数学与人类文明(四)

蔡天新：数学与人类文明(四)

印度人和波斯人

如果说希腊数学与其哲学密切相关，中国数学受到历法的影响，那么印度数学则与其宗教不可分离。

——作者

人们可以写一部印度历史，一直写到距今四百年前而不提到一个―海‖字。

——韦尔斯

一、从印度河到恒河

1、雅利安人的出场

大约在4000年以前，正当埃及人、巴比伦人和中国人以不同的方式各自发展河谷文明的时候，有一支操印欧语的游牧民族长途跋涉，从中亚细亚越过外喜马拉雅山进入北印度并留了下来。这些人被称为雅利安人（Aryan），这个词源自梵文，本意是―高贵的‖或―土地所有者‖。另一部分雅利安人则西迁，成为伊朗人和欧洲人的祖先。据说北欧和日耳曼诸民族是最纯粹的雅利安人，以至于有人鼓吹―高贵人种‖说，这个谬论在上个世纪三、四十年代曾被希特勒及其追随者利用。

在雅利安人到来之前，印度已经有被称为达罗毗荼人的原住民，他们的历史至少可以上溯到此前1000多年，据说是从西边的巴基斯坦越过印度河扩展而来，至今仍有四分之一的印度人操属于达罗毗荼语系的语言，其中南方的泰卢固语和泰米尔语等四种语言还属于印度官方语言。遗憾的是，早期达罗毗荼人所用的象形文字和中国的殷商甲骨文一样尚未解破，因此，那个时期（也可谓是河谷文明）包括数学在内的印度文明我们所知甚少。

雅利安人在印度西北部站稳脚跟以后，继续向东推进，横穿了恒河平原，抵达今天的比哈尔邦（人口逾亿，密度是日本的两倍）一带。他们征服了达罗毗荼人，使得北部地区成为印度的文化核心区，包括吠陀教（印度教前身）、耆那教、佛教以及很久以后的锡克教等均诞生在这里。雅利安人的影响逐渐扩散到整个印度，他们在到达以后的第一个千年里，创造了书写和口语的梵文。吠陀教也是雅利安人创造的，这是印度最古老而又有文字记载的宗教。可以说，古代印度的文化便是根值于吠陀教和梵语之上。

吠陀教是一种重视祭礼的多神教，尤其崇拜一些与天空和自然现象有关的男性神灵，与继而兴起的印度教很不相同。祭礼以宰牲献祭为中心内容，同时还要榨制和饮用苏摩酒（Soma）。苏摩是一种属性不明的植物，茎中的液汁经过羊毛过滤，和以水与奶。信徒珍视苏摩酒，因为它使人兴奋，甚至会产生幻觉。至于献祭的目的，自然是为了神灵能以大量牲畜、好运、健康长寿和男性子孙等物质利益相回报。可是，过于繁琐的仪式和清规戒律使得吠陀教日渐衰落。

吠陀教因其惟一的圣典《吠陀》而得名，后者成书于公元前15世纪到前5世纪，历时1000年左右。吠陀（Veda）的本意是―知识‖、―光明‖，这部圣典的主体部分是用梵文写的，其中最重要、也是最古老的是几个吠陀本集，既有对诸神的颂诗，也有散文体或韵文体的祭辞。书中把印度社会分成4个等级或种姓，分别是婆罗门（祭司）、刹帝利（统治者）、吠舍（商

人）和首陀罗（非雅利安族奴隶），这种划分基本上仍存在于后世的印度教中。

《吠陀》最初由祭司口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上。虽然大部分已经失传，但幸运的是，残留的《吠陀》中也有论及庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳的法规》，即《绳法经》。这是印度最早的数学文献，此前只有在钱币和铭文上看到零碎的数学符号，其中有一些数学问题涉及祭坛设计中的几何图形和代数计算，包括勾股定理的应用，矩形对角线的性质、相似图形的性质，以及一些作图法等等，拉绳测量和基本几何体的面积计算是必不可少的。

2、《绳法经》和佛经

《绳法经》成书年代大约为公元前8世纪至2世纪，不晚于印度两大古典史诗《摩诃婆罗多》和《罗摩衍那》。据说现在保存较好的《绳法经》共有4种，分别以其作者或作者所代表的学派命名。书中包含了修筑祭坛的法则，包括祭坛的形状和尺寸，最常用的三种形状是正方形、圆和半圆，但不管那种形状，祭坛的面积必须相等。因此，印度人要学会（或已经学会）作出与正方形等面积的圆，或两倍于正方形面积的圆，以便采用半圆形的祭坛。另外一种形状是等腰梯形，甚至其他等面积的几何图形，这就提出了新的几何问题。

在设计这类规定形状的祭坛时，必须要懂得一些基本的几何知识和结论，例如毕达哥拉斯定理，按照数学史家M·克莱因的描述，印度人陈述这个定理的方式非常独特，―矩形对角线生成的面积（正方形）等于矩形两边各自生成的两块面积之和。‖显而易见，不同与《周髀算经》里源自日高测量的需要。这段时期的印度数学只不过是一些不相连贯的用文字表达的求面积和体积的近似法则，这些法则当然都是经验的，没有任何演绎证明。

举例来说，如果要修筑两倍于某正方形面积的圆形或半圆祭坛，需要用到圆周率，《绳法经》里记载了以下近似值：

л = 4（1 – 1/8 +1/（8·29） - 1/（8·20·6）- 1/（8·29·6·8））2

= 3.0883

此外，还有人用到了л=3.004 和л=4(8/9)^2 = 3.16049的近似值。而在设计面积为2的正方形祭坛的边长时，又需要知道√2的值。《绳法经》有这样的记载，

√2 = 1+1 /3+1/（3·4）- 1/（3·4·34）= 1.4124215686

值得注意的是，这里的表达式和上文л的表达式全部采用了单位分数，这与埃及人的记法完全一致，不知是属于―惊人的巧合‖，还是一种传承。

公元前599年，耆那教的创始人摩诃毗罗（又称大雄）出生在比哈尔邦，与比他小36岁的佛教始祖释迦牟尼的出生地颇为邻近，两人还有许多共同点。例如，他们都是部落首领的儿子，都在优越的环境中长大，都是在30岁前后放弃财产、家庭和舒适的生活，离家去过流浪生活并寻找真理。不同的是，（除了妻子以外）释迦牟尼扔下的是襁褓中的儿子，而摩诃毗罗抛弃的是年幼的女儿。耆那教和佛教几乎是同时兴起，都是为了反对吠陀教的繁文缛节和婆罗门至上的种姓制度。

耆那在梵语里的本意是胜利者或征服者，这门宗教认为没有创世之神，时间无尽无形，宇宙无边无际，万物分为灵魂与非灵魂。耆那教的兴趣和原始经典所涉及的范围非常广泛，除了阐明教义以外，还在文学、戏剧、艺术、建筑学、伦理学、语法学等方面作出了重要贡献，也包含了数学和天文学上的基础原理和结论。在公元前5世纪到2世纪一些用普拉克利特方言（比梵文更古老的语言，原意是俗语，梵文即雅语）书写的读物中，出现了诸如圆周长C = √10 r ，弧长s = √（a2 + 6h2）等近似计算公式。

相比之下，佛陀认为一切无常，无论是外在事物或个人的身心总体，都在不断变化。因此，它不可能规定诸如祭坛的面积。佛教接纳一切人，不分种姓，不承认人与人之间有任何本质差异。比起耆那教和印度教来，佛教更像是一种哲学观念，尤其在印度。佛教的时间观念也很特别，多少体现出一种数学味道。例如，可能是因为印度一年有三个季节（雨季、夏季、旱季），佛经里把昼夜也各分三个部分，分别是上日、中日和下日，初夜、中夜和后夜。至于年份，则一百年为一世，五百年为一变，一千年为一化，一万两千年为一周。

更有意思的是时间的分割，佛学中大抵以―剎那‖为最小时间单位。梵语里有―剎那‖和―一念‖，一念有90剎那，所谓―少壮一弹指，六十三剎那‖。可是，―剎那‖的真量，除佛陀外皆不能尽知。于是，有了以下诗歌，

我们看到月亮的圆缺，知道时间的运转不停；

我们体察心念的生灭，知道光阴的短暂。

在耆那教和佛教兴起的同时（公元前6世纪），灵魂再生、因果报应和通过冥思苦想来摆脱轮回的观念在吠陀教徒中广为流传，它也脱胎变成了印度教。从此以后，这个涉及几乎全部人生的新教逐步主宰了整个印度次大陆（耆那教在印度仅限于西部和北部的少数几个邦，而佛教的影响主要在东南亚等地，在印度则已蜕化成为一种哲学体系和道德规范），甚至成为南亚许多民族的信仰、习俗和社会宗教制度。

3、零号和印度数码

到了公元前5世纪中叶，位于比哈尔邦的摩揭陀国征服了整个恒河平原，为日后的孔雀帝国（约公元前321-前185）的繁荣昌盛打下了基础，这一泛印度国家在阿育王（公元前3世纪）时代达到鼎盛。阿育王被认为是印度历史上最伟大的君主，毕生致力于佛教的宣扬和传播，他是佛陀之后使佛教成为世界性宗教的第一人。阿育王的祖父是孔雀王朝的创立者，他在驱逐亚历山大大帝的同时或稍后，征服了印度北部，建立起印度历史上第一个帝国。

说到亚历山大的入侵，那是一次奇迹般的漫游，架起了一座连接西方的希腊和东方的印度的桥梁。在到达里海南岸后，亚历山大的军队继续向东行进，建造了阿富汗的两座名城：赫拉特和坎大哈，向北进入中亚的撒马尔罕。他并没有占领，而是挥师南下，穿过兴都库什山脉的缝隙，从喀布尔以东的开伯尔山口（很可能就是当年雅利安人迁徙的路线）进入印度，与一支由阿育王的祖父率领的英勇的军队打了一仗，本来还向继续东进，越过沙漠到达了恒河地区。可是由于经过多年征战，士兵们已精疲力尽，亚历山大只好掉头返回波斯。

可是，这次短暂的远征留下了不可磨灭的痕迹，开启了希腊和印度的交流，据说到了罗马

时代，亚历山大商人在南印度拥有许多定居区，他们甚至在那里建立起奥古斯都神庙，由此可见其影响力。定居点通常又两队罗马士兵守卫，罗马皇帝也曾派遣使臣到南印度。至于在数学和其他科学领域，希腊文明对印度人肯定也有影响。公元5世纪的一位印度天文学家这样写到，―希腊人虽不纯正（凡信仰不同的人都被视为不纯正的）但必须受到崇敬，因他们对科学训练有素并在这方面超过他人。‖

1881年夏天，在今天巴基斯坦（当时和古代大部分时间属于印度）西北部距离白沙瓦约80公里的一座叫巴克沙利的村庄，一个佃户在挖地时发现了书写在桦树皮上的所谓―巴克沙利手稿‖，上面记载了公元纪年前后数个世纪的数学（也称耆那教数学），内容十分丰富，涉及到分数、平方数、数列、比例、收支与利润计算、级数求和和代数方程等等。还引进了减号，状如今天的加号，不过写在减数的右边。最有意义的是，手稿中出现了完整的10进制数码，其中零号用实心的点表示。

表示零的点号后来逐渐演变成为圆圈，即现在通用的―0‖号，它至晚在公元9世纪就已出现，因为在876年的一块瓜廖尔石碑上，清晰地刻着数―0‖。瓜廖尔是印度北方的一座城市，属于人口最密集、且与比哈尔邦相邻的中央邦，它们同处于恒河流域。据说石碑是在一个花园里，上面刻着宽长分别是187和270 hastas（长度单位），预备每天供给当地的庙宇50只花环或花冠，其中的两个―0‖号虽然不大，但却写得非常清晰。

用圆圈符号―0‖表示零，无疑是印度人的一大发明。本来，―0‖既可表示―无‖的概念，又可表示位值记数中的空位，它是数的一个基本单位，可以与其他数一起计算。相比之下，早期巴比伦楔形文书和宋元以前的中国筹算记数法，都是留出空位而没有符号。后来的巴比伦人和采用20进制的玛雅人虽然引进了零号（玛雅人是用一只贝壳或眼睛），但仅仅是表示空位而没有把它看作是一个独立的数。

值得一提的是，瓜廖尔石碑上所刻的数字比起阿拉伯文中的数字来，更接近于今天全世界通用的所谓的―阿拉伯数字‖。难怪它的学名叫做―印度-阿拉伯数系‖，或―印度数码‖。公元8世纪以后，印度数码和零号便先后传入阿拉伯世界，再通过阿拉伯传到欧洲，13世纪初，斐波那契的《算经》里已有包括零号在内的完整的印度数码的介绍。印度数码和10 进制记数法被欧洲人普遍接受后，在近代科学的进步中扮演了重要的角色。而在印度，数学史也成了几个顶尖数学家的历史。

