常微分方程教案(王高雄)第二章
第二章目录
内容提要及其它 (1)
第二章一阶微分方程的初等解法（初等积分） (2)
第一节变量分离方程与变量变换 (2)
一、变量分离方程 (2)
二、可化为变量分离方程的类型 (6)
1、齐次方程 (6)
2、可化为变量分离方程 (7)
三、应用例题选讲 (10)
第二节线性方程与常数变易法 (11)
第三节恰当方程与积分因子 (15)
一、恰当方程 (15)
二、积分因子 (20)
第四节一阶隐含方程与参数表示 (23)
一、可以解出y（或x）的方程 (24)
二、不显含y（或x）的方程 (25)
本章小结及其它 (27)
内容提要及其它
授课题目
（章、节）
第二章：一阶微分方程的初等解法
教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p30-74
主要参考书：
[1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005，
p1-70
[2]常微分方程教程，丁同仁等编，高等教育出版社，1991，p1-20
[3]偏微分方程数值解法（第2版），陆金甫关治，清华大学出版社，2004，
p1-12
[4]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p28-169
[5]微分方程模型与混沌，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，1999，
p15-158
[6]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p38-124
目的与要求：
掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法．理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．掌握四类典型的一阶隐方程的解法．
能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程．领会变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．
教学内容与时间安排、教学方法、教学手段：
教学内容：
第1节变量分离方程与变量变换；
第2节线性方程与常数变易法；
第3节恰当方程与积分因子；
第4节一阶隐方程与参数表示：可以解出（或
y x）的方程、不显含（或
y x）的方程．时间安排：8学时
教学方法：讲解方法
教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合。
教学重点分析：
熟悉各种类型方程的初等解法，并且能正确而又敏捷地判断方程的类型，从而用初等方法求解。
教学难点分析：
本章的教学难点是判断微分方程的类型，以及方程的转化（即把能转化为用初等方法求解的方程）。
第二章 一阶微分方程的初等解法（初等积分）
一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题。用数学方法经过有限次代数运算和作有限次不定积分，将微分方程的解用初等函数或初等函数的待积式来表达，这种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。能用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。
初等积分法的实质，就是尽可能设法把所遇到的微分方程之求解问题转化为积分（求原函数）问题。应当指出，只有少数特殊类型的微分方程，才可能用初等积分法求解，在多数情况下，初等积分法是不适用的。因此，对于微分方程中常见的类型在什么情况下能用初等积分法求解，是一个很重要而又有实际意义的问题。
本章将着重研究一阶微分方程
),('y x f y =
中几类可积方程的求解问题。同时对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特殊可积函数类型的求解问题，也可作适当地介绍。
第一节 变量分离方程与变量变换
一、变量分离方程
形如
)()('y x f y ?= （2.1）
的方程，称为变量分离方程，这里)(),(y x f ?分别是y x ,的连续函数。 下面讨论方程（2.1）的解法。 如果0)(≠y ?，可将（2.1）改写为
dx x f y dy
)()
(=? 这样，变量就“分离”出来了。两边积分，得到
c dx x f y dy
+=∫∫)()(? （2.2）
这里把积分常数明确写出来，而把
c ∫∫dx x f y dy )(,)(?分别理解为)(,)
(1
x f y ?的某一个原函数。 把（2.2）作为确定是y x 的隐函数的关系式。于是，对于任一常数c ，微分（2.2）的两边，就知（2.2）所确定的隐函数满足方程（2.1），因而，（2.2）是（2.1）的通解。
注：如果存在，使0y 0)(0=y ?，直接代入，可知0y y =也是（2.1）的解，可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上。
例1 求解方程
y
x dx dy ?= 解：将变量分离，得到：
xdx ydy ?=
两边积分，有：
2
2222c
x y +?= 因而，通解为：
c y x =+22
这里是任意正常数，或者，解出c y ，写出显函数形式的解
2x c y ?±=
例2 求解方程
x y dx
dy
cos 2=，并求满足初始条件：当0=x 时，1=y 的特解。 解：将变量分离，得到：
xdx y
dy
cos 2= 两边积分，有：
c x y
+?=sin 1
因而，通解为：
c
x y +?
