,抛物线焦点为(1,0),椭圆焦点为(±2,0),排除A ,同样可排除B ,C ,从而得到选D . 3.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C :22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点,O 为 坐标原点,以OF 为直径的圆与圆222 x y a +=交于P ,Q 两点.若PQ OF =,则C 的离心率为 A B C .2 D
高考数学压轴专题最新备战高考《平面解析几何》技巧及练习题
【最新】数学复习题《平面解析几何》专题解析 一、选择题 1.已知曲线()22 22:100x y C a b a b -=>,>的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,MO OP =u u u u v u u u v ,直线2PF 交双曲线C 于另一点N ,若 122PF PF =,且2120MF N ∠=?则双曲线C 的离心率为( ) A . 23 B .7 C .3 D .2 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合双曲线的定义可得124,2PF a PF a == ,在三角形12PF F 中,由余弦定理可得2224208c a a =+,据此计算双曲线的离心率即可. 【详解】 由题意,122PF PF =,由双曲线的定义可得,122PF PF a -= ,可得 124,2PF a PF a == , 由四边形12PF MF 为平行四边形,又2120MF N ∠=?,可得12120F PF ∠=?, 在三角形12PF F 中,由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-???? , 即有2224208c a a =+,即227c a =,可得7c a =,即7c e a = =. 【点睛】 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法: ①求出a ,c ,代入公式c e a = ; ②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).
2019高考数学真题(文)分类汇编-平面解析几何含答案解析
平面解析几何专题 1.【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A B .1 C D .2 【答案】C 【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=,所以a b =,则c ==,所以双曲线的离 心率c e a = =故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =,进一步可得离心率,属于容易题,注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念,准确计算,是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误. 2.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C :22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为 A .2sin40° B .2cos40° C . 1 sin50? D . 1 cos50? 【答案】D 【解析】由已知可得tan130,tan 50b b a a - =?∴=?, 1cos50c e a ∴======?, 故选D . 【名师点睛】对于双曲线:()222210,0x y a b a b -=>>,有c e a == 对于椭圆()222210x y a b a b +=>>,有c e a == 3.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为
A .2 212 x y += B .22 132x y += C .22 143 x y += D .22 154 x y += 【答案】B 【解析】法一:如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===, 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=. 在1AF B △中,由余弦定理推论得22214991cos 2233 n n n F AB n n +-∠==??. 在12AF F △中,由余弦定理得2 2 14422243n n n n +-??? = ,解得2 n =. 2 2 2 24,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=,故选B . 法二:由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===, 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=. 在12AF F △和12BF F △中,由余弦定理得222122 2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?, 又2121,AF F BF F ∠∠互补,2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=,两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,,得 223611n n += ,解得n = .22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=,故选B . 【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好地
全国各地高考文科数学试题平面解析几何及答案
2013年全国各地高考文科数学试题分类 平面解析几何及详解答案 一、选择题 1 .(2013年高考重庆卷(文))设P是圆22 -++=上的动点,Q是直线 x y (3)(1)4 x=-上的动点,则PQ的最小值为()3 A.6 B.4 C.3 D.2 【答案】B 2 .(2013年高考江西卷(文))如图.已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1m的 圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cosx,则y与时间t(0≤x≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大致为 【答案】B 3 .(2013年高考天津卷(文))已知过点P(2,2) 的直线与圆225 -相 += x y (1)
切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a = ( ) A .12 - B .1 C .2 D .12 【答案】C 4 .(2013年高考陕西卷(文))已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是 ( ) A .相切 B .相交 C .相离 D .不确定 【答案】B 5 .(2013年高考广东卷(文))垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一 象限的直线方程是 ( ) A .20x y +-= B .10x y ++= C .10x y +-= D .20x y ++= 【答案】A 二、填空题 6 .(2013年高考湖北卷(文))已知圆 O : 225 x y +=,直线 l :cos sin 1x y θθ+=(π 02 θ<<).设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ,则 k =________. 【答案】4 7 .(2013年高考四川卷(文))在平面直角坐标系内,到点 (1,2)A ,(1,5)B ,(3,6)C ,(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是__________ 【答案】(2,4) 8 .(2013年高考江西卷(文))若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1相切,则圆C 的方程是_________. 【答案】22325 (2)()2 4 x y -++=
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》全集汇编含答案解析
数学《平面解析几何》知识点 一、选择题 1.已知抛物线y 2=4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1,到直线3x -4y +9=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值是( ) A . 125 B .6 5 C .2 D 【答案】A 【解析】 试题分析:根据抛物线的定义可知抛物线2 4y x =上的点P 到抛物线的焦点距离1PF d =,所以122d d MF d +=+,其最小值为()1,0F 到直线3490x y -+=的距离,由点到直线的 距离公式可知()() 122min min 12 5 d d MF d +=+= = ,故选A. 考点:抛物线定义的应用. 2.已知双曲线2 2x a -22y b =1(a >0,b >0)的左顶点与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的距离为4, 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( ) A . B . C . D .【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解:根据题意,双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1), 即点(-2,-1)在抛物线的准线上,又由抛物线y 2=2px 的准线方程为2 p x =-,则p=4, 则抛物线的焦点为(2,0); 则双曲线的左顶点为(-2,0),即a=2; 点(-2,-1)在双曲线的渐近线上,则其渐近线方程为1 2 y x =±, 由双曲线的性质,可得b=1; 则c = 故选A . 3.已知直线21y kx k =++与直线1 22 y x =-+的交点位于第一象限,则实数k 的取值范围是( )
A .12 k > B .16k <- 或1 2 k > C .62k -<< D .11 62 k - << 【答案】D 【解析】 【分析】 联立21 1 22y kx k y x =++???=-+?? ,可解得交点坐标(,)x y ,由于直线21y kx k =++与直线1 22y x =-+的交点位于第一象限,可得00x y >??>? ,解得即可. 【详解】 解:联立211 22y kx k y x =++???=-+??,解得2421 6121k x k k y k -? =??+?+?=?+?, Q 直线21y kx k =++与直线1 22 y x =- +的交点位于第一象限, ∴24021610 21k k k k -?>??+?+?>?+? ,解得:11 62k -<<. 故选:D . 【点睛】 本题考查两直线的交点和分式不等式的解法,以及点所在象限的特征. 4.已知双曲线22 22:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ,以12F F 为直径的 圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点,且四边形PQMN 为正方形,则双曲线C 的离心率为 ( ) A .2B C .2D 【答案】D 【解析】 【分析】 设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点,根据对称性可得出 ,22P c c ?? ? ??? ,将点P 的坐标代入双曲线C 的方程,即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】