二、从北印度到南印度

1、阿耶波多

公元476年，在距离巴特那不远的恒河南岸，诞生了一位现今我们所知有确切生年的最早的印度数学家阿耶波多。巴特来现在是比哈尔邦的首府，原先的名字叫华氏城（巴特那是16世纪阿富汗人重建时取的名），释迦牟尼晚年曾行教至此，它是印度历史上最强盛的两个王朝——孔雀和笈多（约公元320-540）的都城。笈多王朝是中世纪统一印度的第一个王朝，疆域包括今天印度北部、中部和西部的大部分地区，期间诞生了10进制记数法、印度教艺术和伟大的梵文史诗，戏剧《沙恭达罗》和她的作者迦犁陀娑。

阿耶波多出生时，笈多王朝的首都已经西迁，华氏城开始衰落，但仍为学术中心。与后来

的印度数学家一样，阿耶波多的数学工作是为了研究天文学和占星术而产生的，他在故乡和华氏城著书立说，代表作有两部，一部是《阿耶波多历书》（499），另一部算术书已失传。《阿耶波多历书》的主要部分是天文表，但也包含了算术、时间的度量、球等数学内容。该书在公元800年左右被译成拉丁文，流传到了欧洲，在印度尤其是南印度影响甚广，曾被多位数学家评注。

阿耶波多的数学贡献主要有以下四点。一是圆周率的计算，他在书中写到，―100加4再乘8，再加62000，就得到直径20000的圆周长近似值，即

л=（104×8 + 62000）/20000 = 3.1416

这个л后来被许多印度数学家所采纳，但阿耶波多书中并未给出计算方法，因此不知道是独立求得（也有人说他是通过计算圆内接正384边形的周长），还是与中国的л有关系。

在三角学方面，阿耶波多以制作正弦表闻名于世。古希腊的托勒玫也制作过正弦表，但他把圆弧和半径的长度用不同的度量划分，非常不方便。阿耶波多作了改进，他默认曲线和直线用同一单位度量，在前人工作的基础上，制作了从0度到90度每隔3°3/4的正弦表。阿耶波多把半弦称作jiva，意思是猎人的弓弦，阿拉伯人把它译成dschaib，意思是胸膛、海湾或凹处，到了拉丁文里又变成了sinus，―正弦‖一词即来源于此。

在解答算术问题时，阿耶波多经常采用试位法和反演法。所谓反演法就是从已知条件逐步往回推，例如，他曾描述过这样的问题：―带着微笑眼睛的美丽少女，请你告诉我，什么数乘以3，加上这个乘积的3/4，然后除以7，减去此商的1/3，自乘，减去52，取平方根，加上8，除以10，得2？‖根据反演法，我们从2这个数开始往回推，于是，(2×10-8)2 + 52=196，√196=14，14×(3/2)×7×(4/7)/3=28，即为答案。从中我们也可以看出，印度数学家是用数的语言来表达这类算术问题的。

阿耶波多最有意义的工作是求解一次不定方程ax + by = c，他利用了所谓的库塔塔（kuttaka，意思是粉碎或碾细）方法。例如，设 a > b > 0，c =（a，b）是a和b的最大公因数，则

a =

b q_1 + r_1, 0 ≦ r_1 < b,

b = r_1 q_2 + r_2, 0 ≦ r_2 < r_1,

…………

r_(n-2) = r_(n-1) q_(n-1) + r_n, 0 ≦ r_(n) < r_(n-1),

r_(n-1) = r_n q_n .

依次迭代，可将c =（a，b）= r_n最后表示成a和b的线性组合，即求得上述不定方程的整数解x和y。

事实上，这种方法就是中国人所说的辗转相除法（在西方则叫欧几里得算法），不同的是，中国人和希腊人的这套方法完善得比较晚。以希腊人为例，即使在欧几里德之后6个世纪的丢番图，仍只考虑此类方程的正整数解，阿耶波多和他的后继者则取消了这个限制。在天文学上，阿耶波多也有很多贡献，甚至提出过日食和月食的推算方式，以及地球自转的想法，

可惜未得到后世同胞的认可和响应。为了纪念阿耶波多，印度发射成功的第一颗人造卫星以他的名字命名（1975）。

2、婆多摩笈多

阿耶波多之后，印度要等上一个多世纪才出现下一个重要的数学家，那就是598年出生的婆罗摩笈多。有意思的是，在这段时间，整个世界（无论东方还是西方）都没有产生一个大数学家。婆罗摩笈多的祖籍可能是在今天巴基斯坦南部的信德省，该省的首府是全国最大城市——卡拉奇，但婆罗摩笈多出生在印度中央邦西南部的城市乌贾因，并在这里长大。与比哈尔邦毗邻的中央邦是印度面积最大的邦，这两个邦是古代印度政治、文化和科学的中心地带。

乌贾因虽说不曾做过统一王朝的都城（笈多王朝之后印度一直处于分裂状态），却是印度7大圣城之一，北回归线经过城市的北郊，印度地理学家确定的第一条子午线也穿越其中，它是继巴特那之后印度古代数学和天文学的中心。由于这两座城市相距将近一千公里（乌贾因离开孟买比离开巴特那更近），这就意味着印度科学中心向西南转移。据说阿育王未继位时，父王曾派他到乌贾因担任总督。婆多摩笈多成年以后，一直在故乡乌贾因天文台工作，在望远镜出现之前，它可谓是东方最古老的天文台之一。

婆多摩笈多留下了两部天文学著作，《婆罗多修正体系》（628）和《肯德卡迪亚格》（约665），后者是在作者去世后刊出的，其中包括了正弦函数表，他利用了不同于阿耶波多的方法，即二次插值法。《婆罗多修正体系》包含的数学内容更多，全书共分24章，其中《算术讲义》和《不定方程讲义》两章是专论数学的，前者研究三角形、四边形、二次方程、零和负数的算术性质、运算规则，后者研究一阶和二阶不定方程。其他各章虽然是关于天文学研究，但也涉及到不少数学知识。

以零的运算法则为例，婆多摩笈多这样写到，―负数减去零是负数；正数减去零是正数；零减去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零……零除以零是空无一物，正数或负数除以零是一个以零为分母的分数‖。最后这句话是印度人提出以零为除数问题的最早记录，将零作为一个数进行运算的思想被后来的印度数学家所继承。他也提出了负数的概念和记号，并给出了运算法则，―一个正数和一个负数之和等于它们的差‖，―一个正数与一个负数的乘积为负数，两个正数的乘积为正数，两个负数的乘积为正数‖，这些在世界上都是领先的。

婆多摩笈多最重要的数学贡献是解下列不定方程

nx2 + 1 = y2

其中n是非平方数，虽然婆多摩笈多是第一个研究此类方程的数学家，却被欧拉错误地命名为佩尔方程（Pell’s equation，佩尔是17世纪的英国数学家）。婆多摩笈多给出了佩尔方程的一种特殊解法，并命名为―瓦格布拉蒂‖，他的方法是非常巧智的。

首先，选择适当的整数k 和k'，分别找出nx2 + k = y2 和nx2 + k' = y2的两组解（α，β）和（α' ，β'）（这一步比较容易），再进行所谓的―瑟马萨组合‖，就得到了方程nx2 + k k'= y2的解（αβ'±α' β，ββ'±nαα' ）（这一步也很容易）。令k = k'，并在解答中取+ 号，则（2αβ，

β2 + nα2）就是nx2 + k 2= y2的解。两端除以k 2，即可得佩尔方程nx2 + 1 = y2的一组解（2αβ/ k，β2 + nα2/ k）。

婆多摩笈多进一步指出，在k = ±1、±2 或±4的条件下，只要求出方程nx2 + k = y2 的一组解，就可以得出佩尔方程nx2 + 1= y2的无穷多组解。婆多摩笈多的解法虽然精妙，仍遗漏了一些解，直到1767年，法国数学家拉格朗日才运用连分数理论给出了佩尔方程的完全解答。然而瑕不掩瑜，婆多摩笈多的这项成就在世界数学史上占有永久性的一席之地。

此外，婆多摩笈多给出了有关一元二次方程根和系数关系的韦达定理，可惜丢了一个根。他还得到边长分别为a、b、c、d的四边形的面积公式，即

S = √(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)

其中p = (a+b+c+d)/2。可以想象，婆多摩笈多一定为这个结果感到得意，但实际上，它仅仅对圆内接四边形才正确。

3、马哈维拉

婆多摩笈多是个有思想的数学家，可惜这方面和他的生平资料一样留下来的很少，他曾经说过，―正如太阳之其光芒使众星失色，学者也以其能提出代数问题而使满座高朋逊色，若其能给予解答则将使侪辈更为相形见拙。‖想必在他生活的年代，乌贾因地区有着很好的学术氛围，史上也有所谓的乌贾因学派之说。遗憾的是，在婆多摩笈多去世后的4个多世纪里，乌贾因再没有出现杰出的数学家。倒是在南印度的卡纳塔克邦，诞生了两位数学天才——马哈维拉和婆什迦罗。

印度的面积不过300万平方公里，且南北的长度少于东西的长度，可是―南印度‖的概念却扎根在人们心中，在世界上找不到第二个国家。印度南方有地势高耸的德干高原及其北缘的两座山脉形成天然屏蔽，加上纳巴达（讷尔默达）河的护卫，使其免受北方历代王朝或帝国的入侵，来自北方的多次征讨都遭到南方的猛烈抵抗。雅利安人并没有带来他们的饮食习惯，亚历山大的军队未曾涉足，穆斯林和蒙古人的入侵只是点到为止，甚至法兰西和不列颠的影响也微乎其微。

我们对阿育王时代以前的南印度了解甚少，但有一点是明确的，即使分裂成相互对抗的集团，南印度也完全与雅利安人控制下的北方有着同样丰富和先进的文化，无论宗教、哲学、价值观、艺术形式和物质生活等方面。南方几个较大的独立政权国家或王朝为取得支配权而相互竞争，但谁也始终未能将整个地区统一起来置于自己的控制之下。每个王朝都与东南亚保持着发达的海上贸易关系，每个王朝的政治和文化生活都围绕着以寺庙建筑为主的首都展开。

在南方的诸多王朝里，有一个叫拉喜特拉库塔，大约在公元755至975年统治着德干高原及其附近的一块土地（―德干‖来源于一个意思为―南方‖的梵文词汇）。这个王朝最初可能起源于达罗毗荼族农民，一度建立起庞大的帝国，以至于有一个穆斯林旅行者在他的书里把王朝的统治者称为世界四大帝王之一（另外三个是哈里发、拜占廷皇帝和中国皇帝）。特立尼达出生的印裔英国作家奈保尔也提到过，在离开班加罗尔200英里外的地方有一处维加雅那

加王国的都城遗址，曾经是世界上最伟大的城市之一，但那是在14世纪。

就在拉喜特拉库塔王朝处于鼎盛时期时，马哈维拉出生于迈索尔的一个耆那教徒家庭，他的名字与耆那教的创始人大雄相同。迈索尔如今是印度西南海岸卡纳塔克（本意是―高地‖）邦的第二大城市，位于两座名城班加罗尔和卡利卡特之间。班加罗尔作为是克纳塔克邦的首府，如今已是印度的硅谷和国立数学研究所的所在地；而卡利卡特既是中国航海家郑和的葬身之地，也是葡萄牙人达·伽马绕过好望角抵达印度的港口。马哈维拉成年后，在拉喜特拉库塔王朝的宫廷里生活过很长一段时间。

大约在公元850年，马哈维拉撰写《计算精华》一书，该书曾在南印度被广泛使用。1912年，这部书又被译成英文在马德拉斯出版。此书是印度第一部初具现代形式的教科书，现今数学教材中的一些论题和结构已在其中可以见到。更为稀罕的是，《计算精华》是一部纯粹的数学书，几乎没有涉及到任何天文学问题，这也是与前辈们不同的地方。全书共分9章，其中最有价值的研究成果包括：零的运算、二次方程、利率计算、整数性质和排列组合。

马哈维拉指出，一数乘以0得0，并说减去0并不使此数减少，他还给出了除以一分数等于乘以此数的倒数。有趣的是，以中国数学家杨辉潜心于幻方一样，马哈维拉也着迷于一种叫花环数的游戏。将两整数相乘，若其乘积的数字呈中心对称，马哈维拉称之为―花环数‖。他对这种特殊整数的构成规律进行了研究，例如，

14287143×7 = 100010001，

142857143×7 = 1000000001，

12345679×9 = 111111111，

27994681×441 = 12345654321。

耆那教的典籍中含有一些简单的排列组合问题，马哈维拉给出了今天我们熟知的二项式系数的计算公式。此外，他改进了一次不定方程的库塔卡方法，对古老的埃及分数做了深入研究，证明1可表示成任意多个单分数之和，任何分数均可表示成偶数个指定分子的分数之和，等等。他还详细地研究了平面几何的作图问题，以及椭圆周长和弓形面积的近似计算公式，后者与中国《九章算术》里的结果不谋而合。

