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创新设计高考总复习配套学案：指数及指数函数Word版

第5讲指数与指数函数

[最新考纲]

1．了解指数函数模型的实际背景．

2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底

数为2,3,10，1

，

的指数函数的图象．

4．体会指数函数是一类重要的函数模型.

知识梳理1．根式

(1)根式的概念

①n

a n＝

??a，n为奇数，

|a|＝

?a，a≥0，

－a，a＜0，

n为偶数．

②(n

a)n＝a.

2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①零指数幂：a0＝1(a≠0)．

②负整数指数幂：a－p＝1

a p

(a≠0，p∈N*)；

③正分数指数幂：a n m＝n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

④负分数指数幂：a

m -

＝

m 1

＝

a m

(a ＞0，m ，n ∈N *

，且n ＞1)；

⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质

1．指数幂的应用辨析 (1)(4

－2)4＝－2.(×)

(2)(教材探究改编)(n

a n )＝a .(×) 2．对指数函数的理解

(3)函数y ＝3·2x 是指数函数．(×) (4)y ＝? ??

1a x 是R 上的减函数．(×)

(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，

无论在y 轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．(×)

(6)(2013·金华调研改编)已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是(1,5)．(√) [感悟·提升]

1．“n a n ”与“? ??

??n

a n

”的区别当n 为奇数时，或当n 为偶数且a ≥0时，n a n ＝a ，当n 为偶数，且a ＜0时，n a n ＝－a ，而(n a )n ＝a 恒成立．如(1)中4

－2不成立，(2)中

－2

＝32≠3

－2.

2．两点注意一是指数函数的单调性是底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论，如(4)；

二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y 轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大．如(5).

学生用书

第22页

考点一指数幂的运算

【例1】 (1)计算：

()()()

0.53

211322

34350.008

0.02

0.3289--????-+÷????????

???? ? ?????÷0.062 50.25

； (2)若1

x ＋12

x -＝3，求3

x x x x

-++++的值．

解 (1)原式＝

827??????

???

－1

499?? ???

＋2

10008?? ???

×10?

62510000?? ???

＝? ????49－73

＋25×152×4210÷12＝? ????－179＋2×2＝2

(2)由1

x ＋12

x -

＝3，得x ＋x －1＋2＝9，∴x ＋x －1＝7，∴x 2＋x －2＋2＝49， ∴x 2

＋x －2

＝47.∵332

x x

+＝1122x x -??+? ??3－311

22x x -??

+? ??

＝27－9＝18，∴原式＝

18＋247＋3＝2

. 规律方法进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：

(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及a p a －p ＝1(a ≠0)简化运算．

答案 C

考点二指数函数的图象及其应用

【例2】 (1)(2014·郑州模拟)已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )．

(2)下列各式比较大小正确的是( )．A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62

C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1

解析(1)y＝2x―――→

向下平移

2个单位y＝2x－2――――――→

把x轴下方

的部分翻折上去

y＝|f(x)|.

(2)A中，∵函数y＝1.7x是增函数，2.5<3，

∴1.72.5<1.73.

B中，∵y＝0.6x是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62.

C中，∵(0.8)－1＝1.25，

∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．

∵y＝1.25x是增函数，0.1<0.2，

∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.

D中，∵1.70.3>1,0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1.

答案(1)B (2)B

规律方法 (1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．

(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．

【训练2】已知实数a，b满足等式2 011a＝2 012b，下列五个关系式：①0＜b ＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有( )．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析设2 011a ＝2 012b ＝t ，如图所示，由函数图象，可得

(1)若t ＞1，则有a ＞b ＞0；'(2)若t ＝1，则有a ＝b ＝0；(3)若0＜t ＜1，则有

a ＜

b ＜0.

故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．答案 B

考点三指数函数的性质及其应用

【例3】已知函数f (x )＝? ????1

2x －1＋12x 3.

(1)求函数f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )＞0.

审题路线由2x －1≠0可求f (x )的定义域?分别求g (x )＝

12x

－1＋1

与h (x )＝x 3

的奇偶性?可利用g (－x )±g (x )＝0判断g (x )的奇偶性?利用“奇×奇＝偶，奇×偶＝奇”判断f (x )的奇偶性?先证x ＞0时，f (x )＞0?再证x ＜0时，f (x )＞0.

解 (1)由2x －1≠0可解得x ≠0，∴定义域为{x |x ≠0}． (2)令g (x )＝

12x

－1＋1

，h (x )＝x 3. 则h (x )为奇函数，g (－x )＋g (x )＝12－x －1＋12＋12x －1＋12＝2x 1－2x ＋1

－1＋1＝0. ∴g (x )为奇函数，故f (x )为偶函数．

(3)证明当x ＞0时，2x －1＞0，∴? ????1

－1＋12x 3＞0，即f (x )＞0.又∵f (x )是偶函数， ∴当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＞0，

∴f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒大于零．∴f (x )＞0. 规律方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小．

(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.

学生用书第23页

【训练3】已知定义域为R 的函数f (x )＝2x ＋1＋a 是奇函数．

(1)求a ，b 的值；

(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.

解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即

－1＋b

2＋a

＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋1

4＋a ＝－－12＋11＋a .解得a ＝2.

(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋1

2x ＋1

由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数

f (x )在R 上是减函数)．

又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2

－2t －1>0，解不等式可得????

t ?

t >1或t <－

1．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．

2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成． 3．画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，?