=sin 1
这里是任意正常数，此外，方程还有解c 0=y
把初始条件当时，代入通解中，得：0=x 1=y 1?=c ，因而，所求特解为：
x
y sin 11
?=
例3 求
y x p dx
dy
)(=的通解。其中是)(x p x 的连续函数。 解：将原方程进行变量分离，得到
dx x p y
dy
)(= 两边积分，即得：
c
dx x p y ~)(ln +=∫ 这里是任意常数，由对数定义，即有
c dx x p e y ~
)(+∫=
即
∫±=dx x p c e e y )(~
令c e c ~
±=，得到
∫=dx x p ce y )( （2.4）
此外，显然也是（2.3）的解，如果在（2.4）中允许0=c ，则0=y 也就包括在（2.4）中，其中c 是任意常数． 例4 求方程
x
y
dx dy = （2.5） 的通解．
解 将方程（2.5）改写为（对称）形式
0=?xdy ydx （2.6）
当时，分离变量后积分，依次得：
,x y ≠≠00x
dx y dy = 1ln c x dx
y dy +=∫∫ ()01>c
1ln ln ln c x y += ()01>c
取指数函数，得到：
x c y 1= ()01>c
或 cx x c y =±=1 （2.7）
其中可以取正值也可以取负值，但不能为零。因为在积分过程中的积分常数时无意义．
c 01=c 讨论：和的情形．
)0(0≠=x y )0(0≠=y x
从方程（2.6）或（2.5）不难看出，0=y 是它的一个解，这个解是由于分离变量时用除而失掉的．如果认定常数可以取值0=c ，那么失掉的解0=y 就包含在解（2.7）中，故方程（2.6）即（2.5）的通解为
cx y = （2.8）
其中是任意常数，它可以在c 1
R 上任意取值，这样一来，虽然在积分过程中，对积分常数作了一定限制，但最终结果表明，这个限制将被取消而不影响积分常数的任意性．
当时，方程（2.5）的右端无意义，应该考虑方程
0=x y
x
dy dx = 此方程的（对称）形式仍然是方程（2.6）．
显然也是方程（2.6）的一个解，而这个解不能从通解（2.7）中得到，因为只有0=x ∞→c 时才有．然而积分常数c 虽然可以任意取值，但所取的值都必须是有限制，所以说通解（2.7）中不包括解，如果允许c ，那么也就包括在通解（2.7）中．
0=x 0=x ∞→所以，这个结果与用积分曲线方法求的解一样． 例5 R-L 电路（参见本书P4例2）
如图（1.2）的R-L 电路，它包含电感L 电阻R 和电源E 。设0=t 时，电路中没有电流。 问题：当开关K 合上后，电流I 应该满足的微分方程。 基本假定：假定R 、L 、E 都是常数。 解：第一步建立微分方程
分析：引用关于电路的基尔霍夫（Kirchhoff ）第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零。
又有电学中的基本知识得：经过电阻R 的电压降是RI ，而经过电感L 的电压降是dt
dI L ， 于是，由基尔霍夫（Kirchhoff ）第二定律得到：
0=??RI dt
dI
L
E （1.8） 或： L
E
I L R dt dI =+ （1.8’）
求出的应当满足的条件：
)(t I I =当时， （1.9）
0=t 0=I 如果假定在时，，电源突然短路，因而E 变为零，此后亦保持为零，那么电流I 满足方程
0t t =0I I =
0=+I L
R
dt dI （1.10） 及条件：当时， （1.11） 0t t =0I I =第二步：利用分离变量方法求解微分方程
仿例1的方法，利用分离变量法，联合（1.10）和（1.11）可以求解得到：
t L
R e
C I ?=0，
其中，00L
R e
C =
二、可化为变量分离方程的类型
有的微分方程从表面上看，不是可分离变量的微分方程，但是，通过适当的变量替换，就可以很容易地化为“变量分离方程”，在这里，介绍两类这样的方程。
1、齐次方程
形如
(x
y
g dx dy = （2.9） 的方程，称为齐次方程，这里是的连续函数。
下面讨论齐次（2.9）的求解方法。该方法的要点是：利用变量代换将（2.9）化为变量分离方程。利用变换来解微分方程是一种常用的技巧。 作变量变换
x
y
u =
（2.10） 即ux y =，于是（求复合函数的导数）
u dx du x dx
dy += （2.11）
将（2.10）和（2.11）代入（2.9），则原方程变为
)(u g u dx
du
x
=+ 整理后，得到
x
u
u g dx du ?=
)( （2.12） 于是方程（2.12）就是一个分离变量方程。 例6 求解方程
tan(x
y x y dx dy +=。
解：解题要点： z 作变量变换x
y u =
z 求复合函数的导数； z 整理
z 分离变量微分方程
z 利用分离变量方法求解该微分方程
注意：讨论零解是否在通解中？结果表明零解在通解中。 例7 求解方程)0(2<=+x y xy dx
dy
x 解：解题要点：
z 改写原方程为齐次微分方程 z 作变量变换x
y u =
z 求复合函数的导数； z 整理
z 分离变量微分方程
z 利用分离变量方法求解该微分方程
注意：讨论零解是否在通解中？结果表明零解不在所求通解中，于是要把零解补充完备。 例8 求解方程
)0()ln('>=+xy xy y y xy 解：解题要点：
z 变形：改写原方程为齐次微分方程：)0()ln()(>=xy xy y xy dx
d
z 变量变换：xy u =，则x
u
y =
，代入原方程即可得到可分离变量方程： u u dx
du x ln = 分离变量后积分，依次得到：
x
dx
u u du =
ln cx u =ln
cx e u =
原方程的通解为：
cx
cx
e x
y e xy 1=
=或
下面再介绍一个可分离变量方程的应用。
2、可化为变量分离方程
形如：
2
221
11c y b x a c y b x a dx dy ++++= （2.13） 的方程经过适当地变量变换可转化为变量分离方程。均为常数． 222111c ,b ,a ,c ,b ,a 下面分三种情形来讨论， (1)、 的情形
0c c 21==此时，（2.13）变为齐次方程，于是可用第一类方程的求解方法来求解。 事实上，有
)x
y (g x
y b a x y
b a y b x a y b x a dx dy 2
21
12211=++=
++= (2)、
0b a b a 2211=，即2
121b b
a a =的情形 事实上，此时有
2
1
21b b a a =，可设比值为，即k k b b a a 2121==，则（2.13）变为
)y b x a (f c y b x a c )y b x a (k c y b x a c y b x a dx dy 222
221
22222111+=++++=++++= （2.14） 令，则方程（2.14）可化为
y b x a u 22+=)u (f b a dx
du
22+= 即为分离变量方程。
(3)、
0b a b a 2
21
1≠及不全为零的情形 21c ,c 通过分析知道，此时方程（2.13）右端的分子、分母都是的一次式，因此
y ,x ??