4、婆什迦罗

最后，我们终于要谈到印度古代和中世纪最伟大的数学家、天文学家婆什迦罗了。公元1114年，婆什迦罗出生在印度南方德干高原西侧的比德尔，该城位于海德拉巴到孟买的公路和铁路线上，和马哈维拉的故乡迈索尔同属于卡纳塔克邦。婆什迦罗的父亲是正统的婆罗门，曾写过一本很流行的占星术著作。婆什迦罗成年后，来到乌贾因天文台工作，成为婆多摩笈多的继承者，后来还做了这家天文台的台长。

到12世纪，印度数学已经积累了相当多的成果。婆什迦罗通过吸收这些成果并作进一步研究，取得了高出前人一筹的成就。他的文学造诣也很深，其著作弥漫着诗一般的气息。婆什迦罗的重要数学著作有两部——《莉拉瓦蒂》和《算法本源》。《算法本源》主要探讨代数问题，8章内容涉及到正负数法则、线性方程组、低阶整系数方程求解等，还给出毕达哥拉斯定理的两个漂亮证明，其中一个与赵爽的方法相同，另一个直到17世纪才被英国数学家

沃利斯重新发现。尤其值得注意的是，他在书中引入了朴素而粗糙的无穷大概念，他写到，

一个数除以零便成为一个分母是符号0的分数。例如3除以0得3/0。这个分母是符号0的分数，称为无穷大量。在这个以符号0作为分母的量中，可以加入或取出任意量而无任何变化发生，就像在世界毁灭或创造世界的时候，那个无穷的、永恒的上帝没有发生任何变化一样，虽然有大量的各种生物被吞没或被产生出来。

《莉拉瓦蒂》的内容更广泛一些，全书共分13章，从一个印度教信徒的祈祷开始展开全书。第1-3章介绍算术，包括整数和分数运算，平方根和立方根的计算，以及反演法和试位法，等等，他首次使用了10进制记数法。第4章讲解来自希腊和中国的应用问题；第5章给出某些算术级数的求和法；第6-11章是几何学，主要讲面积和体积的计算；最后两章分别涉及不定方程和组合学的内容。说到《莉拉瓦蒂》，流传着一个浪漫的故事。

据说莉拉瓦蒂是婆什迦罗宠爱的女儿的名字，由占卜得知，她婚后将有灾祸降临。按照父亲的计算，如果婚礼在某一时辰举行，灾祸便可以避免。但到了那天，正当新娘等待着―时刻杯‖中的水平面下落，一颗珍珠不知什么原因从她的头饰上滑落，堵在杯孔上，水不再流出了，从而无法确认―吉祥的时辰‖。婚礼未能如期举行，婚后果然莉拉瓦蒂失去了丈夫。为了安慰她，婆什迦罗教她算术，并以她的名字命名了自己的著作。

婆什迦罗对数学的主要贡献有，采用缩写文字和符号来表示未知数和运算，熟练地掌握了三角函数的和差化积等公式，比较全面地讨论了负数，他称之为―负债‖或―损失‖，并在数码上方加小点表示。婆什迦罗写到，―正数、负数的平方常为正数，正数的平方根有两个，一正一负；负数无平方根，因为它不是一个平方数。‖希腊人虽然早就发现了不可通约量，但却不承认无理数是数。婆什迦罗和其他印度数学家则广泛使用了无理数，并在运算时和有理数不加区别。

作为婆多摩笈多数学事业的继承人，婆什迦罗对这位老前辈的每项工作都曾深入了解和研究，并将有些结果做了改进。最值得一谈的是佩尔方程nx2 + 1 = y2的求解，婆多摩笈多只给出了特解。婆多摩笈多注意到他还提到，在k = ±1、±2 或±4的条件下，只要求出方程nx2 + k = y2 的一组解，就可以得出佩尔方程nx2 + 1= y2的无穷多组解。他利用传统的瑟马萨组合和库塔卡方法，给出了从nx2 + 1= y2一组解求得nx2 + p= y2的一组解的方法中p 可以是±1、±2 或±4。

值得一提的是，在印度这块殖民地上，除了诞生萨克雷、奥威尔和吉卜林这样的英国作家，也诞生过两位英国数学家。19世纪初和20世纪初，在南印度泰米尔纳德邦的马杜赖和马德拉斯，数理逻辑学家德·摩尔根和拓扑学家亨利·怀特海相继出生。前者断言亚里士多德传下的逻辑不必要地受到了限制，并成为现代数理逻辑学的奠基人。后者对拓扑学中同伦论的发展做出了重大贡献，并最先给出了微分流形的精确定义。有意思的是，也是在泰米尔纳德邦，19世纪后期还诞生了一位享誉世界的印度数学天才拉曼纽扬。

三、神赐的土地

1、阿拉伯人的帝国

阿拉伯帝国的兴盛被认为是人类历史上最精彩的插曲之一，这当然与先知穆罕默德的传奇经历有关。公元570年，穆罕默德出生在阿拉伯半岛西南部的麦加。与耆那教和佛教的始祖摩诃毗罗和释迦牟尼不同，他的祖父虽是部落首领，但他从小就是孤儿，因而无权继承遗产。麦加当时是一个远离商业、艺术和文化中心的落后地区，穆罕默德在极其艰苦的条件下长大成人。25岁那年，由于他娶了一位富商的遗孀，经济状况才得到改善。直到40岁前后，他的生命才有了奇妙的变化。

穆罕默德领悟到有且只有一个全能的神主宰世界，并确信真主安拉选择了他作为使者，在人间传教。这就是伊斯兰教的来历，它在阿拉伯语里的意思是―顺从‖，其信徒叫穆斯林（已顺从者）。根据伊斯兰教的教义，世界末日死者会复活，每个人将依照自己的行为受审。穆斯林有解除他人、救济贫穷这样的义务，而聚敛财富或否认穷人权利将导致社会腐败，会在后世受到严惩。伊斯兰教还强调，一切信徒皆为兄弟，他们共同生活在紧密的集体中，安拉比颈部的血管离你更近。

公元622年，穆罕默德率领大约70名门徒被迫出走，他们来到麦加以北200公里的麦地那。这是伊斯兰教的又一个转折点，其信徒人数迅速增加。居住在阿拉伯半岛上的贝都因人是讲阿拉伯语的游牧民族，以勇猛善战著称，但他们四分五裂，一直不是生活在半岛北部可耕作土地上的其他部落的对手。穆罕默德通过伊斯兰教以及联姻等世俗手段把他们团结起来，开始了史无前例的大规模征战（圣战），他本人曾亲率穆斯林大军进逼叙利亚的边界。

在穆罕默德去世（632）后的10年里，这支军队在他的两任哈里发继承人（也是他的岳父）率领下，击败了波斯萨珊王朝的大军，占领了美索不达米亚、叙利亚和巴勒斯坦，并从拜占廷手中夺取了埃及（给了亚历山大的文明以最后一击）。大约在650年，依据穆罕默德和他的信徒所讲的启示辑录而成的《古兰经》问世，这部书被穆斯林认为是上天的启示，用真主安拉的语言写成，并成为伊斯兰教的四项基本原则（乌苏尔）之首（其它三项分别是圣训、集体的意见和个人判断）。

那以后，阿拉伯人的征战并未结束，公元711年，他们扫平北非，直指大西洋。接着，又向北穿越直布罗陀海峡，占领西班牙。那会儿中国仍处于唐朝的太平盛世，李白还是个孩童，杜甫则在母亲的腹中。在数学界，印度的婆多摩笈多过世已经半个世纪，无论是东方还是西方均没有一个数学家在世。看起来，信奉基督教的整个欧洲岌岌可危，将要被穆斯林的军队攻克。可是，公元732年，已经抵达法国中部的阿拉伯人在图尔战役中战败。

尽管如此，贝都因人已经把他们的疆域拓展到东起印度，西至大西洋，北达里海和中亚。迄今为止，这是人类历史上最大的帝国。穆斯林军队每到一处，就在那里不遗余力地传播伊斯兰教。公元755年，由于哈里发的权力之争，帝国分裂成了东西两个独立王国，西边的定都西班牙的科尔多瓦，东边的定都叙利亚的大马士革。后者由阿拔斯家族掌握权力之后，重心逐渐东移到了伊拉克的巴格达，在那里阿拉伯人创建了―一座举世无双的城市‖，阿拔斯王朝也成为伊斯兰历史上最驰名和最长久的朝代。

2、巴格达的智慧宫

巴格达位于底格里斯河畔距离幼发拉底河最接近处，四周是一片平坦的冲积平原。巴格达一词在波斯语里的意思是―神赐的礼物‖，自从公元762年被阿拔斯王朝的第二代哈里发曼苏

尔选定为首都之后，这座城市开始兴旺发达，在一个圆形的城墙内，一座座宫殿和建筑拔地而起。到8世纪后期和9世纪前半叶，巴格达在马赫迪及其继承人哈伦·拉希德和麦蒙的领导下，经济繁荣和学术生活都达到顶点，成为继中国长安城之后世界上最富庶的城市。

在世界史上，9世纪是以两位皇帝的姓名开端的，他们在国际事务中占有优越的地位。一位是法兰克国王查理曼，他的爷爷曾成功地在法国图尔阻止了穆斯林军队的扩张，另一位是哈伦·拉希德。这两个人中，哈伦的势力无疑更大一些。出于各自的目的，这两位同时代的东西方领袖人物之间建立了私人的友谊和同盟关系，经常互赠贵重的礼品。查理曼希望哈伦和他一起反对自己的敌人——拜占廷帝国，而哈伦也希望利用查理曼对抗自己的死对头——西班牙的伍麦叶王朝。

无论历史还是传说，都证实了巴格达最辉煌的时代，是在哈伦·拉希德在位的时代（786-809）。不到半个世纪的时间，这座城市就从一个荒村，巴格达发展成为一个拥有惊人的财富的国际大都会，只有拜占廷的君士坦丁堡可以与之抗衡。哈伦是个穆斯林君主的典型，他所表现出来的慷慨大方，像磁石一样，把诗人、乐师、歌手、舞女、猎犬和斗鸡的驯养师，以及所有有一技之长的人都吸引到首都来了。以至于在《一千零一夜》里，哈伦成为灰金如土、穷奢极侈的君主。

不仅如此，大约在公元771年，即巴格达建都的第9年，有一位印度旅行家曾带来两篇科学论文，一篇是天文学的。曼苏尔命人把这篇论文译成阿拉伯文，结果那个人就成了伊斯兰世界的第一个天文学家。阿拉伯人还在沙漠里生活的年代，就对星辰的位置很感兴趣，可却没有做过任何科学研究。他们信奉伊斯兰教后，增加了对天文学研究的动力，因为无论处身何地，每天需要5次向麦加方向祈祷朝拜，此乃伊斯兰5功之一的拜功，另4功分别是念功、课功（纳财供赈济贫民）、斋功和朝功（朝觐麦加）。

另一篇是婆多摩笈多的数学论文，欧洲人所谓的阿拉伯数字，阿拉伯人所谓的印度数码，就是由这篇文章传入穆斯林世界的。不过，那时候印度人还没有发明10进制记数，他们的数学文化输出十分有限。在阿拉伯人的生活中，希腊文化最后成为一切外国影响中最重要的。事实上，在阿拉伯人征服叙利亚和埃及以后，他们接触到的希腊文化遗产便成为他们眼里最宝贵的财富。之后，他们四处搜寻希腊人的著作，包括欧几里德的《几何原本》、托勒密的《地理志》和柏拉图等人的著作便陆续译成了阿拉伯语。

在哈伦的儿子麦蒙继任哈里发之后，希腊的影响达到了极点。麦蒙本人对理性十分痴迷，据说他曾梦见亚里士多德向他保证，理性和伊斯兰教的教义之间没有真正的分歧。公元830年，麦蒙下令在巴格达建造了智慧宫。那是一个集图书馆、科学院和翻译局于一体的联合机构，无论从哪方面来看，它都是公元前3世纪亚历山大图书馆建立以来最重要的学术机关。很快，它就成为世界的学术中心，研究的内容包括哲学、医学、动物学、植物学、天文学、数学、机械、建筑、伊斯兰教教义或阿拉伯语语法学，等等。

3、花拉子密的《代数学》

在阿拔斯王朝早期这个漫长而有成效的翻译时代的后半时期，巴格达迎来了一个对于科学具有独创性的年代。这其中，最重要、最有影响力的人物便是数学家、天文学家花拉子密（约783-约850）。可惜他的生平资料很少流传下来，一般认为，花拉子密出生在注入咸海的阿

姆河下游的花拉子模地区，即今天乌兹别克斯坦境内的希瓦城附近。另一个说法是他生在巴格达近郊，祖先是花拉子模人。但有一点比较肯定，花拉子密是拜火教徒的后裔。

所谓拜火教又名琐罗亚斯德教或袄教、帕西教，迄今已有2500多年的历史，以对火的尊崇，反对戒斋、禁欲、独身和二元神论著称。其创始人琐罗亚斯德比耆那教的创始人摩诃毗罗还要长30岁，他的故乡在今天伊朗的北部，死后他创立的宗教几度成为波斯帝国的国教。从花拉子密是拜火教徒我们可以推测，花拉子密很有可能是波斯人的后裔，即便不是（或许是中亚人），他的精神世界也倾向于波斯这个富有悠久文化传统的民族。反正，他不是纯粹的阿拉伯人，但他无疑精通阿拉伯文。

