八年级数学上册《分式》知识点归纳
分 式
一、概念：
定义1：整式A 除以整式B ，可以表示成
B
A
的形式。如果除式．．B ．中含有分母．．．．．，那么称B A
为分式。（对于任何一个分式，分母不为0。如果除式B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。分式：分母中含有字母。整式：分母中没有字母。而代数式则包含分式和整式。）
定义2：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
定义3：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。）
定义4：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。
定义5：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 定义6：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常称为增根。 二、基本性质：
分式的基本性质：分式的分子与分母都．乘以（或除以）同．一个不等于零．．．．的整式，分式的值不变。 三、运算法则：
1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积
的分母;（用符号语言表示：b a ﹒d c =bd
ac
）
2、分式的除法的法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
（用符号语言表示：
b a ÷d
c =b a ﹒c
d =bc
ad ） 分式乘除法的运算步骤：
当分式的分子与分母都是单项式时： (1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分。(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。
当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式. 3、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。分母不变，把分子相加减。（表达式为：
c
a
±
c b =c
b a ±） 4、异分母的分式相加减法则是：先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。（表达式为：
b a ±d
c =bd
ad
±db bc =bd
bc ad ±） 怎样确定最简公分母：我们在进行异分母的分式加减时，最先要考虑的是找到几个异分母的最简公分母，然后进行通分。怎样确定最简公分母呢？
（1）、算式中只有一项是分式，最简公分母就是这个
分式的分母。如算式1
1
1++
-a a 的最简公分母就是1+a 。
（2）、算式中有几个分式相加减，分母互为相反数，最简公分母可取其中任何一个分母。如算式b
a b
a b b b a a 2322--
---的最简公分母可以是a –2b ，也可以是2b –a 。
（3）、当算式中的几个分母都是单项式时，最简公分母则取系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的
乘积。如算式2
243
3221xy bx axy -+的最简公分母就是12abx 2y 2
。
（4）、当算式中分式的几个分母都是多项式时，则先把所有分母进行因式分解，最简公分母则是每个因式的最高次幂的乘积。如算式
2
22
22423441y xy x x y x +-+
-的最简公分母是4（x+y ）
(x –y )2
（5）、当算式中分式的分子与分母都有公因式时，可以先把这个分式约分，再根据情况确定最简公分母。
如计算4
22222-+--+x x
x x x 时，如果直接通分，则显得有点繁；若把
4
22
2-+x x x 的分子分母分解因式成为
)2)(2()2(-++x x x x ，再化简为2
-x x
进行计算就简单得多，
其最简公分母是x –2。
解方程过程中易犯的错误：1、解方程时忘记检验；2、去分母时忘记加括号；3、去分母时漏乘不含分母的项. 四、相关知识归纳：
1、分式有意义和无意义的条件：
分式B A 有意义的条件是：B ≠0；分式B
A
无意义的条件
是：B=0；
2、分式的B
A
=0的条件：A=0，并且B ≠0，两者必须
同时满足。
3、分式的加减运算的关键是通分，通分的关键是确定几个分式的公分母。
4、分式的乘方：分式乘方，把分子、分母各自乘方。
5、分式的符号法则：
B A =B A --=B A --=B
A -- 6、解分式方程的一般步骤是：（1）化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）验根；
7、注意：约分和运算的结果必须是最简分式或整式。
测 试 题 一、填空题（每小题3分，共30分） 1．若要使分式
9
632+--x x x 有意义，则x 的值应
为 ．
2．化简：
z
xy y x 23296 = ．
3．分式方程3
21=+x x 的解是 ． 4．化简：
2
22693y xy x xy x +-- = ．
5．已知a+b =2，ab =3，则b
a 1
1+= ．
6．y x y -2，y x +1，2
22y x y
x -+的最简公分母
是 ． 7．已知
11
121
1
2--++
-m m m 的值等于0，则m 的值是 ．
8．请写出一个根为1的分式方
程： ．
9．若b a b a +=+111，则b
a a
b += ．
10. 数与数之间的关系非常奇妙．如： ①2
1
211=-
，②34322=-，③49433=-，……
根据式中所蕴含的规律可知第n 个式子是 ．
二、选择题（每小题4分，共20分） 11．下列四个分式的运算中，其中运算结果正确的有 【 】
①
b a b a +=+211； ②()3232a a
a =；
③b a b
a b a +=++2
2；④31932
-=--a a a ； A ．0个 B ．1个 C.2个 D. 3个
12．若将分式
24a
b
a +中的a 与
b 的值都扩大为原来
的2倍，则这个分式的值将【 】
A ．扩大为原来的2倍 B. 分式的值不变 C. 缩小为原来的
2
1
D ．缩小为原来的41
13.若a –b =2ab ，则b
a 1
1-的值为【 】
A ．
21 B ．–2
1
C ．–2
D ．2 14．几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，后来又增加了两名同学，租车价不变，结果每个同学比原来少分摊了3元车费．若设参加旅游的同学共有x 人，则根据题意可列方程【 】
A ．32180180=+-x x
B ．3180
2180=-+x x C ．3180180+-x x =2 D ．2180
3180=-+x
x 15．已知x 为整数，且分式
1
222-+x x 的值为整数，则
x 可取的值有【 】
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 三、（第16小题6分，第17、18两小题每题8分，
共计22分）
16．化简：??