???－1，1a .

4．熟记指数函数y ＝10x ，y ＝2x ，y ＝? ????110x ，y ＝? ????

12x 在同一坐标系中图象的相对

位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．

指数函数教案

指数函数第一课时教案一．教学目标 1. 知识与技能 ①掌握指数函数的概念，图像和性质； ②能由指数函数图像归纳出指数函数的性质； ③指数函数性质的简单应用； ④培养学生作图与读图的能力。 2. 过程与方法师生之间，学生与学生之间合作与交流，逐步使学生学会共同学习。 3. 情感态度与价值观 ①通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的学习兴趣，体会指数函数是一种重要的函数模型，并且由广泛的用途，逐步培养学生的应用意识。 ②在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段。二．教学重点 1. 指数函数的概念的理解； 2. 指数函数的图像和性质。三．教学难点底数a 对函数值变化的影响。四．教学过程 1. 以生活实例引入新课材料一：一把一米长的尺子第一次截去它的一半，第二次截去剩余部分的一半，第三次截去第二次剩余部分的一半，依次截下去，问截的次数x 与剩下的尺子长度y 之间的关系。（学生思考，老师组织学生交流各自的想法，捕捉学生交流中的有效信息，并简单板书。）材料二：(细胞分裂问题)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？（方法同上）从问题的解决回到数学问题：比较关系式：x y )2 1 (=，x y 2=有何异同？（学生讨论，老师及时总结得到如下结论）在x y ) 2 1(=和x y 2=中，每给一个x 的值都有唯一的一个y 值和它对应，因此关系式 x y )2 1 (=和x y 2=都是y 关于x 的函数，且函数形式相同，解析式的右边都是指数形式，且自变量都在指数位置上。由此引出函数模型x a y = 2. 讲解新课 ⑴．指数函数的概念一般的，形如x a y =的函数叫做指数函数。（其中x 是自变量，a 称为指数函数的底。） ⑵.指数函数概念理解和辨析 ①函数2 x y =与x y 2=有什么区别？

指数函数及其性质精品公开课教案

指数函数及其性质（第一课时）一、概述 ·指数函数是高中新引进的第一个基本初等函数，它既是函数概念及性质在高中数学的第一次应用，也是今后学习对数函数及其他初等函数的基础，当然指数函数在生活及生产实际中也有着广泛的应用．指数函数及其性质应重点研究. 二、教学目标分析 1．了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系． 2．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和指数函数的图象所过的特殊点． 3．在学习的过程中，要体会研究具体函数及其性质的知识展示过程和思考方法，如从具体到抽象、由特殊到一般的思维过程，特别是运用数形结合的思想研究函数的方法等．4．通过对指数函数的研究，认识到数学的应用价值，激发学习兴趣，善于在现实生活中从数学的角度发现问题，解决问题．三、学习者特征分析 1．在上一小节，学生学过了有关实数指数幂及其运算性质等知识，将指数幂由整数集推广到了实数集，这为本节学习指数函数的概念打下了学习的基础． 2．学生在前面已经学过了有关函数的概念及其性质的知识，并运用函数图象理解和研究函数的性质.在研究指数函数及其性质时，学生可以类比前面讨论函数性质的思路来研究，由于正在形成运用数形结合的思想方法来研究问题，所以利用指数函数的图象获取指数函数的性质还可能会感到有所困难．四、教学策略选择与设计 1．把研究抽象函数概念及性质的方法，类比地应用到研究指数函数的概念及性质． 2 3．教学过程中要注意发挥信息技术对学生理解知识的支撑，尽量利用计算器或计算机等创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供数学实验模型． 4．注意渗透和运用一些数学思想方法，如数形结合的数学思想．利用指数函数图象获取指数函数的性质是重点，充分利用函数的图象，让学生发现、概括、记忆函数的性质，提高学生数形结合的能力．

指数函数及其性质教案

指数函数及其性质教案课题：指数函数及其性质(第1课时) 教材：普通高中课程标准试验教科书人教社A版，数学必修1 教学内容：第二章，基本初等函数（I）,指数函数及其性质教学目标知识目标：理解指数函数的概念，初步掌握指数函数的图像和性质能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察，培养学生的探索发现能力，在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 | 教学重点﹑难点重点：指数函数的概念和图像难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质教学流程设计（一）指数函数概念的构建 1.探究：本节问题2中函数的解析式与问题1中函数的解析式有什么共同特征师生活动：教师提出问题引导学生把对应关系概括到的形式，学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 & 3.剖析概念（1）规定底数大于零且不等于1的理由：如果=0，如果等等时，在实数范围内实数值不存在如果是一个常量，对它就没有研究的必要（2）形式上的严格性指数函数是形式定义的函数，就像初中所学的一次函数﹑反比例函数都是形式定义的概念，因此把握指数函数的形式非常重要。在指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1，自变量在指数的位置上，否则，不是指数函数，比如等，都不是指数函数（二）指数函数的图像及性质 ) 1.提出问题：同学们能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的方法吗师生活动：教师引导学生回顾需要研究函数的那些性质，讨论研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图像在研究性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养，学生独立思考，提出研究指数函数性质的基本思路 2.画出函数的图像师生活动：学生用描点法独立画图，教师课堂巡视，个别辅导，展示画的较好的学生的图像