花拉子密早年在故乡接受教育，后到中亚古城默夫继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家。时任东部地区总督的麦蒙曾在默夫召见过他。公元813年，麦蒙成为阿拔斯王朝的哈里发后，聘请花拉子密到首都巴格达工作。后来麦蒙创建智慧宫后，他就担任了智慧宫的主要领导人之一。在麦蒙去世后，花拉子密仍在后继的哈里发统治下留在巴格达工作，直至去世。那时的阿拉伯帝国处于政治稳定、经济发展、文化科学事业繁荣的阶段。

花拉子密在数学方面留下了两部传世之作——《代数学》和《印度的计算术》。《代数学》的阿拉伯文原名是《还原与对消计算概要》，其中还原一词al-jabr 也有移项之意。这部书在12世纪的后翻译时代被译成拉丁文，在欧洲产生了巨大影响，其中的al-jabr 被译成了algebra，这正是今天包括英文在内的西方文字中的―代数学‖，花拉子密的书遂也被称为《代数学》。可以说，正如埃及人发明了几何学，阿拉伯人命名了代数学。

《代数学》大约完成于820年，所讨论的数学问题本身并不比丢番图或婆多摩笈多的问题简单，但它探讨了一般性解法，因而远比希腊人和印度人的著作更接近于近代初等代数，这是难能可贵的。书中用代数方式处理了线性方程组，并率先给出了二次方程的一般代数解法，同时，还引进了移项、合并同类项等代数运算方法。这一切为作为―解方程的科学‖的代数学开拓了道路，难怪花拉子密的书在欧洲被用作标准的课本使用了数百年，这对东方数学家来说十分罕见。

婆多摩笈多只给出一元二次方程一个根的求法，花拉子密则求出了两个根。可以说，他是世界上最早认识到二次方程有两个根的数学家。遗憾的是，尽管他意识到负根的存在，但却舍弃了负根和零根。他还指出，（用现在的语言）如果判别式是负的，则方程无（实）根。在给出各种典型方程的解以后，花拉子密还用几何方法给予证明，这一点明显受到欧几里德《几何原本》的影响。因此我们可以说，花拉子密与后来的其他阿拉伯数学家一样，深受希腊和印度两大文明的熏陶，这当然与他们所处的地理位置有关。

《印度计算法》也是数学史上非常有价值的一本书，该书系统地介绍了印度数码和10进制记数法。尽管此前已被那位印度旅行家介绍到巴格达，但并未引起广泛注意，花拉子密使它们在阿拉伯世界流行起来。14世纪，这本书被译成了拉丁文（手稿现存于剑桥大学图书馆），并在欧洲广为传播，以至于欧洲人称印度数码为阿拉伯数字。值得一提的是，该书的原名是《花拉子密的印度计算法》Algoritmi de numero indorum ，其中Algoritmi 本是花拉子密的拉丁文译文，现代数学术语―算法‖（Algorithm）即来源于此。

在几何学方面，尤其是在面积测量上，花拉子密也有自己的贡献。他把三角形和四边形进行了分类，分别给出了相应的测量公式。又如，他给出了圆面积的近似计算公式，

S = d 2 -(1/7)d2 - (1/2)·(1/7)d2

此处为圆的半径，该公式相当于圆周率等于31/7≈3.14这里沿用了埃及人使用单位分数的习惯。花拉子密还给出了弓形面积的公式，并把弓形分为大于（小于）半圆两种情况。

除了数学以外，花拉子密在天文学、地理学和历史学诸方面均作出了重要贡献。他用阿拉伯文写出了最早的历史著作，他的《历史书》推动了历史学这门学科的发展。最后，我们来谈谈花拉子密在地理学上的成就。因为军事和商业贸易（阿拉伯人是精明的商人）的需要，制作世界地图在当时非常重要，这要用到复杂的数学和天文学知识，花拉子密的《地球景象书》是中世纪阿拉伯世界的第一部地理学专著，书中描述了当时已知世界的重要居民点以及山川湖海和岛屿，并附有四幅地图，用最古老的阿拉伯制图术绘制。

四、波斯的智者

1、伊斯法罕的海亚姆

在中世纪的阿拉伯，波斯文化的影响实在太大了，这一点甚至胜过处于希腊文明影响之下的马其顿帝国，后者毕竟产生了亚里士多德那样的全才。除了果断和英勇善战以外，阿拉伯人的优点还在于，他们具有出色的组织和管理才能，以及包容大度的良好心态，但在理性智慧方面，他们尚不及波斯人。事实上，阿拉伯人只有两样东西保全下来，一样是变成国教的伊斯兰教，另一样是是变成国语的阿拉伯语。在首都巴格达，波斯头衔、波斯酒、波斯太太、波斯情妇、波斯歌曲等等，逐渐成为时尚。

相传哈里发曼苏尔本人是第一个戴波斯高帽子的，他的臣民自然效仿了他。在他的政府中，首次出现了波斯的官职——大臣，并且是由一个拥有波斯血统的人担任。哈里发让妻子和这位大臣的妻子相互哺育对方的女儿，并让大臣的儿子教育自己的儿子哈伦。但是好景不长。当哈伦从麦加朝觐回来，却发现这位年轻的老师已让他自己的妹妹怀孕并偷偷地生子，而这个妹妹偏偏因为被哈伦过份宠爱以至于不让嫁人。结果人头落地，那位异乡人的尸体被剖成两半，挂在巴格达的两座桥上示众。

更为不幸的是，麦蒙死后，阿拔斯王朝便走上了下坡路。在巴格达周围，出现了许多小王朝，政局持续动荡，帝国被一点点瓜分，剩下的权力也逐渐被军人掌控。一支警卫军起义了，接着又爆发可黑奴跟名，宗教派别层出不穷，中央政权的根基不断瓦解。这个时候，波斯人和突厥人又把短剑对准了它的心脏。尽管在1067年，巴格达创立了伊斯兰世界的第一所大学——尼采米亚大学，但仍难以吸引像欧玛尔·海亚姆那样聪颖智慧的青年才俊。

大约在1048年，伊斯兰世界最具智慧象征的人物——欧玛尔·海亚姆出生在伊朗东北部霍拉桑地区的古城内沙布尔。―海亚姆‖是指制造或经营帐篷的职业，这说明他的父亲或祖辈是从事这项工作的。或许是因为这个原因，他得以跟随父亲在各地漫游，先在家乡，后在阿富汗北部小镇巴尔赫接受教育，接着来到中亚最古老的城市撒马尔罕，海亚姆在当地一位有政治背景的学者的庇护下，从事数学研究，完成了包括三次方程几何解法在内的数学发现，并

依此完成了一部《代数学》。

也是在11世纪，一个叫塞尔柱的土耳其突厥人的王朝兴起，领土从伊朗和外高加索一直延伸到地中海，他们也是举着伊斯兰教的旗帜。后来，海亚姆在塞尔柱苏丹的邀请之下来到首都伊斯法罕，主持新建的天文台并进行历法改革。海亚姆在伊斯法罕度过了一生的大部分时光，伊斯兰教义、塞尔柱宫廷和波斯血统这三者在他身上交替呈现，他把头脑里那些不合时宜的思想悄悄地记录下来，以流行在霍拉桑地区的四行诗为载体。恐怕他自己也没有想到，800年以后他会成为名闻遐迩的诗人。

作为雅利安人的一支，伊朗人很可能是在公元前1000年到前2000年去往欧洲的那支印欧语系的中亚游牧民族的一部分，他们在西迁途中留了下来，―伊朗‖一词的原意便是―雅利安人之乡‖。那样一来，他们就与先前进入印度的那一支雅利安人同宗。不同的是，后者与被称作达罗毗荼人的原住民通婚，因此肤色变得黝黑。至于波斯（Persia）这个名字，则是由于伊朗中南部地区法尔斯（Fars）的古称为波尔斯（Persis），法尔斯的中心城市是有着―玫瑰花和诗人的城市‖之誉的设拉子。

法尔斯是波斯的发祥地，波斯帝国的缔造者居鲁士大帝就出生在那里，那是在公元前6世纪，他从故乡的一个小首领起家，打败了巴比伦等三个帝国，建立起了从印度到地中海的大帝国。居鲁士死后，他的儿子冈比西斯以及他的一个大臣的儿子大流士继续扩张，把埃及也纳入波斯帝国的版图，以至于在那里游学的希腊人毕达哥拉斯被捕获到巴比伦，而帮助解破巴比伦楔形文字之谜的伊朗西部贝希斯敦石崖上所刻文字正是讲述大流士一世如何登上王位的一篇铭文。

2、大不里士的纳西尔丁

在海亚姆过世约70年（其间意大利的斐波那契和中国的李冶相继出世）以后，波斯的图斯城（也属霍拉桑省）又诞生了一位了不起的智者纳西尔丁。图斯是当时阿拉伯的文化中心，纳西尔丁的父亲是位法理学家，他给儿子以启蒙教育，同城的舅舅则教他逻辑学和哲学，此外，他还学习代数和几何。后来，他来到海亚姆的故乡内沙布尔深造，跟随波斯哲学家兼科学家伊本·西拿的门徒学习医学和数学，逐渐成名。值得一提的是，伊本·西拿的拉丁文名叫阿维森特，他在东方被尊为―卓越的智者‖，在西方则被誉为―最杰出的医生‖。

此时，蒙古大军正大举西进，阿拉伯帝国摇摇欲坠。为了求得一个安宁的学术环境，纳西尔丁受邀到几处要塞居住，写出了一批数学、哲学等方面的论著。1256年，成吉思汗的孙子、蒙哥大汗的胞弟旭烈兀征服了波斯北部，占领了纳西尔丁所在的要塞。没想到旭烈兀相当敬重纳西尔丁，邀请其入朝担任科学顾问。两年后，纳西尔丁又随他远征巴格达，那是一次残酷血腥的战争，同时宣告了阿拔斯王朝的最后灭亡。

长兄蒙哥去世后，四哥忽必烈继位，成了元世祖，旭烈兀被封为伊儿汉，从此便留在波斯，定都大不里士（伊朗西北部名城）。此前在旭烈兀的批准和资助下，纳西尔丁在城南建造了一座天文台。他广招贤士，著述立说，还制作了许多先进的观察仪器，使得天文台成为当时的重要学术中心。1274年，73岁的纳西尔丁出访巴格达，不幸患病逝世，被安葬在郊外。旭烈兀死在他前面，早已把整个波斯纳入版图，巴格达也不在话下。到他的孙子统治时期，伊儿汗国的领土―东起阿姆河，西至地中海，北自高加索，南抵印度洋‖。

纳西尔丁一生勤于著述，留下的论著和书信无数，大多是用阿拉伯文书写，少数哲学逻辑学的用波斯文书写。据说他还懂得希腊语，个别论著中甚至出现了土耳其语。至于内容，涉及了当时伊斯兰世界的所有学科，其中尤以数学、天文学、逻辑学、哲学、伦理学和神学方面的影响较大，它们不仅在伊斯兰世界被奉为经典，也对欧洲科学的觉醒产生了影响，据说纳西尔丁制作的天文观察仪器还被带到了中国，并被同行借鉴。

纳西尔丁在数学方面的著作一共有三部。《算板与沙盘计算方法集成》主要讲算术。他继承了海亚姆的成果，将数的研究扩展到无理数等领域。书中采用了印度数码，谈到了帕斯卡尔（贾宪）三角形，还讨论了求一个数四次或四次以上方根的方法，成为现存的记载这种方法最早的论著。有意思的是，纳西尔丁得出了―两个奇数的平方和不可能是一个平方‖这一重要的数论结论，这个结论的证明通常依赖于数论中同余数的理论。

更值得注意的是《令人满意的论著》，这部书是关于几何学的特别是欧几里德平行公设。另外，纳西尔丁曾两次修订和注释《几何原本》，对平行公设做了较深入的探讨。

纳西尔丁试图利用其他公理和公设证明平行公设，为此沿用了海亚姆的方法，假设一个四边形ABCD，AB和CD等长且均垂直于BC边，则∠A和∠D相等。他证明了，如果∠A 与∠D是锐角，则可推出一个三角形的内角和小于180°，这正是非欧几何之罗巴切夫斯基几何的基本命题。