? ??-+???
??
+-121121a a 17．解分式方程：x x x --=--31
2132
18、计算：
?
?? ??++??? ??++++-??? ??+++??? ??
+++413121514131211514131214131211四、（每小题9分，共18分） 19．先化简，后求值：x
x x x x x 1
)1213(2-?+--，其中x =55-．
20．在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公
路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数； （2）求两队合做完成这项工程所需的天数． 四、（每小题10分，共10分）
21．有两堆棋子，第一堆棋子比第二堆棋子的数目多，从第一堆棋子中拿出若干粒到第二堆，使第二堆的棋子数翻倍，然后从第二堆中拿出若干粒到第一堆，使第一堆的棋子数翻倍，最后从第一堆中再拿出若干粒到第二堆，使第二堆的棋子数翻倍．此时发现第一堆棋子数与第二堆棋子数一样多，求原来这两堆棋子的数目．
期 中 检 测 题
一、选择题：
1．下列不等式一定成立的是 （ ） A ．a a 34> B ．a a 2->-
C ．x x -<-43
D ．
a
a 2
3> 2．如果不等式ax+4<0的解集在数轴上表示如图,那么a 的值是 （ ） A ．ａ>0 B ．a<0
C ．a=－2
D ．a=2 3．如果不等式 ??
?> x x 8 无解,那么m 的取值范围是 A ．m ＞8 B ．m ≥8 C ．m ＜8 D ．m ≤8 4．不等式53 >- x 的解集是 （ ） A ．35- 5 ->x C ．15- 5．下列各式从左到右，是因式分解的是 （ ） A ．（y －1）（y ＋1）＝2y －1 B ．1)(122-+=-+y x xy xy y x C ．（x －2）（x －3）＝（3－x ）（2－x ） D ．22)2(44-=+-x x x 6．下列多项式能分解因式的是 （ ） A ．x 2-y B ．x 2 +1 C ．x 2-4x +1 D ．x 2+2x y +y 2 7．下列代数式是分式的是： （ ） A ． 2x B ．2 y x - C ．a a 252 D ．52a 8．下列各式中最简分式是 （ ） A ． b a 1512 B ．162+x x C ．331++x x D ．a a 5 9．方程114=-x 的解是 （ ） A ．x ＝1 B ．x ＝3 C ．x ＝5 D ．x ＝7 10．两地实际距离是500 m ，画在图上的距离是25 cm ，若在此图上量得A 、B 两地相距为40 cm ，则A 、B 两地的实际距离是（ ） A ．800 m B ．8000 m C ．32250 cm D ．3225 m 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 11．不等式6x<11x 成立的条件是 。 12．约分： =ab bc a 15252___________。 13．分解因式：2 24a a -= 。 14．若()()2 244,x ky x y x y k -=+-=则 。 15．已知x +y =6，xy =4，则x 2 y +xy 2 的值为 。 16．分式 x x -+21 2中，当x ______时，没意义；当x ______时，值为零。 17．用字母x 表示下图公共部分的范围是 。 18．不等式组 ??? ??->->13 1 32x x 的解集是 。 19．已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b = 。 20．已知长度为4,5,cm cm Xcm 的三条线段可围成一 个三角形，那么x 的取值范围是 三、计算或化简（本题共4小题，每小题5分，共20 分） 21、22 2x y xy xy - 22、3222x x y x y y x ---- 23、22693b b b a a a -÷-+- 24、2 2111x x x x x x -??- ? -+?? 四、解答题：(本题共5小题,共35分) 25、解不等式，并把解集表示在数轴上. 231x +<- 26、(4分)解不等式组：481438x x x x -+?????? ++?????＜① ≤② 27、(12分)把下列各式分解因式： ⑴、236a a -；⑵、53 x x -；⑶、－4a 3＋16a 2b －16ab 2 28、(5分)先化简，再求值： 22 14 4422 a a a a a a --?-+-，其中=-1. 29、(5分)解分式方程： 12132 2 x x x -+=-- 30、(5分)某实验中学为初二住宿的男学生安排宿舍。如果每间住4人，那么有20人无法安排；如果每间住8人，那么有一间宿舍不空也不满。求宿舍间数和住宿男学生人数。 五、计算或证明：（本题共3小题，共15分） 31、(10分)利用分解因式计算： ①．2 2 191019919?-? ②．2 2 20062200610061006-??+ 32、(5分)证明8 51-能被20～30之间的两个整数整除。 参考答案 1、x ≠3； 2、 z xy 32；3、x =2；4、y x x -3；5、32 ；6、 x 2–y 2；7、2； 8、如：11 2 =+x ；9、–1；10、112+=+- n n n n n ； 11、A ；12、C ；13、C ；14、A ；15、C ；16、1； 17、无解； 18、设a =++413121，则原式=（1+a ）（a +51 ） –a (1+a +51)=5 1 19、 20、（1）60天；（2）24天； 21、第一堆棋子数目为11k ，第二堆棋子数目为5k ，k 为整数。