?=++=++0
c y b x a 0
c y b x a 222111 （2.15）
代表xy 平面上两条相交的直线，设交点的坐标（βα,）。
显然，0≠α或0≠β，因为否则0==βα，即交点为坐标原点，此时必有，就变为第一种情形了（1）。于是，根据解析几何的知识，要将所考虑的情形化为情形（1），只需作坐标平移即可，即把坐标原点移至（0c c 21==)0,0(βα,）就行了。事实上，若令
?
?
??=?=βα
y Y x X （2.16） 则（2.15）化为
??
?=+=+0Y b X a 0
Y b X a 22
11 从而（2.13）变为
X
Y
(g Y b X a Y b X a dX dY 2211=++= （2.17） 大家分析知道，（2.17）为齐次方程。 因此，有求解这种情形的一般步骤为：
z 解联立代数方程（2.15），设其解为βα==y ,x ； z 作平移变换（2.16）将方程化为齐次方程（2.17）； z 利用齐次方程的求解方法求解； z 代回原变量，得到原方程的解。
推广：一、求解（2.13）的方法和步骤可用于求解更一般形式的方程：
)c y b x a c y b x a (f dx dy
2
22111
++++= 一、以下形式的方程均可以通过适当的变量变换变为变量分离方程
)c by ax (f dx dy ++=、0dy )xy (xg dx )xy (yf =+、)xy (f dx dy
x 2= )x
y (xf dx dy 2=， 0)ydx xdy )(y ,x (N )ydy xdx )(y ,x (M =?++（其中为的齐次函数，但次数可以不
同）。 )y ,x (N ),y ,x (M 例9 求解方程
3
y x 1
y x dx dy ?++?= （2.18）
解：1、解联立方程
??
?=?+=+?0
3y x 0
1y x 得 ，令
2y ,1x ==?
?
?+=+=2y Y 1
X x 代入原方程（2.18），则有
Y
X Y
X dX dY +?=
再令X
Y
u =
，即 uX Y =则（2.18）化为
du u u 21u
1X dX 2
??+= 两边积分，得
c ~1u 2u ln X ln 22+?+?=
记1c
~c e =±，并代回原变量，就得
122c X XY 2Y =?+
即
12
2
c )1x ()1x )(2y (2)2y (=????+?此外，容易验证，，即，也是方程（2.18）的解。 01u 2u 2=?+0X XY 2Y 22=?+所以，原方程的通解为：
c )1x ()1x )(2y (2)2y (22=????+?
其中c 是任意常数。
三、应用例题选讲
例10 探照灯反射镜面的形状
问题：在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状。
解：分析：取光源所在处为坐标原点，而轴平行于的反射方向，如图（2.3），设所求曲面由曲线
x 光?
?
?==0z )
x (f y 上
的 绕轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为平面的曲线y =问题。
x xy )x (f
假设：过曲线上任一点作切线，则由光的反射定律：入射角等于反射角，容易得到：)x (f y =)y ,x (M NT 21αα= 从而 ON OM = 注意到
NP
MP
tan dx dy 2=
=α 及22y x OM ,y MP ,x OP +=
==
就得到函数所满足的微分方程
)x (f y =2
2y x x y
dx dy ++=
这就是齐次方程，以下利用齐次方程的求解方法即可得到问题的解。 注意：在求解齐次方程时除了作变换x
y
u =以外，还可以作变换y x v =，也可以将原方程化为可分离变
量方程。 例11 已知，试求函数的一般表达式。
0x ,1dt )t (f )
x (f x
≠=∫
)x (f 解：解题思路：设法变成微分方程。
利用变上限积分所确定的定积分是变上限的函数。 于是，假定，再利用变上限定积分与被积函数的关系，有
∫
=
x
dt )t (f )x (F )x (f )'dt )t (f ()x ('F x
0==∫
所以原方程化为：
1)x (F )x ('F =
上述方程就是一个可分离变量微分方程，则可以用可分离变量方程的方法求解。
第二节 线性方程与常数变易法
一阶线性微分方程
0)x (c y )x (b dx
dy
)
x (a =++ 在的区间上可以写成
0)x (a ≠)x (Q y )x (P dx
dy
+= （2.19）