纳西尔丁最重要的数学著作是《横截线原理书》，这是数学史上流传至今最早的三角学专著。在此以前，三角学知识只出现于天文学的论著中，是附属于天文学的一种计算方法，纳西尔丁的工作使得三角学成为纯粹数学的一个独立分支。他首先从比的乘积的定义出发，认定每一个比就是一个数，这样就得到比值遵循乘法的交换律。接着他用平面的圆定义了弧的正弦，并首次陈述了著名的正弦定理，即

a / sin A =

b / sin B =

c / sin C

此外，纳西尔丁还证明了，由球面三角形的三个角，可以求得其三条边，反之亦然。这正是球面三角形与平面三角形差异的重要标志。

在天文学方面，纳西尔丁的贡献同样卓著，这里我就不多介绍了。据说他的两个儿子也在大不里士南郊的那座天文台里工作，还有一个中国人，他的姓名和来历却无法查证了。据《元史》记载，元初曾有阿拉伯人在中国―造西域仪象‖7件，有些仪器与纳西尔丁制作的颇为相象。同样，18世纪印度人在德里等地建造的几座天文台在外表和结构上也模仿了纳西尔丁的天文台。至于他的许多学术著作，则更方便地被翻译介绍到了欧洲。

3、撒马尔罕的卡西

伊斯兰教的魅力在于，穆斯林用武力夺取的领土可能在一段时间以后失去，但被征服的人民却大多数从此皈依伊斯兰教。伊朗或波斯便是一个典型的例子，自从公元640年由于与拜占廷帝国的战争付出高昂的代价而被阿拉伯穆斯林乘机征服后，这片土地几易其主，翻来覆去被不同的君王占领，可是，至今它的国微和国旗上仍带有浓厚的伊斯兰意味。前者由弯月、

宝剑和书籍组成，弯月和宝剑分别是伊斯兰教和力量的象征，高高在上的书籍则是《古兰经》。后者是蓝、白、红三色，在蓝和白、白和红之间均写满了―真主伟大‖。

现在我们要谈谈阿拉伯世界中世纪最后一位重要的数学家和天文家——卡西，人们常以他的卒年（1429）作为那个时代的终结。可是，卡西的生年却没有任何记载，他的活动最早见诸文献的是在1406年6月2日，当时他在家乡卡尚观察了一次月食。卡尚位于伊朗中央山脉的东麓，位于故都伊斯法罕和首都德黑兰的铁路线中间。尽管卡西可能出身平凡家庭，但他与波斯前辈同行海亚姆和纳西尔丁一样，很早就得到了权贵人士的赏识。

14世纪末，成吉思汗的后裔、中亚细亚的瘸子帖木儿建立了帖木儿王国，定都撒马尔罕。他本是信仰伊斯兰教的蒙古支族突厥化了部族成员，主要以其野蛮的征服从印度、俄罗斯到地中海的辽阔土地及王朝的文化成就载入史册。帖木儿打着重建蒙古帝国的旗号，所向披靡，直到埃及苏丹和拜占廷皇帝屈服纳贡以后，才返回撒马尔罕。虽然目不识丁，帖木儿却愿意与学者交往，并嗜好下棋，能够与第一流的学者讨论历史、伊斯兰教义和应用科学的各种问题。

1405年，正当帖木尔准备再度出发，率军远征中国（此时元朝早已灭亡），却因病去世了。他的孙子兀鲁伯痴迷于天文学，通过自己的观测，发现了亚历山大的天文学家托勒密的多处计算错误。同时，兀鲁伯还写诗、研究历史和《古兰经》，并且是科学与艺术的积极倡导者和早期保护者。年轻时，他就在撒马尔罕创办了一所高级的教授科学和神学的学校，不久又筹建了一座天文台，使撒马尔罕成为东方最重要的学术中心。

卡西的学术生涯便是与这位王子息息相关的，他曾是一个医生，但他渴望从事数学与天文学的研究。在长期的贫困与彷徨之后，他终于在撒马尔罕找到了一个稳定而体面的职位，那就是在兀鲁伯的宫殿里协助策划开展科学工作。卡西何时抵达这座不可考，只知道他和兀鲁伯讨论过天文台的规划，积极参与天文台的修建和仪器的装备，成为王子的得力助手，并且在天文台简称以后又出任了第一任台长。

在给父亲的一封信里，卡西极力称赞兀鲁伯渊博的知识、组织能力和数学才华。信中他还提到当时讨论科学时的自由空气，声称这是科学进步的必要条件。另一方面，兀鲁伯对待科学家非常宽厚，特别谅解卡西对宫廷礼仪的疏忽，以及缺少良好的生活习惯。在还一部以他自己命名的历法书的序言中他提到了卡西之死，―他是一位杰出的科学家，是世界上最出色的学者之一。他通晓古代科学，并推动起发展，他能解决最困难的问题。‖

卡西在数学上取得了两项世界领先的成就，一是圆周率的计算，二是给出sin°1的精确值。在古代，对圆周率л的研究和计算，在一定程度上反映了这个地区或时代的数学水平，就如同今天对最大的素数的求取，代表了某个公司或国家计算机研发的先进程度。公元1424年，在中国数学家祖冲之在公元462年把л的精确值算到小数点后7位数之后9个多世纪，卡西终于打破了这项世界记录，即

л= 3. 141 592 653 589 793 25

精确到了小数点后16位。卡西一直算到了正3·228边形的周长，直到1596年，荷兰的科伦才通过圆内接和外切正60·233边形，算出小数后20位。

五、结束语

大约在1185年，婆什伽罗死于乌贾因。之后，印度的科学活动就逐渐走向衰落，数学上的进展停止了。1206年，历时久远的德里苏丹国建立，印度开始接受穆斯林的统治。一个世纪之后，南方的一部分地区独立出去，又开始了旷日持久的争夺霸权的斗争。相比之下，波斯的数学兴起得晚，衰败得也晚。但在兀鲁伯于1449年被处死后不久（据说他自己的儿子是幕后策划人），尚武且内耗不断的萨非王朝接踪而至，波斯数学的辉煌时代也随之宣告结束了。恰好这个时候，欧洲的文艺复兴之火开始在亚平宁半岛点燃。

与埃及一样，印度拥有数学教养的人几乎全是僧侣，要么就是种姓地位较高的人，这与希腊的情况完全不同，后者的数学大门是对所有人敞开的。其次，印度数学差不多就是天文学的―侍女‖，而对于希腊人来说，数学则是独立存在的，并且是为了它本身进行研究的，即所谓的―为数学而数学‖。再次，印度人用诗的语言来表达数学，他们的著作含糊而神秘（虽然发明了零号），且多半是经验的的，很少给出推导和证明。希腊人则表达得既清楚又富有逻辑性，并给出严格的证明。

相比之下，波斯人在几何学方面更有才能，尤以海牙姆的三次方程的几何解达到高峰。和印度人一样，阿拉伯数学家一般把自己看作天文学家，他们在三角学做出了较大的贡献。事实上，今天仍然沿用的许多星星的名字，如金牛座的毕宿五、天琴座里的织女一、猎户座里的参宿七、英仙座里的大陵五、大熊座里的北斗六，都是阿拉伯文的音译。而正弦sine源出印度数学家阿利耶波多，后经过阿拉伯文的转化才得到。至于代数方面，阿拉伯人的贡献更大，据说斐波那契的《算盘书》里有一章，其中许多问题出自花拉子密的《代数学》。

在数学史上，不仅印度数学经由他们之手传递到西方，古希腊的大部分著作也是如此，那是数学史上著名的翻译时代。就在前文提到的巴格达智慧宫里，包括欧几里得《几何原本》在内的数学著作被翻译成阿拉伯文，完好地保存了几个世纪以后，（在希腊原文被悉数焚毁之后）又被后来的欧洲学者翻译成了拉丁文，后一项工作是在阿拉伯帝国的西端——西班牙的科尔多瓦完成的。遗憾的是，与中世纪的中国文明和印度文明一样，波斯人的数学也讲究实效，加上前面提到的其他因素，这注定他们难以达到理论高度和可持续性发展。

论数学发展与人类文明的关系

论数学发展与人类文明的关系 法学Q1141班孙越11090033 数学与科学、人文的各个分支一样，都是人类进化和智力法阵进程的反应。例如，埃及和巴比伦的数学源于人们生存的需要，希腊数学与哲学密切相关，中国数学的活力来自立法改革，印度的数学的源泉始于宗教，而波斯的数学和天文学互不分离。 文艺复兴是人类文明进程的一个里程碑，到了17世纪，微积分的产生解决了科学和工业革命的一系列的问题，而18世纪法国大革命时期的数学设计力学、军事和工程技术。19世纪前半叶。数学和诗歌几乎同时从古典进入现代，其标志分别是非交换代数和非欧几何学的诞生，而进入20世纪以后，抽象化成为数学和人文的共性。 哲学与数学的在此交汇产生了现代逻辑学。现代数学和现代文明的结合，更能理解各专业与数学的关系。 一、数学的起源中东文明 数学每前进一步，都伴随着人类文明的一次进步。亿万多年前，居住在岩洞里的原始人就有了数的概念。本来，对事物的要求出自人类的生存本能，慢慢地，人类就有了明确的数的概念：1,2,3，……正如部落的头领需要知道有多少成员，牧羊人也需要知道自己拥有多少绵羊。 在有文字记载之前，记数和简单的算术就发展起来了。后来，逐渐衍生出三种有代表性的记数方法，即石子记数、结绳记数、刻痕记数。在古希腊的荷马史诗《奥德赛》故事告诉我们，很可能是牧羊人计算羊群的只数产生了数学，正如诗歌起源于祈求丰收的祷告。 说来有点残酷，一些美洲印第安人用过手机被杀者的头皮来计算他们杀敌的数目，而非洲的原始猎人通过积累业主的牙齿来计算他们杀死野猪的数目。据说，居住在乞力马扎罗山坡上游牧民族的少女习惯在颈上佩带铜环，其个数等于自己的年龄。以前，英国就报往往用粉笔在石板上画记号来技术顾客饮酒的杯数。后来，就产生了各种各样的语言，包括对应于大小不同的数的语言符号。 据考古学发现，刻痕记数大约出现在三万年以前，经过极其缓慢的发展，终于出现了书写记数和响应的数系。前者有古埃及的象形文字，希腊的阿提卡数字，中国的纵使筹码数字和玛雅数字，后者有中国的甲骨文数字和横式筹码数字以及印度的婆罗门数字。 数系的出现使得数的书写和数与数之前的预算成为可能。在此基础上加、减、乘、除乃至于初等算数便在几个古老的文明地区发展起来。与数的概念形成一样，人类最初的几何知识也是在他们对形的直觉中萌发出来的。几何学边是建立在对这类从自然界提炼出来的“形”的总结的基础之上。 近东既是人类文明的摇篮，也是西方文明的发祥地。由于特殊的地理因素，造就了以古老的象形文字和巨大的金字塔为标志的绵延三千年的古埃及文明。 除了上面介绍的数学成绩以外，埃及人和巴比伦人还将数学大量的应用于实际生活中，他们在纸草、泥版书上记载账目、期票、信用卡、买卖单据、抵押契约、代发款项，以及分配利润等事项。还比如数字7，巴比伦人最早注意到了，它是上帝的威力和复杂的自然界之间的一个和谐点，到了希伯来人手里，7又成为一个星期的天数。 二、希腊数学与希腊文明、 与东方文明古国不同，希腊城邦始终处于割据状态，这当然与它的地理因素有关，山脉和海洋把人们分散在遥远的海岸上，希腊的社会结构主要由贵族和平民两个阶段构成，他们并不彼此截然分开，在战争中同属一个国王领导，而这个国王不过是某个贵族家庭中的首领，这样一来，这个社会便容易产生民主和唯理主义氛围。在这个氛围中，经验的算术和几何法则被上升到具有逻辑结构和论证数学体系中。

数学文化与欣赏教案

第一章 数学文化概论 教学目的：使学生了解数学文化的定义、数学文化课的开设方法、数学 文化课的学习方法、数学文化课的考核方式等等。 教学重点：数学文化课与一般数学课的区别 教学难点：数学文化课程中如何处理好数学和文化的关系 教学课时：2节 教学方法：课件教学与讲解相配合 教学过程： 2序言 一、“数学文化”一词的使用 二、什么是“数学文化” 三、“数学文化”课的开设 四、“数学文化”课的上法 五、“数学文化”课的考核 2一、“数学文化”一词的使用 ?该词使用已有二、三十年; ?在中国，较早使用的是1990年 邓东皋、孙小礼等人编写的 《数学与文化》及齐民友写的 《数学与文化》; ?近七、八年这个词用得多起来。 ?这个词的使用频率近年大大增加，说明它是有生命力的，说 明许多人为着某种需要更愿意从文化这一角度来关注数学， 更愿意强调数学的文化价值。

第二章数学文化与数学教育 教学目的：使学生了解数学教育的功能、数学素养的内容、数学教育与数学教学的区别、数学文化的发展历程等等。 教学重点：数学素养的内容、数学文化的发展历程 教学难点：数学教育与数学教学的区别 教学课时：2节教学方法：课件教学与讲解相配合 教学过程： 数学文化与数学教育 “数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰 富内容的知识体系，其内容对自然科学 家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和 艺术家十分有用，同时影响着政治家和 神学家的学说；满足了人类探索宇宙的 好奇心和对美妙音乐的冥想；有时甚至 可能以难以察觉到的方式但无可置疑地 影响着现代历史的进程。” ——M·克莱因

一、数学教学与数学教育 1、数学教学： 初中数学的学习内容是“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域。课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。 中学数学教学是“通过知识的教学培养能力，发展和完善学生的素质，使学生的聪明日益长进”。 2、数学教育： （1）以动态的观点认识数学知识的发生和发展； （2）数学研究的对象是客观世界，重在突出数学的应用性； （3）不仅仅是得到数学知识和技术，重要的是得到对事 物进行认识、推理、判断、运用的能力，以及认识客观 世界的情感、态度与价值观。 （4）使学习者的认知心理和非认知心理得到健全发展的 过程。 二、学生眼中的数学教育 老师眼中的数学与学生眼中的数学是 有区别的，学生眼中的数学并不是我们理 解的数学，要想使学生学好数学，必须走 进学生的心中，理解学生的思维，应该站 在学生的角度去进行教学设计，这样才有 可能使我们的教学切合学生的实际。 只有以学定教，才有高的教学效率！

数学在人类文明发展中起到的作用

数学在人类文明发展中起到的作用邓小平说，“科学技术是第一生产力”，而科学技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学，这一论述揭示了数学在生产力中的巨大作用。数学与人类文明的发展有着千丝万缕的联系。 一、用之以计数，使之融入生活 数学起源于数，数起源于数数。人类最早的数数工具就是双手与双脚，但数字大过于20的时候，人类就用木棍儿或者石子来代替手脚作为计量工具，渐渐发明了数字来代表这些具体的事物，所以数字天生就是抽象的东西。人类运用数字在日常生活中普遍应用于农业，狩猎，建筑等行业，大大提高了人类的生活水平。 二、用之以创造，促进生产发展 数学作为一种工具，在人类的发明创造中起了很大的作用，用数据测定并演算的规律，运用于各种生产工具的制作中，大大提高了人类的生产力，促进生产关系的改变，从而推动整个人类的文明进程。数学的广泛运用，不仅仅是运算能力的提高，而且在物理学，化学，机械，天文等学科中，起到了预测的功能。万有引力的发现，冥王星的预测都是数学广泛运用的成果，数学以之基础科学的作用，大大丰富了人类的生产力。 三、用之以研究，提高科技水平 数学作为一门技术，直接推动了科技的飞速发展。数学是一种普遍适用的技术，它可以帮助人们在搜集、整理、描述、探索和创造中建立问题的模型，通过研究模型来解决相关的问题，作出正确的判断。

在当代高新技术中很多问题都要通过建立数学模型，应用数学方法并借助计算机的计算、模拟、仿真和控制来实现计算机行业的软件比重早已超过硬件，而软件技术本质上是数学技术。军事科学中，运用蒙特卡罗方法建立的概率模型，可在实战前对作战双方的军事实力、政治、经济、地理、气象等因素进行模拟，以选择出对自己一方既有利又最稳妥的作战方案。在计算机的发展中，数学为人类带来了信息化时代。信息时代即为数学时代，随着计算机的出现，兼有科学和技术两种品质的数学渗入到各行各业，并且物化到各种先进设备之中，促进了各行业科技含量迅速提高。科技的突飞猛进依赖于数学技术。 四、用之以推广，促进社会人文发展 在经济发展和社会管理过程中，数学技术在其中每一个环节都扮演了重要角色。任何一个产品，从原材料检验、下料、分类、运输、供应，到产品毛坯的准备、加工、物流、贮存、检测、装配、包装，到销售、服务、市场开发，直到市场信息反馈、成本核算、产品改进设计等等，数学中的最优化决策论原理促进了产品设计、生产与开发的科学化。社会上，任何一项制度的建立，都有相关的数据作为依据，用数学分析法讲的来的数据进行分析解剖，作为社会决策的重要依据，数学分析法成为社会管理的一项巨大突破！ 数学作为一种文化，具有比数学知识更为丰富和深邃的文化内涵，数学文化是对数学知识、技能、能力和素质等概念的高度概括，”通过数学的学习，可以接受数学精神和数学思想方法的熏陶，提高思维能力、锻炼意志和品质，并把它们迁移到学习、工作和生活中去。

数学文化作业答案(全正确答案)

数学文化作业答案(全正确答案) 1数学的研究对象是()a，物质b，物质运动c，自然d，以上不是两个学科。只有成功地应用()我们才能成熟数学 3 学习的主题不是物质或物质运动的科学。数学素养对文科学生来说并不重要。正确答案是:× 5。一般来说，数学素养意味着理性思考、仔细思考、验证、简洁、清晰和准确的表达正确答案:√ 6 一个不识字的人可以活，但不会数数的人也可以活正确答案:×7数学文化中的文化指狭隘的文化正确答案:×8 我国第一次提出数学文化是哪一年？数学文化一词最早出现在:1990年0 10年数学文化这门课程被评为XXXX 国家精品课程正确答案:“数学文化”中的× 11文化是指广义的文化正确答案:ì 12以下不是数学文化课。学生获得的是:b，提高数学能力13 以下不是数学文化的侠义意义: A，数学思想b，数学精神c，数学方法d，数学教育 14 数学是一门与其他自然学科处于同一水平的科学正确答案:×15 不同的自然科学可以用于数学研究正确答案:√ 16数学文化中的文化定义更倾向于广义解释。()正确答案:× 17数学文化的研究对象是人正确答案:√ 18“大学生素质与文化教育”一词是什么时候提出来的d，是什么时候第一次建立32 个“大学生素质与文化教育国家基地”c2 0 世纪90 年代，1 XXXX 1999 年的数学素养不包括() A，从数学的角度看问题b，控制问题的因素c，以及理性思维d。

解 决问题的逻辑能力 2 数学素养不是与生俱来的，而是在学习和实践中培养出来的正确答案:√ 3数学训练可以提高一个人的 A，推理能力b，抽象能力c，分析和创造能力d，所有这些都是正确的4企业招聘员工的问题和数学推理往往与正确答案有关:√ 5以下哪一项不是通过学习数学文化获得的？ A、理解思想b、激发兴趣c、学习方法d、解决问题方法6 一个人的数学素养水平决定了一个人工作的有效性。正确答案:√ 7数学不仅是一些知识，还是一种素质(素养)正确答案√ 8 该专业的“数学素养”是什么？()b，2: 9以下不是数学文化课的指导思想:c，数学能力10能用数学方法解决现实生活中的问题正确答案√ 11数学文化是一门以简单的数学知识为载体，讲述数学思想、精神、方法和观点的课程正确答案:ì 12目前，社会不重视数学素养正确答案:× 13数学素养是指排除数学知识后剩下的东西正确答案√ 14数学专业不含()C，热力学统计 15数学语言特征不含A，清晰B，严谨C，规范D，杂16数学重要性体现在几个层面C，317数学文化课教学方法不含 A，启发式教学B，讨论式教学C，研究式教学D，实验式教学18 数学不仅是一种重要的工具，也是一种思维方式正确答案:√1 9 数学

数学文化与数学教育读后感汇编

《数学文化与数学教育》读后感 读了这本书对我的感触很深，使我懂得了好多数学的道理，对我的学习有了更大的帮助，而数学史对于大学数学教学来说就是一种十分有效、不可或缺的工具。认识到数学史在大学数学教学中的作用，并将数学史与大学数学教学紧密的结合起来，不但能有效的激发学生学习数学的兴趣，而且对于提高其数学方面的素质修养以及逻辑思维能力、启发文科学生的人格成长、发展其认知能力等都有十分重要的作用。 1.数学史是大学数学教学的重要的组成部分 俗言说的好“冰冻三尺非一日之寒”。数学知识的发生和发展过程其实就是数学家与困难、问题的斗争史。数学本身不仅是一门科学，而且还是一种精神，一种探索精神。比如，微积分是由牛顿、莱布尼兹、欧拉、维尔斯特拉斯等多位大数学家前赴后继，历尽艰辛，历时千年才建立和发展完善的。了解数学理论知识建立的历史，不但可以使学生对所学知识有一个全局的完整的认识，而且可以使学生学会由易到难、由已知到未知，逐步的克服障碍，在探索中学习。 2.数学史可以构建数学与人文之间的桥梁，激发学生学好大学数学的兴趣 数学学科的抽象性、严密的逻辑性, 使得很多学生有畏难心理, 大学数学的学习也相应的恶化成枯燥无味的公式记忆和解题演练。荷兰数学家和教育家赖登塔尔就批评那种注重逻辑严密性、而没有丝毫历史感的教育乃是“把火热的发明变成了冷冰冰的美丽”[2]。因此, 如何构建数学与人文之间的桥梁, 激发学生学习的兴趣就成了教师的首要任务。数学是各个时代人类文明的标志之一。数学对整个人类文明产生了不容质疑的影响，无论是物质文明还是精神文明两方面都是这样。数学对人类物质文明的影响，最突出的是反映在它直接或间接参与了从根本上改变人类物质生活方式的三次重大的产业革命。比如，第一次产业革命的主体技术是蒸汽机、纺织机等，它们的设计涉及对运动与变化的计算，而这只有在微积分发明后才有可能。又如，原子能的释放，首先是由于爱因士坦利用数学工具导出的著名公式揭示出质能转化的可能性。而现在的航天事业的发展更离不开数学的参与。“神舟飞船”的历次成功飞行都离不开数学家的参与。数学对于人类精神文明的影响同样也很深刻。比如，日心说的决定性胜利是在牛顿用当时最新的数学工具——微积分和严密的数学推理从动力学定律、万有引力定律出发推演出太阳系的运动之后。哥白尼的学说得到证实恰是通过这样的事实：天文学家加勒根据几位数学家在数学上的推算和预报找到了一颗新的行星——海王星。在大学数学的教学中，在学到相关数学知识的时候，适时的将数学知识与其在促进当时社会的发展联系起来，使学生认识到数学与人们的生活息息相关，其来源于生活、服务于生活。这将有助于树立学生对数学课正确的认识，增强学习兴趣。 3.数学史在大学数学教学中具有重要的德育功能 数学中蕴涵着丰富的辩证唯物主义的思想。在数学史上，数学概念的形成与演变，重要思想方法的确立与发展，重大理论的创立与变革等，无不体现唯物辩证法的核心思想——发展、运动与变化。比如，自从数学中引入了变量，运动就进入了数学。在高等数学中至始至终贯穿着动态的变量的思想，函数就是这一思想的具体体现。通过函数出现历史的介绍，就可以教会学生学会用变化、运动的观点看待事物、看待世界。在大学数学教学中融入数学史，

数学与人类文明

数学与人 一个学期的数学与人类文明的课，改变了我对数学的许多看法。从小学到高中，一直认为数学就是繁杂的计算，复杂的数据和函数题目，为了考试而学数学。简单地认为数学除了加减乘除对日常生活有用之外，其他都没什么用处。然而，现在我才恍然大悟，原来数学对对科学的发展，文明的发展，对人类社会的发展，是如此重要！客观世界的一切事物小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。这也正说明了如果不懂得数学这门语言，我们就无法表达自己，更无法去认知自然，征服自然。 数学是科学的皇后，毫无疑问数学是美丽的。它像音乐一样和谐，在更深的层面上揭开自然界和人类社会内在的规律，现实世界是数学的丰富源泉。数学的奥妙不在于它的完美和复杂，相反是在于它找到了最经济，最简单的表述与论证。明晰，严谨，简介，规范，是人类文明，宇宙文明的共同语言。它，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理。基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。虽然不同的传统学派可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用，以及它们综合起来的努力，才构成了数学科学的生命力、可用性和它的崇高价值。 微积分作为高等数学重要的一部分，对科学的发展起着巨大的推动作用。微积分的方法是一种辩证的思想方法，它包含了有限与无限的对立统一，能把复杂的问题进行空间、时间上的有限次分离，在有限的范围内进行近似处理，然后让分割无限地进行下去，局部范围无限变小，那么近似处理也就越来越精确，这样就可以得到精准的理论结果。更重要的是微积分是与实际应用联系发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然学科，社会学科及应用科学各个分支中，有越来越广泛的应用。菲欧几何也是是一门大的数学分支，它的发展催生了一些重要的新的几何的产生。菲欧几何的创建还打破了欧氏几何一统天下的局面，从根本上革新和拓广了人们对几何学观念的认识，导致人们对几何学基础的深入研究，而且对于物理学在二十世纪初所发生的关于空间和时间的物理观念的变革产生了重大的作用。 除此之外，数学巨大的魅力在于数学几乎渗透于任何一门学科中，如果说科学是正在沉积自己厚度的水中的泥沙，那么数学就是源源不断流来的清泉，不仅甘甜，而且逐渐汇聚成河流，推动着已经有了厚度的泥沙蔓延至四面八方，有时甚至将他们带到终点形成伟岸的山峰。数学门类的齐全性也决定了他应用的广泛性，因此数学成为了各门学科的基础和工具。例如数学对计算机学科的发展产生了重大的作用。其实，数学是计算科学的主要基础。计算模型的非连续性使得以严密、精确著称的数学尤其是离散数学被首选作为描述学科的工具。大多数计算科学理论不仅是对研究对象变化规律的陈述,由于能行性这一本质的思想和步骤,更重要的是取决于对理论的深刻认识和理解。由于离散数学的构造性特征与反映学科本质的能行性特征之间形成了天然一致,从而使离散数学的构造性特征决定了学科的许多理论，同时具有理论、技术、工程等多重属性,常常是相互渗透在一起，是密不可分的。理论上,凡是可以用计算机来处理的问题及其处理过程中都可用数学来描述;凡是可以用以离散数学为代表的构造性数学描述的问题及处理过程,也一定可以用计算机来实现。计算机学科的研究工作走向深入,研究内容比较复杂。人们首先是发展相应的计算模型或引入新的数学工具,然后依靠计算模型和数学工具将研究工作推向深入。例如,在计算方法中提及了报表、分解、集成、类比、推导、变换、扩展等，而网络协议描述,并发控制机制、容错计算、量子计算、计算机系统结构与性能分析、并行计算等,都引入了新的计算模型.随着时间的发展,计算机科学研究所需的数学专业基础知识从高等数学、数值分析、微分方程向抽象代数、泛函分析等拓扑学方向过渡，所以以上种种说明计算机学科的发展是与数学紧密相关的。 对于我自己来说，上了大学之后，学得是外语专业，没有什么机会深入了解过微积分这

论数学与人类文明

论数学与人类文明 the Mathematics and Human Civilization 邹常盼 09211273 2009211306摘要：数学是人类文明进步的力量。这句话，讲起来似乎很玄。社会发展、文明进步主要是依靠科学技术推动生产力和生产关系的发展，依靠民族文化素质的不断提高，与数学何干？然而，纵观古今中外人类文明的发展史，任何时期、任何朝代，无论是政治、军事还是经济、文化的进步，数学都无一例外地起着巨大的推动作用。 Abstract: Mathematics is the power of human civilization and progress. This sentence seems very mysterious about it. Social development, civilization and progress is mainly relying on science and technology to promote the development of productive forces and production relations, relying on the continuous improvement of the quality of national culture, and mathematics ware? However, throughout the history of human civilization, ancient and modern, at any time, any dynasty, whether political, military or economic, cultural progress and mathematics, without exception, plays a huge role in promoting. 关键词：数学，推动，人类文明。 Key words: mathematics, promote human civilization. 正文：王国维在《人间词话》中说： “诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。入乎其内，故能写之。出乎其外，故能观之。入乎其内，故有生气。出乎其外，故有高致。” 只知入乎其内，那是见木不见林，常常会迷失方向。所以还要辅助以出乎其外，站出来作高瞻远瞩。不站出来，就不知道数学的根在何处，不知道自己研究的最终目的与最终方向是什么。不站出来，就看不到数学与别的学科的密切联系与相互影响。不站出来，就看不到数学对人类文明的巨大贡献。 整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前。科学巨人们站在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤奋把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。 数学在整个人类文明中都是深层次的动力。其作用一次比一次明显。 数学在人类文明中一直是一种主要的文化力量。它不仅在科学推理中具有重要的价值，在科学研究中起着核心的作用，在工程设计中必不可少。而且，数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构造了诸多宗教教义，为政治学和经济学提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学。数学为我们回答人与宇宙的根本关系的问题提供了最好的答案。作为理性的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，并取而代之，成为其思想和行动的指南。 人类文明的进步主要体现在生产力和生产关系的发展。“科学技术是第一生产力”，“科学技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学”，这一论述揭示了数学在生产力中的巨大作用。 1．数学作为工具，在科学研究中的应用非常广泛。从文艺复兴时期到20世纪中期出版的被称为“改变世界”的16本自然科学和社会科学专著中，有10本（《天体运行》、《血

物理学与人类文明

物理学与人类文明 摘要：人类的发展离不开物理，物理学的发展引发了一次又一次的产业革命,推动着社会和人类文明的发展. 可以说社会的每一次巨大的进步都是在物理学 发展的基础上完成的.没有物理学的发展就没有人类社会和文明的巨大进步. 物理学的发展,促进了科学技术的进步.现代物理学更成为高新技术的基础. 物理学对社会与经济的发展、对人们的生产与生活乃至人类思维本身产生了愈来愈重要的影响，极大地推动人类社会生产方式和生活方式的变革。物理学直接应用成果，和间接的应用成果，极大地推动了整个科学和技术以及社会的发展，改变了世界的面貌。 关键词：实验推动息息相关生产生活变革物质文明 一,什么是物理学 1,物理学是一门自然科学. 物理学起始于伽俐略和牛顿的年代.(伽俐略:1564-1642年,活了78岁.牛顿, 1642-1727,85岁,英国物理学家,天文学家和数学家)经过三个多世纪的发展,它已经成为一门有众多分支的,令人尊敬和热爱的科学. 其实我们身边处处有物理.为什么火箭能将杨利伟乘坐的神州六号推上天呢？最后飞船为什么又能平稳地在太空遨游呢?这就是物理.还有,电视中一个个精彩的节目,会令屏幕前的你流连忘返,开怀捧腹.那么,电视台的直播间的画面和音乐是怎么即时传过来的又是怎样在电视屏幕上显示出来的呢?这也是物理电子书籍,一盘小小的光碟,可以装得下很多的书,那么光碟又是怎样读出来的呢?这也是物理. 可以说,远到宇宙深处,近到咫尺之间,大到广袤苍穹,小到分子原子,都是物理学的研究范畴. 它不仅研究物体的运动规律,例如月亮为什么会绕着地球转它还研究物体为什么会做那样的运动.即物理学还研究物体之间的相互作用的规律,用较为严谨的语言来说,物理学是研究物质存在的基本形式,本质和运动规律,及物体之间的相互作用和转化的规律的科学.它崇尚理性,重视逻辑推理.可以说物理学是关于"万物之理的 2,物理学是一门实验科学. 自然界的本质和规律能不能自动地展现在人们的面前，这就要求我们要能过观察和实验,先提出假设,再经过积极的思考和逻辑推理,得出结论,也就是找出规律.然后呢,我们再用规律去应用于实际,在实际应用中检验规律的正确,并应用规律去解决实际问题. 具体的过程是这样的: 观察思考 实验――假设――逻辑推理――结论(规律)――解决问题 探索――假设――推理――规律――应用于实际. 所以物理学是极富洞察力和想像力的科学. 经过三百多年的发展,物理学不仅作为一门独立的科学,有完事的科学体系,而且物理学的基本理论,基本的实验和精密测试技术,已经越来越广泛地应用于其他学科,极大地推动了科学技术的创新和革命,极大地促进了社会的发展和人类文明的

数学与人类文明的交响

数学与人类文明的交响 姓名:XXX 自然科学的发展，取决于其方法和内容与数相结合的程度，数学成了打开知识大门的金钥匙，成了“科学的皇后”。 ——伊曼努尔·康德 数学家赫尔曼外尔曾说，“数学是无穷的科学。”。众所周知，“科学技术是第一生产力”，科学技术的进步，人类文明的发展，社会历史的前进都离不开数学——这把开启知识大门的金钥匙。 当我们为“神五”“神六”遨游太空满心欢喜、无比自豪时；当我们为“北京奥运”鸟巢美观、节约的设计时；当我们把计算机视为我们必不可少的“朋友”“助手”时，你可曾知道，在这科技突飞猛进、信息高速发达的今天，这是数学的莫大功劳和成就呢？数学的每一次进步，都伴随人类文明的每一次发展，它是一切科学思维的基础，是人类认识世界的重要工具。在人类发展的社会历史进程中，数学总是扮演着一个重要的角色。 “当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西时，数学就诞生了。”伟大的数学家兼哲学家伯特兰·罗素说。数学最初是源于人们生活的需要，人们用最简单的工具开始记数，如：石子、结绳、刻痕。随着生产里的发展、人们更多的生活需要，人类又一次次的对数学进行探索，把它运用于广泛的日常生活中。算术、代数被用于商业交易，几何公式则用于推算土地面积，计算存储在圆形仓或锥形仓中的粮食。当然，无论埃及人的金字塔，还是巴比伦的通天塔和空中花园，都凝聚着数学的智慧和光芒，形成了最初的中东文明。 虽然数学史上的先驱人物已消失在历史的迷雾中，但他们的成就却世代继承下来，并且得到了很好的完善和发展。在几大文明古国希腊、中国、印度以及其它国家，相继诞生了一批批伟大的数学家和科学成就。阿波罗尼奥斯、欧几里德、阿基米德三大数学家共同造就了希腊数学的黄金时代。在中国，编撰了诸如《周髀算经》、《九章算术》等数学著作，对人们认识大自然、计算日月轮回起着重要作用；“正如太阳之其光芒是众星失色，学者也以其能提出代数问题而使满座高明逊色，若其能给予解答则将使吾辈更为相形见绌。”从数学家婆罗摩芨多的话中可知，数学在印度也得到了迅速的发展并取得了巨大的成就。在数学的推动下，希腊文明、东方文明诞生了。 伟大的数学是由伟大的数学家创立的，17世纪是“天才的世纪”，在人类的发展史上，起着非常关键的作用和影响，尤其是微积分和解析几何的诞生。在这以后，数学作为一门强有力的工具，在17、18世纪推动了以机械运动为主体的技术革命；在18世纪60年代后先后推动了一发电机、电动机和电信通信为主体的技术革命；20世纪40年代以来，无论电子计算机、原子能技术、空间技术以及生产自动化，都与数学紧密相关。回顾历史，无论任何时期、任何朝代，我们不得不承认，数学推动了社会的发展、人类文明的进步。不紧如此，数学在其它的领域也密切联系着。艺术上，法国艺术家塞尚被誉为“抽象艺术之父”，把数学的抽象性运用到绘画之中；医学上，柯尔马克和洪斯菲尔德巧妙地运用了拉顿变换，设计出X光线断层扫描仪；物理学上，爱因斯坦正是深受黎曼的著作之影响而建立了广义相对论；生物学上，英国数学家皮尔逊首先将统计学运用于遗传和进化问题，并于1901年创办了第一本生物数学杂志《生物测量》；经济领域，

数学文化及人类文明

毕业论文 论文题目：数学文化与人类文明 引言 在当今社会,科学技术正以迅猛的势头强烈地影响、渗透并冲击着人类社会几乎所有的领域,数学与数学技术是其中最强劲的浪潮之一。在新技术革命和信息革命中,数学理论与技术起着十分重要的作用。纵观人类科学与文明发展的历史,我们可以发现:数学一直是人类文明发展的主要文化力量,同时人类文化的发展又极影响了数学的进步。按照现代数学研究，数学文化可以表述为以数学科学为核心，以数学的思想、精神、方法、容等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个

具有特定功能的动态系统，其基本要素是数学及与数学有关的各种文化现象。数学文化研究开展以来，数学的抽象、确定、继承、简洁、统一的文化属性和渗透、传播、应用、预见的功能特征被挖掘出来，数学的艺术性也深深吸引了人们的眼球。本文就是着重研究数学文化与人类文明的联系，发掘数学的文化功能。 关键词：数学，数学文化，数学教育，人类文明 1.数学文化的涵 数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。历史地看，古希腊和文艺复兴时期的文化名人，往往本身就是数学家。最著名的如柏拉图和达·芬奇．近代，爱因斯坦、希尔伯特、罗素、·诺依曼等都是20 世纪数学文明的缔造者。“广义的文化概念强调的是文化对人类创造活动的依赖性。数学对象终究不是物质世界中的真实存在,从这个意义上说,数学就是一种文化。狭义的文化概念强调的是文化对人的行为、观念、态度、精神等的影响。”①数学除了在科学技术方面的应用外,其在精神领域的功效,特别是在对人类理性精神方面的影响也是有目共睹的。作为一种人类的理性精神,作为理性精神最有力的倡导者和体现者,今天数学已在一定程度上渗透到以前由权威、习惯和风俗所统治的领域,成为人们思想和行动的先导之一。某些数学成果如无理数和非欧几何的发现所产生的精神方面的影响,并不亚于对数学本身产生的影响,它们对认识论、伦理观乃至人生观都产生了巨大的影响。因此,在这种意义上说,数学还是一种文化。 按照现代数学研究，广义地讲，数学文化可以表述为以数学科学为核心，以数学的思想、精神、方法、容等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有特

论数学与人类文明

论数学与人类文明 学院：计算机学院班级：09211308班姓名：李旭学号：09211325 中文摘要： 人类的发展离不开数学，这是我对数学对人类文明的关系的理解。纵观人类的发展史，除了在人类还是茹毛饮血的生活的最原始的时代以外，在每一个发展的阶段，数学都起着不可或缺的作用。如果没有数学作为工具，人类无法进行计算，也就谈不上商品交易的出现，更不用提如何探索天文地理的奥秘了。也许没有数学，人类可以生存，但是那也只是原始的生活。在人类文明的发展过程中，出现过许多杰出的科学家，他们为人类文明的前进做出了不朽的贡献，但是在他们进行研究探索时，是无法离开数学这门学科的。在没有数学验证的情况下一切理论都会成为空想。所以在给数学对人类文明发展的作用定个位的话，我认为它是一个不可或缺的工具。 关键词：数学，人类文明，发展，研究探索，工具 正文： 数学对人类生活的影响 数学的发展对人类的生活息息相关。尤其是在工程设计中，人类由最初的以锄头为基础工具的农耕文明，到以大机器流水作业为代表的工业文明，到现今以计算机为代表的信息文明。数学的发展使得人类生活方式发生着改变。 在以上划分的三个时代中，我们可以清楚的看到人类生活中劳动工具的改变，由最简单的锄头，到较为高效的机器，再到现在的可以高速工作的计算机。这些工具的进步，可以归结为工程设计的发展，但是如果没有数学的发展，在工程设计中也就无法解决很多设计问题，那么也劳动工具的生产也就无从谈起了。 历史上著名的英国工业革命的进行，1705年纽可门制成了第一台可供实用的蒸汽机；1768年瓦特制成了近代蒸汽机。由此引起了英国的工业革命，以后遍及全欧，生产力迅速提高，从而促进了科学的繁荣。而此时我们再看看当时的数学的发展。17世纪的数学，发生了许多深刻的、明显的变革。在数学的活动范围方面，数学教育扩大了，从事数学工作的人迅速增加，数学著作在较广的范围内得到传播，而且建立了各种学会。在数学的传统方面，从形的研究转向了数的研究，代数占据了主导地位。在数学发展的趋势方面，开始了科学数学化的过程。最早出现的是力学的数学化，它以1687年牛顿写的《自然哲学的数学原理》为代表，从三大定律出发，用数学的逻辑推理将力学定律逐个地、必然地引申出来。 由此我们可以看出，数学的发展对人类劳动方式的改变是非常重要的，尽管数学并不能直接的去创造劳动工具，但是它是作为一个基础工具去为那些工程设计理论服务，使所有的

数学文化与现代文明

数学文化与现代文明 谈到人类文明,人们最先想到的是政治、经济、历史、文学、艺术、天文地理等方面的成就。熟不知数学才是人类文明的基础,它的产生和发展伴随着人类文明的整个进程,并在其中起着重要的推动作用。“文化”一词,在我国古代很早就有,比西方要早,但直到十九世纪,它才有一个较为完整的表示方式。《哲学小词典》认为“广义的文化”是指人类在社会历史实践过程中所创造的物质财富和精神财富的总和,而“狭义的文化”指的是社会意识形态以及与之相适应的规章制度、风俗习惯、学术思想、宗教组织及文学艺术等。文化可以随着人类社会的发展而发展,并借助语言和文字的形式来表现。而数学是人类认识世界和改造世界的思维工具、思想方法和理性精神,所以说数学也是一种文化,而且是一种先进的文化,数学文化的发展足迹是伴随着人类历史的发展足迹的,所以它见证了人类的文明发展。西方学者于20世纪60年代提出了数学文化观,认为数学是一个由其内在力量与外在力量共同作用而不断变化发展的文化系统,90年代末我国学者也开始从文化的角度来关注数学,并强调数学的文化价值。根据数学文化内涵的侧重点的不同,可以给予数学文化不同的理解。文化有广义狭义之分,那对应的数学文化也有广义狭义的理解。狭义的数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言,以及它们的形成及其发展过程,广义还包括了数学家、数学史、数学美、数学教育、数学与各种文化之间的关系。数学文化具有很多特点,文中给出数学文化的定义之后,对数学文化的传统性、抽象性、哲学性、美学性、渗

透性、发展性、艺术性及趣味性等做了重点阐述,了解这些特点能进一步加深对数学文化的理解及认识。因为受经济制度、地理环境等各方面的影响,中西方文化在思维模式、民主观念、科学观、道德观、法制观、教育观等方面存在着很大的差异。古希腊相当重视数学,相传当时不懂几何者是不能进入柏拉图学园的,但在我国古代,崇尚诗 词歌赋、琴棋书画或者懂点八股文的人被认为是有文化、有品味的人,而数学仅仅是被商人记账、算命先生算命时才会用到。纵观中国古代数学的发展,实用思想、算法化的特点一直贯穿其中。《九章算术》对我国古代数学发展的影响很大,从隋唐时代一直到明末清初,所学知 识几乎都来自于《九章算术》或是其扩展版。《九章算术》的编写方式与希腊欧几里得的《几何原本》编写方式有着天壤之别,《几何原本》是从公理、公设、定理等出发,通过证明的方式建立起演绎数学体系,而《九章算术》是从问题出发,以解决问题的方式建立起机械性数学体系,这也体现了中国古代数学重实用、重计算的特点。我国的文化历史悠久,其中春秋战国时期的法家、儒家、道家三大学派,特别是儒家思想,对我国文化影响很大。儒家的“仁、义、礼、智、信”的世界观因迎合封建统治者的意愿而受到推崇,由这种观念所引发的轻视科学、鄙视技艺的思想也对后世造成了深刻的影响,至今我国政府、教育部门中还有大部分人不重视数学研究,可以说儒家文化阻碍了我国古代数学的发展。而古希腊的数学如哲学一般备受人们的重视,在整个文化系统中扮演重要角色,它孕育了一种理性精神,不仅给西 方文化做出了不可磨灭的巨大贡献,也给整个人类文明的进程带来了

数学与人类文明论文

浅谈数论 摘要： 提起数论，相信大家并不陌生。它与几何学一样，是一门最为古老而又始终活跃的数学研究领域。长期以来，数论被人们认为是纯数学理论。正因如此，数论题目也是全国高中数学联赛乃至IMO 重点考察选手思维的重要题目之一。但是，由于其理论深奥，所以一直被人认为仅仅局限于理论研究，没有实用价值。随着计算机的产生与发展给科学技术带来新变革的同时，数论也有了非常广泛的用途，成为一门最为有用的数学分支。 关键词： 初等数论，反证法，费马小定理，哥德巴赫猜想 正文： 数论是一门研究整数性质的学科。许多数论问题都是从实际经验总结而来的，所以数论问题叙述起来简单明了，易于让人理解，但是证明过程却是异常艰难。世界上公认的数学难题也大多是数论上的难题，比如说费马大定理，哥德巴赫猜想，孪生素数，华林问题等。在漫长的岁月中，数学家们通过对整数问题的不断探索和创新，熟悉并掌握了整数的许多性质，从而使得数论的理论体系逐步完善。伟大的德国数学家高斯在其著作《算术研究》中创立了数论最基本的研究方法同余理论，从而开创了现代数论的新纪元。根据研究法的不同，数论有以下最基本的四个分支：初等数论、解析数论、代数数论和几何数论。下面主要介绍一下初等数论和解析数论。 初等数论是以算术方法为主要方法来研究数论的一个独立分支。它的主要内容为整数的整除理论、不定方程理论、同余理论等。正是基于同余理论的发展，中国剩余定理的孙子定理和秦九韶的大衍求一术驰誉世界。 在我们大学之前所接触的数论知识中，基本都是初等数论。我们90后这一代幸运地赶上了“奥数热”，这也是我学习数论知识的开始。小学时期多接触的是一些比较浅显的数论知识，比如“n+1件物品放进n 个抽屉，必有一个抽屉至少放了两件物品”的抽屉原理等。这些在老师看来都是小儿科的知识，却见证了我的数论学习生涯的开始。中学时期，我系统地学习了初等数论，从一个个专题到一个个方法，至今深藏在我的脑海里。 反证法是我特别在意的一个方法。这不仅仅是数学上的解决问题的方法，更是一种在生活中解决问题的思考方式。下面通过一个例子来说明一下反证法与一般方法的不同之处。 证明素数的个数是无穷多个： 假设素数的个数是有限的，分别记为12,, ,,n P P P 则数121n P PP P =+必是合数，但显然，12,,,n P P P 均不能整除P ,这又说明P 是素数，与假设矛盾！所以素数有无穷多个。 而基于高斯的同余理论所开展的工作使得初等数论迅速发展。近代著名的数学家费马、欧拉、拉格朗日、高斯等人为近代初等数论的发展作出了卓越的贡献。裴蜀定理，费马小定理等成了高中生学习竞赛时必知的定理。假设p 是素数，(,)1a p =，则11(mod )p a p -≡。这是费马在1640年提出的费马小定理，同时它也贯穿了我高中时期的整个数论学习。 解析数论是用解析方法来研究数论中的问题的一个分支，它起源于对素数分布问题的研究。随着不断引进解析的方法来研究，哥德巴赫猜想，孪生素数，华林问题等著名数论问题而迅速发展。而在上世纪，中国踊跃出许多著名数学家，最著名的当属华罗庚和陈景润。华罗庚虽只有初中文化，但自学成才，在杂志上发表《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成

数学与人类文明(090908)

数学与人类文明 幸克坚 （遵义师范学院数学系，贵州遵义５６３００２） 摘要：人类社会从愚昧蛮荒到现代文明，是通过科学来实现的，数学在自然科学和社会科学中都具有广泛的应用和联系，各门科学都必须依靠数学作为思维和计算工具．应该从文化的高度认识和 理解数学，为人类的进步和科学的发展学好数学． 关键词：数学科学文明 中图分类号：O231 文献标识码：E 文章编号：1009-358 3(2009) 1 概述 人类社会从愚昧蛮荒到今日的现代文明，是人类认识自然、利用自然、改造自然同时逐步认识和完善自身的过程，这一过程是通过科学——自然科学和人文社会科学的进展来实现的．科学是探究自然界和人类社会规律的最为重要的社会文化活动，是人类进步的最主要途径．各门科学的基本进程，都遵循从定性到定量、从模糊到精确的进程，这必须依靠数学作为思维和计算工具，这是数学最基本的价值．追溯文明史可见，数学的重大进步往往引起人类文明跃进：古希腊文明被公认为世界现代文明之源，而《几何原本》是其标志性代表；以微积分的建立为起源的数学的“英雄世纪”，导致了文艺复兴后以经典力学为主线的科学的黄金时代；20世纪的现代文明，以数学方法推动相对论的建立而凸现；信息时代的今天广泛使用的计算机，冯．诺依曼理论是其基础；麦克斯韦方程的预言，才有了无线电传播的普及…… 数学具有高度的抽象性，严密的逻辑性和精确性．所以，纵观数学史乃至科学史，不难深刻的体会到：数学的理性、求真、质疑和敢于创新等思想和精神，更是科学进步和人类文明的宝贵财富．所以数学在人类科学各领域的作用更多的应该是思想和方法、精神与信念．日本数学家米山国藏认为，科学工作者所需要的数学知识，相对来说是不多的，而数学的研究精神，数学的发明、发现所需要的思想方法，大脑的数学思维训练，对科学工作者是绝对必要的． 美国数学史家M．克莱因认为：“在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量……数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构建了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学……”①． 随着科学技术的迅猛发展，现代数学在深入到自然科学和社会科学各个领域的同时，还与其他学科相互交叉、相互渗透，又形成了一门门新兴边缘学科．如控制论、系统论、信息论、生物数学、数量经济学、 收稿日期：2009-09-08 作者简介：幸克坚（1954--），男，贵州遵义人，遵义师范学院，教授，从事数学教学和数学文化研究

《数学文化》读后感

《数学文化》读后感各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 在大学初学《数学史》时，我便对数学史产生了浓厚的兴趣，并由此爱上了数学这一学科。工作后，我成为了一名数学教师。我常常在想，如果能够把数学文化融入到课堂中来，那是一件多么有意思的事。于是，我仔细研读了《数学文化》一书，获益颇多。 众所周知，数学是人类文明的一个重要组成部分。最初牙牙学语地创造丰富多彩的记数制度，然后在花季雨季之中为数学建立越来越多、越来越详尽的分支，到如今，展现它花样年华之时耀眼夺目的数学成果。与其他文化一样，数学科学也是集齐了几千年人类智慧的结晶。 读完《数学文化》，心底不由得一阵感动。那是一种什么感觉呢？是一个对数学有着宗教般虔诚的仰望者的心

动，是一个对历史有着无尽探索欲望的追求者的向往。每一代人都在数学这座古老的大厦上添加一层楼。当我们为这个大厦添砖加瓦时，有必要了解它的历史。通过这本书，我对数学发展的概况有了一个较为全面的了解。书中通过生动具体的事例，介绍了数学发展过程中的若干重要事件、重要人物与重要成果，让我初步了解了数学这门科学产生与发展的历史过程，体会了数学对人类文明发展的作用，感受到了数学家严谨的治学态度和锲而不舍的探索精神。 数学是人类创造活动的过程，而不单纯是一种形式化的结果；运用辨证唯物主义的观点看待数学科学及数学教育，在他们的形成和发展过程中，不但表现出矛盾运动的特点，而且它们与社会、政治、经济以及一般人类的文化有着密切的联系。数学的历史源远流长。我了解到，在早期的人类社会中，是数学与语言、艺术以及宗教一并构成了最早的人类文明。数学是最抽象的科学，